Coordinate e tensore metrico

Perché partire dagli spazi piatti

Gli articoli precedenti sono arrivati a un’idea: la gravità si descrive come curvatura dello spaziotempo, e nelle equazioni di Einstein al posto del potenziale gravitazionale c’è il tensore metrico. Per dare un senso preciso a «curvo» bisogna prima saper misurare le distanze in uno spazio qualsiasi, con coordinate qualsiasi. Questo articolo lo fa negli spazi piatti, dove l’intuizione aiuta: la retta, il piano, lo spazio ordinario e alla fine lo spaziotempo di Minkowski. Gli strumenti che ne escono, cioè le componenti controvarianti e covarianti, il tensore metrico e la sua legge di trasformazione, sono gli stessi che serviranno negli spazi curvi.

Coordinate e cambi di coordinate

Per fare geometria con i numeri si mette lo spazio in corrispondenza biunivoca con $\mathbb R^n$: a ogni punto si associano $n$ numeri, le sue coordinate, e $n$ è la dimensione dello spazio. La corrispondenza si chiama carta, o mappa, e se ne possono scegliere infinite. Si chiede che sia continua e derivabile, così che abbiano senso le funzioni dei punti e le loro derivate. La teoria rigorosa di questi spazi, quella delle varietà differenziabili, va oltre il percorso.

In una dimensione, per esempio su una retta, due sistemi di coordinate $x$ e $x'$ sono legati da una funzione $x = x(x')$ invertibile e derivabile, con $dx/dx'$ mai nullo. Due punti vicini hanno coordinate $x$ e $x + dx$ nel primo sistema, $x'$ e $x' + dx'$ nel secondo.

Da qui vengono i nomi. Si misuri una retta in centimetri, con la coordinata $x'$, e in pollici, con la coordinata $x$: $x' = 2{,}54\,x$. Il pollice è l’unità più grande, e in pollici lo stesso punto ha una coordinata più piccola. Le differenze di coordinate variano in senso contrario all’unità, e si dicono controvarianti. La derivata di una funzione, per esempio della temperatura lungo una sbarra, è invece $2{,}54$ volte più grande in gradi al pollice che in gradi al centimetro, perché la distanza sta al denominatore: varia come l’unità, e si dice covariante.

La distanza lungo una retta

La differenza tra le coordinate di due punti non è la loro distanza, perché le coordinate si possono assegnare come si vuole, anche con un’unità che cambia da un punto all’altro. Si fissino sulla retta un’origine $O$ e un’unità di lunghezza $L_0$, e al punto che sta a distanza $s$ da $O$, con segno, si dia la coordinata

$$x = 3\left(e^{s/L_0} - 1\right), \qquad\text{cioè}\qquad s = L_0 \ln\!\left(1 + \frac x3\right).$$

Il segmento tra $x = 3$ e $x = 5$ e quello tra $x = 6$ e $x = 9$ hanno differenze di coordinate $2$ e $3$, ma la stessa lunghezza: $L_0\ln(8/6) = L_0\ln(12/9) = L_0\ln(4/3)$.

La distanza va definita con una misura: si prende un regolo come unità e si conta quante volte va accostato per passare da un punto all’altro. Quando le distanze si sanno misurare, si cerca come ricavarle dalle coordinate. Su un tratto abbastanza corto la distanza è proporzionale alla differenza di coordinate, con un fattore che può cambiare lungo la retta.

Si trova scritto anche $dl = g(x)\,dx$, con un $g$ che è la radice quadrata di quello usato qui; la forma con i quadrati è quella che si estende a più dimensioni. Nell’esempio $dl = L_0\,dx/(x + 3)$, quindi $g(x) = L_0^2/(x + 3)^2$.

La metrica si trasforma con due fattori $dx/dx'$, come il prodotto di due derivate: è covariante due volte. In più dimensioni questa osservazione diventa la legge di trasformazione del tensore metrico.

Coordinate cartesiane

Nel piano la distanza tra due punti è la lunghezza minima tra quelle dei percorsi che li uniscono, e il percorso che la realizza è la retta. Con questa sola nozione si costruiscono le coordinate cartesiane. Si traccia una retta, l’asse $x$, e da un punto $A$ fuori da essa si considerano tutte le rette che la incontrano: quella per cui la distanza tra $A$ e il punto d’incontro è minima si dice perpendicolare all’asse $x$, ed è l’asse $y$. Le coordinate di un punto $P$ sono le distanze dall’origine, con segno, dei piedi delle perpendicolari condotte da $P$ ai due assi, misurate con lo stesso regolo su entrambi.

Tra i punti $(x, y)$ e $(x + dx, y + dy)$ la distanza è data dal teorema di Pitagora,

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 ,$$

e la stessa formula vale per differenze finite, perché i coefficienti non dipendono dal punto. Uno spazio in cui vale si dice euclideo, o piatto. Con i versori degli assi $\mathbf u_x$ e $\mathbf u_y$ lo spostamento è $d\mathbf r = dx\,\mathbf u_x + dy\,\mathbf u_y$, le componenti $dx$ e $dy$ sono i prodotti scalari di $d\mathbf r$ con i versori, e $d\mathbf r\cdot d\mathbf r$ ridà il teorema di Pitagora.

Coordinate oblique e base reciproca

Le coordinate oblique contano anche per quelle curvilinee, che in una regione piccola si comportano come oblique. Nello spazio euclideo a $n$ dimensioni si prende come base un insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti $\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n$, di lunghezze qualsiasi e non ortogonali tra loro. Ogni vettore si scrive

$$\mathbf A = A^k\,\mathbf e_k ,$$

con la convenzione di Einstein già usata nell’articolo sui quadrivettori: un indice ripetuto, una volta in alto e una volta in basso, è sommato su tutti i suoi valori. Einstein la introdusse nel 1916, nell’articolo in cui espose la relatività generale: in quelle formule si somma sempre sugli indici che compaiono due volte, e il simbolo di somma si può omettere. I numeri $A^k$ sono le componenti controvarianti di $\mathbf A$. Se la base non è ortonormale, $A^k$ non è il prodotto scalare $\mathbf A\cdot\mathbf e_k$, e per ricavarlo serve una seconda base.

In due dimensioni $\mathbf e^1$ è perpendicolare a $\mathbf e_2$ e $\mathbf e^2$ è perpendicolare a $\mathbf e_1$. Con la base reciproca si trovano le componenti.

Sono due descrizioni dello stesso vettore su due basi diverse. In una base ortonormale $g_{ik} = \delta_{ik}$, la base reciproca coincide con la base e le due specie di componenti sono uguali: per questo con le coordinate cartesiane la distinzione non serve.

Il tensore metrico

I coefficienti $g_{ik}$ formano il tensore metrico, e $g^{ik}$ ne è la forma controvariante. Il nome «tensore» si giustificherà nell’articolo sui tensori; per ora è la tabella di numeri che trasforma le differenze di coordinate in distanze e che alza e abbassa gli indici. È simmetrico, $g_{ik} = g_{ki}$, perché lo è il prodotto scalare. In due dimensioni, con vettori di base unitari che formano l’angolo $\theta$,

$$g_{ik} = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \end{pmatrix}, \qquad ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + 2\cos\theta\,dx^1dx^2 ,$$

che è il teorema di Carnot, l’estensione del teorema di Pitagora ai triangoli qualsiasi. Con assi perpendicolari il tensore metrico è la matrice identità.

Coordinate curvilinee

Nel piano non c’è motivo di limitarsi alle rette: si possono usare coordinate le cui linee sono curve. Negli spazi piatti è una scelta di comodo, perché esistono sempre coordinate cartesiane che coprono tutto lo spazio. Negli spazi curvi, come si vedrà nel prossimo articolo, non è così. Sulla superficie di una sfera si usano meridiani e paralleli, e coordinate cartesiane si possono usare solo in una regione piccola, dove la superficie si confonde con il piano tangente, e in modo approssimato. In relatività generale la gravità è curvatura, e le coordinate curvilinee non si possono evitare.

I vettori $\mathbf e_i$ sono tangenti alle linee coordinate e cambiano da un punto all’altro. In ogni regione piccola le coordinate curvilinee sono coordinate oblique, con una base diversa in ogni punto, e il tensore metrico diventa una funzione del punto.

Nelle coordinate polari del piano un punto è individuato dalla distanza $R$ da un punto fisso, il polo, e dall’angolo $\theta$ che la semiretta dal polo al punto forma con una semiretta di riferimento, positivo in senso antiorario. Le linee a $\theta$ costante sono semirette uscenti dal polo, quelle a $R$ costante sono circonferenze centrate nel polo, e si incontrano sempre ad angolo retto.

L’elemento $g_{\theta\theta} = R^2$ dice che a parità di $d\theta$ lo spostamento è tanto più lungo quanto più ci si allontana dal polo. Nel polo si annulla, e lì le coordinate polari non individuano più il punto in modo unico: $\theta$ può avere qualsiasi valore.

Resta da vedere come cambia il tensore metrico quando si cambiano le coordinate.

È la legge trovata in una dimensione, con un fattore di trasformazione per ciascun indice. Applicata al passaggio dalle coordinate cartesiane, con $g_{ik} = \delta_{ik}$, a quelle polari, con $x = R\cos\theta$ e $y = R\sin\theta$, ridà la metrica polare: $g'_{RR} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, $g'_{\theta\theta} = R^2\sin^2\theta + R^2\cos^2\theta = R^2$ e $g'_{R\theta} = -R\cos\theta\sin\theta + R\sin\theta\cos\theta = 0$.

Gli spazi piatti

Il piano descritto in coordinate polari resta piatto, perché le coordinate cartesiane $x = R\cos\theta$, $y = R\sin\theta$ riportano il tensore metrico all’identità. Guardando le componenti di $g_{ik}$ in un certo sistema di coordinate, in generale, non si capisce se lo spazio è piatto: il tensore metrico polare dipende dal punto, eppure il piano è piatto. Servirà una grandezza che non dipende dalle coordinate, la curvatura, che arriverà con il tensore di Riemann. Per le coordinate oblique invece la risposta è semplice.

Lo spaziotempo di Minkowski

In fisica classica le distanze e gli intervalli di tempo sono due invarianti separati. In relatività non lo è nessuno dei due, e l’unica grandezza invariante è l’intervallo, che mescola spazio e tempo. Lo spaziotempo di Minkowski è uno spazio a quattro dimensioni i cui punti sono eventi, con coordinate $x^0 = ct$, $x^1 = x$, $x^2 = y$, $x^3 = z$, e il ruolo della distanza lo ha l’intervallo:

$$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu, \qquad g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Gli indici greci vanno da $0$ a $3$, come nell’articolo sui quadrivettori. La differenza con lo spazio euclideo sta nei segni: $ds^2$ può essere positivo, nullo o negativo, e il tensore metrico non si può ridurre all’identità con nessun cambio di coordinate. Che il numero di segni negativi non cambi è la legge d’inerzia di Sylvester, un teorema di algebra lineare che qui non si dimostra. Lo spaziotempo di Minkowski si dice comunque piatto, perché esistono coordinate che lo coprono tutto in cui il tensore metrico ha questa forma diagonale e costante: sono le coordinate degli osservatori inerziali, dette anche galileiane.

Anche nello spaziotempo le coordinate curvilinee cambiano l’aspetto del tensore metrico senza cambiare la geometria. In coordinate sferiche

$$ds^2 = c^2dt^2 - dr^2 - r^2d\theta^2 - r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 ,$$

e nelle coordinate di un osservatore che ruota, come mostra l’esercizio 3, il tensore metrico ha elementi fuori dalla diagonale e $g_{00}$ dipende dalla distanza dall’asse. Per il principio di equivalenza un campo gravitazionale si presenta nello stesso modo, come un tensore metrico che cambia da un punto all’altro. La differenza è che un campo gravitazionale vero, con le sue accelerazioni di marea, non si elimina con nessun cambio di coordinate: lì lo spaziotempo è curvo. I prossimi articoli costruiscono gli strumenti per dirlo con precisione, a partire dalla curvatura delle superfici.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. In un piano si usano coordinate oblique con vettori di base unitari che formano un angolo di 60°. Un vettore ha componenti controvarianti $A^1 = 2$ e $A^2 = 1$. Calcola le componenti covarianti, la forma controvariante del tensore metrico e il modulo del vettore.

Con $\cos\theta = 1/2$ il tensore metrico ha $g_{11} = g_{22} = 1$ e $g_{12} = g_{21} = 1/2$. Le componenti covarianti sono $A_1 = g_{11}A^1 + g_{12}A^2 = 2 + 1/2 = 5/2$ e $A_2 = g_{21}A^1 + g_{22}A^2 = 1 + 1 = 2$. Il determinante di $g_{ik}$ è $1 - 1/4 = 3/4$, e l’inversa è

$$g^{ik} = \frac43\begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 \\ -2/3 & 4/3 \end{pmatrix}.$$

Verifica: $A^1 = g^{11}A_1 + g^{12}A_2 = 10/3 - 4/3 = 2$. Il quadrato del modulo è $A_iA^i = (5/2)\cdot 2 + 2\cdot 1 = 7$, quindi $|\mathbf A| = \sqrt 7 \approx 2{,}65$.

Commento: il modulo si controlla con il teorema di Carnot, $|\mathbf A|^2 = 2^2 + 1^2 + 2\cdot 2\cdot 1\cdot\tfrac12 = 7$. L’errore più comune è calcolarlo come $(A^1)^2 + (A^2)^2 = 5$, che vale solo con assi perpendicolari. La base reciproca è $\mathbf e^1 = g^{11}\mathbf e_1 + g^{12}\mathbf e_2$, $\mathbf e^2 = g^{21}\mathbf e_1 + g^{22}\mathbf e_2$: ciascun vettore è perpendicolare all’asse dell’altro indice e lungo $\sqrt{4/3} \approx 1{,}15$.

Esercizio 2. Calcola la lunghezza della spirale di Archimede $R = a\theta$, con $a$ costante, da $\theta = 0$ a $\theta = 2\pi$.

Lungo la curva $dR = a\,d\theta$, e il tensore metrico polare dà $ds^2 = dR^2 + R^2d\theta^2 = a^2(1 + \theta^2)\,d\theta^2$. Allora

$$L = a\int_0^{2\pi}\sqrt{1 + \theta^2}\,d\theta = \frac a2\Big[\theta\sqrt{1 + \theta^2} + \ln\!\big(\theta + \sqrt{1 + \theta^2}\big)\Big]_0^{2\pi} \approx \frac a2\,(39{,}975 + 2{,}537) \approx 21{,}26\,a .$$

La primitiva si verifica derivando: la derivata di $\theta\sqrt{1 + \theta^2}$ è $\sqrt{1 + \theta^2} + \theta^2/\sqrt{1 + \theta^2}$, quella del logaritmo è $1/\sqrt{1 + \theta^2}$, e la somma è $2\sqrt{1 + \theta^2}$.

Commento: in coordinate cartesiane bisognerebbe derivare $x = a\theta\cos\theta$ e $y = a\theta\sin\theta$ e poi semplificare la somma dei quadrati; il tensore metrico polare fa quella semplificazione una volta per tutte. Un controllo sull’ordine di grandezza: la spirale è più lunga del segmento tra i suoi estremi, $2\pi a \approx 6{,}28\,a$, e più corta di $\int_0^{2\pi}(a\theta + a)\,d\theta = a(2\pi^2 + 2\pi) \approx 26{,}0\,a$, perché $\sqrt{1 + \theta^2} \le 1 + \theta$.

Esercizio 3. Un osservatore ruota con velocità angolare $\omega$ attorno all’asse $z$ di un sistema inerziale e usa le coordinate $(t, x', y', z)$, legate a quelle inerziali da $x = x'\cos\omega t - y'\sin\omega t$ e $y = x'\sin\omega t + y'\cos\omega t$. Scrivi l’intervallo in queste coordinate e trova il ritmo di un orologio fermo per l’osservatore a distanza $r$ dall’asse.

Con $C = \cos\omega t$ e $S = \sin\omega t$,

$$dx = C\,dx' - S\,dy' - \omega\,(Sx' + Cy')\,dt, \qquad dy = S\,dx' + C\,dy' + \omega\,(Cx' - Sy')\,dt .$$

Sommando i quadrati, i termini senza $dt$ danno $dx'^2 + dy'^2$, quelli in $dt^2$ danno $\omega^2(x'^2 + y'^2)\,dt^2$, e i doppi prodotti danno $2\omega\,(x'dy' - y'dx')\,dt$. Quindi

$$ds^2 = \big(c^2 - \omega^2(x'^2 + y'^2)\big)\,dt^2 - 2\omega\,(x'dy' - y'dx')\,dt - dx'^2 - dy'^2 - dz^2 .$$

Con $x^0 = ct$ e $r^2 = x'^2 + y'^2$ si legge $g_{00} = 1 - \omega^2r^2/c^2$, $g_{01} = g_{10} = \omega y'/c$ e $g_{02} = g_{20} = -\omega x'/c$. Per un orologio fermo nelle coordinate rotanti $dx' = dy' = dz = 0$, e il suo tempo proprio è $d\tau = ds/c = \sqrt{1 - \omega^2r^2/c^2}\;dt$.

Commento: dal sistema inerziale è la dilatazione dei tempi della relatività ristretta, con la velocità $v = \omega r$ dell’orologio. Per l’osservatore che ruota l’orologio è fermo, e a rallentarlo è il potenziale della forza centrifuga, $\Phi = -\omega^2r^2/2$: al primo ordine $d\tau = (1 + \Phi/c^2)\,dt$, la formula del campo gravitazionale dell’articolo precedente. Lo spaziotempo è piatto, ma in queste coordinate il tensore metrico dipende dal punto e non è diagonale. L’effetto è piccolo: su un disco che gira a $\omega = 1000$ rad/s, a $r = 10$ cm dall’asse, $\omega^2r^2/(2c^2) \approx 5{,}6 \times 10^{-14}$.

Esercizio 4. Scrivi in coordinate polari le componenti covarianti e controvarianti del gradiente della funzione $f = xy$, e verifica che il modulo è quello che si trova in coordinate cartesiane.

In coordinate polari $f = R^2\sin\theta\cos\theta = \tfrac12 R^2\sin 2\theta$. Le componenti covarianti del gradiente sono le derivate parziali: da $df = \nabla f\cdot d\mathbf r = (\nabla f\cdot\mathbf e_i)\,dx^i$ segue $\partial f/\partial x^i = \nabla f\cdot\mathbf e_i$. Quindi

$$(\nabla f)_R = \frac{\partial f}{\partial R} = R\sin 2\theta, \qquad (\nabla f)_\theta = \frac{\partial f}{\partial\theta} = R^2\cos 2\theta .$$

Con $g^{RR} = 1$ e $g^{\theta\theta} = 1/R^2$ le componenti controvarianti sono $(\nabla f)^R = R\sin 2\theta$ e $(\nabla f)^\theta = \cos 2\theta$. Il quadrato del modulo è $(\nabla f)_i(\nabla f)^i = R^2\sin^2 2\theta + R^2\cos^2 2\theta = R^2$. In coordinate cartesiane $\nabla f = (y,\ x)$ e $|\nabla f|^2 = x^2 + y^2 = R^2$.

Commento: le derivate di una funzione sono componenti covarianti, come diceva già la proposizione su differenziali e derivate. Nella base $\mathbf e_i$ le componenti non hanno tutte le stesse dimensioni: $(\nabla f)_\theta$ ha le dimensioni di $f$, $(\nabla f)_R$ quelle di $f$ diviso una lunghezza. La componente lungo il versore tangente alla circonferenza, $\mathbf e_\theta/R$, è $(\nabla f)_\theta/R = R\cos 2\theta$: quella che si troverebbe con un ragionamento geometrico diretto.