La forza relativistica

Fisica · Relatività ristretta Articolo 14 settembre 2026

Percorso: Relatività ristretta · 8 di 12

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Indice

Che cosa vuol dire forza in relatività

Nella meccanica classica la forza è la derivata della quantità di moto rispetto al tempo, e per risolvere un problema serve un’espressione della forza ricavata dagli esperimenti: $-k\,(x - x_0)$ per una molla, $-GMm/r^2$ per la gravità. Questo articolo prova a trasportare lo schema in relatività, e mostra dove funziona e dove no.

Si potrebbe prendere la forza della molla e metterla nell’equazione $d\mathbf p/dt = \mathbf F$ con la quantità di moto relativistica $\mathbf p = \gamma m\mathbf v$ . Le velocità che si ottengono non superano mai $c$ , ma l’equazione non è relativistica: la forza sulla massa dipende dall’allungamento della molla nello stesso istante, cioè si propaga istantaneamente lungo la molla, e questo non può essere. Le forze che dipendono dalle posizioni istantanee di corpi lontani non hanno posto in relatività. Resta invece valida la definizione.

Definizione (forza)

La forza su una particella di massa $m$ è la derivata rispetto al tempo della sua quantità di moto relativistica:

\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\gamma m\mathbf v\right).

La forza così definita non è la stessa per tutti gli osservatori inerziali, come invece è in meccanica classica: le sue componenti cambiano con una legge complicata, che si scrive in modo semplice solo con i quadrivettori, nell’articolo successivo.

Forza e accelerazione

In meccanica classica l’accelerazione è parallela alla forza. In relatività, in generale, no.

Teorema (relazione tra forza e accelerazione)

Con $\mathbf a = d\mathbf v/dt$ ,

\gamma m\,\mathbf a = \mathbf F - \frac{(\mathbf F\cdot\mathbf v)}{c^2}\,\mathbf v .

Dimostrazione.

Il fattore $\gamma = (1 - \mathbf v\cdot\mathbf v/c^2)^{-1/2}$ dipende dal tempo attraverso la velocità, e

\frac{d\gamma}{dt} = -\frac12\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\left(-\frac{2\,\mathbf v\cdot\mathbf a}{c^2}\right) = \gamma^3\,\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{c^2}.

Derivando il prodotto $\gamma m\mathbf v$ ,

\mathbf F = \gamma m\,\mathbf a + \gamma^3 m\,\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{c^2}\,\mathbf v .

Si moltiplica scalarmente per $\mathbf v$ :

\mathbf F\cdot\mathbf v = \gamma m\,(\mathbf v\cdot\mathbf a) + \gamma^3 m\,(\mathbf v\cdot\mathbf a)\,\frac{v^2}{c^2} = \gamma m\,(\mathbf v\cdot\mathbf a)\left(1 + \gamma^2\frac{v^2}{c^2}\right) = \gamma^3 m\,(\mathbf v\cdot\mathbf a),

perché da $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$ segue $\gamma^2 = 1 + \gamma^2 v^2/c^2$ . Sostituendo $\gamma^3 m\,(\mathbf v\cdot\mathbf a) = \mathbf F\cdot\mathbf v$ nell’espressione di $\mathbf F$ si ottiene $\mathbf F = \gamma m\,\mathbf a + (\mathbf F\cdot\mathbf v)\,\mathbf v/c^2$ , che è la tesi.

Fine della dimostrazione.

Corollario (forza parallela e forza perpendicolare)

Se la forza è parallela alla velocità, $\mathbf F = \gamma^3 m\,\mathbf a$ . Se è perpendicolare alla velocità, $\mathbf F = \gamma m\,\mathbf a$ .

Dimostrazione.

Se $\mathbf F$ è parallela a $\mathbf v$ , $(\mathbf F\cdot\mathbf v)\,\mathbf v = v^2\,\mathbf F$ , e il teorema dà $\gamma m\,\mathbf a = \mathbf F\,(1 - v^2/c^2) = \mathbf F/\gamma^2$ , cioè $\mathbf F = \gamma^3 m\,\mathbf a$ . Se $\mathbf F$ è perpendicolare a $\mathbf v$ , $\mathbf F\cdot\mathbf v = 0$ e il teorema dà $\mathbf F = \gamma m\,\mathbf a$ .

Fine della dimostrazione.

Spingere una particella veloce nella direzione del moto è molto più difficile che deviarla: a parità di forza l’accelerazione longitudinale è $\gamma^2$ volte più piccola di quella trasversale. Un tempo si parlava di «massa longitudinale» $\gamma^3 m$ e «massa trasversale» $\gamma m$ . Sono nomi abbandonati, per la stessa ragione della «massa relativistica»: la massa della particella è $m$ , e a dipendere dalla velocità è il legame tra forza e accelerazione.

Il lavoro della forza cambia l’energia come in meccanica classica.

Teorema (teorema dell'energia)

Lungo il moto $\dfrac{dE}{dt} = \mathbf F\cdot\mathbf v$ , con $E = \gamma mc^2$ .

Dimostrazione.

Per la relazione energia-impulso $E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ , quindi

\frac{dE}{dt} = \frac{c^2\,\mathbf p\cdot\dot{\mathbf p}}{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}} = \frac{c^2\,\mathbf p}{E}\cdot\frac{d\mathbf p}{dt} = \mathbf v\cdot\mathbf F,

perché $c^2\mathbf p/E = \mathbf v$ , sempre per la relazione energia-impulso, e $d\mathbf p/dt = \mathbf F$ .

Fine della dimostrazione.

Una carica in un campo elettrico uniforme

Il caso in cui i problemi della propagazione istantanea non si pongono è quello di una carica in campi elettrici e magnetici assegnati, prodotti da cariche lontane e indipendenti dal moto della particella. Due fatti sperimentali permettono di scrivere la forza. La carica elettrica è la stessa per tutti gli osservatori: se dipendesse dalla velocità, gli atomi, in cui gli elettroni si muovono veloci e i nuclei quasi fermi, non sarebbero neutri, e le molecole di idrogeno e gli atomi di elio, con moti interni diversi, avrebbero cariche nette diverse, cosa che non si osserva. E la forza di Lorentz

\mathbf F = q\,(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B),

con $\mathbf F = d\mathbf p/dt$ e la quantità di moto relativistica, descrive correttamente il moto delle particelle cariche a qualunque velocità, come mostrano tutti gli acceleratori. Nell’articolo sull’elettromagnetismo covariante la si ricaverà da una lagrangiana.

Teorema (moto in un campo elettrico uniforme)

Una particella di massa $m$ e carica $q > 0$ parte da ferma dall’origine in un campo elettrico uniforme $\mathbf E$ diretto lungo $x$ , con $B = 0$ . Posto $a = qE/m$ , il moto avviene lungo $x$ con

p(t) = qEt, \qquad v(t) = \frac{at}{\sqrt{1 + (at/c)^2}}, \qquad x(t) = \frac{c^2}{a}\left(\sqrt{1 + \left(\frac{at}{c}\right)^2} - 1\right).

Dimostrazione.

La forza $q\mathbf E$ ha solo la componente $x$ , quindi $dp_y/dt = dp_z/dt = 0$ e, poiché la particella parte da ferma, $p_y = p_z = 0$ per sempre: il moto è lungo $x$ . Da $dp/dt = qE$ e $p(0) = 0$ si ha $p = qEt$ .

Per ricavare la velocità si inverte $p = \gamma m v$ . Elevando al quadrato, $p^2\,(1 - v^2/c^2) = m^2v^2$ , cioè $v^2\,(m^2 + p^2/c^2) = p^2$ , e con $v$ dello stesso segno di $p$

v = \frac{p}{\sqrt{m^2 + p^2/c^2}} = \frac{qEt/m}{\sqrt{1 + (qEt/mc)^2}} = \frac{at}{\sqrt{1 + (at/c)^2}}.

Infine $x(t) = \int_0^t v\,dt'$ . Una primitiva di $at/\sqrt{1 + (at/c)^2}$ è $(c^2/a)\sqrt{1 + (at/c)^2}$ , come si verifica derivando, e imponendo $x(0) = 0$ si ottiene la formula.

Fine della dimostrazione.

Per tempi brevi, $at \ll c$ , lo sviluppo $\sqrt{1 + u} \approx 1 + u/2$ dà $x \approx \tfrac12 at^2$ e $v \approx at$ , il moto uniformemente accelerato di Newton. Per tempi lunghi la velocità tende a $c$ senza raggiungerla, mentre la quantità di moto $qEt$ e l’energia crescono senza limite. La linea di universo soddisfa

\left(x + \frac{c^2}{a}\right)^2 - c^2t^2 = \frac{c^4}{a^2},

come si verifica sostituendo $x(t)$ : è un ramo di iperbole, e per questo si parla di moto iperbolico.

La linea di universo di una particella che parte da ferma sotto una forza costante, nel diagramma di Minkowski del laboratorio. La curva blu è il moto relativistico: si piega verso destra e si avvicina alla retta tratteggiata, parallela al raggio di luce e passante per $x = -c^2/a$ , senza raggiungerla. La curva grigia è il moto classico $x = \tfrac12 at^2$ , che dopo un po’ attraversa il raggio di luce arancione. Un segnale di luce partito da $x = -c^2/a$ all’istante $0$ non raggiunge mai la particella.

Una carica in un campo magnetico uniforme

Teorema (moto in un campo magnetico uniforme)

Una particella di massa $m$ e carica $q$ si muove in un campo magnetico uniforme $\mathbf B$ , con $E = 0$ e velocità iniziale perpendicolare a $\mathbf B$ . Allora il modulo della velocità resta costante e la particella percorre una circonferenza di raggio e pulsazione

R = \frac{p}{|q|B} = \frac{\gamma mv}{|q|B}, \qquad \omega = \frac{|q|B}{\gamma m}.

Dimostrazione.

La forza $q\,\mathbf v\times\mathbf B$ è perpendicolare alla velocità, quindi per il teorema dell’energia $dE/dt = 0$ : l’energia $\gamma mc^2$ è costante, e con essa $\gamma$ e il modulo $v$ . L’equazione del moto diventa

\gamma m\,\frac{d\mathbf v}{dt} = q\,\mathbf v\times\mathbf B,

con $\gamma$ costante. Con $\mathbf B$ lungo $z$ e $v_z = 0$ all’inizio, la componente $z$ dell’equazione dà $dv_z/dt = 0$ , quindi $v_z = 0$ sempre. Le altre due sono, con $\Omega = qB/(\gamma m)$ ,

\dot v_x = \Omega\,v_y, \qquad \dot v_y = -\Omega\,v_x .

Fine della dimostrazione.

La formula del raggio è quella classica con la quantità di moto relativistica: $R = p/(|q|B)$ . È quella che permette di misurare la quantità di moto delle particelle cariche dalla curvatura delle loro tracce in un campo magnetico. La pulsazione invece diminuisce al crescere dell’energia: un ciclotrone, che accelera le particelle con un campo elettrico alternato a frequenza fissa, smette di funzionare quando $\gamma$ si allontana da 1, e per energie più alte servono i sincrotroni, in cui campo magnetico e frequenza cambiano durante l’accelerazione.

Le formule di questo paragrafo e del precedente trascurano un fatto: una carica accelerata emette radiazione elettromagnetica, che porta via energia e quantità di moto e aggiunge i propri campi a quelli assegnati. In un moto circolare ad alta energia l’effetto è grande. Negli acceleratori circolari di elettroni la radiazione di sincrotrone è la principale perdita di energia, e al LEP del CERN ogni elettrone perdeva a ogni giro alcuni GeV, che andavano restituiti. Per i protoni, quasi duemila volte più pesanti, la perdita a parità di energia è molto minore.

Le interazioni passano attraverso i campi

Nella visione di Newton il campo gravitazionale o elettrico è un modo di descrivere forze che agiscono a distanza, senza realtà propria. Se invece l’energia e la quantità di moto scambiate da due particelle attraversano lo spazio a velocità finita, nel frattempo devono trovarsi da qualche parte: nel campo. Il campo diventa un sistema fisico, con la sua energia, la sua quantità di moto e le sue equazioni, che fa da mediatore tra le particelle.

La descrizione lagrangiana di particelle interagenti ha allora tre parti: la lagrangiana delle particelle libere, già trovata; quella del campo da solo; quella dell’interazione tra particelle e campo. Per il campo elettromagnetico le tre parti si costruiscono nell’articolo sull’elettromagnetismo in forma covariante, dopo aver introdotto i quadrivettori.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un elettrone parte da fermo in un campo elettrico uniforme di $1{,}0$ MV/m. Calcola velocità, posizione ed energia cinetica dopo $10$ ns, e verifica il teorema dell’energia. Usa $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg, $e = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C, $m_e c^2 = 0{,}511$ MeV.

La scala dei tempi è $mc/(eE) = (9{,}109 \times 10^{-31} \cdot 2{,}998 \times 10^8)/(1{,}602 \times 10^{-19} \cdot 1{,}0 \times 10^6)$ s $\approx 1{,}70$ ns, quindi dopo $10$ ns $at/c = 10/1{,}70 \approx 5{,}87$ . Allora

\frac vc = \frac{5{,}87}{\sqrt{1 + 5{,}87^2}} \approx 0{,}986, \qquad \gamma = \sqrt{1 + 5{,}87^2} \approx 5{,}95 .

La lunghezza caratteristica è $mc^2/(eE) = 0{,}511$ MeV $/(1{,}0$ MeV/m $) = 0{,}511$ m, e $x = 0{,}511\ \text{m} \cdot (5{,}95 - 1) \approx 2{,}53$ m. L’energia cinetica è $(\gamma - 1)\,m_e c^2 \approx 4{,}95 \cdot 0{,}511$ MeV $\approx 2{,}53$ MeV.

Verifica: il lavoro del campo è $eEx = 1{,}0$ MeV/m $\cdot\ 2{,}53$ m $= 2{,}53$ MeV, uguale all’energia cinetica.

Commento: con la meccanica classica, dopo $10$ ns l’elettrone avrebbe $v = at \approx 5{,}9\,c$ . Esprimere il campo in MeV/m, cioè in energia acquistata da una carica elementare per metro, rende i conti quasi immediati: la lunghezza $mc^2/(eE)$ è la distanza su cui l’elettrone acquista la sua energia a riposo.

Esercizio 2. Nell’LHC i protoni da $6{,}8$ TeV sono curvati da magneti dipolari su un raggio di circa $2804$ m. Quale campo magnetico serve?

Per un protone ultrarelativistico $pc \approx E = 6{,}8 \times 10^{12}$ eV. Dal teorema, $B = p/(eR)$ , e con $p$ in eV/ $c$ la carica elementare si semplifica:

B = \frac{6{,}8 \times 10^{12}\ \text{V}}{2{,}998 \times 10^8\ \text{m/s} \cdot 2804\ \text{m}} \approx 8{,}1\ \text{T}.

Commento: il raggio è fissato dalla galleria, quindi il campo deve crescere con la quantità di moto, e $8$ T sono possibili solo con magneti superconduttori. Con la formula classica $R = mv/(eB)$ e $v \approx c$ si otterrebbe un campo circa settemila volte più piccolo, e i protoni uscirebbero dall’anello alla prima curva.

Esercizio 3. Su un elettrone con $\gamma = 2$ agisce una forza di modulo $F$ . Confronta l’accelerazione quando la forza è parallela alla velocità e quando è perpendicolare.

Per il corollario, $a_\parallel = F/(\gamma^3 m) = F/(8m)$ e $a_\perp = F/(\gamma m) = F/(2m)$ . L’accelerazione trasversale è quattro volte quella longitudinale.

Commento: il rapporto è $\gamma^2$ , e cresce rapidamente con l’energia. Se la forza forma un angolo qualsiasi con la velocità, conviene scomporla nelle due componenti, parallela e perpendicolare, e trattarle separatamente con i due fattori: il risultato è un’accelerazione non parallela alla forza, come dice il teorema.

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