Segnali e sistemi elettronici

Segnali elettrici

Un segnale è una grandezza fisica a cui si attribuisce un significato, un’informazione. Se la grandezza è una tensione, una corrente o una carica, il segnale è elettrico. La tensione di un sensore di temperatura è un segnale; la carica di una batteria no, perché di lei interessa l’energia e non un’informazione.

L’informazione si associa a una grandezza elettrica in due modi principali. In un segnale analogico l’informazione è l’ampiezza stessa, istante per istante, e varia con continuità: la tensione di un microfono segue la pressione dell’aria. In un segnale digitale l’ampiezza conta solo rispetto a una soglia: sopra la soglia il simbolo è $1$, sotto è $0$. La grandezza elettrica resta continua; è la sua lettura a essere discreta. Di solito si discretizza anche il tempo: il segnale si legge solo a istanti multipli di un periodo $T$, il periodo di clock, e un’informazione complessa diventa una sequenza di simboli.

Tutti i circuiti sono soggetti a rumore, fluttuazioni casuali di tensioni e correnti dovute per esempio all’agitazione termica dei portatori di carica, e a disturbi, segnali indesiderati che arrivano da fuori, come quelli indotti da un motore che si accende. Su un segnale analogico rumore e disturbi cambiano direttamente l’informazione. Su un segnale digitale no, finché restano più piccoli della distanza tra i livelli e la soglia: la sequenza letta è la stessa.

Entrambi hanno i loro vantaggi. Il mondo fisico è analogico, e l’interfaccia con sensori e attuatori è sempre analogica. Un segnale analogico porta l’informazione in un istante, mentre uno digitale ha bisogno di più periodi di clock per trasmettere un numero. Un segnale digitale, però, è quasi insensibile al rumore, si copia e si memorizza senza errori, e si elabora con precisione arbitraria. Per questo i sistemi moderni leggono i sensori con circuiti analogici, convertono presto i segnali in digitale e fanno in digitale quasi tutta l’elaborazione.

Alimentazione e tensioni di nodo

L’alimentazione di un circuito elettronico è quasi sempre un generatore di tensione costante, $V_{AA}$, tra un nodo e la massa, il nodo di riferimento a $0$ V. Negli schemi spesso non si disegna: si scrive $V_{AA}$ accanto a un nodo, intendendo un generatore tra quel nodo e la massa, e tutti i punti collegati al simbolo di massa sono lo stesso nodo. L’alimentazione fissa un limite alle tensioni del circuito.

La proposizione vale in regime stazionario e con un solo generatore. Con segnali variabili nel tempo, condensatori e induttori possono portare tensioni anche fuori da quell’intervallo, e con due alimentazioni, una positiva $V_{AA+}$ e una negativa $V_{AA-}$, le tensioni costanti stanno tra le due. In ogni caso un generatore è sempre presente, anche quando lo schema non lo mostra: senza alimentazione nessun circuito funziona.

Sensori e attuatori

Un buon sensore è lineare: la grandezza elettrica che produce è proporzionale a quella che misura. Allora il sensore si descrive con un circuito lineare, e per il teorema di Thévenin e Norton con un generatore e una resistenza: un generatore di corrente $i_s(t)$ con la resistenza $R_s$ in parallelo, o un generatore di tensione $v_s(t)$ con $R_s$ in serie, eventualmente con una capacità tra i morsetti. Altri sensori non generano nulla, ma cambiano un parametro: un termometro a resistenza è un resistore il cui valore dipende dalla temperatura, e un circuito di lettura deve trasformare quel valore in una tensione. Un attuatore compie un lavoro sul mondo esterno, quindi assorbe potenza, e nei casi più semplici si descrive con una resistenza di carico $R_L$.

Un voltmetro ideale ha resistenza di ingresso infinita, un amperometro ideale nulla, e la proposizione dice quanto si sbaglia con quelli reali. La stessa idea torna in tutto il percorso: un circuito che deve ricevere una tensione deve assorbire poca corrente, uno che deve ricevere una corrente deve lasciarla passare senza opporre tensione.

La costante di tempo e il polo

Un circuito con un solo condensatore, per il teorema del transitorio del primo ordine, risponde a un gradino con un esponenziale di costante di tempo $\tau = R_{eq}C$: dopo $\tau$ ha fatto il $63\%$ del cammino, dopo $2{,}3\,\tau$ il $90\%$, e la pendenza massima è all’inizio, uguale al salto diviso $\tau$. Il condensatore rallenta il circuito, e la costante di tempo dice di quanto. Con segnali sinusoidali lo stesso fatto si legge in frequenza.

La frequenza $f_p$ è la frequenza del polo. Molto sotto il polo il condensatore ha il tempo di seguire la tensione, si comporta come un circuito aperto e l’uscita copia l’ingresso. Molto sopra non fa in tempo, si comporta quasi come un cortocircuito, e l’uscita si divide per dieci ogni volta che la frequenza si moltiplica per dieci. Il circuito è un filtro passa-basso: lascia passare le variazioni lente e toglie quelle rapide. Siccome un segnale qualsiasi è una somma di sinusoidi, per Fourier, un circuito con un polo a $f_p$ riproduce fedelmente solo le componenti del segnale sotto quella frequenza, e smussa le transizioni più rapide di $\tau$.

Misurare senza disturbare

L’oscilloscopio mostra l’andamento nel tempo di una tensione. Il suo ingresso non è un voltmetro ideale: equivale a una resistenza $R_i$, di solito $1$ MΩ, in parallelo a una capacità $C_i$ di qualche decina di picofarad, a cui si somma quella del cavo. Collegato con un semplice filo a un nodo con resistenza equivalente di Thévenin $R$, aggiunge a quel nodo una costante di tempo $RC_i$ e un polo: con $R = 5$ kΩ e $C_i = 10$ pF il polo è a $3$ MHz, e un segnale più rapido viene deformato dalla misura stessa, qualunque sia la banda dello strumento. Per questo si usano le sonde compensate.

La sonda compensata divide la tensione per dieci, ma rispetto a un filo presenta al circuito una resistenza dieci volte più grande e una capacità circa dieci volte più piccola, la serie di $C_c$ e $C_i$. La compensazione si regola con una vite sulla sonda guardando l’onda quadra di prova: angoli arrotondati vogliono più capacità, un picco sui fronti meno.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un nodo con resistenza equivalente di Thévenin di $5$ kΩ viene osservato con un oscilloscopio che ha $1$ MΩ e $10$ pF di ingresso. Qual è la frequenza massima che il collegamento con un filo lascia passare senza deformare il segnale? E con una sonda compensata da $9$ MΩ e $1{,}11$ pF?

Con il filo il nodo vede $1$ MΩ, trascurabile rispetto a $5$ kΩ, e $10$ pF: $\tau = 5\times10^3\cdot10\times10^{-12} = 50$ ns e $f_p = 1/(2\pi\cdot 50\ \text{ns}) = 3{,}2$ MHz. Con la sonda il nodo vede $10$ MΩ e la serie delle due capacità, $1{,}11\cdot 10/11{,}11 = 1{,}0$ pF: $\tau = 5$ ns e $f_p = 32$ MHz.

Commento: l’ampiezza sullo schermo è un decimo, e l’oscilloscopio la moltiplica per dieci se gli si dice che sonda si usa. La resistenza di $10$ MΩ in parallelo al nodo sposta la tensione continua di meno dello $0{,}05\%$.

Esercizio 2. Un generatore $V_{in}$ alimenta un resistore $R_1 = 1$ kΩ in serie al parallelo di $R_2 = 2$ kΩ e $C = 20$ pF, inizialmente scarico. All’istante zero $V_{in}$ passa da $0$ a $2$ V. Calcola la tensione $V_u$ sul condensatore subito dopo il gradino e a regime, le correnti nei resistori subito dopo il gradino, la carica finale e la costante di tempo.

Subito dopo il gradino $V_u = 0$, perché la tensione del condensatore è continua. In $R_1$ passano $2/1000 = 2$ mA, in $R_2$ niente: tutta la corrente carica il condensatore. A regime il condensatore non assorbe corrente e $V_u = 2\cdot 2/3 = 1{,}33$ V, con una carica $Q = CV_u = 26{,}7$ pC. Con il generatore spento il condensatore vede $R_1$ e $R_2$ in parallelo, $667\ \Omega$, e $\tau = 667\cdot 20\times10^{-12} = 13{,}3$ ns.

Commento: la costante di tempo non dipende dall’ampiezza del gradino. Un gradino di $4$ V avrebbe un valore finale doppio e la stessa $\tau$: la velocità con cui la tensione sale, all’inizio, sarebbe doppia.

Esercizio 3. Un generatore di corrente di $100$ μA, acceso all’istante zero, alimenta un nodo $V_a$ collegato a massa da $R_1 = 10$ kΩ e, attraverso $R_2 = 5$ kΩ, da un condensatore $C = 10$ nF scarico. Calcola $V_a$ e la tensione del condensatore subito dopo l’accensione e a regime, e la costante di tempo.

Subito dopo, il condensatore è a $0$ V e si comporta come un cortocircuito: la corrente si divide tra $R_1$ e $R_2$ in parallelo, $3{,}33$ kΩ, e $V_a = 0{,}333$ V. A regime nel condensatore non passa corrente, tutta la corrente va in $R_1$, $V_a = 1$ V, e anche il condensatore è a $1$ V, perché in $R_2$ non passa corrente. Con il generatore di corrente spento, cioè aperto, $R_1$ e $R_2$ sono in serie verso il condensatore, e $\tau = 15\ \text{k}\Omega\cdot 10\ \text{nF} = 150$ μs.

Commento: un generatore di corrente spento è un circuito aperto, uno di tensione un cortocircuito; confonderli è l’errore più comune nel calcolo delle costanti di tempo. Se $R_1$ mancasse, il condensatore sarebbe caricato da una corrente costante e la sua tensione crescerebbe a rampa, $10$ mV ogni μs, senza un regime.

Esercizio 4. Un sensore produce una tensione di $50$ mV con una resistenza interna di $10$ kΩ. Quale tensione legge un circuito con resistenza di ingresso di $1$ MΩ? E uno con $10$ MΩ?

$v_{in} = 50\cdot 10^6/(10^6 + 10^4) = 49{,}5$ mV con $1$ MΩ, un errore dell’$1\%$; con $10$ MΩ, $49{,}95$ mV, lo $0{,}1\%$.

Commento: se la resistenza del sensore cambia con la temperatura, anche l’errore cambia, e non si può correggere con una taratura. Per questo i circuiti di lettura dei sensori di tensione hanno resistenze di ingresso molto più grandi di quelle dei sensori, di solito ottenute con un amplificatore operazionale.