Il tempo e la luce in un campo gravitazionale

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Un principio al lavoro

Il principio di equivalenza dice che, in una regione piccola, un campo gravitazionale e un sistema accelerato non si distinguono. Se ne ricava una regola pratica: un fenomeno che si osserva in un sistema accelerato come effetto delle forze apparenti deve presentarsi anche nel campo gravitazionale equivalente, e viceversa. Einstein la usò, prima di avere la teoria completa, per prevedere che la gravità cambia il ritmo degli orologi e curva i raggi di luce.

Orologi a quote diverse

Un razzo, lontano da ogni massa, accelera con accelerazione costante $g$ . Sul soffitto, nel punto $A$ , un emettitore produce onde elettromagnetiche di frequenza $f_A$ , regolata da un orologio posto accanto; sul pavimento, nel punto $B$ , a distanza $h$ sotto $A$ , un rivelatore misura la frequenza $f_B$ con un orologio identico. L’accelerazione è diretta da $B$ verso $A$ , dal pavimento al soffitto.

Proposizione (spostamento della frequenza nel razzo)

Al primo ordine in $gh/c^2$ , la frequenza misurata sul pavimento è

f_B = f_A\left(1 + \frac{gh}{c^2}\right).

Dimostrazione.

Si usa il sistema inerziale $K$ in cui il razzo è fermo nell’istante dell’emissione. In quell’istante l’emettitore ha velocità nulla. La luce viaggia verso il pavimento e lo raggiunge dopo un tempo $\Delta t$ . Il pavimento nel frattempo sale di $\tfrac12 g\Delta t^2$ , e quindi $\Delta t = h/c$ a meno di una correzione relativa dell’ordine di $gh/c^2$ , che nel risultato darebbe un termine del secondo ordine. Al momento della ricezione il pavimento ha velocità $v = g\Delta t = gh/c$ , diretta verso l’alto, cioè contro la luce che arriva.

Un rivelatore che va incontro a una sorgente, con velocità relativa $v = \beta c$ rispetto al sistema in cui la sorgente era ferma all’emissione, misura la frequenza $f_B = f_A\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)}$ : è l’effetto Doppler relativistico, ricavato nell’esercizio 2 dell’articolo sui quadrivettori per una sorgente che si allontana, con il segno di $\beta$ scambiato perché qui rivelatore e sorgente si avvicinano. Con $\beta = gh/c^2$ e lo sviluppo $\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)} = 1 + \beta + O(\beta^2)$ si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

Per il principio di equivalenza lo stesso deve succedere in un campo gravitazionale uniforme $g$ diretto dal soffitto al pavimento, cioè per due punti fermi a dislivello $h$ sulla Terra. Con il potenziale gravitazionale $\Phi$ , che in un campo uniforme vale $gz$ a quota $z$ , il dislivello dà $\Phi_A - \Phi_B = gh$ .

Corollario (spostamento gravitazionale della frequenza)

In un campo gravitazionale statico e debole, una radiazione emessa con frequenza $f_A$ da un punto a potenziale $\Phi_A$ è ricevuta con frequenza

f_B = f_A\left(1 + \frac{\Phi_A - \Phi_B}{c^2}\right)

in un punto a potenziale $\Phi_B$ , al primo ordine in $(\Phi_A - \Phi_B)/c^2$ .

Dimostrazione.

Per un campo uniforme è la proposizione, tradotta con il principio di equivalenza e con $gh = \Phi_A - \Phi_B$ . Per un campo non uniforme si divide il cammino della luce in tratti così brevi che su ciascuno il campo è praticamente uniforme: su un tratto in cui il potenziale diminuisce di $d\Phi$ la frequenza cambia secondo $df/f = -d\Phi/c^2$ . Sommando i tratti, $\ln(f_B/f_A) = (\Phi_A - \Phi_B)/c^2$ , e al primo ordine $f_B/f_A = 1 + (\Phi_A - \Phi_B)/c^2$ .

Fine della dimostrazione.

La luce che scende, verso potenziali più bassi, arriva con frequenza maggiore; quella che sale arriva con frequenza minore, spostata verso il rosso: è il redshift gravitazionale. Il risultato riguarda gli orologi, non solo la luce. Nel campo statico il numero di creste d’onda che partono da $A$ in un certo intervallo è lo stesso che arriva in $B$ , altrimenti le creste si accumulerebbero lungo il cammino. Se l’orologio in $A$ segna $\Delta\tau_A$ mentre partono $N$ creste e l’orologio in $B$ segna $\Delta\tau_B$ mentre arrivano, $N = f_A\,\Delta\tau_A = f_B\,\Delta\tau_B$ , e

\frac{\Delta\tau_A}{\Delta\tau_B} = \frac{f_B}{f_A} = 1 + \frac{\Phi_A - \Phi_B}{c^2} .

L’orologio più in alto va più veloce. Prendendo come riferimento un orologio lontanissimo, dove $\Phi = 0$ , un orologio fermo in un punto di potenziale $\Phi$ segna, al primo ordine,

d\tau = \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)dt .

Con $\Phi = -GM/r$ negativo vicino a una massa, gli orologi vicini alle masse vanno più lenti. L’effetto fu misurato per la prima volta nel 1959-1960 da Robert Pound e Glen Rebka, con raggi gamma che scendevano una torre di 22,5 m ad Harvard. Nel 2010 orologi atomici ottici del NIST lo hanno rivelato su un dislivello di 33 cm.

Il grafico di $\Phi(r)/c^2$ con $\Phi = -GM/r$ , dalla superficie terrestre fino oltre l’orbita dei satelliti GPS. La curva sale avvicinandosi a zero, il valore per un orologio infinitamente lontano. Sono segnati il suolo e l’orbita GPS: la differenza tra i due valori, circa $5{,}3 \times 10^{-10}$ , è la frazione di cui l’orologio in orbita va più veloce di quello a terra per effetto della sola gravità.

Il termine correttivo $gh/c^2$ è piccolo finché $h \ll c^2/g$ . Con $g = 9{,}81$ m/s², $c^2/g \approx 9 \times 10^{15}$ m, quasi un anno luce: nessun dislivello terrestre ci si avvicina. Moltiplicando per la massa $m$ di una particella la condizione diventa $mgh \ll mc^2$ : gli effetti gravitazionali sul tempo sono trascurabili quando l’energia potenziale in gioco è molto minore dell’energia a riposo.

La luce si curva

Lo stesso razzo, visto da fuori, mostra un secondo effetto. Un osservatore inerziale $K$ vede un impulso di luce che attraversa il razzo in orizzontale, lungo l’asse $x$ . Il razzo $K'$ , fermo rispetto a $K$ nell’istante in cui l’impulso entra, accelera con accelerazione $g$ lungo $y$ .

Proposizione (la luce in un sistema accelerato)

Per tempi in cui la velocità del razzo resta molto minore di $c$ , nelle coordinate del razzo la traccia dell’impulso è la parabola

y' = y_0 - \frac{g}{2c^2}\,x'^2 .

Dimostrazione.

Finché $gt \ll c$ le coordinate del razzo sono legate a quelle di $K$ dalla cinematica classica: $x' = x$ e $y' = y - \tfrac12 gt^2$ , con il tempo uguale nei due sistemi. Le correzioni relativistiche sono dell’ordine di $(gt/c)^2$ . In $K$ l’impulso si muove secondo $x = ct$ , $y = y_0$ . Quindi $x' = ct$ e $y' = y_0 - \tfrac12 gt^2$ ; eliminando $t = x'/c$ si ottiene la parabola.

Fine della dimostrazione.

Un raggio di luce entra da una parete del razzo in orizzontale. Per un osservatore inerziale all’esterno il raggio procede in linea retta; nel razzo, che accelera verso l’alto, i punti in cui colpisce le pareti successive sono sempre più in basso, e la traiettoria disegnata sul laboratorio è un arco di parabola, $y' = y_0 - g x'^2 / (2c^2)$ . La curvatura è esagerata: su un laboratorio di 10 m di larghezza il raggio scende di circa $5 \times 10^{-15}$ m. Nell’animazione il lampo attraversa il razzo e lascia la sua traccia sul laboratorio.

Per il principio di equivalenza anche in un campo gravitazionale la luce deve curvarsi. Il risultato sorprende, perché la luce non ha massa e la legge di Newton non la attira. Ma l’idea non era nuova. Alla fine del Settecento molti pensavano, con Newton, che la luce fosse fatta di corpuscoli, soggetti come ogni altro corpo alla gravità. Nel 1783 John Michell ipotizzò stelle così massicce da non lasciar sfuggire la luce, e nel 1801 Johann von Soldner calcolò la deviazione di un raggio che passa accanto al Sole. Negli stessi anni gli esperimenti di interferenza di Thomas Young mostrarono che la luce si comporta come un’onda, e per più di un secolo nessuno pensò più che la gravità potesse agire sulla luce.

Proposizione (deviazione newtoniana della luce)

Un corpuscolo che viaggia con velocità $c$ e passa a distanza minima $b$ da una massa $M$ è deviato, al primo ordine in $GM/(c^2b)$ , di un angolo

\delta_N = \frac{2GM}{c^2b} .

Dimostrazione.

La deviazione è piccola, e al primo ordine si calcola lungo la traiettoria imperturbata: la retta $y = b$ percorsa con $x = ct$ , con $M$ nell’origine. La componente dell’accelerazione di gravità perpendicolare alla traiettoria vale $GMb/(b^2 + x^2)^{3/2}$ . La velocità perpendicolare acquistata in tutto il passaggio è

\Delta v_\perp = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{GMb}{(b^2 + c^2t^2)^{3/2}}\,dt = \frac{GMb}{c}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(b^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{GMb}{c}\cdot\frac{2}{b^2} = \frac{2GM}{bc},

dove l’integrale si calcola con la sostituzione $x = b\tan u$ , che lo trasforma in $\tfrac{1}{b^2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos u\,du = 2/b^2$ . L’angolo di deviazione è $\Delta v_\perp/c = 2GM/(c^2b)$ .

Fine della dimostrazione.

Per un raggio che sfiora il Sole, con $b$ uguale al raggio solare, $\delta_N \approx 0{,}88''$ . La relatività generale dà il doppio,

\delta = \frac{4GM}{c^2b} \approx 1{,}75'' ,

perché a curvare la luce contribuiscono due effetti di uguale peso: il diverso ritmo del tempo, che il principio di equivalenza cattura, e la curvatura dello spazio, che nessun ragionamento newtoniano contiene. La dimostrazione richiede la soluzione delle equazioni di Einstein attorno a una massa sferica, la metrica di Schwarzschild, e il calcolo delle geodetiche della luce: va oltre questo articolo. Einstein stesso nel 1911, prima della teoria completa, aveva ottenuto il valore dimezzato, e lo corresse nel 1915.

Il Sole al centro, la Terra a destra, una stella lontana a sinistra. Il raggio che parte dalla stella e passa rasente al bordo del Sole viene deviato di un angolo $\delta$ e arriva alla Terra da una direzione leggermente diversa: la posizione apparente della stella è spostata verso l’esterno rispetto al Sole. L’angolo è molto esagerato nel disegno; al bordo del Sole vale circa 1,75 secondi d’arco.

Le stelle vicine al bordo del Sole si vedono solo durante un’eclissi totale. Quella del 29 maggio 1919 fu osservata da due spedizioni organizzate da Frank Dyson e Arthur Eddington, a Sobral in Brasile e sull’isola di Príncipe, e le misure diedero un valore compatibile con $1{,}75''$ e incompatibile con quello newtoniano. La notizia fece di Einstein un personaggio famoso in tutto il mondo. Oggi la deflessione è verificata con radiosorgenti lontane a meglio di una parte su mille, e le lenti gravitazionali, galassie e ammassi che deformano e moltiplicano le immagini degli oggetti retrostanti, ne sono la manifestazione più spettacolare.

Fotografia in bianco e nero di un'eclissi totale di Sole: il disco scuro della Luna al centro, circondato dalla corona luminosa, su un cielo scuro. — Una delle lastre fotografiche dell’eclissi totale di Sole del 29 maggio 1919, ripresa a Sobral, in Brasile, da una delle due spedizioni organizzate da Frank Dyson e Arthur Eddington. Le stelle vicine al bordo del Sole, confrontate con le loro posizioni in fotografie notturne dello stesso campo, risultano spostate verso l’esterno di una quantità compatibile con la previsione della relatività generale.
F. W. Dyson, A. S. Eddington, C. Davidson, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 1920

Il moto come tempo proprio massimo

Una geodetica è, nel senso più semplice, la linea più breve tra due punti: una retta nel piano, un arco di cerchio massimo sulla sfera. Più in generale si chiama così una linea che rende stazionaria una grandezza calcolata lungo di essa. Il principio di Fermat dice che la luce segue le linee che rendono stazionario il tempo di percorrenza; il principio di minima azione dice che una particella segue quelle che rendono stazionaria l’azione. Per una particella libera in relatività ristretta l’azione è $-mc^2\int d\tau$ , e le geodetiche sono le linee di universo di tempo proprio massimo, cioè i moti uniformi.

In un campo gravitazionale debole il tempo proprio di un orologio in moto tiene conto di due effetti: la velocità lo rallenta, come in relatività ristretta, e il potenziale ne cambia il ritmo, come dice il corollario sullo spostamento della frequenza. Al primo ordine si combinano come

d\tau = \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\;dt .

Proposizione (la gravità di Newton dal tempo proprio)

Per velocità piccole rispetto a $c$ e $|\Phi| \ll c^2$ , l’azione $S = -mc^2\int d\tau$ di una particella tra due istanti fissati è, a meno di una costante e di termini di ordine superiore,

S = \int \left(\frac12 mv^2 - m\Phi\right)dt,

e il moto che la rende stazionaria soddisfa $m\mathbf a = -m\nabla\Phi$ .

Dimostrazione.

Con $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1 - v^2/(2c^2) + O(v^4/c^4)$ ,

\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)\left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right) = 1 + \frac{\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} + O\!\left(\frac{\Phi v^2}{c^4}\right),

quindi $-mc^2\,d\tau = \big(-mc^2 - m\Phi + \tfrac12 mv^2\big)\,dt$ a meno di termini di ordine superiore. Il termine $-mc^2\int dt = -mc^2(t_2 - t_1)$ è lo stesso per tutti i moti tra gli istanti fissati, e non cambia i moti che rendono stazionaria l’azione. Resta la lagrangiana $\tfrac12 mv^2 - m\Phi$ , le cui equazioni di Eulero-Lagrange, per la proposizione sul secondo principio dell’articolo sul principio di minima azione, sono $m\mathbf a = -m\nabla\Phi$ .

Fine della dimostrazione.

La parabola di un sasso lanciato, dunque, è il moto che tra la partenza e l’arrivo fa segnare all’orologio del sasso il tempo più lungo. Salire più in alto conviene, perché lassù il tempo scorre più veloce; ma per salire più in alto e arrivare nello stesso istante bisogna andare più veloci, e la velocità rallenta l’orologio. La parabola è il compromesso migliore. Nel ragionamento non c’è nessuna forza: solo il ritmo degli orologi, fissato dalla velocità e dalla quota.

Lo spazio curvo

Il sasso e la luce seguono geodetiche di uno spaziotempo in cui il ritmo del tempo, e come si vedrà anche la misura delle distanze, cambiano da un punto all’altro. In uno spaziotempo piatto le geodetiche sono rette; in uno curvo sono le «rette» della sua geometria, e viste con le coordinate di tutti i giorni appaiono come curve. Nella relatività generale la gravità non è una forza che devia i corpi dalle rette, ma la curvatura che la massa e l’energia imprimono allo spaziotempo. Nelle equazioni di Einstein il potenziale gravitazionale non compare: al suo posto ci sono il tensore metrico e le grandezze che ne misurano la curvatura.

Einstein passò il resto della vita a cercare di descrivere allo stesso modo anche l’elettromagnetismo, in una teoria del campo unificato, senza riuscirci. Nel frattempo si aggiunsero le interazioni forte e debole e la meccanica quantistica, e l’unificazione della gravità con le altre interazioni è ancora un problema aperto. Per costruire la geometria degli spazi curvi, invece, i prossimi articoli partono dagli spazi piatti.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Nell’esperimento di Pound e Rebka i raggi gamma percorrevano in verticale un dislivello di $22{,}5$ m. Quale variazione relativa di frequenza si misurava?

$\Delta f/f = gh/c^2 = 9{,}81 \cdot 22{,}5/(2{,}998 \times 10^8)^2 \approx 2{,}46 \times 10^{-15}$ .

Commento: una variazione di poche parti su $10^{15}$ si misura solo con righe di emissione estremamente strette. Pound e Rebka usarono l’effetto Mössbauer del ferro-57, in cui l’emissione e l’assorbimento avvengono senza rinculo del singolo nucleo, e compensarono lo spostamento muovendo la sorgente: un effetto Doppler che annullava quello gravitazionale. La velocità che lo compensa è $c\,\Delta f/f \approx 0{,}74$ μm/s.

Esercizio 2. I satelliti GPS orbitano a $26\,560$ km dal centro della Terra. Di quanto al giorno il loro orologio va avanti rispetto a uno a terra? Considera l’effetto gravitazionale, quello della velocità orbitale e quello della rotazione terrestre. Usa $GM/c^2 = 4{,}435$ mm, $R = 6371$ km, $GM = 3{,}986 \times 10^{14}$ m³/s² e la velocità di un punto dell’equatore, $465$ m/s.

Gravità: $(\Phi_{\text{orbita}} - \Phi_{\text{suolo}})/c^2 = (GM/c^2)(1/R - 1/r) = 4{,}435 \times 10^{-3} \cdot (1/6{,}371 \times 10^6 - 1/2{,}656 \times 10^7) \approx 5{,}29 \times 10^{-10}$ , cioè $45{,}7$ μs al giorno in anticipo.

Velocità orbitale: $v = \sqrt{GM/r} \approx 3{,}87$ km/s e $v^2/(2c^2) \approx 8{,}35 \times 10^{-11}$ , cioè $7{,}2$ μs al giorno in ritardo.

Rotazione terrestre: l’orologio a terra si muove a $465$ m/s, e rallenta di $v^2/(2c^2) \approx 1{,}2 \times 10^{-12}$ , circa $0{,}1$ μs al giorno, che si aggiungono all’anticipo del satellite.

In tutto il satellite va avanti di circa $45{,}7 - 7{,}2 + 0{,}1 \approx 38{,}6$ μs al giorno.

Commento: in $38{,}6$ μs la luce percorre circa $11{,}6$ km. Il GPS calcola le distanze dai tempi di arrivo dei segnali, e senza la correzione le posizioni sbaglierebbero di chilometri già dopo un giorno. Gli orologi dei satelliti sono regolati a terra per battere un po’ più lenti, così che in orbita tengano il passo con quelli al suolo. L’effetto della velocità si ricava dalla relatività ristretta, quello della gravità dal principio di equivalenza.

Esercizio 3. Calcola la deviazione di un raggio che sfiora il Sole secondo il calcolo corpuscolare newtoniano e secondo la relatività generale. Usa $GM_\odot/c^2 = 1{,}477$ km e $R_\odot = 6{,}957 \times 10^5$ km.

$\delta_N = 2GM/(c^2R) = 2 \cdot 1{,}477/695\,700 \approx 4{,}25 \times 10^{-6}$ rad. Un radiante vale $206\,265''$ , quindi $\delta_N \approx 0{,}88''$ , e $\delta = 2\delta_N \approx 1{,}75''$ .

Commento: $1{,}75''$ è l’angolo sotto cui si vede un oggetto di 1 cm da poco più di un chilometro. Le misure del 1919 avevano incertezze grandi, ma sufficienti a distinguere tra i due valori. L’errore più comune, anche in testi divulgativi, è dire che il valore di Soldner è «molto vicino» a quello di Einstein: è esattamente la metà.

Esercizio 4. Di quanto va più lento, in un anno, un orologio sulla superficie della Terra rispetto a uno lontanissimo, considerando solo il campo gravitazionale terrestre?

$|\Phi|/c^2 = GM/(Rc^2) = 4{,}435 \times 10^{-3}/6{,}371 \times 10^6 \approx 6{,}96 \times 10^{-10}$ . In un anno, $3{,}156 \times 10^7$ s, la differenza è $6{,}96 \times 10^{-10} \cdot 3{,}156 \times 10^7$ s $\approx 22$ ms.

Commento: il potenziale si misura a partire da un riferimento, qui l’infinito, e solo le differenze di potenziale hanno effetti misurabili. Il campo del Sole aggiunge, sulla Terra, un termine circa quattordici volte più grande, $GM_\odot/(c^2 d) \approx 10^{-8}$ , uguale però per tutti gli orologi terrestri e quindi invisibile nel loro confronto.

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