La derivata covariante

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Derivare in coordinate curvilinee

Nell’articolo sui tensori un campo vettoriale costante, scritto in coordinate polari, aveva componenti che cambiano da un punto all’altro. Le derivate delle componenti mescolano due variazioni: quella del vettore e quella della base su cui lo si scompone. In coordinate cartesiane la seconda non c’è. In coordinate curvilinee, che negli spazi curvi non si possono evitare, va tolta, e quello che resta è la derivata covariante. I coefficienti della correzione sono i simboli di Christoffel, e si ricavano dal tensore metrico.

Per brevità $\partial_\lambda$ indica la derivata parziale $\partial/\partial x^\lambda$ .

La derivata delle componenti non è un tensore

Teorema (trasformazione delle derivate di un vettore)

Se $A^\mu$ è un vettore controvariante, le sue derivate si trasformano secondo

\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\nu} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\,\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,\frac{\partial A'^\alpha}{\partial x'^\beta} + \frac{\partial^2 x^\mu}{\partial x'^\alpha\,\partial x'^\beta}\,\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,A'^\alpha .

Sono quindi un tensore misto per ogni vettore solo se le derivate seconde $\partial^2x^\mu/\partial x'^\alpha\partial x'^\beta$ sono nulle, cioè per i cambi di coordinate lineari.

Dimostrazione.

Per la legge dei vettori controvarianti $A^\mu = (\partial x^\mu/\partial x'^\alpha)\,A'^\alpha$ , e per la regola delle funzioni composte $\partial/\partial x^\nu = (\partial x'^\beta/\partial x^\nu)\,\partial/\partial x'^\beta$ . Derivando il prodotto,

\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\nu} = \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\,\frac{\partial A'^\alpha}{\partial x'^\beta} + \frac{\partial^2 x^\mu}{\partial x'^\beta\,\partial x'^\alpha}\,A'^\alpha\right),

che è la formula dell’enunciato. Il primo termine è la legge di un tensore misto. Il secondo è nullo per ogni vettore $A'$ solo se tutte le derivate seconde sono nulle, e allora le $x^\mu$ sono funzioni lineari delle $x'$ .

Fine della dimostrazione.

Le rotazioni e le trasformazioni di Lorentz sono lineari, ed è per questo che in relatività ristretta, con coordinate inerziali, le derivate dei quadrivettori sono tensori. In relatività generale i cambi di coordinate sono qualsiasi, e serve un’altra derivata.

Il differenziale di un vettore

Si lavora prima nello spazio euclideo, dove la variazione di un vettore ha un significato geometrico preciso. Per confrontare i vettori $\mathbf A$ di un campo in due punti vicini si trasla uno dei due, senza cambiarne modulo e direzione, fino a farli partire dallo stesso punto, e se ne fa la differenza. Il risultato, $d\mathbf A$ , non dipende da coordinate o componenti; per un campo costante è nullo. In una base cartesiana, uguale in tutti i punti, $d\mathbf A = dA^\mu\,\mathbf e_\mu$ . In coordinate curvilinee la base locale $\mathbf e_\mu = \partial\mathbf r/\partial x^\mu$ cambia da un punto all’altro, e derivando il prodotto $\mathbf A = A^\mu\mathbf e_\mu$ compare un secondo termine:

d\mathbf A = dA^\mu\,\mathbf e_\mu + A^\mu\,d\mathbf e_\mu .

Definizione (simboli di Christoffel nello spazio euclideo)

I simboli di Christoffel $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ sono le componenti, sulla base locale, delle derivate dei vettori della base:

\partial_\lambda\mathbf e_\nu = \Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\mathbf e_\mu .

Proposizione (proprietà dei simboli di Christoffel)

$\Gamma^\mu_{\nu\lambda} = \mathbf e^\mu\cdot\partial_\lambda\mathbf e_\nu$ , e i simboli sono simmetrici negli indici in basso: $\Gamma^\mu_{\nu\lambda} = \Gamma^\mu_{\lambda\nu}$ .

Dimostrazione.

La prima uguaglianza è la regola delle componenti controvarianti, $A^\mu = \mathbf A\cdot\mathbf e^\mu$ , applicata al vettore $\partial_\lambda\mathbf e_\nu$ . Per la seconda, $\partial_\lambda\mathbf e_\nu = \partial^2\mathbf r/\partial x^\lambda\partial x^\nu$ , che per il teorema di Schwarz sulle derivate miste è uguale a $\partial_\nu\mathbf e_\lambda$ ; le componenti di vettori uguali sono uguali.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (derivata covariante nello spazio euclideo)

La derivata $\partial_\lambda\mathbf A$ del campo vettoriale $\mathbf A$ ha componenti controvarianti e covarianti

A^\mu{}_{;\lambda} = \partial_\lambda A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,A^\nu, \qquad A_{\mu;\lambda} = \partial_\lambda A_\mu - \Gamma^\nu_{\mu\lambda}\,A_\nu ,

che formano tensori misti di rango due, detti derivate covarianti di $\mathbf A$ .

Dimostrazione.

Derivando $\mathbf A = A^\nu\mathbf e_\nu$ si ha $\partial_\lambda\mathbf A = (\partial_\lambda A^\nu)\,\mathbf e_\nu + A^\nu\,\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\mathbf e_\mu = (\partial_\lambda A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu)\,\mathbf e_\mu$ , e le componenti rispetto a una base sono uniche. Per le componenti covarianti, $A_\mu = \mathbf A\cdot\mathbf e_\mu$ e quindi $\partial_\lambda A_\mu = (\partial_\lambda\mathbf A)\cdot\mathbf e_\mu + \mathbf A\cdot\Gamma^\nu_{\mu\lambda}\mathbf e_\nu$ : la componente covariante di $\partial_\lambda\mathbf A$ è $\partial_\lambda A_\mu - \Gamma^\nu_{\mu\lambda}A_\nu$ .

Per l’indice $\mu$ sono componenti del vettore $\partial_\lambda\mathbf A$ , quindi si trasformano come componenti controvarianti e covarianti. Per l’indice $\lambda$ , la regola delle funzioni composte dà $\partial\mathbf A/\partial x'^\lambda = (\partial x^\nu/\partial x'^\lambda)\,\partial\mathbf A/\partial x^\nu$ , che è la legge covariante.

Fine della dimostrazione.

Il simbolo $A^\mu{}_{;\lambda}$ , con il punto e virgola, è la notazione abituale. La variazione del vettore tra due punti vicini ha componenti $DA^\mu = A^\mu{}_{;\lambda}\,dx^\lambda = dA^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu dx^\lambda$ : la variazione $dA^\mu$ delle componenti, meno il contributo $-\Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu dx^\lambda$ dovuto alla base che cambia.

Definizione (trasporto parallelo)

Un vettore è trasportato parallelamente lungo uno spostamento $dx^\lambda$ quando la sua variazione è nulla, $DA^\mu = 0$ , cioè quando le sue componenti cambiano solo per effetto della base:

dA^\mu = -\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,A^\nu\,dx^\lambda .

Nello spazio euclideo è la traslazione rigida. Negli spazi curvi, dove la traslazione non ha senso, sarà questa formula a definire il trasporto parallelo.

Le coordinate polari sono l’esempio più semplice. Da $\mathbf e_r = (\cos\theta,\ \sin\theta)$ ed $\mathbf e_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta)$ ,

\partial_r\mathbf e_r = \mathbf 0, \qquad \partial_\theta\mathbf e_r = \partial_r\mathbf e_\theta = (-\sin\theta,\ \cos\theta) = \frac1r\,\mathbf e_\theta, \qquad \partial_\theta\mathbf e_\theta = (-r\cos\theta,\ -r\sin\theta) = -r\,\mathbf e_r ,

quindi gli unici simboli non nulli sono $\Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = 1/r$ e $\Gamma^r_{\theta\theta} = -r$ .

Il vettore di base $\mathbf e_\theta$ in due punti alla stessa distanza $r$ dal polo, agli angoli $\theta$ e $\theta + \Delta\theta$ , con $\Delta\theta$ esagerato. Il secondo vettore, riportato nel primo punto e tratteggiato, differisce dal primo per $\Delta\mathbf e_\theta$ , in arancione, diretto verso il polo. Per $\Delta\theta$ piccolo $\Delta\mathbf e_\theta \approx -r\,\Delta\theta\,\mathbf e_r$ , cioè $\partial_\theta\mathbf e_\theta = -r\,\mathbf e_r$ e $\Gamma^r_{\theta\theta} = -r$ .

Per il campo costante dell’articolo sui tensori, $A^r = A_x\cos\theta + A_y\sin\theta$ e $A^\theta = (-A_x\sin\theta + A_y\cos\theta)/r$ , le derivate covarianti sono tutte nulle, come devono:

A^r{}_{;\theta} = \partial_\theta A^r + \Gamma^r_{\theta\theta}A^\theta = (-A_x\sin\theta + A_y\cos\theta) - r\cdot\frac{-A_x\sin\theta + A_y\cos\theta}{r} = 0,

A^\theta{}_{;\theta} = \partial_\theta A^\theta + \Gamma^\theta_{r\theta}A^r = \frac{-A_x\cos\theta - A_y\sin\theta}{r} + \frac{A_x\cos\theta + A_y\sin\theta}{r} = 0,

$A^r{}_{;r} = \partial_r A^r = 0$ e $A^\theta{}_{;r} = \partial_r A^\theta + \Gamma^\theta_{\theta r}A^\theta = -A^\theta/r + A^\theta/r = 0$ .

I simboli di Christoffel e il tensore metrico

Proposizione (la derivata covariante del tensore metrico è nulla)

Nello spazio euclideo, per il tensore metrico $g_{\mu\nu} = \mathbf e_\mu\cdot\mathbf e_\nu$ ,

g_{\mu\nu;\lambda} = \partial_\lambda g_{\mu\nu} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\,g_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\,g_{\mu\rho} = 0 .

Dimostrazione.

$\partial_\lambda g_{\mu\nu} = (\partial_\lambda\mathbf e_\mu)\cdot\mathbf e_\nu + \mathbf e_\mu\cdot(\partial_\lambda\mathbf e_\nu) = \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\,\mathbf e_\rho\cdot\mathbf e_\nu + \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\,\mathbf e_\mu\cdot\mathbf e_\rho = \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\,g_{\rho\nu} + \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\,g_{\mu\rho}$ .

Fine della dimostrazione.

L’espressione $\partial_\lambda g_{\mu\nu} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda}g_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}g_{\mu\rho}$ è la derivata covariante di un tensore covariante di rango due, con un termine di correzione per ciascun indice, come per le componenti covarianti di un vettore. Da questa proprietà i simboli di Christoffel si ricavano senza più guardare i vettori di base.

Teorema (simboli di Christoffel dal tensore metrico)

\Gamma^\mu_{\nu\lambda} = \frac12\,g^{\mu\rho}\left(\partial_\nu g_{\rho\lambda} + \partial_\lambda g_{\rho\nu} - \partial_\rho g_{\nu\lambda}\right).

Dimostrazione.

Si pone $\Gamma_{\rho\nu\lambda} = g_{\rho\sigma}\Gamma^\sigma_{\nu\lambda}$ , simmetrico in $\nu$ e $\lambda$ . La proposizione precedente si scrive $\partial_\lambda g_{\rho\nu} = \Gamma_{\nu\rho\lambda} + \Gamma_{\rho\nu\lambda}$ , per la simmetria di $g$ . Scambiando gli indici,

\partial_\nu g_{\rho\lambda} = \Gamma_{\lambda\rho\nu} + \Gamma_{\rho\lambda\nu}, \qquad \partial_\rho g_{\nu\lambda} = \Gamma_{\lambda\nu\rho} + \Gamma_{\nu\lambda\rho} .

Sommando le prime due uguaglianze e sottraendo la terza, e usando la simmetria negli ultimi due indici ( $\Gamma_{\lambda\rho\nu} = \Gamma_{\lambda\nu\rho}$ , $\Gamma_{\nu\rho\lambda} = \Gamma_{\nu\lambda\rho}$ , $\Gamma_{\rho\lambda\nu} = \Gamma_{\rho\nu\lambda}$ ), restano $\partial_\nu g_{\rho\lambda} + \partial_\lambda g_{\rho\nu} - \partial_\rho g_{\nu\lambda} = 2\,\Gamma_{\rho\nu\lambda}$ . Moltiplicando per $\tfrac12 g^{\mu\rho}$ , e ricordando che $g^{\mu\rho}g_{\rho\sigma} = \delta^\mu_\sigma$ , si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

Il fattore $g^{\mu\rho}$ non va dimenticato. Senza, e con l’indice $\mu$ al posto di $\rho$ tra le derivate, la formula dà i simboli con tutti gli indici in basso, $\Gamma_{\mu\nu\lambda}$ , che coincidono con $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ solo quando il tensore metrico è l’identità. In coordinate polari, con $g_{rr} = 1$ e $g_{\theta\theta} = r^2$ , la formula ridà $\Gamma^r_{\theta\theta} = \tfrac12 g^{rr}(-\partial_r g_{\theta\theta}) = -r$ e $\Gamma^\theta_{r\theta} = \tfrac12 g^{\theta\theta}\,\partial_r g_{\theta\theta} = \tfrac12\cdot r^{-2}\cdot 2r = 1/r$ .

Per la simmetria negli indici in basso, in $n$ dimensioni i simboli indipendenti sono $n \cdot n(n + 1)/2$ : in quattro dimensioni $4 \cdot 10 = 40$ . Non formano un tensore: in coordinate cartesiane sono tutti nulli, in coordinate polari no, e un tensore nullo in un sistema di coordinate è nullo in tutti.

Spazi qualsiasi

In uno spazio curvo che non si pensa immerso in uno spazio più grande, come lo spaziotempo, non ci sono vettori $\mathbf e_\mu$ da derivare. C’è però il tensore metrico, e il teorema precedente diventa la definizione: i simboli di Christoffel sono dati dalla formula, e le derivate covarianti dalle stesse espressioni dello spazio euclideo. Resta da verificare che le proprietà dimostrate con i vettori di base continuino a valere.

Teorema (legge di trasformazione dei simboli di Christoffel)

Con i simboli definiti dal tensore metrico,

\Gamma'^\mu_{\nu\lambda} = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\,\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\,\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\lambda}\,\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\,\frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial x'^\nu\,\partial x'^\lambda} .

Dimostrazione.

Si scrive $J^\alpha_\nu = \partial x^\alpha/\partial x'^\nu$ e $J^\alpha_{\nu\lambda} = \partial^2 x^\alpha/\partial x'^\nu\partial x'^\lambda$ , simmetrico in $\nu$ e $\lambda$ , e $\partial'_\lambda$ per $\partial/\partial x'^\lambda$ . Dalla legge del tensore metrico, $g'_{\rho\nu} = J^\alpha_\rho J^\beta_\nu\,g_{\alpha\beta}$ , derivando si ha

\partial'_\lambda g'_{\rho\nu} = J^\alpha_{\rho\lambda}J^\beta_\nu\,g_{\alpha\beta} + J^\alpha_\rho J^\beta_{\nu\lambda}\,g_{\alpha\beta} + J^\alpha_\rho J^\beta_\nu J^\gamma_\lambda\,\partial_\gamma g_{\alpha\beta} .

Si formano $\Gamma'_{\rho\nu\lambda} = \tfrac12(\partial'_\nu g'_{\rho\lambda} + \partial'_\lambda g'_{\rho\nu} - \partial'_\rho g'_{\nu\lambda})$ . I termini con le derivate prime di $g$ , rinominando gli indici sommati, danno $J^\alpha_\rho J^\beta_\nu J^\gamma_\lambda\,\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$ . Tra i sei termini con le derivate seconde, $J^\alpha_{\rho\nu}J^\beta_\lambda g_{\alpha\beta}$ , che viene da $\partial'_\nu g'_{\rho\lambda}$ , si elide con $-J^\alpha_{\nu\rho}J^\beta_\lambda g_{\alpha\beta}$ , che viene da $-\partial'_\rho g'_{\nu\lambda}$ ; $J^\alpha_{\rho\lambda}J^\beta_\nu g_{\alpha\beta}$ si elide con $-J^\alpha_\nu J^\beta_{\lambda\rho}g_{\alpha\beta}$ per la simmetria di $g$ ; restano due copie di $J^\alpha_\rho J^\beta_{\nu\lambda}g_{\alpha\beta}$ . Quindi

\Gamma'_{\rho\nu\lambda} = J^\alpha_\rho J^\beta_\nu J^\gamma_\lambda\,\Gamma_{\alpha\beta\gamma} + J^\alpha_\rho J^\beta_{\nu\lambda}\,g_{\alpha\beta} .

Infine $\Gamma'^\mu_{\nu\lambda} = g'^{\mu\rho}\Gamma'_{\rho\nu\lambda}$ , con $g'^{\mu\rho} = K^\mu_\sigma K^\rho_\tau\,g^{\sigma\tau}$ e $K^\mu_\sigma = \partial x'^\mu/\partial x^\sigma$ . Poiché $K^\rho_\tau J^\alpha_\rho = \delta^\alpha_\tau$ , si ha $g'^{\mu\rho}J^\alpha_\rho = K^\mu_\sigma g^{\sigma\alpha}$ . Il primo termine diventa $K^\mu_\sigma\,J^\beta_\nu J^\gamma_\lambda\,g^{\sigma\alpha}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} = K^\mu_\sigma J^\beta_\nu J^\gamma_\lambda\,\Gamma^\sigma_{\beta\gamma}$ , il secondo $K^\mu_\sigma\,g^{\sigma\alpha}g_{\alpha\beta}\,J^\beta_{\nu\lambda} = K^\mu_\beta\,J^\beta_{\nu\lambda}$ . È la formula dell’enunciato.

Fine della dimostrazione.

Il secondo termine, quello che impedisce ai simboli di essere un tensore, ha la stessa forma di quello che impedisce alle derivate dei vettori di esserlo. Le due imperfezioni si compensano.

Corollario (la derivata covariante è un tensore)

In ogni spazio con un tensore metrico, $A^\mu{}_{;\lambda} = \partial_\lambda A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu$ è un tensore misto di rango due.

Dimostrazione.

Si calcola $A'^\mu{}_{;\lambda}$ con $A'^\mu = K^\mu_\alpha A^\alpha$ . Per il teorema sulle derivate dei vettori, scritto scambiando i ruoli dei due sistemi,

\partial'_\lambda A'^\mu = K^\mu_\alpha J^\gamma_\lambda\,\partial_\gamma A^\alpha + \frac{\partial^2 x'^\mu}{\partial x^\delta\,\partial x^\gamma}\,J^\gamma_\lambda\,A^\delta .

Per il teorema sui simboli, con $A'^\nu = K^\nu_\delta A^\delta$ e $J^\beta_\nu K^\nu_\delta = \delta^\beta_\delta$ ,

\Gamma'^\mu_{\nu\lambda}A'^\nu = K^\mu_\alpha J^\gamma_\lambda\,\Gamma^\alpha_{\delta\gamma}A^\delta + K^\mu_\alpha\,J^\alpha_{\nu\lambda}K^\nu_\delta\,A^\delta .

Sommando, i primi termini danno $K^\mu_\alpha J^\gamma_\lambda\,A^\alpha{}_{;\gamma}$ , la legge di un tensore misto. I secondi si elidono: derivando rispetto a $x'^\lambda$ l’identità $K^\mu_\alpha J^\alpha_\nu = \delta^\mu_\nu$ si ottiene $(\partial^2x'^\mu/\partial x^\alpha\partial x^\gamma)\,J^\gamma_\lambda J^\alpha_\nu + K^\mu_\alpha J^\alpha_{\nu\lambda} = 0$ , e moltiplicando per $K^\nu_\delta$ si ha proprio $(\partial^2x'^\mu/\partial x^\delta\partial x^\gamma)\,J^\gamma_\lambda + K^\mu_\alpha J^\alpha_{\nu\lambda}K^\nu_\delta = 0$ .

Fine della dimostrazione.

Allo stesso modo sono tensori $A_{\mu;\lambda} = \partial_\lambda A_\mu - \Gamma^\nu_{\mu\lambda}A_\nu$ e le derivate covarianti dei tensori di rango più alto, che hanno un termine di correzione per ciascun indice, con il segno più per gli indici in alto e il meno per quelli in basso:

T^{\mu\nu}{}_{;\lambda} = \partial_\lambda T^{\mu\nu} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}T^{\rho\nu} + \Gamma^\nu_{\rho\lambda}T^{\mu\rho}, \qquad T_{\mu\nu;\lambda} = \partial_\lambda T_{\mu\nu} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda}T_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}T_{\mu\rho} .

La verifica è la stessa del corollario, ripetuta indice per indice. La derivata covariante di uno scalare è la derivata ordinaria.

Proposizione (il trasporto parallelo conserva i prodotti scalari)

In ogni spazio con un tensore metrico $g_{\mu\nu;\lambda} = 0$ . Di conseguenza, se due vettori $A^\mu$ e $B^\mu$ sono trasportati parallelamente lungo lo stesso spostamento, il loro prodotto scalare $g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu$ non cambia, e con esso le lunghezze e gli angoli.

Dimostrazione.

Con i simboli di prima specie $\Gamma_{\nu\mu\lambda} = g_{\nu\rho}\Gamma^\rho_{\mu\lambda}$ , si ha $g_{\mu\nu;\lambda} = \partial_\lambda g_{\mu\nu} - \Gamma_{\nu\mu\lambda} - \Gamma_{\mu\nu\lambda}$ . Dalla formula del teorema, $\Gamma_{\nu\mu\lambda} = \tfrac12(\partial_\mu g_{\nu\lambda} + \partial_\lambda g_{\nu\mu} - \partial_\nu g_{\mu\lambda})$ e $\Gamma_{\mu\nu\lambda} = \tfrac12(\partial_\nu g_{\mu\lambda} + \partial_\lambda g_{\mu\nu} - \partial_\mu g_{\nu\lambda})$ ; la somma è $\partial_\lambda g_{\mu\nu}$ , e $g_{\mu\nu;\lambda} = 0$ .

Per il prodotto scalare, con $dA^\mu = -\Gamma^\mu_{\rho\lambda}A^\rho dx^\lambda$ e $dB^\nu = -\Gamma^\nu_{\rho\lambda}B^\rho dx^\lambda$ ,

d\big(g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\big) = \partial_\lambda g_{\mu\nu}\,dx^\lambda A^\mu B^\nu + g_{\mu\nu}\,dA^\mu\,B^\nu + g_{\mu\nu}A^\mu\,dB^\nu = \big(\partial_\lambda g_{\mu\nu} - g_{\rho\nu}\Gamma^\rho_{\mu\lambda} - g_{\mu\rho}\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\big)A^\mu B^\nu dx^\lambda ,

dove negli ultimi due termini si sono rinominati gli indici sommati. La parentesi è $g_{\mu\nu;\lambda} = 0$ .

Fine della dimostrazione.

C’è anche un altro modo di giustificare $g_{\mu\nu;\lambda} = 0$ : attorno a ogni punto si possono scegliere coordinate in cui il tensore metrico è l’identità e le sue derivate prime sono nulle, quindi lì la derivata covariante di $g$ è nulla, e un tensore nullo in un sistema lo è in tutti. L’argomento è corretto, ma che quelle coordinate esistano è un teorema a sé. E a essere nulla in ogni sistema di coordinate è la derivata covariante del tensore metrico, non quella ordinaria, che in coordinate polari non è nulla.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Calcola i simboli di Christoffel della sfera di raggio $R$ nelle coordinate $(\Phi, \theta)$ , colatitudine e longitudine, con $g_{\Phi\Phi} = R^2$ e $g_{\theta\theta} = R^2\sin^2\Phi$ .

L’unica derivata non nulla del tensore metrico è $\partial_\Phi g_{\theta\theta} = 2R^2\sin\Phi\cos\Phi$ , e il tensore metrico è diagonale, con $g^{\Phi\Phi} = 1/R^2$ e $g^{\theta\theta} = 1/(R^2\sin^2\Phi)$ . Allora

\Gamma^\Phi_{\theta\theta} = \frac12\,g^{\Phi\Phi}\left(-\partial_\Phi g_{\theta\theta}\right) = -\sin\Phi\cos\Phi, \qquad \Gamma^\theta_{\Phi\theta} = \Gamma^\theta_{\theta\Phi} = \frac12\,g^{\theta\theta}\,\partial_\Phi g_{\theta\theta} = \frac{\cos\Phi}{\sin\Phi} ,

e gli altri simboli sono nulli.

Commento: con un tensore metrico diagonale la formula si semplifica molto, perché $g^{\mu\rho}$ è non nullo solo per $\rho = \mu$ . Conviene cercare prima le derivate non nulle di $g$ e poi chiedersi in quali simboli compaiono. $R$ sparisce: i simboli dipendono dalla forma delle coordinate, non dalla scala. Questi simboli serviranno per le geodetiche della sfera, nel prossimo articolo.

Esercizio 2. Scrivi la divergenza $A^\mu{}_{;\mu}$ di un campo vettoriale in coordinate polari, prima con le componenti controvarianti e poi con quelle fisiche $A_{(r)} = A^r$ e $A_{(\theta)} = rA^\theta$ .

$A^\mu{}_{;\mu} = \partial_\mu A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\mu}A^\nu$ . Le somme dei simboli sono $\Gamma^\mu_{r\mu} = \Gamma^r_{rr} + \Gamma^\theta_{r\theta} = 1/r$ e $\Gamma^\mu_{\theta\mu} = \Gamma^r_{\theta r} + \Gamma^\theta_{\theta\theta} = 0$ . Quindi

A^\mu{}_{;\mu} = \partial_r A^r + \partial_\theta A^\theta + \frac{A^r}{r} = \frac1r\,\partial_r\big(rA_{(r)}\big) + \frac1r\,\partial_\theta A_{(\theta)} .

Commento: è la formula della divergenza in coordinate polari dei manuali di analisi, ottenuta senza disegnare nessun volumetto. La contrazione di un tensore misto è uno scalare, quindi la divergenza ha lo stesso valore in ogni sistema di coordinate. Il termine $A^r/r$ è quello che dimentica chi deriva solo le componenti.

Esercizio 3. Verifica che per un vettore covariante $A_\mu$ e uno controvariante $B^\mu$ vale $A_{\mu;\lambda}B^\mu + A_\mu B^\mu{}_{;\lambda} = \partial_\lambda(A_\mu B^\mu)$ .

A_{\mu;\lambda}B^\mu + A_\mu B^\mu{}_{;\lambda} = \partial_\lambda A_\mu\,B^\mu - \Gamma^\nu_{\mu\lambda}A_\nu B^\mu + A_\mu\,\partial_\lambda B^\mu + A_\mu\Gamma^\mu_{\nu\lambda}B^\nu .

Nel quarto termine si scambiano i nomi degli indici sommati $\mu$ e $\nu$ : diventa $A_\nu\Gamma^\nu_{\mu\lambda}B^\mu$ ed elide il secondo. Resta $\partial_\lambda A_\mu\,B^\mu + A_\mu\,\partial_\lambda B^\mu = \partial_\lambda(A_\mu B^\mu)$ .

Commento: la derivata covariante rispetta la regola del prodotto, e sullo scalare $A_\mu B^\mu$ coincide con la derivata ordinaria. È il motivo dei segni opposti nelle correzioni per gli indici in alto e in basso: con lo stesso segno le correzioni si sommerebbero invece di elidersi.

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