Filtrare il rumore bianco

Il recupero del segnale

Nella catena di acquisizione dell’introduzione, dopo il sensore e l’amplificatore c’è un filtro, e poi il convertitore. L’amplificatore porta il segnale a un livello utile, ma non migliora il rapporto segnale-rumore: al più lo conserva, e di solito lo peggiora un poco, come visto nell’articolo precedente. Migliorarlo è il compito del filtro, che deve togliere il più possibile di ciò che è rumore lasciando il segnale. Come farlo dipende da che cosa si misura e da che rumore c’è, e i casi sono quattro:

• un segnale lento, costante o quasi, in un rumore bianco: è l’argomento di questo articolo;
• un segnale veloce, un impulso di forma nota, in un rumore bianco: gli articoli successivi, dall’integratore a finestra al filtro ottimo;
• un segnale veloce in un rumore a bassa frequenza, soprattutto $1/f$: i filtri passa-alto e il doppio campionamento;
• un segnale lento in un rumore a bassa frequenza: la modulazione, la rivelazione sincrona e l’amplificatore lock-in.

Per un segnale costante in un rumore bianco l’idea è fare la media. Il rumore ha media nulla, e in un processo ergodico la media nel tempo di una realizzazione tende alla media sull’insieme: mediando segnale più rumore su un tempo lungo il rumore si cancella e il segnale resta. Ogni filtro lineare che lascia passare la continua con guadagno $1$ fa una media di questo tipo. La sua uscita è $y(t) = \int x(u)\,w(u)\,du$, con la funzione peso $w(u) = h(t - u)$, e l’area della funzione peso è $H(0) = 1$. I filtri si distinguono per come pesano il passato.

Il filtro RC, una media esponenziale

Il filtro RC passa-basso ha risposta all’impulso $h(t) = e^{-t/T}/T$ per $t \ge 0$, con $T = RC$. Con un gradino di ampiezza $A$ all’ingresso, a partire da $t = 0$, la convoluzione dà

$$y(t) = \int_0^t A\,\frac{e^{-(t - u)/T}}{T}\,du = A\left(1 - e^{-t/T}\right) .$$

Letta con la funzione peso, l’uscita all’istante $t$ è l’area dell’esponenziale che finisce in $t$, limitata alla parte in cui il gradino è già arrivato: all’inizio l’esponenziale pesa soprattutto lo zero di prima del gradino, poi sempre più il valore $A$. Il filtro ha una memoria esponenziale, che pesa di più il passato recente.

La varianza scende come $1/T$: più lunga è la media, meno rumore resta. Ma il rumore all’uscita non è più bianco. I suoi valori sono medie dello stesso ingresso su intervalli che si sovrappongono, e restano simili tra loro per un tempo dell’ordine di $T$: l’uscita è un rumore «colorato», con l’autocorrelazione esponenziale già incontrata negli esercizi dell’articolo sui segnali. Nel dominio delle frequenze la densità all’uscita è $S/[1 + (2\pi fT)^2]$, e la varianza è $S\,B_n$ con la banda equivalente di rumore $B_n = (\pi/2)f_p = 1/4T$. La banda del segnale, quella a $-3$ dB, è $f_p = 1/2\pi T$: la banda del rumore è più larga del $57\%$.

Quanto migliora il rapporto segnale-rumore

Con un rumore davvero bianco il conto non si può fare: la sua varianza è infinita, e il rapporto segnale-rumore all’ingresso è zero. I rumori reali sono bianchi solo fino a frequenze dell’ordine di $1/\tau_0$, con $\tau_0$ il loro tempo di correlazione, e hanno varianza finita. Come nell’articolo sui segnali, un rumore quasi bianco ha densità unilatera $S$ a bassa frequenza, autocorrelazione nulla per $|\tau| > \tau_0$ e varianza $\sigma_x^2 = S\,f_n$, con $f_n = 1/2\tau_0$.

Il numero $2T/\tau_0$ si legge come il numero di campioni indipendenti di rumore che il filtro mette nella media: il miglioramento è la sua radice, come per la media di $N$ misure. Nel dominio delle frequenze è la radice del rapporto tra la banda del rumore all’ingresso e quella che il filtro lascia passare.

Il prezzo del miglioramento è il tempo. Dopo un gradino l’uscita arriva entro una frazione $\varepsilon$ del valore finale dopo $T\ln(1/\varepsilon)$: $4{,}6\,T$ per l’$1\%$, $6{,}9\,T$ per l’$1$ per mille. Il rapporto segnale-rumore cresce come $\sqrt T$, e quindi come la radice del tempo di misura: per un rapporto dieci volte migliore la misura deve durare cento volte di più. È una legge che vale per ogni filtro, con il rumore bianco; cambiando filtro si può migliorare solo la costante.

La media su una finestra

Il filtro RC non dimentica mai del tutto il passato, e dà agli istanti recenti più peso che a quelli di poco prima. L’altro modo naturale di fare la media è la media mobile: l’uscita è la media dell’ingresso sull’ultima finestra di durata $T_w$,

$$y(t) = \frac{1}{T_w}\int_{t - T_w}^{t} x(u)\,du ,$$

un filtro lineare e tempo-invariante con risposta all’impulso rettangolare, $h(t) = 1/T_w$ per $0 \le t < T_w$ e zero altrove.

A parità di rumore, cioè con $T_w = 2T$, la finestra ha due vantaggi sul filtro RC. Dopo un gradino arriva al valore finale in $T_w$, esattamente e in modo lineare, mentre il filtro RC arriva all’$1\%$ solo dopo $4{,}6\,T = 2{,}3\,T_w$. E ha gli zeri: un disturbo a una frequenza multipla di $1/T_w$ scompare del tutto. Per questo i multimetri e i convertitori a integrazione mediano su un numero intero di periodi della rete, $20$ ms a $50$ Hz; nei datasheet il tempo di integrazione si esprime in NPLC, number of power line cycles.

La media uniforme non è solo comoda: per un segnale costante è la migliore possibile.

La proposizione non chiede che la misura venga da un filtro tempo-invariante: vale anche per un circuito che integra l’ingresso solo mentre un interruttore è chiuso, l’argomento del prossimo articolo. Dice anche perché il filtro RC non è il migliore: una parte del tempo di misura la spende su pesi piccoli, che contano poco per il segnale ma lasciano passare rumore. Il risultato vale per un segnale costante in un rumore bianco. Se il segnale ha una forma, per esempio un impulso, o se il rumore non è bianco, il peso migliore è un altro, e trovarlo è il problema del filtro ottimo.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un rumore bianco di $10$ nV/√Hz attraversa un filtro RC con $T = 1$ ms. Quanto vale il rumore all’uscita? Quanto tempo serve perché, dopo un gradino, l’uscita arrivi all’$1$ per mille del valore finale? Quale finestra dà lo stesso rumore?

Soluzione. $\sigma_y = \sqrt{S/4T} = \sqrt{10^{-16}/4\times10^{-3}} = 158$ nV. L’uscita arriva all’$1$ per mille dopo $T\ln1000 = 6{,}9$ ms. La finestra con lo stesso rumore è lunga $T_w = 2T = 2$ ms, e dopo un gradino dà il valore esatto in $2$ ms.

Commento. Lo stesso numero si ottiene con la banda equivalente, $10\ \text{nV}\cdot\sqrt{250\ \text{Hz}}$. Per una misura che si ripete a ogni cambiamento del segnale, la finestra dà più misure al secondo con lo stesso rumore.

Esercizio 2. Un segnale costante di $1$ μV arriva con un rumore di $100$ nV/√Hz, bianco fino a $f_n = 1$ MHz. Quale filtro RC porta il rapporto segnale-rumore a $10$? Quanto dura la misura?

Soluzione. All’ingresso il rumore efficace è $\sqrt{Sf_n} = \sqrt{10^{-14}\cdot10^6} = 100$ μV, e il rapporto segnale-rumore è $0{,}01$: serve un miglioramento di $1000$. Da $\sqrt{f_n/B_n} = 1000$ si ha $B_n = 1$ Hz, cioè $T = 1/4B_n = 0{,}25$ s; si verifica che il rumore all’uscita è $\sqrt{10^{-14}/1} = 0{,}1$ μV. Per arrivare all’$1\%$ del valore finale servono $4{,}6\,T = 1{,}15$ s.

Commento. Un segnale cento volte più piccolo del rumore si misura con il $10\%$ di incertezza in poco più di un secondo. Con una finestra di $0{,}5$ s, che ha lo stesso rumore, basterebbe mezzo secondo. Se però il rumore a bassa frequenza non è bianco, per esempio $1/f$ sotto qualche hertz, allungare la media smette di funzionare: è il problema degli ultimi articoli del percorso.

Esercizio 3. Un multimetro integra la tensione su $20$ ms, un periodo della rete a $50$ Hz. Di quanto attenua un disturbo a $50$ Hz, a $49{,}5$ Hz e a $60$ Hz? E un filtro RC con lo stesso rumore?

Soluzione. $|H| = |\text{sinc}(fT_w)|$: a $50$ Hz $\text{sinc}(1) = 0$; a $49{,}5$ Hz $|\sin(0{,}99\pi)|/0{,}99\pi = 0{,}0101$, cioè $-40$ dB; a $60$ Hz $|\sin(1{,}2\pi)|/1{,}2\pi = 0{,}156$, cioè $-16$ dB. Il filtro RC con lo stesso rumore ha $T = 10$ ms, e $1/\sqrt{1 + (2\pi fT)^2}$ vale $0{,}30$ a $50$ Hz ($-10$ dB) e $0{,}26$ a $60$ Hz ($-12$ dB).

Commento. Lo zero è stretto: basta che la rete si sposti dell’$1\%$ perché l’attenuazione scenda a $40$ dB, che resta comunque molto più dei $10$ dB del filtro RC. Nei paesi con la rete a $60$ Hz si integra su $16{,}7$ ms, e integrando su $100$ ms si annullano insieme $50$ e $60$ Hz.

Esercizio 4. Un filtro RC con $T = 1$ s legge un segnale costante, e la lettura si fa $4{,}6$ s dopo l’inizio, quando il transitorio è all’$1\%$. Quanto rumore in più c’è rispetto alla media uniforme sugli stessi $4{,}6$ s?

Soluzione. Il filtro RC lascia $S/4T = S/4$; la media uniforme, per la proposizione, $S/2T_m = S/9{,}2$. Il rapporto dei valori efficaci è $\sqrt{9{,}2/4} = 1{,}52$.

Commento. A parità di tempo il filtro RC ha il $52\%$ di rumore in più, e in più l’$1\%$ di errore sul segnale. Per ottenere lo stesso rumore della media uniforme servirebbe un tempo di misura $2{,}3$ volte più lungo.

Esercizio 5. Si campiona l’uscita di un filtro RC ogni $\Delta$ e si fa la media di $N$ campioni. Quanto vale la varianza della media, per $N$ grande? Che cosa succede con $\Delta \ll T$?

Soluzione. Due campioni distanti $k\Delta$ hanno correlazione $\sigma_y^2\rho^k$, con $\rho = e^{-\Delta/T}$ e $\sigma_y^2 = S/4T$. La varianza della media è

$$\frac{\sigma_y^2}{N^2}\sum_{i,j}\rho^{|i - j|} = \frac{\sigma_y^2}{N^2}\left[N + 2\sum_{k=1}^{N-1}(N - k)\,\rho^k\right] \simeq \frac{\sigma_y^2}{N}\,\frac{1 + \rho}{1 - \rho} ,$$

perché per $N$ grande la somma è circa $N\rho/(1 - \rho)$. Con $\Delta = T$ il fattore è $2{,}16$, con $\Delta = 3T$ è $1{,}10$. Con $\Delta \ll T$ si ha $1 - \rho \simeq \Delta/T$, il fattore è circa $2T/\Delta$, e la varianza diventa $(S/4T)(2T/N\Delta) = S/2N\Delta$.

Commento. Campioni presi più fitti di $T$ non sono indipendenti, e mediarli non riduce il rumore come $1/N$. Nel limite di campioni fittissimi il risultato, $S/2N\Delta$, è quello della media uniforme su tutto il tempo $N\Delta$: il filtro RC davanti non conta più, perché la media sui campioni fa da sola il lavoro della finestra.