Integratore a finestra e boxcar averager

Un impulso nel rumore

Il filtro dell’articolo precedente mediava un segnale costante. Se il segnale è invece un impulso breve — la luce raccolta da un fotomoltiplicatore dopo un lampo laser, il segnale di un rivelatore di particelle, l’eco di un sonar — il filtro passa-basso si trova in difficoltà. Con una costante di tempo $T$ molto più corta della durata $T_P$ dell’impulso l’uscita segue il segnale, ma raccoglie molto rumore; con una $T$ lunga il rumore scende, ma l’impulso non fa in tempo a caricare il condensatore e il segnale si abbassa.

Un filtro che invece integrasse l’ingresso solo per la durata dell’impulso farebbe meglio. Per la proposizione sulla media uniforme dell’articolo precedente, con un segnale costante dentro una finestra di durata $T_G$ il peso migliore è quello costante, e il rumore che passa è $S/2T_G$: con $T_G = T_P$ il rapporto segnale-rumore è $A\sqrt{2T_P/S} = 1{,}414\,A\sqrt{T_P/S}$, l’$11\%$ in più del filtro RC ottimo. E soprattutto il filtro non raccoglie nulla fuori dalla finestra: se gli impulsi sono rari, tutto il tempo tra un impulso e l’altro non aggiunge rumore.

Un filtro che si accende e si spegne non è più tempo-invariante, e la teoria dell’articolo sul rumore nei circuiti non basta: serve estenderla.

Filtri tempo-varianti

Un sistema lineare ma non tempo-invariante non ha una risposta all’impulso sola: ha una risposta che dipende anche da quando l’impulso arriva. Si chiama funzione peso $w(t, \tau)$ la risposta all’istante $t$ a un impulso applicato all’istante $\tau$, e per la linearità l’uscita è

$$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,w(t, \tau)\,d\tau ,$$

con $w(t, \tau) = 0$ per $\tau > t$, perché l’effetto non precede la causa. Per un sistema tempo-invariante $w(t, \tau) = h(t - \tau)$, la risposta all’impulso ribaltata e spostata, ma in generale $w$ dipende separatamente dai due istanti.

È la stessa struttura del caso tempo-invariante, con l’autocorrelazione della risposta all’impulso sostituita da quella della funzione peso, calcolata all’istante in cui si legge l’uscita. Nel dominio delle frequenze si definisce $W(t, f)$, la trasformata di $w(t, \tau)$ rispetto a $\tau$, e per il teorema di Parseval il rumore è $\int S_x(f)\,|W(t, f)|^2\,df$ con le densità bilatere; il segnale, però, non si scrive più come $X(f)H(f)$, e per i filtri tempo-varianti conviene quasi sempre lavorare nel tempo.

L’integratore a finestra

L’integratore a finestra è il filtro tempo-variante più semplice: un integratore che lavora solo mentre un interruttore è chiuso. L’interruttore $S_1$ collega l’ingresso all’integratore per la durata $T_G$ della finestra, e un secondo interruttore $S_2$, in parallelo al condensatore, scarica l’integratore prima della finestra successiva. La finestra è aperta da un segnale di trigger, ricavato di solito dall’esperimento — l’impulso di scarica del laser, il segnale di sincronismo del generatore.

Il rapporto segnale-rumore si confronta con quello all’ingresso come nell’articolo precedente. Con un rumore quasi bianco di tempo di correlazione $\tau_0$, cioè con banda $f_n = 1/2\tau_0$, e un segnale costante $A$ durante la finestra, all’uscita si ha $A\sqrt{2T_G/S}$ e all’ingresso $A\sqrt{2\tau_0/S}$:

$$\left(\frac{S}{N}\right)_y = \left(\frac{S}{N}\right)_x\sqrt{\frac{T_G}{\tau_0}} = \left(\frac{S}{N}\right)_x\sqrt{\frac{f_n}{B_n}} ,$$

la stessa forma del filtro passa-basso. A parità di rumore un integratore a finestra $T_G$ equivale a un filtro RC con $T_F = T_G/2$, perché $1/2T_G = 1/4T_F$. Gli zeri della funzione di trasferimento servono anche a un altro scopo: scegliendo la finestra multipla del periodo di un disturbo periodico — la rete, il clock di un convertitore — il disturbo si cancella, come per la media su una finestra.

Un integratore a finestra reale ha qualche dettaglio in più. Il segnale di trigger passa per un discriminatore e per la logica di comando, che introducono un ritardo difficile da prevedere: si mette allora un ritardo fisso e abbondante sulla linea del segnale e un ritardo variabile su quella del comando, e lo si regola finché la finestra cade sull’impulso. Le finestre vanno da qualche nanosecondo a decine di microsecondi, il guadagno da $1$ a $1000$, e tra una finestra e l’altra serve un tempo morto di qualche microsecondo per azzerare il condensatore, che limita la frequenza di ripetizione a qualche decina di kilohertz.

Impulsi ripetuti: il boxcar averager

Se gli impulsi sono molti e uguali, misurarne uno solo è uno spreco. Basta non azzerare il condensatore: ogni finestra aggiunge il suo contributo, i segnali si sommano in fase mentre i rumori si sommano in quadratura, e dopo $N$ impulsi il rapporto segnale-rumore è migliorato di $\sqrt N$. Il boxcar averager fa questo con una media esponenziale invece che uniforme: è un filtro RC il cui interruttore lo collega all’ingresso solo durante le finestre, e che tra una finestra e l’altra tiene il valore raggiunto, perché il condensatore non ha dove scaricarsi.

La funzione peso si costruisce con lo stesso ragionamento di prima. Un impulso che arriva durante una finestra carica il condensatore, e quella carica decade solo mentre l’interruttore è chiuso: il peso è $e^{-\theta/T_F}/T_F$, con $\theta$ il tempo di interruttore chiuso che passa tra l’arrivo dell’impulso e la lettura. Un impulso che arriva a interruttore aperto non entra. La funzione peso è quindi l’esponenziale di un filtro RC, tagliata a pezzi e con le pause intercalate.

$N_{eq}$ è il numero di impulsi su cui la media esponenziale si estende davvero: con $T_F = 50\,T_C$ sono un centinaio. Il tempo per arrivare a regime è di circa $5\,T_F$ nel tempo equivalente, cioè $5T_F/T_C$ finestre, e dipende quindi dalla frequenza di ripetizione degli impulsi; il rapporto segnale-rumore finale, no.

Il confronto con il filtro passa-basso cambia se il rumore non è bianco. Il rumore all’uscita è $\int R_{xx}(\gamma)\,k_w(\gamma)\,d\gamma$, e l’autocorrelazione della funzione peso di un boxcar non è un’esponenziale larga come quella del filtro RC: è una serie di picchi, larghi $T_C$, alle distanze multiple del periodo di ripetizione, con la stessa altezza in $\gamma = 0$. Se il rumore è correlato su tempi più lunghi di $T_C$ ma più corti del periodo, il boxcar ne raccoglie molto meno, perché conta solo il picco centrale: campionare a intervalli lunghi rende indipendenti campioni che un filtro continuo vedrebbe correlati.

I boxcar commerciali hanno finestre da un paio di nanosecondi a qualche decina di microsecondi, numero equivalente di campioni da uno a qualche migliaio e frequenza di ripetizione fino a un centinaio di kilohertz. Oltre alla misura a finestra fissa esiste il recupero della forma d’onda: si sposta poco per volta il ritardo del trigger, mediando su molti impulsi a ogni posizione, e si ricostruisce punto per punto la forma dell’impulso. È lo stesso principio del campionamento in tempo equivalente degli oscilloscopi a campionamento, e permette di ricostruire segnali molto più veloci di quanto l’elettronica di misura saprebbe seguire in tempo reale.

Il ratemeter

Spostando l’interruttore prima del buffer si ottiene un circuito che sembra uguale ma non lo è: il ratemeter. L’interruttore aperto stacca l’ingresso, ma il condensatore continua a scaricarsi sulla resistenza, perché il buffer che lo precede resta collegato. La funzione peso è allora l’esponenziale del filtro RC nel tempo vero, campionata dalle finestre: le finestre più vecchie pesano molto meno che in un boxcar.

La differenza tra i due circuiti è tutta qui: nel boxcar conta solo quanti impulsi si sommano, nel ratemeter conta anche quanto tempo passa tra uno e l’altro, perché nel frattempo la memoria si scarica. Con impulsi radi il ratemeter è molto peggiore; con impulsi fitti, $T_O \ll T_C$, i due coincidono. In compenso il ratemeter ha una proprietà che gli dà il nome: per $T \ll T_F$ la sua uscita vale circa $A\,T_C/T$, proporzionale alla frequenza degli impulsi, ed è il circuito con cui si misura il rateo di conteggio di un rivelatore di radiazione.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un impulso triangolare sale da zero ad $A$ in $T_P = 100$ μs e poi torna a zero di colpo, in un rumore bianco di $20$ nV/√Hz. Qual è l’ampiezza minima misurabile, con rapporto segnale-rumore $1$, usando un filtro RC con $T_F = 100$ μs? E con un integratore a finestra, scegliendo la finestra migliore? E se l’impulso è rovesciato, cioè parte da $A$ e scende a zero?

Soluzione. Il rumore del filtro RC è $\sqrt{S/4T_F} = 1$ μV, e la sua uscita, massima alla fine della rampa, vale $A(1 - 1 + e^{-1}) = A/e$: serve $A_{min} = e\cdot1\ \mu\text{V} = 2{,}72$ μV. L’integratore a finestra, con la finestra $T_G$ che finisce con l’impulso, dà un segnale $KAT_G(1 - T_G/2T_P)$ e un rumore $K\sqrt{ST_G/2}$, cioè

$$\frac{S}{N} = A\sqrt{\frac{2T_G}{S}}\left(1 - \frac{T_G}{2T_P}\right) ,$$

massimo per $T_G = 2T_P/3$, dove vale $(4/3\sqrt3)A\sqrt{T_P/S}$: con $\sqrt{T_P/S} = 5\times10^5$ V⁻¹ si ha $A_{min} = 2{,}60$ μV. Integrando tutto l’impulso sarebbe $2{,}83$ μV. Per l’impulso rovesciato l’integratore non cambia, mentre il filtro RC ha uscita $(A/T_P)[T_P + T_F - t - (T_P + T_F)e^{-t/T_F}]$, massima in $t = T_F\ln2$, dove vale $A(1 - \ln 2) = 0{,}307\,A$: serve $A_{min} = 3{,}26$ μV.

Commento. La finestra migliore non è tutto l’impulso: la prima parte della rampa porta poco segnale e tutto il suo rumore, e conviene lasciarla fuori. Il filtro RC, invece, dipende dalla forma: con la rampa rovesciata il segnale arriva quando il filtro non ha ancora memoria, e perde un altro $20\%$.

Esercizio 2. Un impulso di forma $A\sin(\pi t/T_P)$, con $T_P = 1$ μs, arriva con un rumore bianco di densità unilatera $S = 2\times10^{-12}$ V²/Hz. Quale finestra, centrata sul massimo, dà il rapporto segnale-rumore migliore?

Soluzione. Con l’origine nel massimo il segnale è $A\cos(\pi t/T_P)$. Una finestra larga $W$, centrata, dà $y = KA(2T_P/\pi)\sin(\pi W/2T_P)$ e un rumore $K\sqrt{SW/2}$. Posto $x = \pi W/2T_P$,

$$\frac{S}{N} = \frac{2A}{\sqrt\pi}\sqrt{\frac{T_P}{S}}\,\frac{\sin x}{\sqrt x} ,$$

e annullando la derivata di $\sin x/\sqrt x$ si ottiene $\tan x = 2x$, cioè $x = 1{,}166$, da cui $W = 0{,}74\,T_P = 0{,}74$ μs e $\sin x/\sqrt x = 0{,}851$. Il rapporto segnale-rumore è $679\,A$ con $A$ in volt: per $S/N = 10$ serve $A = 14{,}7$ mV.

Commento. Anche qui la finestra migliore è più stretta dell’impulso, e prendere tutto l’impulso ($x = \pi/2$) costerebbe il $6\%$. Il massimo è però molto piatto: sbagliare la finestra del $20\%$ toglie meno dell’$1\%$.

Esercizio 3. L’impulso triangolare del primo esercizio si ripete $100$ volte al secondo, con $A = 2{,}60$ μV, cioè con rapporto segnale-rumore $1$ su ogni impulso. Che boxcar averager serve per arrivare a $S/N = 10$? E se l’ampiezza si può considerare costante solo per $5$ s?

Soluzione. Serve $N_{eq} = 100$, cioè $T_F = N_{eq}T_C/2 = 50\,T_C = 3{,}33$ ms con la finestra $T_C = 66{,}7$ μs del primo esercizio. Il regime si raggiunge dopo circa $5T_F/T_C = 250$ finestre, cioè $2{,}5$ s. Se la misura dura al massimo $5$ s gli impulsi disponibili sono $N = 500$: conviene allungare la costante di tempo fino a usarli tutti, $5T_F = NT_C$, cioè $T_F = 100\,T_C = 6{,}67$ ms, che dà $N_{eq} = 200$ e $S/N = \sqrt{200} = 14$.

Commento. La costante di tempo si sceglie in modo che la memoria del filtro copra tutto il tempo di misura e non di più: più corta butta via impulsi, più lunga non fa in tempo ad arrivare a regime. Con una media uniforme su tutti i $500$ impulsi si avrebbe $\sqrt{500} = 22$, il $60\%$ meglio: è il solito vantaggio del peso uniforme, che però richiede di sapere in anticipo quando la misura finisce.

Esercizio 4. Impulsi rettangolari di $5$ μV e $100$ μs si ripetono ogni $5$ ms, dopo un amplificatore con rumore di $40$ nV/√Hz e banda di $100$ kHz. Quanto vale il rapporto segnale-rumore di un integratore a finestra? Quali $R$ e $C$ servono in un boxcar per arrivare a $10$? E che vincolo pone una corrente di polarizzazione di $2{,}5$ pA nel buffer che segue il condensatore?

Soluzione. La finestra naturale è l’impulso, $T_C = 100$ μs: $(S/N)_{sp} = A\sqrt{2T_C/S} = 1{,}77$. All’ingresso il rumore efficace è $\sqrt{S(\pi/2)f_p} = 15{,}9$ μV, cioè $S/N = 0{,}32$, e il rapporto tra i due è $\sqrt{f_n/B_n}$ con $f_n = (\pi/2)f_p = 157$ kHz e $B_n = 1/2T_C = 5$ kHz. Per arrivare a $10$ serve $N_{eq} = (10/1{,}77)^2 = 32$, cioè $T_F = N_{eq}T_C/2 = 1{,}6$ ms. Il resistore del filtro deve avere un rumore trascurabile rispetto a quello dell’amplificatore, $4kTR \ll S$, cioè $R \ll 97$ k$\Omega$: con $R = 10$ k$\Omega$ serve $C = 160$ nF. La corrente di polarizzazione scarica il condensatore durante le pause, e all’equilibrio la scarica pareggia la carica: $I_BT_O/C = (A - V_C)T_C/RC$. Perché l’errore $A - V_C$ resti sotto l’$1\%$ di $A$ serve $R \le AT_C/(100\,I_BT_O) = 408\ \Omega$, e allora $C = T_F/R = 4{,}1$ μF.

Commento. Il vincolo sulla corrente di polarizzazione è severo perché le pause sono cinquanta volte più lunghe delle finestre: la perdita si accumula per tutto quel tempo, mentre la ricarica ha solo la finestra per rimediare. Con condensatori così grandi si usano buffer a JFET o CMOS, con correnti di polarizzazione di pochi picoampere o meno. Anche la resistenza di ingresso del buffer conta: se fosse $1$ M$\Omega$, la scarica durante le pause aggiungerebbe un termine $T_OR/R_i$ accanto a $T_C$ nel numero equivalente di campioni.

Esercizio 5. Con gli stessi impulsi dell’esercizio precedente, che rapporto segnale-rumore darebbe un ratemeter con $T_F = 1{,}6$ ms? E quanto dovrebbe valere $T_F$ per arrivare a $10$?

Soluzione. Il periodo è $T = 5$ ms, e $N_{eq} = (1 + e^{-T/T_F})/(1 - e^{-T/T_F}) = 1{,}09$: la media si estende su poco più di un impulso. Il rapporto segnale-rumore è quello della singola finestra, $1{,}77$, per $\sqrt{1{,}09}$, cioè $1{,}85$. Per arrivare a $10$ servirebbe $N_{eq} = 32$ anche qui, cioè $T_F \simeq N_{eq}T/2 = 80$ ms, cinquanta volte più della costante di tempo del boxcar.

Commento. Con impulsi radi il boxcar vince nettamente, perché non dimentica nulla tra un impulso e l’altro. Il ratemeter, in cambio, con $T_F$ molto più lunga del periodo dà un’uscita proporzionale alla frequenza degli impulsi, $A\,T_C/T$, qui un cinquantesimo dell’ampiezza: non è un difetto ma il suo scopo, misurare quanti impulsi arrivano al secondo.