Il tensore energia-impulso

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

Prima di questo, potrebbe interessarti: I tensori di Riemann e di Ricci , Quadrivettori e tensore metrico

Indice

Che cosa curva lo spaziotempo

Gli articoli precedenti hanno costruito gli strumenti per descrivere la curvatura. Resta da dire da che cosa è prodotta. Nella gravità di Newton la sorgente è la massa, una grandezza scalare. In relatività massa ed energia sono equivalenti, l’energia si presenta in molte forme ed è legata alla quantità di moto nel quadrimpulso. La sorgente della gravità non può quindi essere uno scalare, e siccome la curvatura si descrive con tensori, anche la sorgente deve esserlo, perché le equazioni che le legano siano covarianti. Questo articolo costruisce quel tensore, il tensore energia-impulso, e ne ricava la legge di conservazione.

La gravità di Newton in forma locale

Due masse puntiformi $m_1$ e $m_2$ a distanza $r$ si attraggono con una forza di modulo $Gm_1m_2/r^2$ . Il campo gravitazionale $\mathbf g$ è la forza per unità di massa: una massa $M$ nell’origine produce $\mathbf g = -GM\,\mathbf r/r^3$ .

Teorema (di Gauss per la gravità)

Il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa è $-4\pi G$ per la massa racchiusa. Se la massa è distribuita con densità continua $\rho$ ,

\nabla\cdot\mathbf g = -4\pi G\rho .

Dimostrazione.

Per una massa puntiforme $M$ nell’origine, il flusso attraverso un elemento $dS$ con normale $\mathbf n$ è $-GM\,(\mathbf r\cdot\mathbf n)\,dS/r^3 = -GM\,d\Omega$ , dove $d\Omega$ è l’angolo solido sotto cui l’elemento è visto dall’origine, con segno. Su una superficie chiusa gli angoli solidi sommano a $4\pi$ se l’origine è interna e a $0$ se è esterna. Per più masse i campi si sommano, e i flussi pure. Per una distribuzione continua, e un volume $V$ qualsiasi con bordo $\partial V$ , il teorema della divergenza dà $\int_V\nabla\cdot\mathbf g\,dV = \oint_{\partial V}\mathbf g\cdot\mathbf n\,dS = -4\pi G\int_V\rho\,dV$ . Se gli integrandi sono continui e gli integrali coincidono su ogni volume, gli integrandi sono uguali.

Fine della dimostrazione.

Il campo è conservativo, $\mathbf g = -\nabla\Phi$ , e sostituendo si ottiene l’equazione di Poisson:

\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho .

Lega grandezze scalari nello spazio piatto di Euclide, e il tensore metrico non vi compare.

Il tensore metrico in un campo debole

Nell’articolo sulle geodetiche si è visto che in un campo debole e statico $g_{00} = 1 + 2\Phi/c^2$ , ricavato dal ritmo degli orologi. Sostituendo $\Phi = c^2(g_{00} - 1)/2$ nell’equazione di Poisson,

\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial z^2} = \frac{8\pi G\rho}{c^2} .

Non va presa troppo sul serio: non è covariante, e contiene una sola componente del tensore metrico. Suggerisce però la forma della teoria. A sinistra ci sono derivate seconde del tensore metrico, come nel tensore di Riemann; a destra la densità di materia. Il legame con la curvatura si può rendere preciso.

Proposizione (la componente temporale del tensore di Ricci in un campo debole)

In un campo statico con $g_{00} = 1 + 2\Phi/c^2$ , $g_{0i} = 0$ e $g_{ij} = -\delta_{ij}$ più correzioni dell’ordine di $\Phi/c^2$ , al primo ordine in $\Phi/c^2$

R_{00} = \frac{\nabla^2\Phi}{c^2} = \frac{4\pi G\rho}{c^2} .

Dimostrazione.

$R_{00} = R^\mu{}_{0\mu0} = \partial_\mu\Gamma^\mu_{00} - \partial_0\Gamma^\mu_{0\mu} + \Gamma^\mu_{\rho\mu}\Gamma^\rho_{00} - \Gamma^\mu_{\rho0}\Gamma^\rho_{0\mu}$ . I prodotti di simboli sono del secondo ordine in $\Phi/c^2$ . Il campo è statico, quindi $\partial_0 = 0$ e $\Gamma^0_{00} = \tfrac12 g^{00}\partial_0 g_{00} = 0$ . Resta $\partial_i\Gamma^i_{00}$ , e nell’articolo sulle geodetiche $\Gamma^i_{00} = \partial_i\Phi/c^2$ al primo ordine, indipendentemente dalle correzioni di $g_{ij}$ . Allora $R_{00} = \sum_i\partial_i\partial_i\Phi/c^2$ , e l’equazione di Poisson dà il secondo membro.

Fine della dimostrazione.

La densità di massa determina una componente del tensore di Ricci. Per trasformare questa uguaglianza in una legge valida in ogni sistema di coordinate serve un tensore di rango due che contenga $\rho$ come una delle sue componenti, e a sinistra un tensore di rango due costruito con la curvatura.

La densità di energia non è uno scalare

La densità di massa $\rho$ è il rapporto tra una massa e un volume, e in relatività ristretta cambiano entrambi con l’osservatore. Si consideri una polvere, cioè una distribuzione di particelle di massa $m$ ferme l’una rispetto all’altra e senza interazioni, con $n_0$ particelle per unità di volume nel sistema in cui sono ferme.

Proposizione (densità di energia di una polvere in moto)

In un sistema in cui la polvere si muove con velocità $v$ , la densità di energia è $\gamma^2 n_0mc^2$ , con $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ .

Dimostrazione.

Per la contrazione delle lunghezze un volume che nel sistema di quiete contiene $N$ particelle, nel sistema in cui si muove è ridotto di un fattore $\gamma$ nella direzione del moto: la densità di particelle diventa $\gamma n_0$ . Ogni particella ha energia $\gamma mc^2$ . Il prodotto è $\gamma^2 n_0mc^2$ .

Fine della dimostrazione.

Due fattori $\gamma$ . Uno scalare non cambierebbe, la componente temporale di un quadrivettore cambierebbe con un solo fattore $\gamma$ , come l’energia $\gamma mc^2$ o la densità di carica. Un fattore $\gamma^2$ è quello della componente $00$ di un tensore di rango due, che si trasforma come i prodotti $A^0B^0$ . La densità di energia è dunque una componente di un tensore di rango due, e le altre quindici vanno trovate.

Il tensore energia-impulso

Il tensore si costruisce con i flussi del quadrimpulso $p^\mu = (E/c, \mathbf p)$ . Nello spaziotempo una «superficie» ha tre dimensioni; quella ortogonale all’asse $x^0$ è un volume spaziale, quelle ortogonali a un asse spaziale $x^i$ sono fatte da un intervallo di tempo e da un elemento di superficie. La componente $T^{\mu\nu}$ è $c$ per la quantità della componente $p^\mu$ che attraversa l’elemento ortogonale a $x^\nu$ , diviso per quell’elemento:

$T^{00} = \Delta E/\Delta V$ è la densità di energia;
$T^{i0} = c\,\Delta p^i/\Delta V$ è la densità di quantità di moto, moltiplicata per $c$ ;
$T^{0i} = \Delta E/(c\,\Delta t\,\Delta S_i)$ è il flusso di energia attraverso una superficie ortogonale a $x^i$ , diviso per $c$ ;
$T^{ij} = \Delta p^i/(\Delta t\,\Delta S_j)$ è il flusso di quantità di moto: una forza per unità di superficie. Per $i = j$ la forza è ortogonale alla superficie ed è una pressione; per $i \ne j$ le è parallela ed è uno sforzo di taglio.

Il tensore è simmetrico. Per $T^{0i}$ e $T^{i0}$ è l’equivalenza di massa ed energia: un flusso di energia è un flusso di massa, e un flusso di massa per unità di superficie e di tempo è una densità di quantità di moto. Per le particelle, energia $\gamma mc^2$ e quantità di moto $\gamma m\mathbf v$ viaggiano insieme con velocità $\mathbf v$ , e il flusso di energia è $c^2$ volte la densità di quantità di moto; per il campo elettromagnetico il vettore di Poynting è $c^2$ volte la densità di quantità di moto del campo. Il nome inglese, stress-energy tensor, viene dagli sforzi del blocco spaziale.

Le sedici componenti $T^{\mu\nu}$ disposte come una matrice, con $\mu$ indice di riga e $\nu$ di colonna. In alto a sinistra la densità di energia; nel resto della prima riga il flusso di energia diviso per $c$ , nel resto della prima colonna la densità di quantità di moto per $c$ , uguali perché il tensore è simmetrico; nel blocco spaziale le pressioni sulla diagonale e gli sforzi di taglio fuori.

Per la polvere tutto questo diventa una formula. Con la convenzione dell’articolo sui quadrivettori la quadrivelocità è $u^\mu = dx^\mu/ds$ , adimensionale, con $u^0 = \gamma$ e $u^i = \gamma v^i/c$ . Si chiama $\rho_0 = n_0m$ la densità di massa nel sistema di quiete, uno scalare.

Proposizione (tensore energia-impulso della polvere)

$T^{\mu\nu} = \rho_0c^2\,u^\mu u^\nu$ è un tensore simmetrico di rango due, e le sue componenti sono quelle descritte sopra: $T^{00}$ è la densità di energia, $T^{0i} = T^{i0}$ il flusso di energia diviso per $c$ , $T^{ij}$ il flusso della componente $i$ della quantità di moto nella direzione $j$ .

Dimostrazione.

È il prodotto di uno scalare per il prodotto di due quadrivettori, quindi un tensore, ed è simmetrico. $T^{00} = \rho_0c^2\gamma^2$ , la densità di energia della proposizione precedente. $T^{0i} = \rho_0c^2\gamma\cdot\gamma v^i/c = (\gamma^2 n_0mc^2)\,v^i/c$ : la densità di energia trasportata con velocità $v^i$ , cioè il flusso di energia, diviso per $c$ . $T^{ij} = \rho_0\gamma^2v^iv^j = (\gamma n_0)(\gamma mv^i)\,v^j$ : la densità di particelle per la quantità di moto di ciascuna, trasportata con velocità $v^j$ .

Fine della dimostrazione.

Una polvere non ha pressione: nel suo sistema di quiete l’unica componente non nulla è $T^{00} = \rho_0c^2$ . La generalizzazione più usata, per le stelle e per l’universo nel suo insieme, è il fluido perfetto.

Definizione (fluido perfetto)

Un fluido perfetto con densità di massa di quiete $\rho_0$ e pressione $p$ , misurate nel sistema in cui un suo elemento è fermo, ha tensore energia-impulso

T^{\mu\nu} = \left(\rho_0c^2 + p\right)u^\mu u^\nu - p\,g^{\mu\nu} .

Nel sistema di quiete, $u^\mu = (1, 0, 0, 0)$ e $g^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)$ , il tensore è $\mathrm{diag}(\rho_0c^2, p, p, p)$ : densità di energia e pressione uguale in tutte le direzioni, senza sforzi di taglio né flussi. Tra i tensori della forma $a\,u^\mu u^\nu + b\,g^{\mu\nu}$ , con $a$ e $b$ scalari, è l’unico che in quel sistema dà questa matrice; ed essendo un’uguaglianza tra tensori, vale in ogni sistema.

La conservazione

In un sistema continuo una legge di conservazione si scrive con un’equazione di continuità: quello che esce dalle pareti di un elemento di volume è quello che manca all’interno. Per la carica elettrica è $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\mathbf j = 0$ , e con la quadricorrente $J^\mu = (c\rho, \mathbf j)$ dell’articolo sull’elettromagnetismo covariante diventa $\partial_\mu J^\mu = 0$ . Per energia e quantità di moto le densità sono $T^{00}$ e $T^{i0}/c$ , e i flussi le altre componenti delle stesse righe; le quattro equazioni di continuità sono

\partial_\nu T^{\mu\nu} = 0 ,

quella con $\mu = 0$ per l’energia, le altre tre per la quantità di moto.

Proposizione (conservazione per la polvere)

Per una polvere, $\partial_\nu T^{\mu\nu} = 0$ equivale a due condizioni: la conservazione della massa di quiete, $\partial_\nu(\rho_0u^\nu) = 0$ , e il moto senza accelerazione, $u^\nu\partial_\nu u^\mu = 0$ .

Dimostrazione.

$\partial_\nu T^{\mu\nu} = c^2\big[u^\mu\,\partial_\nu(\rho_0u^\nu) + \rho_0u^\nu\partial_\nu u^\mu\big]$ . Se valgono le due condizioni è nullo. Viceversa, si moltiplica per $u_\mu$ : poiché $u_\mu u^\mu = 1$ , si ha $u_\mu\,\partial_\nu u^\mu = \tfrac12\partial_\nu(u_\mu u^\mu) = 0$ , e resta $c^2\partial_\nu(\rho_0u^\nu) = 0$ , la prima condizione. Sostituendola, rimane $\rho_0u^\nu\partial_\nu u^\mu = 0$ , e dove c’è materia $\rho_0 \ne 0$ .

Fine della dimostrazione.

La derivata $u^\nu\partial_\nu u^\mu$ è la variazione della quadrivelocità lungo il moto di un elemento: le particelle della polvere, senza forze, vanno in linea retta con velocità costante. In coordinate curvilinee e in uno spaziotempo curvo, come insegna l’articolo sulla derivata covariante, la derivata ordinaria diventa quella covariante:

T^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0 .

Il ragionamento della proposizione si ripete parola per parola, con i punti e virgola al posto delle derivate: da $T^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ segue $u^\nu u^\mu{}_{;\nu} = 0$ , che è l’equazione delle geodetiche. Nella relatività generale la conservazione dell’energia e della quantità di moto della materia contiene già la legge del moto: la polvere cade lungo le geodetiche. Nel prossimo articolo è proprio questa equazione a fissare la forma delle equazioni di Einstein.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una polvere con densità di massa di quiete $\rho_0 = 1000$ kg/m³ si muove lungo $x$ a $0{,}6\,c$ . Calcola $T^{00}$ , $T^{01}$ e $T^{11}$ .

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25$ e $\gamma^2 = 1{,}5625$ . Con $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s: $T^{00} = \gamma^2\rho_0c^2 = 1{,}5625 \cdot 10^3 \cdot 9{,}00 \times 10^{16}$ J/m³ $\approx 1{,}41 \times 10^{20}$ J/m³. $T^{01} = T^{00}\,v/c \approx 8{,}44 \times 10^{19}$ J/m³. $T^{11} = \gamma^2\rho_0v^2 = 1{,}5625 \cdot 10^3 \cdot 3{,}24 \times 10^{16}$ Pa $\approx 5{,}06 \times 10^{19}$ Pa.

Commento: tutte le componenti hanno le stesse dimensioni, energia per unità di volume o pressione, che sono la stessa cosa. Il fattore $c^2$ fa sembrare enormi i numeri: l’energia di quiete di un litro d’acqua, $9 \times 10^{16}$ J, è circa quella che una città di un milione di abitanti consuma in un anno. Nella gravità di tutti i giorni conta solo $T^{00}$ , e $T^{11}$ è una frazione $v^2/c^2$ di quello.

Esercizio 2. Calcola la traccia $T = g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$ di un fluido perfetto. Quanto vale per la radiazione, con $p = \rho c^2/3$ ? E per l’aria, con $\rho = 1{,}2$ kg/m³ e $p = 1{,}0 \times 10^5$ Pa?

$g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = 1$ e $g_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = \delta^\mu_\mu = 4$ , quindi $T = (\rho_0c^2 + p) - 4p = \rho_0c^2 - 3p$ . Per la radiazione $T = 0$ . Per l’aria $\rho c^2 \approx 1{,}1 \times 10^{17}$ Pa, e la pressione ne è circa una parte su $10^{12}$ .

Commento: la traccia è uno scalare, e si può calcolare nel sistema di quiete. Nella materia ordinaria la pressione è trascurabile come sorgente di gravità; conta nelle stelle di neutroni e nell’universo primordiale, dominato dalla radiazione. Per un gas di fotoni la traccia nulla è una conseguenza del fatto che i fotoni non hanno massa.

Esercizio 3. All’interno di una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ il potenziale è $\Phi(r) = -GM(3R^2 - r^2)/(2R^3)$ . Verifica l’equazione di Poisson e calcola di quanto un orologio al centro della Terra, supposta omogenea, va più lento di uno in superficie. Usa $GM/c^2 = 4{,}435$ mm e $R = 6371$ km.

$\nabla^2 r^2 = 6$ , quindi $\nabla^2\Phi = 6GM/(2R^3) = 3GM/R^3$ , e con $\rho = 3M/(4\pi R^3)$ si ha $4\pi G\rho = 3GM/R^3$ . Al centro $\Phi = -3GM/(2R)$ , in superficie $-GM/R$ : la differenza è $-GM/(2R)$ , e il rapporto dei ritmi differisce di $GM/(2Rc^2) = 4{,}435 \times 10^{-3}/(2 \cdot 6{,}371 \times 10^6) \approx 3{,}5 \times 10^{-10}$ , circa 11 ms all’anno.

Commento: nella Terra vera la densità cresce verso il centro e l’effetto è un po’ maggiore. In termini di tensore metrico $g_{00}$ al centro è più piccolo che in superficie di $GM/(Rc^2) \approx 7 \times 10^{-10}$ . Il minimo del potenziale, e quindi il ritmo più lento, è dove la gravità si annulla: non è la forza a rallentare gli orologi, è il potenziale.

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