Il cortocircuito e le protezioni

Un contatto che non dovrebbe esserci

I conduttori di un impianto sono isolati tra loro, verso le parti metalliche collegate a terra e verso la terra, e l’isolamento è dimensionato per reggere la tensione di esercizio per tutta la vita dell’impianto. Un cortocircuito è un contatto accidentale, diretto o attraverso un’impedenza piccola, tra due punti che dovrebbero stare a potenziali diversi. Le cause sono quasi sempre un isolamento che cede: un isolante invecchiato, un cavo schiacciato o tranciato durante un lavoro, l’umidità in una giunzione. Nelle linee aeree si aggiungono i fulmini, i rami che cadono sui conduttori, il sale e lo sporco sugli isolatori, il vento e il ghiaccio che avvicinano i conduttori.

Un cortocircuito produce correnti molto più grandi di quelle normali, con tre effetti. I conduttori si scaldano, con una potenza proporzionale al quadrato della corrente, e gli isolanti si danneggiano. I conduttori percorsi dalla corrente di guasto si attraggono o si respingono con forze proporzionali al prodotto delle correnti, che deformano sbarre e avvolgimenti e rompono gli isolatori. E la tensione crolla nel punto di guasto e si abbassa in tutta la rete vicina. Il guasto va eliminato presto, e isolando solo la parte guasta dell’impianto.

Un cortocircuito non va confuso con un sovraccarico, una corrente superiore a quella per cui il circuito è stato progettato ma in un circuito elettricamente sano: troppi apparecchi sulla stessa linea, un motore bloccato. Le correnti di sovraccarico sono di poche volte la nominale e si possono tollerare per un po’; quelle di cortocircuito arrivano a centinaia o migliaia di volte, e vanno interrotte in frazioni di secondo.

La corrente di cortocircuito

In un impianto l’impedenza equivalente è la serie di quella della rete a monte, riportata alla tensione del guasto, del trasformatore e delle linee fino al punto di guasto. Per la rete a monte basta di solito la potenza di cortocircuito $S_{cc}$ nel punto di consegna, da cui $Z = V^2/S_{cc}$; per il trasformatore vale $Z_{eq} = (v_k\%/100)\,V_n^2/S_n$, dall’articolo sul trasformatore. Le norme per il calcolo aggiungono un fattore un po’ maggiore di $1$ sulla tensione, per tenere conto delle reti che lavorano sopra la tensione nominale, e trascurano il carico, perché la sua impedenza è molto più grande di quella di guasto; fanno eccezione i grandi motori, che durante il guasto si comportano per un breve tempo da generatori.

In un sistema trifase il guasto più frequente è quello tra una fase e la terra, il più gravoso in bassa tensione è di solito quello tra le tre fasi. Il guasto trifase è simmetrico, e si calcola con il monofase equivalente: con tensione concatenata $V$ e impedenza per fase $Z$ la corrente è $V/(\sqrt3\,Z)$. Il guasto bifase, tra due fasi, chiude la tensione concatenata su due impedenze di fase in serie, e la sua corrente è $V/(2Z) = (\sqrt3/2)\cdot V/(\sqrt3\,Z)$, l’$87\%$ di quella trifase. I guasti verso terra dipendono da come è collegato a terra il centro stella, e hanno un paragrafo più avanti.

Il transitorio di cortocircuito

La corrente di regime non è tutta la storia. Il guasto è una manovra in una rete con induttanze, e la corrente in un induttore non può saltare: dopo il guasto c’è un transitorio.

La corrente ha una componente sinusoidale, quella di regime, e una componente unidirezionale che si smorza con la costante di tempo $\tau$. L’ampiezza della seconda dipende dall’istante del guasto. Se $\alpha = \varphi$ la componente unidirezionale non c’è; se $\alpha - \varphi = -\pi/2$ è massima, e la corrente parte da zero con la componente unidirezionale pari al picco della sinusoide. Nelle reti, dove la reattanza supera di molto la resistenza, $\varphi$ è vicino a $\pi/2$, e il caso peggiore è il guasto che avviene quando la tensione passa per zero. Dopo mezzo periodo le due componenti si sommano quasi, e la corrente arriva vicino al doppio del picco di regime. I sostegni delle sbarre e gli interruttori devono reggere questo primo picco, non solo il valore efficace.

Vicino ai generatori delle centrali la storia è più complicata. Le reattanze interne delle macchine rotanti crescono nei primi periodi del guasto, e anche la componente sinusoidale si riduce nel tempo, fino al valore di regime.

Guasti a terra e stato del neutro

In un guasto tra una fase e la terra la corrente torna alla sorgente attraverso il terreno, e quanto vale dipende da come il centro stella dei trasformatori e dei generatori è collegato a terra. Con il neutro a terra, come nelle reti di bassa tensione e in quelle di alta tensione, il guasto chiude un anello a bassa impedenza: la corrente è grande, simile a quella dei cortocircuiti tra fasi, e le protezioni intervengono. Con il neutro isolato il guasto è l’unico punto della rete collegato a terra, e l’anello si chiude solo attraverso le capacità verso terra dei conduttori.

Il neutro isolato ha un vantaggio e un difetto. Il vantaggio è che un primo guasto a terra produce una corrente piccola e la rete può continuare a funzionare, quanto basta per trovare il guasto. Il difetto è che l’isolamento verso terra delle fasi sane deve reggere la tensione concatenata, e che nelle reti estese, soprattutto in cavo, le capacità diventano grandi e la corrente di guasto con loro. Molte reti di media tensione collegano allora il centro stella a terra attraverso una bobina di Petersen, un induttore regolato in modo che la sua corrente compensi quella capacitiva.

Il riscaldamento di un cavo in cortocircuito

Un cortocircuito dura al più qualche decimo di secondo, un tempo molto più breve della costante di tempo termica di un cavo. In quel tempo il calore non fa in tempo a uscire, e tutta l’energia dissipata dalla corrente scalda il conduttore: il riscaldamento è adiabatico. L’isolante, a contatto con il conduttore, ne prende la temperatura, e non deve superare una temperatura massima fissata dal materiale: $160$ °C per il PVC, oltre la quale rammollisce, $250$ °C per la gomma etilenpropilenica, l’EPR.

Per il rame $c = 3{,}45$ MJ/(m³·K), $\rho_0 = 1{,}58\times10^{-8}\ \Omega\,$m e $\alpha_0 = 1/234{,}5$ K⁻¹. Con l’isolamento in PVC, da $70$ a $160$ °C, la formula dà $K = 115$ A·s½/mm²; con l’EPR, da $90$ a $250$ °C, $K = 143$ A·s½/mm². Sono i valori che le norme usano per i cavi in rame; per l’alluminio, che conduce peggio e ha una capacità termica minore, $K$ vale circa $76$ con il PVC e $94$ con l’EPR. L’energia tollerabile cresce con il quadrato della sezione: un cavo più grosso produce meno calore, perché ha una resistenza minore, e ha più metallo da scaldare.

Le protezioni

Il dispositivo più diffuso negli impianti di bassa tensione è l’interruttore automatico magnetotermico, che ha due sganciatori. Lo sganciatore termico è una lamina bimetallica scaldata dalla corrente: più la corrente è alta, prima la lamina si piega abbastanza da aprire i contatti, e interviene sui sovraccarichi con un tempo che diminuisce all’aumentare della corrente. Lo sganciatore magnetico è una bobina che, oltre una soglia di corrente, attira un’ancora e apre l’interruttore in pochi millisecondi, senza ritardo intenzionale: interviene sui cortocircuiti. All’apertura dei contatti si forma un arco, che una camera di spegnimento divide e raffredda fino a estinguerlo.

Per gli interruttori per usi domestici e similari la norma fissa dei punti della caratteristica. Con la corrente convenzionale di non intervento, $1{,}13\,I_n$, l’interruttore non deve intervenire entro un’ora; con la corrente convenzionale di intervento, $I_f = 1{,}45\,I_n$, deve intervenire entro un’ora. La soglia magnetica distingue le curve: tra $3$ e $5\,I_n$ per la curva B, adatta a linee lunghe e carichi resistivi, tra $5$ e $10\,I_n$ per la curva C, di uso generale, tra $10$ e $20\,I_n$ per la curva D, per i carichi con forti correnti di spunto come motori e trasformatori. Sotto la soglia bassa l’interruttore non interviene entro $0{,}1$ s, sopra quella alta interviene entro $0{,}1$ s.

Il fusibile è un conduttore calibrato, chiuso in una cartuccia, che fonde quando la corrente è troppo alta per troppo tempo. Anche per i fusibili il tempo di intervento diminuisce con la corrente, e si definiscono una corrente convenzionale di non fusione e una di fusione, che per i fusibili di uso generale di taglia media vale circa $1{,}6\,I_n$. Un fusibile non si riarma: va sostituito. In compenso i fusibili limitatori interrompono le correnti di cortocircuito elevate prima che raggiungano il loro primo picco, e lasciano passare un’energia specifica molto piccola.

Coordinare il cavo e la protezione

Una linea si protegge guardando quattro correnti. La corrente di impiego $I_b$ è quella che il circuito porta in servizio normale. La portata $I_z$ è la corrente che il cavo può portare in permanenza senza che l’isolante superi la temperatura massima di servizio, e dipende dalla sezione, dall’isolante e da come il cavo è posato. La corrente nominale $I_n$ è quella del dispositivo di protezione, e $I_f$ è la sua corrente convenzionale di intervento.

La prima condizione dice che la protezione non deve intervenire in servizio normale e non deve lasciar passare in permanenza più della portata. La seconda è un compromesso fissato dalle norme: tra $I_n$ e $I_f$ l’intervento non è garantito, e una corrente in quell’intervallo potrebbe restare a lungo; le norme accettano che il cavo lavori così fino a $1{,}45\,I_z$, con una perdita di vita che resta piccola, perché servono insieme una sovracorrente proprio in quell’intervallo, di lunga durata, e un dispositivo che non interviene. Per un interruttore automatico $I_f = 1{,}45\,I_n$, e la seconda condizione segue dalla prima. Per un fusibile con $I_f = 1{,}6\,I_n$ diventa $1{,}6\,I_n \le 1{,}45\,I_z$, cioè $I_n \le 0{,}9\,I_z$: a parità di cavo, il fusibile deve essere un po’ più piccolo.

Contro il cortocircuito le condizioni sono tre. Il potere di interruzione del dispositivo non deve essere minore della corrente di cortocircuito più alta nel punto in cui è installato, cioè quella di un guasto ai suoi morsetti. L’energia specifica che lascia passare, che i costruttori danno in funzione della corrente di cortocircuito, non deve superare $K^2S^2$. E un guasto in fondo alla linea, dove la corrente di cortocircuito è minima perché si somma l’impedenza di tutto il cavo, deve superare la soglia dello sganciatore magnetico; altrimenti per l’interruttore è un sovraccarico, e l’intervento arriva tardi. Quest’ultima condizione fissa una lunghezza massima protetta per ogni cavo e ogni interruttore.

In un impianto le protezioni sono in serie, dal quadro generale a quelli delle singole utenze. Si coordinano in modo selettivo: per un guasto su una linea deve intervenire solo la protezione più vicina, a monte del guasto, e le altre devono restare chiuse, così che il resto dell’impianto continui a funzionare.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. La rete di media tensione ha nel punto di consegna una potenza di cortocircuito di $500$ MVA, e alimenta il trasformatore da $630$ kVA, $15/0{,}4$ kV, $v_k\% = 4$, $p_k\% = 1$ dell’articolo sul trasformatore. Calcola la corrente di cortocircuito trifase sulle sbarre di bassa tensione e in fondo a una linea di $50$ m in cavo di rame da $25$ mm², con $r = 0{,}727\ \Omega$/km e $x = 0{,}08\ \Omega$/km. Considera la rete a monte puramente reattiva e trascura il fattore sulla tensione.

Riportata a $400$ V, la rete a monte ha $X = 400^2/(500\times10^6) = 0{,}32$ mΩ. Il trasformatore ha $R = 2{,}54$ mΩ e $X = 9{,}84$ mΩ. Sulle sbarre $Z = \sqrt{2{,}54^2 + 10{,}16^2} = 10{,}47$ mΩ e

$$I_{cc} = \frac{400}{\sqrt3\cdot 10{,}47\times10^{-3}}\ \text{A} = 22{,}1\ \text{kA} .$$

Il cavo aggiunge $R = 36{,}4$ mΩ e $X = 4{,}0$ mΩ: in fondo alla linea $Z = \sqrt{38{,}9^2 + 14{,}2^2} = 41{,}4$ mΩ e $I_{cc} = 5{,}58$ kA.

Commento: con una rete a monte di potenza infinita la corrente sulle sbarre sarebbe $22{,}7$ kA; il trasformatore pesa molto più della rete. Cinquanta metri di cavo dividono la corrente per quattro, perché la resistenza del cavo supera di molto l’impedenza del trasformatore. L’interruttore sulle sbarre deve avere un potere di interruzione di almeno $25$ kA; uno in fondo alla linea può averne uno molto più basso.

Esercizio 2. Una linea trifase in cavo di rame da $16$ mm² isolato in PVC ha una portata di $69$ A nelle sue condizioni di posa e alimenta un carico con corrente di impiego di $50$ A. È protetta da un interruttore magnetotermico da $63$ A con curva C. Verifica la protezione dal sovraccarico, il tempo massimo che il cavo tollera con una corrente di cortocircuito di $3$ kA e la corrente minima di cortocircuito in fondo alla linea. Andrebbe bene un fusibile da $63$ A?

$50 \le 63 \le 69$ A: la protezione dal sovraccarico è verificata, e per un interruttore automatico anche $I_f = 1{,}45\cdot 63 = 91$ A non supera $1{,}45\cdot 69 = 100$ A. Il cavo tollera $K^2S^2 = 115^2\cdot 16^2 = 3{,}39\times10^6$ A²s: con $3$ kA, se la corrente fosse costante, per $3{,}39\times10^6/(3000^2) = 0{,}38$ s. Con la curva C lo sganciatore magnetico interviene in meno di $0{,}1$ s oltre $10\,I_n = 630$ A, e il guasto in fondo alla linea deve dare almeno $630$ A. Un fusibile da $63$ A no: dovrebbe essere $I_n \le 0{,}9\cdot 69 = 62$ A.

Commento: un fusibile da $50$ A rispetterebbe la condizione, ma con una corrente di impiego di $50$ A lavorerebbe esattamente alla sua corrente nominale. In questi casi si passa a un cavo più grosso. Il tempo di $0{,}38$ s va confrontato con l’energia specifica passante data dal costruttore dell’interruttore, che per un intervento magnetico è molto più piccola di quella calcolata con la corrente costante.

Esercizio 3. In una rete con $X/R = 10$, a $50$ Hz, la corrente di cortocircuito di regime ha valore efficace $20$ kA. Stima il primo picco della corrente nel caso più sfavorevole.

La costante di tempo è $\tau = L/R = 10/\omega = 31{,}8$ ms. Nel caso più sfavorevole, con $\varphi$ quasi $\pi/2$, la corrente è circa $\sqrt2\cdot 20\,[-\cos\omega t + e^{-t/\tau}]$ kA, e il primo picco cade dopo circa mezzo periodo, $t = 10$ ms, dove $-\cos\omega t = 1$ ed $e^{-0{,}01/0{,}0318} = 0{,}73$. Il picco è $\sqrt2\cdot 20\cdot 1{,}73 = 49$ kA, contro i $28{,}3$ kA della sola componente sinusoidale.

Commento: il calcolo numerico con la formula completa del teorema dà lo stesso valore, $49{,}0$ kA. Con $X/R$ più alto, come vicino ai grandi trasformatori, la componente unidirezionale si smorza più piano e il picco si avvicina a $2\sqrt2$ volte il valore efficace.

Esercizio 4. Una rete di media tensione a $20$ kV con il neutro isolato comprende $50$ km di cavo, con una capacità verso terra di $0{,}25$ μF/km per fase. Calcola la corrente di un guasto franco a terra e la tensione verso terra delle fasi sane.

La capacità per fase è $C = 50\cdot 0{,}25 = 12{,}5$ μF e la tensione di fase $E = 20\,000/\sqrt3 = 11{,}55$ kV. La corrente di guasto è $I_g = 3\omega CE = 3\cdot 314\cdot 12{,}5\times10^{-6}\cdot 11\,547 = 136$ A, e le fasi sane salgono a $20$ kV verso terra.

Commento: $136$ A in un guasto a terra non bastano a far intervenire le protezioni di massima corrente, ma sono troppi per lasciare che l’arco si spenga da solo, e il guasto può degenerare. Una bobina di Petersen con reattanza tale che $E/X_L = 3\omega CE$, cioè $X_L = 1/(3\omega C) = 85\ \Omega$, compenserebbe quasi del tutto la corrente capacitiva.