Urti relativistici

Urti senza conoscere le forze

Durante un urto agiscono forze intense e brevi, di cui spesso si sa pochissimo. Prima e dopo, lontano dalla zona dell’interazione, le particelle sono libere. Anche in meccanica classica gli urti si trattano senza risolvere le equazioni del moto: si impone che energia e quantità di moto totali siano le stesse prima e dopo, e si ricavano i vincoli tra le grandezze in gioco. In relatività si fa lo stesso con il quadrimpulso, e il fatto che il suo quadrato sia invariante rende molti calcoli sorprendentemente brevi.

Gli strumenti sono tre, tutti dell’articolo sui quadrivettori:

• la conservazione del quadrimpulso totale, $\sum p^\mu_{\text{prima}} = \sum p^\mu_{\text{dopo}}$;
• il quadrato del quadrimpulso di ogni particella, $p \cdot p = m^2c^2$, nullo per le particelle senza massa;
• la massa invariante del sistema, $M^2c^2 = P \cdot P$, uguale prima e dopo l’urto, con $M \ge \sum_a m_a$.

In relatività le parole cambiano un po’ significato. Un urto si dice elastico quando le particelle restano le stesse, anelastico quando se ne creano o se ne distruggono, e parte dell’energia cinetica diventa massa o viceversa. In ogni caso si conserva l’energia totale, masse comprese.

Nei conti conviene esprimere energie, quantità di moto per $c$ e masse per $c^2$ nella stessa unità, di solito MeV o GeV. Molti testi pongono direttamente $c = 1$; qui le $c$ restano scritte.

Un trucco utile: il prodotto scalare in un sistema comodo

Il prodotto scalare di due quadrimpulsi ha lo stesso valore per tutti gli osservatori, quindi lo si può calcolare dove è più semplice. Se una delle due particelle, di massa $m$, è ferma, $p_B = (mc, \mathbf 0)$ e

$$p_A \cdot p_B = \frac{E_A}{c}\,mc = mE_A ,$$

dove $E_A$ è l’energia dell’altra particella in quel sistema. Per due fotoni di energie $E_1$ ed $E_2$ con direzioni che formano l’angolo $\theta$,

$$p_1 \cdot p_2 = \frac{E_1E_2}{c^2} - \mathbf p_1\cdot\mathbf p_2 = \frac{E_1E_2}{c^2}\,(1 - \cos\theta),$$

perché $|\mathbf p_i| = E_i/c$.

L’effetto Compton

Nel 1923 Arthur Compton pubblicò le misure della luce diffusa da raggi X che colpivano un bersaglio di grafite: la radiazione diffusa aveva lunghezza d’onda maggiore di quella incidente, tanto maggiore quanto più grande era l’angolo di diffusione. Per un’onda classica la frequenza della luce diffusa dovrebbe essere la stessa. L’effetto si spiega trattando la luce come un fascio di fotoni, ciascuno con energia $E = h\nu = hc/\lambda$ e quantità di moto $E/c$, che urtano uno alla volta elettroni praticamente liberi e fermi. Fu una conferma decisiva dell’ipotesi dei quanti di luce, avanzata da Einstein nel 1905.

Dalla stessa relazione si ricava l’energia del fotone diffuso,

$$E' = \frac{E}{1 + \dfrac{E}{mc^2}\,(1 - \cos\theta)},$$

e l’elettrone porta via la differenza $E - E'$ come energia cinetica. Lo spostamento di lunghezza d’onda non dipende da $\lambda$: vale al massimo $2h/(mc)$, all’indietro, e si nota solo quando $\lambda$ non è troppo più grande di $h/(mc)$. Per questo con la luce visibile, centinaia di nanometri, l’effetto è invisibile, mentre con i raggi X, qualche decina di picometri, si misura bene.

La lunghezza d’onda Compton

La grandezza che compare nella formula,

$$\lambda_C = \frac{h}{mc},$$

si chiama lunghezza d’onda Compton della particella di massa $m$; per l’elettrone vale circa $2{,}43$ pm. È la lunghezza d’onda di un fotone la cui energia $hc/\lambda$ è uguale all’energia a riposo $mc^2$ della particella. Contiene sia $c$, il segno della relatività, sia $h$, il segno della meccanica quantistica, e segna il punto in cui i due effetti si presentano insieme.

Un modo di vederlo usa il principio di indeterminazione di Heisenberg, $\Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar$. Confinare una particella in una regione di dimensioni $\Delta x$ rende incerta la sua quantità di moto di almeno $\hbar/\Delta x$. Quando questa incertezza arriva a $mc$, l’energia in gioco è confrontabile con $mc^2$, e basta a creare nuove particelle della stessa massa. Succede per $\Delta x \approx \hbar/(mc) = \lambda_C/2\pi$. Non è una dimostrazione, ma indica perché sotto quelle distanze la descrizione di una singola particella che non si crea e non si distrugge smette di funzionare, e serve la teoria quantistica dei campi.

L’energia di soglia

Un urto può produrre particelle nuove solo se c’è abbastanza energia. Il minimo non è semplicemente la somma delle energie a riposo delle particelle da creare, perché la quantità di moto totale si conserva e parte dell’energia resta necessariamente sotto forma di energia cinetica.

Il caso storico è la produzione dell’antiprotone. Un protone veloce colpisce un protone fermo, e per conservare la carica elettrica e il numero di barioni l’antiprotone nasce insieme a un protone in più:

$$p + p \to p + p + p + \bar p .$$

Con $m_A = m_B = m$ e $M_f = 4m$ il teorema dà $E_A \ge (16 - 2)\,mc^2/2 = 7\,mc^2$. Con $mc^2 = 938{,}3$ MeV l’energia totale minima del protone incidente è circa $6{,}57$ GeV, e l’energia cinetica minima $6\,mc^2 \approx 5{,}63$ GeV: sei volte l’energia a riposo, per creare due particelle. Il Bevatron di Berkeley fu costruito per superare questa soglia, e nel 1955 Chamberlain e Segrè vi scoprirono l’antiprotone.

Se invece i due protoni si scontrano frontalmente con la stessa energia $E$, il laboratorio è già il sistema del centro di massa: $\mathbf P = 0$ e $P \cdot P = 4E^2/c^2$. La condizione $P \cdot P \ge 16m^2c^2$ diventa $E \ge 2mc^2$, cioè un’energia cinetica di $mc^2$ per ciascun protone. Nei collisori tutta l’energia è disponibile per creare particelle, e per questo le macchine più potenti, come il Large Hadron Collider, sono anelli con due fasci che si scontrano.

La creazione di coppie da parte di fotoni avviene davvero, ma sempre vicino a un’altra particella, di solito un nucleo, che assorbe quantità di moto. Con un nucleo di massa $M \gg m_e$ fermo, il teorema con $m_A = 0$ e $M_f = M + 2m_e$ dà $E_\gamma \ge 2m_ec^2\,(1 + m_e/M)$: poco più di $1{,}022$ MeV. Con un elettrone come bersaglio la soglia sale a $4\,m_ec^2 \approx 2{,}04$ MeV, come nell’esercizio 4.

I decadimenti in due corpi

Una particella di massa $M$ ferma che decade in due particelle ha quadrimpulso $P = (Mc, \mathbf 0)$. Le due particelle prodotte hanno quantità di moto opposte, e le loro energie sono fissate.

Il decadimento del pione carico in un muone e un neutrino, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu$, ne è un esempio. Con $m_\pi c^2 = 139{,}57$ MeV, $m_\mu c^2 = 105{,}66$ MeV e la massa del neutrino trascurabile, il muone ha energia $(139{,}57^2 + 105{,}66^2)/(2 \cdot 139{,}57)$ MeV $\approx 109{,}78$ MeV, cioè un’energia cinetica di circa $4{,}12$ MeV, sempre la stessa. Il neutrino porta via i restanti $29{,}79$ MeV. In un decadimento in tre corpi, come quello del neutrone, le energie non sono fissate e si distribuiscono su un intervallo: fu proprio lo spettro continuo degli elettroni del decadimento beta a far ipotizzare a Pauli, nel 1930, l’esistenza del neutrino.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Raggi X di lunghezza d’onda $71{,}1$ pm sono diffusi da elettroni fermi. Calcola la lunghezza d’onda diffusa a $90°$ e l’energia cinetica dell’elettrone. Usa $hc = 1239{,}84$ eV·nm e $m_ec^2 = 511{,}0$ keV.

La lunghezza d’onda Compton è $\lambda_C = hc/(m_ec^2) = 1239{,}84\ \text{eV·nm}/511\,000\ \text{eV} \approx 2{,}43$ pm. A $90°$ il coseno è nullo e $\lambda' = 71{,}1 + 2{,}43 \approx 73{,}5$ pm.

Le energie del fotone sono $E = 1239{,}84/0{,}0711$ eV $\approx 17{,}44$ keV ed $E' = 1239{,}84/0{,}07353$ eV $\approx 16{,}86$ keV. L’elettrone riceve la differenza, circa $575$ eV.

Commento: lo spostamento è del $3\%$ circa, facile da misurare con uno spettrometro a cristallo, ed è quello che Compton misurò. L’elettrone ha un’energia cinetica di poche centinaia di elettronvolt, molto minore della sua energia a riposo: qui la relatività serve per il fotone, mentre per l’elettrone basterebbe la meccanica classica.

Esercizio 2. Un fotone da $511$ keV, l’energia dei fotoni prodotti dall’annichilazione di un positrone, subisce effetto Compton su un elettrone fermo. Qual è l’energia massima che può cedere all’elettrone?

L’energia ceduta è massima quando quella del fotone diffuso è minima, cioè per $\theta = 180°$, con $1 - \cos\theta = 2$:

$$E' = \frac{E}{1 + 2E/(m_ec^2)} = \frac{511\ \text{keV}}{1 + 2} \approx 170\ \text{keV}.$$

L’elettrone riceve al massimo $511 - 170 = 341$ keV.

Commento: nei rivelatori di raggi gamma questo valore si chiama spalla Compton: gli elettroni colpiti dai fotoni che escono dal rivelatore dopo una sola diffusione lasciano energie distribuite da $0$ fino a $341$ keV, e lì lo spettro si interrompe bruscamente. Il fotone non può mai cedere tutta la sua energia a un elettrone libero in un solo urto, perché la quantità di moto non si conserverebbe.

Esercizio 3. Quale energia cinetica minima deve avere un protone per produrre un antiprotone urtando un protone fermo? E quale energia cinetica deve avere ciascun protone in un collisore simmetrico? Usa $m_pc^2 = 938{,}3$ MeV.

Su bersaglio fermo, dal teorema, l’energia totale minima è $7\,m_pc^2 \approx 6568$ MeV, e l’energia cinetica $6\,m_pc^2 \approx 5630$ MeV $= 5{,}63$ GeV. In un collisore simmetrico ogni protone deve avere energia totale $2\,m_pc^2$, cioè energia cinetica $m_pc^2 \approx 938$ MeV.

Commento: sul bersaglio fermo servono $5{,}63$ GeV di energia cinetica, contro $2 \times 0{,}94$ GeV nel collisore. Il rapporto peggiora al crescere dell’energia: su bersaglio fermo l’energia disponibile nel centro di massa cresce come la radice dell’energia del fascio, nel collisore cresce proporzionalmente.

Esercizio 4. Qual è l’energia minima di un fotone che produce una coppia elettrone-positrone urtando un elettrone fermo, $\gamma + e^- \to e^- + e^- + e^+$?

Nel teorema $m_A = 0$, $m_B = m_e$ ed $M_f = 3m_e$:

$$E_\gamma \ge \frac{9m_e^2 - m_e^2}{2m_e}\,c^2 = 4\,m_ec^2 \approx 2{,}04\ \text{MeV}.$$

Commento: servirebbero solo $2\,m_ec^2 = 1{,}022$ MeV per creare le due particelle nuove, ma il bersaglio è leggero, e deve portare via una quantità di moto confrontabile con la sua massa: metà dell’energia del fotone finisce in energia cinetica. Con un nucleo pesante come bersaglio la soglia scende quasi a $1{,}022$ MeV, perché il nucleo assorbe la quantità di moto spendendo pochissima energia.