Rumore termico, shot e flicker

Elettronica · Strumentazione elettronica Fisica · Fisica dei semiconduttori Articolo 17 settembre 2026

Percorso: Strumentazione elettronica · 8 di 17

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Indice

Da dove viene il rumore

La corrente in un conduttore è $I = qnvA$ : la carica dei portatori, la loro densità, la loro velocità media, la sezione. Se la velocità dei portatori fluttua, perché urtano in modo casuale il reticolo agitato dalla temperatura, fluttua la corrente: è il rumore termico. Se fluttua il numero di portatori che attraversano una barriera, perché la attraversano uno alla volta e in istanti casuali, è il rumore shot. E se fluttuano lentamente il numero o la mobilità dei portatori, per processi che hanno tempi caratteristici molto diversi tra loro, è il rumore flicker, o $1/f$ . Sono le tre sorgenti di rumore che si incontrano in quasi tutti i circuiti, e questo articolo ne ricava gli spettri con gli strumenti dell’articolo precedente. Le densità spettrali, da qui in avanti, sono unilatere.

Il rumore termico

Nel 1928 John Johnson, ai Bell Labs, misurò la tensione ai capi di resistori scollegati, amplificata a sufficienza. Trovò una tensione fluttuante con valore quadratico medio proporzionale alla resistenza e alla temperatura assoluta, indipendente dal materiale, e con uno spettro piatto in tutte le frequenze che poteva misurare. Nello stesso numero della rivista Harry Nyquist ne diede la spiegazione.

Teorema (formula di Nyquist)

Un resistore $R$ in equilibrio termico alla temperatura $T$ ha ai capi, a circuito aperto, una tensione di rumore con densità spettrale unilatera

S_V = 4kTR ,

per frequenze con $hf \ll kT$ . Equivalentemente, in cortocircuito, una corrente con densità $S_I = 4kT/R$ .

Dimostrazione.

Si collegano due resistori uguali $R$ , alla stessa temperatura, con una linea di trasmissione senza perdite di impedenza caratteristica $R$ e lunghezza $l$ , lungo la quale i segnali viaggiano alla velocità $v$ . La linea è adattata: ciò che un resistore immette nella linea arriva all’altro senza riflessioni ed è assorbito. All’equilibrio ciascun resistore cede all’altro la stessa potenza, e sia $P(f)\,df$ la potenza ceduta nella banda $df$ .

A un certo istante si cortocircuitano i due estremi della linea. L’energia che stava viaggiando resta intrappolata, e si distribuisce sui modi stazionari della linea chiusa, per i quali la lunghezza è un multiplo di mezza lunghezza d’onda: $n\lambda/2 = l$ , cioè $f_n = nv/2l$ . Nella banda $df$ ci sono $2l\,df/v$ modi. Per il teorema di equipartizione della meccanica statistica ogni modo, che ha due gradi di libertà quadratici, l’energia elettrica e quella magnetica, ha in media l’energia $kT$ . L’energia nella banda è quindi $2lkT\,df/v$ . Questa energia era stata immessa dai due resistori nel tempo $l/v$ che serve a percorrere la linea: $2P(f)\,df\,l/v = 2lkT\,df/v$ , e $P(f) = kT$ .

Si rappresenta ora ciascun resistore come un resistore senza rumore in serie a un generatore di tensione con densità $S_V$ . La tensione di rumore nella banda $df$ , di valore quadratico medio $S_V\,df$ , fa circolare nei due resistori in serie la corrente $V/2R$ , e cede all’altro resistore la potenza media $R\,\overline{V^2}/4R^2 = S_V\,df/4R$ . Uguagliandola a $kT\,df$ si ha $S_V = 4kTR$ . In cortocircuito il generatore di tensione dà la corrente $V/R$ , con densità $S_V/R^2 = 4kT/R$ .

Fine della dimostrazione.

Il ragionamento di Nyquist: due resistori collegati da una linea adattata si scambiano la potenza del loro rumore; cortocircuitando la linea l’energia resta intrappolata nei modi stazionari, e l’equipartizione dà a ciascuno $kT$ .

Un resistore da $1$ k $\Omega$ a $300$ K ha $4{,}07$ nV/√Hz; uno da $1$ M $\Omega$ , $129$ nV/√Hz, cioè $0{,}13$ pA/√Hz di corrente; uno da $1$ G $\Omega$ , $4$ fA/√Hz. Nei circuiti il rumore termico si rappresenta con un resistore senza rumore e un generatore di tensione in serie, o di corrente in parallelo. Condensatori e induttori ideali non producono rumore termico: il rumore accompagna la dissipazione, e un elemento che non dissipa energia non la restituisce come fluttuazioni.

La formula vale finché l’energia di un modo è quella classica. Con la formula di Planck ogni modo ha energia media $hf/(e^{hf/kT} - 1)$ , e la densità diventa $4Rhf/(e^{hf/kT} - 1)$ : resta entro l’1% del valore classico fino a $hf/kT = 0{,}02$ , cioè $125$ GHz a temperatura ambiente e $1{,}7$ GHz a $4$ K. Per l’elettronica di misura il rumore termico è bianco.

La stessa formula si ritrova guardando gli elettroni. È un calcolo che collega il rumore alle grandezze dell’articolo sulla deriva e la diffusione.

Proposizione (rumore termico dagli urti degli elettroni)

In un conduttore di lunghezza $L$ e sezione $A$ con $n$ elettroni liberi per unità di volume, massa efficace $m^*$ e tempo medio tra gli urti $\tau$ , in cui ogni urto rende la velocità indipendente da quella precedente, la corrente di cortocircuito ha, per $f \ll 1/2\pi\tau$ , densità spettrale $S_I = 4kT/R$ .

Dimostrazione.

Si considera un elettrone e la componente $v_x$ della sua velocità lungo il conduttore, con media nulla e, per l’equipartizione, $\overline{v_x^2} = kT/m^*$ . Il prodotto $v_x(t)\,v_x(t + \tau')$ ha media $\overline{v_x^2}$ se tra i due istanti non ci sono urti, e media nulla se c’è stato almeno un urto, perché le due velocità sono indipendenti. Con tempi tra gli urti distribuiti in modo esponenziale, la probabilità di nessun urto in un intervallo $|\tau'|$ è $e^{-|\tau'|/\tau}$ , e l’autocorrelazione è $\overline{v_x^2}\,e^{-|\tau'|/\tau}$ . Per l’esercizio 4 dell’articolo precedente la densità spettrale unilatera è $4\overline{v_x^2}\tau/[1 + (2\pi f\tau)^2]$ , che per $f \ll 1/2\pi\tau$ vale $4kT\tau/m^*$ .

Un elettrone che si muove con velocità $v_x$ tra due elettrodi a distanza $L$ , collegati in cortocircuito, induce sugli elettrodi una corrente $qv_x/L$ : la carica indotta su ciascun elettrodo dipende dalla sua posizione in modo lineare, e cambia al ritmo $qv_x/L$ . La densità di corrente dovuta a un elettrone è quindi $(q/L)^2\cdot4kT\tau/m^*$ . Gli $N = nAL$ elettroni sono indipendenti, e le densità si sommano:

S_I = nAL\,\frac{q^2}{L^2}\,\frac{4kT\tau}{m^*} = 4kT\,\frac{nq^2\tau}{m^*}\,\frac{A}{L} = 4kT\,\sigma\,\frac{A}{L} = \frac{4kT}{R} ,

perché la conducibilità è $\sigma = nq\mu$ con $\mu = q\tau/m^*$ .

Fine della dimostrazione.

Il rumore termico non dipende dalla corrente che attraversa il resistore: c’è anche con i morsetti aperti. Un circuito RC mostra un risultato sorprendente.

Proposizione (rumore kT/C)

La tensione di rumore ai capi di un condensatore $C$ collegato a un resistore $R$ alla temperatura $T$ ha valore quadratico medio

\overline{v^2} = \frac{kT}{C} ,

indipendente da $R$ .

Dimostrazione.

Il generatore di rumore del resistore, con densità $4kTR$ , arriva al condensatore attraverso il partitore $1/(1 + j2\pi fRC)$ . La densità della tensione sul condensatore è $4kTR/[1 + (2\pi fRC)^2]$ , e il suo integrale su tutte le frequenze positive, con $u = 2\pi fRC$ , è

\begin{aligned} 4kTR\int_0^{\infty}\frac{df}{1 + (2\pi fRC)^2} &= \frac{4kTR}{2\pi RC}\int_0^{\infty}\frac{du}{1 + u^2} \\[0.5em] &= \frac{4kTR}{2\pi RC}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{kT}{C} . \end{aligned}

Fine della dimostrazione.

Un resistore più grande dà più rumore per hertz, ma su una banda più stretta, e le due cose si compensano: è anche il risultato dell’equipartizione, $\tfrac12C\overline{v^2} = \tfrac12kT$ . Con $1$ pF a temperatura ambiente sono $64$ μV efficaci, con $10$ pF $20$ μV. È il limite dei circuiti che campionano una tensione su un condensatore, dai convertitori analogico-digitali ai sensori di immagine: il rumore dipende solo dalla capacità, e per ridurlo serve un condensatore più grande.

Il rumore shot

Walter Schottky osservò nel 1918 che la corrente di un tubo a vuoto, dove gli elettroni lasciano il catodo uno alla volta e in istanti indipendenti, fluttua anche a temperatura costante. Lo stesso succede in una giunzione pn, in un transistore bipolare, in un fotodiodo: la corrente è una sequenza di impulsi, uno per ogni portatore che attraversa la barriera, e gli impulsi arrivano a caso.

Tre finestre di $10$ ns di una corrente fatta di impulsi di $100$ ps, uno per elettrone, con correnti medie di $0{,}1$ , $1$ e $10$ nA: in media $6$ , $62$ e $624$ elettroni. Più elettroni, più fluttuazioni in assoluto, ma più piccole rispetto alla media, tratteggiata.

Teorema (formula di Schottky)

Una corrente fatta di impulsi $x(t) = \sum_k q\,h(t - t_k)$ , dove $h$ ha area $1$ e trasformata $H(f)$ e i tempi $t_k$ sono gli arrivi indipendenti di un processo di Poisson con $\bar n$ arrivi al secondo, ha densità spettrale bilatera

S(f) = \bar I^2\,\delta(f) + q\bar I\,|H(f)|^2 , \qquad \bar I = q\bar n .

La parte fluttuante ha densità unilatera $2q\bar I|H(f)|^2$ , che per frequenze molto minori dell’inverso della durata degli impulsi vale $2q\bar I$ .

Dimostrazione.

Contando gli impulsi che iniziano in $[-T, T]$ e trascurando quelli a cavallo degli estremi, che non contano nel limite, la trasformata della corrente troncata è $X_T(f) = qH(f)\sum_ke^{-j2\pi ft_k}$ , e

\overline{|X_T(f)|^2} = q^2|H(f)|^2\,\overline{\sum_k\sum_me^{-j2\pi f(t_k - t_m)}} .

I termini con $k = m$ valgono $1$ , e la loro somma ha per media il numero medio di arrivi, $2T\bar n$ . Per i termini con $k \ne m$ si usa la proprietà del processo di Poisson: gli arrivi in intervalli disgiunti sono indipendenti, e il numero medio di coppie ordinate di arrivi distinti, uno in $dt_1$ e uno in $dt_2$ , è $\bar n^2\,dt_1\,dt_2$ . La loro media è quindi

\begin{aligned} \bar n^2\int_{-T}^{T}\!\!\int_{-T}^{T}e^{-j2\pi f(t_1 - t_2)}\,dt_1\,dt_2 &= \bar n^2\left|\int_{-T}^{T}e^{-j2\pi ft}\,dt\right|^2 \\[0.5em] &= \bar n^2\,(2T)^2\,\text{sinc}^2(2Tf) . \end{aligned}

Dividendo per $2T$ , la densità è $q^2|H(f)|^2[\bar n + \bar n^2\,2T\,\text{sinc}^2(2Tf)]$ . La funzione $2T\,\text{sinc}^2(2Tf)$ ha area $1$ e larghezza $1/2T$ : per $T \to \infty$ tende all’impulso $\delta(f)$ . Poiché $H(0) = 1$ , il secondo termine diventa $q^2\bar n^2\delta(f) = \bar I^2\delta(f)$ , e il primo $q^2\bar n|H|^2 = q\bar I|H|^2$ . La densità unilatera della parte fluttuante è il doppio del termine continuo, e $|H(f)| \simeq 1$ finché $f$ è piccola rispetto all’inverso della durata degli impulsi.

Fine della dimostrazione.

L’impulso nell’origine è la componente continua $\bar I$ ; il resto è il rumore. Una corrente di $1$ mA ha un rumore shot di $17{,}9$ pA/√Hz, una di $1$ nA di $17{,}9$ fA/√Hz. Il rumore cresce come $\sqrt{\bar I}$ , e il rapporto tra rumore e corrente cala come $1/\sqrt{\bar I}$ : per una misura di corrente, più corrente vuol dire più precisione relativa.

Il rumore shot richiede portatori indipendenti. Nel metallo di un resistore la corrente è un moto collettivo di elettroni che si respingono, e a parte il rumore termico non ci sono fluttuazioni shot misurabili; in una giunzione pn, in un transistore bipolare o in un fotodiodo i portatori superano una barriera uno alla volta, e il rumore shot c’è. In un diodo percorso dalla corrente $I$ , la corrente di rumore $2qI$ sulla resistenza dinamica $r_d = V_T/I$ dà la tensione $2qIr_d^2 = 2kTr_d$ : metà del rumore termico di un resistore dello stesso valore.

Il rumore flicker

Nel 1925, studiando il rumore shot dei tubi a vuoto, Johnson trovò a bassa frequenza un rumore in più, che cresceva scendendo in frequenza. Da allora lo si è trovato in tutti i dispositivi elettronici, ma anche nelle piene del Nilo, nelle correnti oceaniche, nel battito del cuore e, come mostrarono Richard Voss e John Clarke nel 1975, nell’andamento dell’intensità della musica e del parlato. Ha densità spettrale $S(f) = K/f^\alpha$ , con $\alpha$ vicino a $1$ .

Proposizione (potenza del rumore 1/f)

Un rumore con densità $K/f$ ha, nella banda da $f_L$ a $f_H$ , potenza

P = K\ln\frac{f_H}{f_L} ,

che dipende solo dal rapporto tra le frequenze: ogni decade contiene la stessa potenza, $K\ln10$ .

Dimostrazione.

$\int_{f_L}^{f_H}K\,df/f = K(\ln f_H - \ln f_L)$ .

Fine della dimostrazione.

Tra $0{,}1$ e $1$ Hz c’è lo stesso rumore che tra $100$ kHz e $1$ MHz, mentre per un rumore bianco il secondo intervallo ne avrebbe un milione di volte di più. La potenza diverge sia verso le alte sia verso le basse frequenze, ma solo come un logaritmo, e ogni misura ha limiti naturali: la durata dell’osservazione in basso, il tempo di risposta del sistema in alto. Anche prendendo come estremi l’inverso dell’età dell’universo, circa $10^{-17}$ Hz, e l’inverso del tempo che la luce impiega ad attraversare un atomo, circa $10^{18}$ Hz, sono $35$ decadi: $35$ volte la potenza di una decade. Nessuna misura ha mai trovato una frequenza sotto la quale lo spettro smetta di crescere.

Nei semiconduttori il rumore flicker nasce soprattutto dalle trappole, difetti che catturano e rilasciano portatori. Una sola trappola vicina al canale di un MOSFET, quando cattura un elettrone, abbassa la corrente di un gradino, e quando lo rilascia la rialza: la corrente salta tra due livelli in istanti casuali, un rumore telegrafico. Se i tempi di cattura e di emissione hanno distribuzione esponenziale, come dimostrò Stefan Machlup nel 1954, l’autocorrelazione delle fluttuazioni è esponenziale, con una costante di tempo $\tau$ legata ai due tempi, e lo spettro è una lorentziana: piatto fino a $1/2\pi\tau$ , poi in calo come $1/f^2$ . È la somma di molte trappole con tempi diversi a dare $1/f$ .

Proposizione (somma di lorentziane)

Se molte sorgenti indipendenti con la stessa varianza $\sigma^2$ hanno spettri lorentziani $4\sigma^2\tau/[1 + (2\pi f\tau)^2]$ , con costanti di tempo distribuite uniformemente in scala logaritmica tra $\tau_1$ e $\tau_2$ , cioè con densità di probabilità $1/[\tau\ln(\tau_2/\tau_1)]$ , lo spettro medio per sorgente è, per $1/2\pi\tau_2 \ll f \ll 1/2\pi\tau_1$ ,

S(f) \simeq \frac{\sigma^2}{\ln(\tau_2/\tau_1)}\,\frac{1}{f} .

Dimostrazione.

La media degli spettri sulla distribuzione dei tempi è

\begin{aligned} S(f) &= \int_{\tau_1}^{\tau_2}\frac{4\sigma^2\tau}{1 + (2\pi f\tau)^2}\,\frac{d\tau}{\tau\ln(\tau_2/\tau_1)} \\[0.5em] &= \frac{4\sigma^2}{\ln(\tau_2/\tau_1)}\,\frac{\arctan(2\pi f\tau_2) - \arctan(2\pi f\tau_1)}{2\pi f} . \end{aligned}

Nell’intervallo di frequenze dell’enunciato $2\pi f\tau_2 \gg 1$ e $2\pi f\tau_1 \ll 1$ , la differenza degli arcotangenti tende a $\pi/2$ , e $S(f) \simeq 4\sigma^2(\pi/2)/[2\pi f\ln(\tau_2/\tau_1)]$ .

Fine della dimostrazione.

La distribuzione logaritmica dei tempi, proposta da Alan McWhorter nel 1957, viene naturalmente dal meccanismo fisico: un portatore raggiunge una trappola dentro l’ossido per effetto tunnel, e il tempo cresce in modo esponenziale con la distanza della trappola dall’interfaccia. Trappole distribuite uniformemente in profondità danno tempi distribuiti uniformemente in scala logaritmica.

Gli spettri lorentziani di undici trappole con costanti di tempo da $10$ μs a $1$ s, una ogni mezza decade, e la loro somma, arancio, che nell’intervallo delle loro frequenze caratteristiche scende di una decade per decade, come la retta tratteggiata $1/f$ .

Per questo i MOSFET, con l’interfaccia tra silicio e ossido ricca di difetti proprio accanto al canale, hanno molto più rumore flicker dei transistori bipolari e dei JFET, dove la corrente scorre lontano dalle superfici. Nei datasheet degli operazionali la densità di rumore di tensione si scrive spesso $e_n(f) = e_w\sqrt{1 + f_c/f}$ , con $e_w$ il livello bianco e $f_c$ la frequenza d’angolo, alla quale i due contributi si uguagliano: da qualche hertz per i bipolari di precisione a qualche kilohertz per molti CMOS. Il rumore a bassa frequenza si dà anche come valore da picco a picco tra $0{,}1$ e $10$ Hz.

La densità di rumore di tensione di un operazionale bipolare, blu, con $3$ nV/√Hz e frequenza d’angolo di $10$ Hz, e di uno CMOS, arancio, con $10$ nV/√Hz e frequenza d’angolo di $2$ kHz. Il punto segna la frequenza d’angolo, dove la densità è $\sqrt2$ volte il livello bianco.

Nel tempo i due rumori si riconoscono a occhio. Il rumore bianco cambia a ogni istante e resta attorno allo zero; il rumore $1/f$ vaga, con escursioni lente che durano tanto più quanto più a lungo si osserva. Per questo il rumore flicker è il nemico delle misure lente e delle misure in continua, e il motivo per cui l’ultima parte del percorso sposta i segnali lontano dalle basse frequenze.

Quattrocento campioni di rumore bianco, sopra, e di rumore $1/f$ con la stessa varianza, sotto, ottenuto sommando processi con costanti di tempo da $1$ a $1024$ campioni.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Quanto vale il rumore termico efficace di un resistore da $1$ k $\Omega$ e di uno da $1$ M $\Omega$ , a $300$ K, in una banda di $10$ kHz? E la corrente di rumore del secondo, in cortocircuito?

Soluzione. $\sqrt{4kTR\,B}$ : per $1$ k $\Omega$ $4{,}07\ \text{nV/√Hz}\cdot100\ \sqrt{\text{Hz}} = 0{,}41$ μV, per $1$ M $\Omega$ $12{,}9$ μV. La corrente di rumore del secondo è $\sqrt{4kT/R} = 0{,}13$ pA/√Hz, cioè $13$ pA efficaci in $10$ kHz.

Commento. Un ohm vale circa $0{,}13$ nV/√Hz, e la radice della resistenza fa il resto: la regola « $4$ nV/√Hz per ogni kiloohm, sotto radice» si ricorda facilmente. Nei circuiti che amplificano tensioni si preferiscono resistenze piccole; in quelli che amplificano correnti, come i transimpedenza, resistenze grandi.

Esercizio 2. Un convertitore a $16$ bit con fondo scala di $2$ V campiona la tensione su un condensatore. Quale capacità serve perché il rumore $kT/C$ a $300$ K resti sotto mezzo livello di quantizzazione?

Soluzione. Un livello vale $2\ \text{V}/65\,536 = 30{,}5$ μV, mezzo livello $15{,}3$ μV. Da $kT/C \le (15{,}3\ \mu\text{V})^2$ si ha $C \ge 4{,}14\times10^{-21}/2{,}33\times10^{-10} = 18$ pF.

Commento. Nei circuiti integrati i condensatori di campionamento occupano area, e la capacità si sceglie a partire da questo conto. Raffreddare aiuta poco: a $77$ K, la temperatura dell’azoto liquido, il rumore scende solo di un fattore due.

Esercizio 3. Un fotodiodo dà $1$ nA e si legge con un transimpedenza con $R_F = 1$ G $\Omega$ . Quale rumore di corrente domina? Qual è il rapporto tra corrente e rumore in una banda di $10$ Hz?

Soluzione. Il rumore shot della fotocorrente è $\sqrt{2q\cdot10^{-9}} = 17{,}9$ fA/√Hz, quello termico del resistore di retroazione $\sqrt{4kT/R_F} = 4{,}07$ fA/√Hz. Sommati in quadratura danno $18{,}4$ fA/√Hz: domina il rumore shot. In $10$ Hz il rumore è $58$ fA, e il rapporto con la corrente è $1\ \text{nA}/58\ \text{fA} = 1{,}7\times10^4$ .

Commento. Il rumore shot della luce stessa è un limite che nessun amplificatore può superare. Il resistore conta solo se $R_F$ è piccolo: il rumore termico eguaglia quello shot quando $4kT/R_F = 2qI$ , cioè $R_F = 2V_T/I$ , $52$ M $\Omega$ con $1$ nA.

Esercizio 4. Un transistore bipolare lavora con $I_C = 1$ mA. Il rumore shot della corrente di collettore, riportato all’ingresso come tensione dividendo per la transconduttanza, a quale resistenza con rumore termico equivale?

Soluzione. $g_m = I_C/V_T = 38{,}7$ mS. La tensione equivalente ha densità $2qI_C/g_m^2 = 2qV_T^2/I_C = 2kT/g_m = 4kT\cdot1/2g_m$ : è il rumore termico di una resistenza $1/2g_m = 12{,}9\ \Omega$ , cioè $0{,}46$ nV/√Hz.

Commento. Più corrente vuol dire meno rumore di tensione, ed è per questo che gli stadi di ingresso degli amplificatori a basso rumore lavorano con correnti alte. Il prezzo è la corrente di base, e con lei il rumore shot di corrente all’ingresso, $2qI_B$ : il prossimo articolo mostra come i due si bilanciano con la resistenza della sorgente.

Esercizio 5. Un operazionale ha $e_w = 10$ nV/√Hz e frequenza d’angolo di $100$ Hz. Quanto vale il rumore efficace tra $0{,}1$ e $10$ Hz, e quale valore da picco a picco ci si aspetta?

Soluzione. $e_n^2 = e_w^2(1 + f_c/f)$ . La parte $1/f$ dà $e_w^2f_c\ln(10/0{,}1) = 10^{-16}\cdot100\cdot4{,}6 = 4{,}6\times10^{-14}$ V², la parte bianca $10^{-16}\cdot9{,}9 = 10^{-15}$ V². In tutto $217$ nV efficaci, e circa $1{,}4$ μV da picco a picco, con il fattore $6{,}6$ che i costruttori usano per un rumore gaussiano.

Commento. Nella banda da $0{,}1$ a $10$ Hz il rumore bianco conta meno del 3%: domina il flicker, e allargare la banda verso il basso aggiunge rumore a ogni decade. Per le misure in continua di precisione si usano operazionali con frequenza d’angolo bassissima, o gli operazionali chopper dell’ultimo articolo, che il rumore flicker lo spostano via.

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