Buchi neri e lunghezza di Planck

Una stella da cui la luce non esce

Nel 1783 John Michell, e poco dopo Pierre-Simon Laplace, si chiesero che cosa succede alla luce, pensata come fatta di corpuscoli, vicino a una stella molto compatta. Se la velocità di fuga dalla superficie supera quella della luce, la luce non si allontana. Il ragionamento newtoniano dà un raggio critico che, per una coincidenza, è esattamente quello che si trova con la relatività generale. Questo articolo dimostra che la soluzione di Schwarzschild risolve le equazioni di Einstein.

Ponendo $v_F = c$ si ottiene il raggio sotto cui una massa $M$ dovrebbe essere compressa perché nemmeno la luce ne esca:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} .$$

Per la Terra è circa $8{,}9$ mm, per il Sole circa $3$ km. Il ragionamento non è corretto, perché la luce non rallenta come un sasso e la gravità di Newton non vale in quelle condizioni. Il raggio che dà è però proprio il raggio di Schwarzschild.

La soluzione di Schwarzschild

Karl Schwarzschild trovò la prima soluzione esatta delle equazioni di Einstein alla fine del 1915, pochi mesi dopo la loro pubblicazione, mentre era al fronte russo; morì nel 1916. Johannes Droste, allievo di Lorentz, la ricavò in modo indipendente. Descrive lo spaziotempo fuori da una massa a simmetria sferica.

Per un teorema di George Birkhoff (1923) è l’unica soluzione del vuoto a simmetria sferica: fuori da una stella lo spaziotempo è questo, anche se la stella pulsa o collassa, purché resti sferica. Lontano dalla massa, $g_{00} = 1 - r_s/r = 1 + 2\Phi/c^2$ con $\Phi = -GM/r$, e si ritrova il limite newtoniano dell’articolo sulle geodetiche.

L’orizzonte

A $r = r_s$ il coefficiente di $dt^2$ si annulla e quello di $dr^2$ diverge. Non è una singolarità dello spaziotempo ma delle coordinate, come il polo per le coordinate polari: Georges Lemaître lo mostrò nel 1933, e nel 1960 Martin Kruskal e George Szekeres trovarono coordinate che coprono la regione interna senza difficoltà. Una grandezza invariante come $R_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma} = 12r_s^2/r^6$ resta finita all’orizzonte e diverge solo in $r = 0$, dove c’è una singolarità vera. La sfera $r = r_s$ ha però un significato fisico preciso.

Per $r$ molto maggiore di $r_s$ è lo spostamento gravitazionale dell’articolo sul tempo e la luce, $f_\infty = f(1 + \Phi/c^2)$. Avvicinandosi all’orizzonte il fattore tende a zero: la luce emessa lì arriva con frequenza nulla, cioè non arriva. La luce che si muove lungo il raggio ha $ds = 0$ con $d\theta = d\varphi = 0$, quindi $dr/dt = \pm c\,(1 - r_s/r)$: nelle coordinate di Schwarzschild rallenta e si ferma all’orizzonte.

Dall’interno dell’orizzonte nessun segnale raggiunge l’esterno: la sfera $r = r_s$ è un orizzonte degli eventi, e un corpo compresso sotto il suo raggio di Schwarzschild è un buco nero. Il nome si diffuse negli anni Sessanta, e John Wheeler contribuì a renderlo popolare. Per decenni le prove furono indirette, a partire dalla sorgente di raggi X Cygnus X-1 nei primi anni Settanta. Poi le orbite delle stelle attorno al centro della Via Lattea hanno rivelato una massa di circa quattro milioni di masse solari concentrata in una regione piccolissima, Sagittarius A*; nel 2015 gli interferometri LIGO hanno misurato le onde gravitazionali della fusione di due buchi neri; nel 2019 e nel 2022 la rete di radiotelescopi Event Horizon Telescope ha ottenuto le immagini dell’ombra dei buchi neri al centro della galassia M87 e della Via Lattea.

La lunghezza di Planck

La relatività ristretta, la relatività generale e la meccanica quantistica hanno ciascuna la sua costante: $c$, $G$ e $\hbar = h/2\pi$. In molti problemi basta una teoria, perché gli effetti delle altre sono trascurabili. La domanda è a quale scala servono tutte e tre.

Per il principio di indeterminazione una particella di massa $m$ confinata in una regione di dimensione $\Delta x$ ha una quantità di moto indeterminata di almeno $\hbar/\Delta x$, e quando questa supera $mc$ l’energia in gioco basta a creare altre particelle. La scala è la lunghezza d’onda Compton ridotta, $\hbar/(mc)$, dell’articolo sugli urti relativistici: sotto di lei relatività ristretta e meccanica quantistica servono insieme, nella teoria quantistica dei campi. La gravità conta quando la dimensione della regione si avvicina al raggio di Schwarzschild della massa, $2Gm/c^2$. Per le particelle ordinarie le due lunghezze sono lontanissime: per un protone la prima è circa $2 \times 10^{-16}$ m, la seconda $2 \times 10^{-54}$ m. Si incontrano per una massa

$$\frac{\hbar}{mc} \sim \frac{Gm}{c^2} \quad\Longrightarrow\quad m \sim \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}, \qquad \frac{\hbar}{mc} \sim \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}},$$

trascurando i fattori numerici, che il ragionamento non fissa.

Alla stessa scala corrispondono la massa di Planck, $\sqrt{\hbar c/G} \approx 2{,}2 \times 10^{-8}$ kg, e il tempo di Planck, $\ell_P/c \approx 5{,}4 \times 10^{-44}$ s. A distanze di questo ordine servirebbe una teoria quantistica della gravità, che non c’è. Le proposte più studiate sono la teoria delle stringhe e la gravità quantistica a loop; nessuna ha finora conferme sperimentali, e le energie corrispondenti, circa $10^{19}$ GeV, sono quindici ordini di grandezza sopra quelle degli acceleratori.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Calcola il raggio di Schwarzschild e la densità media necessaria a formare un buco nero per il Sole e per il buco nero di M87, di circa $6{,}5 \times 10^9$ masse solari. Usa $GM_\odot/c^2 = 1{,}477$ km e $M_\odot = 1{,}989 \times 10^{30}$ kg.

Per il Sole $r_s = 2 \cdot 1{,}477$ km $= 2{,}95$ km, e la densità media dentro quella sfera è $M_\odot/(\tfrac43\pi r_s^3) = 1{,}989 \times 10^{30}/(4{,}19 \cdot 2{,}57 \times 10^{10})$ kg/m³ $\approx 1{,}8 \times 10^{19}$ kg/m³. Per M87, $r_s = 6{,}5 \times 10^9 \cdot 2{,}95$ km $\approx 1{,}9 \times 10^{10}$ km, circa $130$ volte la distanza Terra-Sole. La densità scala come $M/r_s^3 \propto 1/M^2$: $1{,}8 \times 10^{19}/(6{,}5 \times 10^9)^2 \approx 0{,}4$ kg/m³.

Commento: per il Sole servirebbe una densità circa ottanta volte quella dei nuclei atomici; per M87 basta una densità inferiore a quella dell’aria. Non è la densità a fare il buco nero, ma il rapporto tra massa e dimensioni. Per lo stesso motivo le forze di marea all’orizzonte di un buco nero molto grande sono deboli, come nell’esercizio 3 dell’articolo sul principio di equivalenza.

Esercizio 2. Una sorgente ferma a $r = 3r_s$ e una a $r = 1{,}5r_s$ emettono la riga dell’idrogeno a $656{,}3$ nm. A che lunghezza d’onda arrivano lontano?

$\lambda_\infty = \lambda/\sqrt{1 - r_s/r}$. A $3r_s$: $656{,}3/\sqrt{2/3} \approx 803{,}8$ nm, nel vicino infrarosso. A $1{,}5r_s$: $656{,}3/\sqrt{1/3} \approx 1136{,}7$ nm.

Commento: $3r_s$ è l’orbita circolare stabile più interna attorno a un buco nero non rotante, e $1{,}5r_s$ la sfera in cui la luce può girare in orbita. La riga del ferro emessa dai dischi di materia attorno ai buchi neri arriva allargata e spostata proprio da questi effetti, insieme all’effetto Doppler del moto orbitale.

Esercizio 3. Calcola il tempo di coordinata $t$ che un raggio di luce entrante impiega per andare da $r_0$ a $r$, con $r_s < r < r_0$, e mostra che diverge quando $r$ tende a $r_s$.

Da $dr/dt = -c(1 - r_s/r)$, $c\,dt = -r\,dr/(r - r_s) = -\big(1 + r_s/(r - r_s)\big)dr$. Integrando,

$$c\,t = r_0 - r + r_s\ln\frac{r_0 - r_s}{r - r_s} ,$$

che tende all’infinito quando $r \to r_s$.

Commento: $t$ è il tempo di un osservatore lontano, e per lui niente attraversa mai l’orizzonte: la luce, e un corpo che cade, si avvicinano all’orizzonte sempre più lentamente e sempre più spostati verso il rosso. Per chi cade il tempo proprio fino all’orizzonte è finito. Le due descrizioni non si contraddicono: usano coordinate diverse, e la divergenza di $t$ è un difetto delle coordinate di Schwarzschild, lo stesso che fa stringere i coni della figura.