Il principio di equivalenza

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Osservatori non inerziali

La relatività ristretta vale per gli osservatori inerziali. Subito dopo il 1905 Einstein cominciò a chiedersi come estenderla a quelli che accelerano, e la strada lo portò alla gravità.

Chi accelera sente forze che non vengono da nessun corpo: su un autobus che frena si viene spinti in avanti, su una giostra verso l’esterno. Si chiamano forze apparenti, e hanno una proprietà che le distingue da tutte le altre.

Proposizione (forze apparenti in un sistema che trasla)

Sia $K$ un sistema inerziale e $K'$ un sistema i cui assi restano paralleli a quelli di $K$ e la cui origine si muove con accelerazione $\mathbf A(t)$ . Una particella di massa inerziale $m_i$ , soggetta alle forze $\mathbf F$ , in $K'$ si muove secondo

m_i\,\mathbf a' = \mathbf F - m_i\,\mathbf A .

Dimostrazione.

Se $\mathbf R(t)$ è la posizione dell’origine di $K'$ in $K$ , le posizioni sono legate da $\mathbf r = \mathbf r' + \mathbf R(t)$ , con il tempo uguale nei due sistemi, come nella meccanica di Newton, che qui basta. Derivando due volte, $\mathbf a = \mathbf a' + \mathbf A$ . In $K$ vale il secondo principio, $m_i\,\mathbf a = \mathbf F$ , e sostituendo si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

La forza apparente $-m_i\mathbf A$ è proporzionale alla massa inerziale del corpo, quella che misura quanto è difficile cambiargli velocità. Per questo imprime a tutti i corpi la stessa accelerazione $-\mathbf A$ , qualunque sia la loro massa o la loro composizione. C’è un’altra forza che fa esattamente la stessa cosa: la gravità.

Massa inerziale e massa gravitazionale

Una carica $q$ in un campo elettrico uniforme $\mathbf E$ subisce la forza $q\mathbf E$ e accelera con $\mathbf a = (q/m_i)\,\mathbf E$ . Carica e massa inerziale sono proprietà indipendenti, e il rapporto $q/m_i$ cambia da un corpo all’altro: un elettrone e un protone, con cariche opposte e masse diverse, accelerano in modo diverso.

Per la gravità si può ragionare allo stesso modo. La legge di Newton, $F = Gm_{g1}m_{g2}/r^2$ , contiene una «carica gravitazionale», la massa gravitazionale $m_g$ , che a priori non ha niente a che fare con l’inerzia. In un campo gravitazionale $\mathbf g$ , cioè la forza per unità di massa gravitazionale, un corpo accelera con $\mathbf a = (m_g/m_i)\,\mathbf g$ . Gli esperimenti dicono che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione.

Principio (di equivalenza debole)

Il rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale è lo stesso per tutti i corpi. Con una scelta opportuna delle unità, cioè del valore di $G$ , $m_g = m_i$ .

Galileo lo verificò con i piani inclinati e i pendoli, Newton con pendoli di materiali diversi, Loránd Eötvös con una bilancia di torsione tra la fine dell’Ottocento e i primi del Novecento, fino a qualche parte su $10^9$ . Il satellite MICROSCOPE, in orbita dal 2016 al 2018, ha confrontato la caduta di cilindri di titanio e di platino: la differenza tra i loro rapporti $m_g/m_i$ , se c’è, è inferiore a qualche parte su $10^{15}$ . Per più di due secoli l’uguaglianza fu considerata una coincidenza. Einstein la prese come indizio che inerzia e gravità sono la stessa cosa.

Il principio di equivalenza forte

Si immagini un laboratorio chiuso, senza finestre. Se è appoggiato sulla Terra, gli oggetti lasciati andare cadono verso il pavimento con accelerazione $g$ . Se è su un razzo lontano da ogni massa, che accelera verso l’alto con accelerazione $g$ , gli oggetti lasciati andare restano dove sono rispetto alle stelle e il pavimento li raggiunge: per chi è dentro, cadono con accelerazione $g$ . Se infine il laboratorio è in caduta libera vicino alla Terra, oggetti e laboratorio cadono insieme, e dentro non si osserva alcuna gravità.

Tre laboratori chiusi. A sinistra il laboratorio è appoggiato sulla Terra e una mela lasciata andare cade verso il pavimento con accelerazione $g$ . Al centro il laboratorio è su un razzo lontano da ogni massa, con il motore che gli imprime un’accelerazione $g$ verso l’alto: la mela resta ferma rispetto alle stelle ed è il pavimento a raggiungerla, ma per chi è dentro la scena è identica. A destra il laboratorio è in caduta libera vicino alla Terra, e la mela galleggia a mezz’aria insieme a lui.

Per la meccanica di Newton l’equivalenza tra i tre casi è un teorema.

Teorema (caduta libera in un campo uniforme)

In un campo gravitazionale uniforme e costante $\mathbf g$ vale il principio di equivalenza debole. Allora:

nel sistema $K'$ che cade liberamente, cioè la cui origine ha accelerazione $\mathbf A = \mathbf g$ , una particella soggetta alla gravità e ad altre forze $\mathbf F$ si muove secondo $m_i\,\mathbf a' = \mathbf F$ , come in un sistema inerziale senza gravità;
viceversa, in un sistema che accelera con accelerazione $\mathbf A$ lontano da ogni massa, una particella si muove come in un sistema inerziale con un campo gravitazionale uniforme $-\mathbf A$ .

Dimostrazione.

In un sistema inerziale $K$ la particella subisce la gravità $m_g\mathbf g$ e le altre forze: $m_i\,\mathbf a = \mathbf F + m_g\,\mathbf g = \mathbf F + m_i\,\mathbf g$ , per il principio di equivalenza debole. Per la proposizione sulle forze apparenti con $\mathbf A = \mathbf g$ , in $K'$ si ha $m_i\,\mathbf a' = m_i\,\mathbf a - m_i\,\mathbf g = \mathbf F$ .
Senza masse vicine, in $K$ la particella soddisfa $m_i\,\mathbf a = \mathbf F$ , e nel sistema accelerato, per la stessa proposizione, $m_i\,\mathbf a' = \mathbf F - m_i\,\mathbf A$ . È l’equazione di una particella in un sistema inerziale con il campo gravitazionale $-\mathbf A$ , perché $-m_i\mathbf A = m_g(-\mathbf A)$ .

Fine della dimostrazione.

Il teorema riguarda la meccanica. Einstein lo trasformò in un principio che vale per tutte le leggi fisiche, elettromagnetismo e propagazione della luce compresi, e che non si può dimostrare: è l’ipotesi su cui si costruisce la teoria.

Principio (di equivalenza forte)

In una regione abbastanza piccola di un campo gravitazionale qualsiasi, e per un intervallo di tempo abbastanza breve, si può sempre scegliere un sistema di riferimento in caduta libera in cui valgono tutte le leggi della relatività ristretta.

Il nome è quello di alcuni testi. Nei testi più recenti questa forma si chiama principio di equivalenza di Einstein, e «forte» indica un’estensione ulteriore, che vale anche per gli esperimenti in cui conta la gravità dei corpi stessi, come le orbite dei pianeti o delle stelle doppie. Einstein chiamò questa idea, nel 1907, il pensiero più felice della sua vita.

Gli esempi sono familiari. Negli aerei che fanno voli parabolici, usati per addestrare gli astronauti, per una ventina di secondi l’aereo segue la traiettoria di un proiettile e a bordo tutto galleggia. Gli astronauti sulla Stazione spaziale internazionale non sono fuori dal campo gravitazionale terrestre, che a $400$ km di quota è circa il $90\%$ di quello al suolo: sono in caduta libera, come la stazione, lungo un’orbita.

I campi gravitazionali reali

«Abbastanza piccola» e «abbastanza breve» sono essenziali. Un aereo in caduta libera annulla la gravità solo finché non tocca terra. E un campo gravitazionale vero non è uniforme: diminuisce con la distanza dalla massa che lo produce e punta verso di essa, quindi in punti diversi ha intensità e direzioni diverse. In un sistema che accelera, invece, l’accelerazione apparente è la stessa in tutto il laboratorio. La differenza tra i due casi si misura con le accelerazioni di marea.

Proposizione (accelerazioni di marea)

Nel campo di una massa puntiforme $M$ , si considera il sistema in caduta libera con un punto $C$ a distanza $r$ da $M$ . Una particella vicina a $C$ , con posizione relativa $(x, y)$ , dove $x$ è la componente lungo la direzione che va da $M$ a $C$ e $y$ quella perpendicolare, ha rispetto a $C$ un’accelerazione che al primo ordine in $x/r$ e $y/r$ vale

\mathbf a_{\text{marea}} = \frac{GM}{r^3}\,\big(2x,\ -y\big).

Dimostrazione.

Si pone $M$ nell’origine e $C$ in $(r, 0)$ . Il campo di $M$ in un punto $\mathbf s$ è $\mathbf g(\mathbf s) = -GM\,\mathbf s/|\mathbf s|^3$ . Per la proposizione sulle forze apparenti, nel sistema in caduta libera con $C$ l’accelerazione di una particella in $\mathbf s = (r + x, y)$ è $\mathbf g(\mathbf s) - \mathbf g(C)$ .

Si sviluppa al primo ordine. $|\mathbf s|^2 = (r + x)^2 + y^2 = r^2(1 + 2x/r + \dots)$ , dove i puntini indicano termini del secondo ordine, quindi $|\mathbf s|^{-3} = r^{-3}(1 + 2x/r + \dots)^{-3/2} = r^{-3}(1 - 3x/r + \dots)$ . Allora

g_x = -\frac{GM}{r^3}\,(r + x)\left(1 - \frac{3x}{r}\right) = -\frac{GM}{r^2} + \frac{2GM}{r^3}\,x + \dots, \qquad g_y = -\frac{GM}{r^3}\,y + \dots

Sottraendo $\mathbf g(C) = (-GM/r^2, 0)$ si ottiene $\big(2GMx/r^3,\ -GMy/r^3\big)$ .

Fine della dimostrazione.

Le accelerazioni di marea su una nuvola di particelle in caduta libera nel campo della massa $M$ , viste dal centro $C$ della nuvola. Lungo la direzione di $M$ le particelle si allontanano da $C$ , sia quella più vicina a $M$ sia quella più lontana, con accelerazione proporzionale a $2x$ . Nella direzione perpendicolare si avvicinano a $C$ , con accelerazione proporzionale a $y$ . La nuvola si allunga verso $M$ e si schiaccia di lato.

Le accelerazioni di marea spiegano le maree: la Luna allunga gli oceani lungo la congiungente Terra-Luna, con due rigonfiamenti opposti, e la rotazione della Terra li fa passare due volte al giorno. Sulla superficie terrestre la marea prodotta dalla Terra stessa vale $2GM/R^3 \approx 3{,}1 \times 10^{-6}$ s $^{-2}$ per metro di dislivello: minuscola, ma misurata dai gradiometri, strumenti che misurano la differenza di accelerazione tra due masse vicine. Vicino a un buco nero diventa enorme.

Nessun sistema in caduta libera elimina le accelerazioni di marea, perché dipendono dalle differenze del campo da un punto all’altro e non dal suo valore. Il principio di equivalenza forte vale quindi solo nel limite di regioni piccole, dove le maree sono trascurabili rispetto alla precisione delle misure. È proprio questo residuo che non si può eliminare, la variazione del campo da un punto all’altro, che la relatività generale identificherà con la curvatura dello spaziotempo.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. In un vagone che accelera in orizzontale con $a = 2{,}0$ m/s² è appeso un pendolo. Di quale angolo si inclina all’equilibrio, e quanto vale la gravità efficace per chi sta nel vagone? Usa $g = 9{,}81$ m/s².

Nel vagone agiscono la gravità $m\mathbf g$ , verso il basso, e la forza apparente $-m\mathbf a$ , all’indietro. La loro somma è una «gravità efficace» di modulo $\sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{9{,}81^2 + 2{,}0^2} \approx 10{,}01$ m/s², inclinata all’indietro rispetto alla verticale di un angolo con $\tan\theta = a/g$ , cioè $\theta \approx 11{,}5°$ . Il pendolo si dispone lungo questa direzione.

Commento: per chi è nel vagone, senza finestre, il pavimento sembra inclinato e la gravità un po’ più forte. Il pendolo oscilla attorno alla nuova verticale con periodo $2\pi\sqrt{\ell/g_{\text{eff}}}$ , leggermente più breve. È il teorema sulla caduta libera nella seconda forma: un’accelerazione uniforme equivale a un campo uniforme.

Esercizio 2. Confronta l’accelerazione di marea prodotta sulla superficie terrestre dalla Luna e dal Sole, lungo la congiungente. Usa $GM_{\text{Luna}} = 4{,}905 \times 10^{12}$ m³/s², $GM_\odot = 1{,}327 \times 10^{20}$ m³/s², distanze $3{,}844 \times 10^8$ m e $1{,}496 \times 10^{11}$ m, raggio terrestre $6{,}371 \times 10^6$ m.

Con $x = R$ la formula dà $2GMR/d^3$ . Per la Luna: $2 \cdot 4{,}905 \times 10^{12} \cdot 6{,}371 \times 10^6/(3{,}844 \times 10^8)^3 \approx 1{,}10 \times 10^{-6}$ m/s². Per il Sole: $2 \cdot 1{,}327 \times 10^{20} \cdot 6{,}371 \times 10^6/(1{,}496 \times 10^{11})^3 \approx 5{,}05 \times 10^{-7}$ m/s². La Luna produce una marea circa $2{,}2$ volte più intensa.

Commento: l’attrazione del Sole sulla Terra è circa 180 volte quella della Luna, ma la marea dipende da $M/d^3$ e non da $M/d^2$ , e la Luna è molto più vicina. Quando Sole e Luna sono allineati, a luna nuova e a luna piena, le maree si sommano e sono più ampie; quando formano un angolo retto, si compensano in parte.

Esercizio 3. Un corpo lungo $2{,}0$ m cade verso un buco nero di $10$ masse solari, disposto lungo la direzione radiale. Quanto vale la differenza di accelerazione tra le due estremità quando il corpo è a $1000$ km dal centro?

$GM = 10 \cdot 1{,}327 \times 10^{20}$ m³/s² $= 1{,}327 \times 10^{21}$ m³/s². Con $x = 2{,}0$ m ed $r = 1{,}0 \times 10^6$ m: $2GMx/r^3 = 2 \cdot 1{,}327 \times 10^{21} \cdot 2{,}0/10^{18}$ m/s² $\approx 5{,}3 \times 10^3$ m/s², circa $540$ volte l’accelerazione di gravità terrestre.

Commento: a quella distanza il buco nero è ancora lontano dal suo orizzonte, a circa $30$ km dal centro, e il campo è abbastanza debole da usare la formula newtoniana. Eppure la differenza di accelerazione tra testa e piedi basterebbe a fare a pezzi qualunque corpo: è la «spaghettificazione». Vicino all’orizzonte di un buco nero di milioni di masse solari le maree sono invece molto più deboli: il raggio dell’orizzonte è proporzionale a $M$ , e l’accelerazione di marea lì, proporzionale a $M/r^3$ , diminuisce come $1/M^2$ .

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