Il resistore

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Il componente più semplice

Il resistore è il componente che si trova in qualsiasi circuito, dal carica batterie al satellite, e anche quello che trasforma energia elettrica in calore nei forni, negli scaldabagno e nelle stufe. In italiano la stessa parola, resistenza, indica spesso il componente e la grandezza che lo caratterizza; qui il componente si chiama resistore e la grandezza resistenza. Le notizie sui resistori commerciali vengono dalle norme IEC 60062 e IEC 60063 e dai cataloghi dei costruttori.

Il campo di conduzione

Si parte da un esperimento semplice: si applica una tensione agli estremi di un conduttore. Nel conduttore nasce un campo elettrico $\mathbf E$ , che spinge le cariche libere con la forza $q\mathbf E$ . Le cariche però non accelerano senza limite: urtano continuamente il reticolo, e si comportano come corpi in un fluido molto viscoso, dove la velocità media diventa in fretta proporzionale alla forza.

Definizione (mobilità, conducibilità, resistività)

In un conduttore in cui i portatori liberi, $n$ per unità di volume e di carica $q$ , acquistano la velocità media $\mathbf u = \pm\mu\,\mathbf E$ (con il segno di $q$ ), la costante $\mu > 0$ è la mobilità, in m²/(V·s). La densità di corrente è allora

\mathbf J = nq\,\mathbf u = \sigma\,\mathbf E, \qquad \sigma = n\,|q|\,\mu ,

che è la legge di Ohm in forma locale. $\sigma$ è la conducibilità, in S/m, e il suo inverso $\rho = 1/\sigma$ è la resistività, in Ω·m.

La corrente ha lo stesso verso del campo qualunque sia il segno dei portatori: gli elettroni vanno contro il campo ma hanno carica negativa. Un modello semplice, dovuto a Paul Drude (1900), spiega da dove viene la proporzionalità.

Proposizione (modello di Drude)

Un portatore di massa $m$ e carica $q$ , soggetto al campo costante $\mathbf E$ e a una forza d’attrito $-(m/\tau)\,\mathbf u$ , partito da fermo, ha velocità

\mathbf u(t) = \frac{q\tau}{m}\,\mathbf E\,\big(1 - e^{-t/\tau}\big) .

Dopo pochi $\tau$ la velocità è $q\tau\mathbf E/m$ : la mobilità è $\mu = |q|\tau/m$ e la conducibilità $\sigma = nq^2\tau/m$ .

Dimostrazione.

L’equazione del moto è $m\,d\mathbf u/dt = q\mathbf E - (m/\tau)\,\mathbf u$ . La funzione $\mathbf u(t)$ dell’enunciato vale zero in $t = 0$ , e sostituendola, $m\,d\mathbf u/dt = q\mathbf E\,e^{-t/\tau}$ e $q\mathbf E - (m/\tau)\,\mathbf u = q\mathbf E - q\mathbf E\,(1 - e^{-t/\tau}) = q\mathbf E\,e^{-t/\tau}$ : l’equazione è soddisfatta, e per l’unicità della soluzione con dato iniziale fissato è quella cercata. Da $\mu = |q|\tau/m$ e dalla definizione, $\sigma = n|q|\mu = nq^2\tau/m$ .

Fine della dimostrazione.

Nel rame $\sigma \approx 5{,}96\times10^7$ S/m e gli elettroni liberi sono $n \approx 8{,}5\times10^{28}$ m⁻³. Ne seguono $\mu = \sigma/(ne) \approx 4{,}4\times10^{-3}$ m²/(V·s) e $\tau = m\mu/e \approx 2{,}5\times10^{-14}$ s: il regime si raggiunge in qualche centesimo di picosecondo, e per qualsiasi circuito è istantaneo. Con una densità di corrente di $1$ A/mm² il campo nel rame è $\rho J \approx 0{,}017$ V/m e la velocità di deriva $\mu E \approx 7\times10^{-5}$ m/s, lo stesso valore trovato nell’articolo sulle leggi di Kirchhoff contando le cariche.

Il modello è una semplificazione. Tra un urto e l’altro gli elettroni di un metallo si muovono a circa $10^6$ m/s, in direzioni casuali, e la deriva è una minuscola preferenza sovrapposta a questo moto; il perché della loro velocità, e del fatto che la resistività dipenda dalle vibrazioni del reticolo e dalle impurezze, lo spiega la meccanica quantistica. La forma della legge, però, resta: velocità media proporzionale al campo.

Gli elettroni in un conduttore percorrono tratti rettilinei tra un urto e l’altro, in direzioni casuali, e nel complesso scivolano lentamente contro il campo $\mathbf E$ . Gli ioni del reticolo sono i cerchietti vuoti. Nell’animazione la deriva è esagerata di molti ordini di grandezza: nel rame, con correnti usuali, è circa un decimiliardesimo della velocità tra gli urti.

La resistività è una delle grandezze fisiche con l’intervallo di valori più ampio: tra un buon conduttore e un buon isolante ci sono più di venti ordini di grandezza. I metalli stanno in basso, tra $10^{-8}$ e $10^{-6}$ Ω·m. I semiconduttori puri stanno in mezzo, e la loro resistività si abbassa di ordini di grandezza aggiungendo impurezze in quantità controllata, cosa su cui si regge tutta l’elettronica. In cima stanno gli isolanti.

La resistività di alcuni materiali a temperatura ambiente, in scala logaritmica: ogni tacca è un fattore cento. Rame e alluminio, i metalli dei cavi, stanno sotto $3\times10^{-8}$ Ω·m; il nicromo, una lega di nichel e cromo usata per le resistenze dei forni, è circa sessanta volte più resistivo del rame. I vetri arrivano oltre $10^{12}$ Ω·m.

Resistività e temperatura

Nei metalli la resistività cresce con la temperatura, perché le vibrazioni del reticolo aumentano e gli urti diventano più frequenti. In un intervallo di qualche centinaio di gradi la crescita è quasi lineare, e le tabelle danno la resistività a 20 °C con un coefficiente di temperatura $\alpha$ :

\rho(T) = \rho_{20}\,\big[1 + \alpha\,(T - 20\ ^\circ\text C)\big] .

Per il rame $\alpha \approx 3{,}9\times10^{-3}$ K⁻¹, per l’alluminio $4{,}0\times10^{-3}$ K⁻¹: un cavo che si scalda di $50$ gradi aumenta la sua resistenza di circa un quinto. Alcune leghe, come la manganina e la costantana, hanno coefficienti cento volte più piccoli e servono dove la resistenza deve restare ferma, nei resistori di precisione e negli shunt per misurare correnti. Il platino ha un coefficiente stabile e riproducibile, $3{,}85\times10^{-3}$ K⁻¹ nella norma IEC 60751, e un filo di platino da $100\ \Omega$ a 0 °C, il Pt100, è uno dei termometri più usati nell’industria. Nei semiconduttori succede il contrario: al crescere della temperatura aumentano i portatori liberi, e la resistività cala. I termistori NTC sfruttano questo effetto e perdono qualche per cento di resistenza per ogni grado.

Tre sensori di temperatura: una sonda con un tubetto metallico all'estremità di un cavo nero arrotolato e, accanto, due piccoli elementi nudi con due fili sottili, uno piatto e uno cilindrico. — Sensori Pt100. Nella sonda il resistore di platino è chiuso nel tubetto metallico all’estremità del cavo; accanto, due elementi nudi. Lo strumento a cui il sensore è collegato ne misura la resistenza e la converte in temperatura, $0{,}385\ \Omega$ per ogni grado.
dirkhb, pubblico dominio, via Wikimedia Commons

La resistenza di un conduttore

Proposizione (resistenza di un filo)

Un conduttore cilindrico di lunghezza $\ell$ , sezione $S$ e resistività uniforme $\rho$ , percorso in regime stazionario da una corrente $I$ con densità uniforme e parallela all’asse, ha ai capi la tensione $V = RI$ con

R = \rho\,\frac{\ell}{S} .

Dimostrazione.

La densità di corrente vale $J = I/S$ e, per la legge di Ohm locale, il campo è parallelo all’asse e vale $E = \rho J = \rho I/S$ in ogni punto. Integrando lungo l’asse da un estremo all’altro, $V = \int E\,d\ell = E\,\ell = \rho\,\ell\,I/S$ .

Fine della dimostrazione.

Un conduttore cilindrico di lunghezza $\ell$ e sezione $S$ . La corrente entra dal morsetto $A$ , attraversa il conduttore con densità $\mathbf J$ uniforme ed esce da $B$ . La resistenza cresce con la lunghezza e diminuisce con la sezione, come la difficoltà di far passare acqua in un tubo.

La resistenza dipende dal materiale, attraverso $\rho$ , e dalla geometria, attraverso $\ell/S$ . La stessa idea funziona in geometrie meno banali, purché la corrente attraversi superfici equipotenziali parallele tra loro.

Proposizione (resistenza lungo le linee di corrente)

Tra due elettrodi equipotenziali $A$ e $B$ la corrente attraversi un materiale di resistività $\rho(\ell)$ passando per una famiglia di superfici equipotenziali parallele, come piani paralleli, cilindri coassiali o sfere concentriche; sia $\ell$ la distanza da $A$ , $L$ quella di $B$ e $S(\ell)$ l’area della superficie a distanza $\ell$ . Se la densità di corrente è uniforme su ciascuna superficie, la resistenza tra $A$ e $B$ è

R = \int_0^L \frac{\rho(\ell)}{S(\ell)}\,d\ell .

Dimostrazione.

Il campo elettrico è perpendicolare alle superfici equipotenziali, e per la legge di Ohm locale lo è anche $\mathbf J$ . In regime stazionario $\nabla\cdot\mathbf J = 0$ , e la legge di Kirchhoff delle correnti applicata alla regione compresa tra due superfici dice che le attraversa la stessa corrente $I$ : su quella a distanza $\ell$ si ha $J(\ell)\,S(\ell) = I$ . Le superfici sono parallele, quindi le loro normali sono segmenti di lunghezza $L$ che vanno da $A$ a $B$ , e lungo una di esse

V_A - V_B = \int_0^L E\,d\ell = \int_0^L \rho(\ell)\,J(\ell)\,d\ell = I\int_0^L \frac{\rho(\ell)}{S(\ell)}\,d\ell .

Fine della dimostrazione.

Con $\rho$ ed $S$ costanti si ritrova $R = \rho L/S$ . Gli esercizi applicano la formula all’isolante di un cavo coassiale e al dispersore di un impianto di terra.

Le leggi di Ohm e di Joule

Nella teoria dei circuiti il conduttore scompare, e resta il bipolo che ne riassume il comportamento.

Definizione (resistore ideale)

Il resistore ideale di resistenza $R$ è il bipolo per cui, con la convenzione degli utilizzatori,

v(t) = R\,i(t) \quad \text{(legge di Ohm)},

con $R \ge 0$ costante. La conduttanza $G = 1/R$ si misura in siemens, e $i = Gv$ .

Proposizione (effetto Joule)

Un resistore ideale assorbe la potenza

p = R\,i^2 = G\,v^2 \ge 0 ,

cioè non può mai erogare potenza: è un bipolo passivo.

Dimostrazione.

Con la convenzione degli utilizzatori la potenza assorbita è $p = vi$ , e sostituendo $v = Ri$ oppure $i = Gv$ si ottengono le due espressioni, entrambe non negative.

Fine della dimostrazione.

Il calore si produce dentro il conduttore, punto per punto. Una carica che si muove con velocità $\mathbf u$ riceve dal campo la potenza $q\mathbf E\cdot\mathbf u$ , e sommando su tutte le cariche di un volumetto $d\tau$ si ottiene $\mathbf E\cdot\mathbf J\,d\tau = \rho J^2\,d\tau$ , la legge di Joule in forma locale. Che la somma su tutto il conduttore dia proprio $RI^2$ non è ovvio, e si dimostra.

Proposizione (potenza dissipata nel volume)

Un conduttore, circondato da un isolante, porti in regime stazionario la corrente $I$ tra due elettrodi equipotenziali $A$ e $B$ . Allora

\int_\tau \mathbf E\cdot\mathbf J\,d\tau = \int_\tau \rho\,J^2\,d\tau = (V_A - V_B)\,I ,

dove $\tau$ è il volume del conduttore.

Dimostrazione.

In regime stazionario il campo è conservativo, $\mathbf E = -\nabla V$ , e $\nabla\cdot\mathbf J = 0$ . Per l’identità $\nabla\cdot(V\mathbf J) = \nabla V\cdot\mathbf J + V\,\nabla\cdot\mathbf J$ si ha $\mathbf E\cdot\mathbf J = -\nabla\cdot(V\mathbf J)$ , e per il teorema della divergenza

\int_\tau \mathbf E\cdot\mathbf J\,d\tau = -\oint_{\partial\tau} V\,\mathbf J\cdot\mathbf n\,dS .

Sulla superficie laterale, a contatto con l’isolante, $\mathbf J\cdot\mathbf n = 0$ . Sull’elettrodo $A$ il potenziale vale $V_A$ e il flusso uscente di $\mathbf J$ è $-I$ , perché lì la corrente entra; su $B$ il potenziale vale $V_B$ e il flusso è $+I$ . Il secondo membro vale quindi $V_A I - V_B I$ . L’uguaglianza $\mathbf E\cdot\mathbf J = \rho J^2$ è la legge di Ohm locale.

Fine della dimostrazione.

La proposizione dà anche una definizione di resistenza valida per qualsiasi forma del conduttore, $R = \int_\tau \rho J^2\,d\tau\,/\,I^2$ , e ha una conseguenza importante: con le sole forze elettriche una corrente stazionaria non può circolare.

Proposizione (senza generatori non c'è corrente)

In regime stazionario, se il campo elettrico è conservativo in tutto lo spazio, la densità di corrente segue ovunque la legge di Ohm locale con $\sigma \ge 0$ e le correnti occupano una regione limitata, allora $\mathbf J = 0$ ovunque.

Dimostrazione.

Si ripete il calcolo della proposizione precedente su una sfera abbastanza grande da contenere tutti i conduttori. Sul bordo della sfera $\mathbf J = 0$ , quindi $\int \mathbf E\cdot\mathbf J\,d\tau = -\oint V\,\mathbf J\cdot\mathbf n\,dS = 0$ . Ma $\mathbf E\cdot\mathbf J = \sigma E^2$ non è mai negativo, e un integrale nullo di una funzione non negativa (e continua a tratti) impone che sia nulla quasi ovunque: dove $\sigma > 0$ il campo è nullo, e con lui $\mathbf J = \sigma\mathbf E$ ; dove $\sigma = 0$ la corrente è nulla per definizione.

Fine della dimostrazione.

In un anello fatto solo di resistori la corrente, se c’è, si esaurisce in una frazione di picosecondo. Per mantenerla serve un campo che non sia conservativo, prodotto da un sistema fisico di altra natura: una reazione chimica, un conduttore in moto in un campo magnetico, la luce su una giunzione. È il generatore, a cui è dedicato l’articolo sui generatori.

Due casi limite del resistore hanno un nome. Il cortocircuito ha $R = 0$ : la tensione ai capi è nulla qualunque sia la corrente, che dipende dal resto del circuito. Il circuito aperto ha $G = 0$ : la corrente è nulla qualunque sia la tensione. Entrambi assorbono potenza nulla.

Non tutti i bipoli che dissipano seguono la legge di Ohm. Il filamento di una lampadina a incandescenza, freddo, ha una resistenza molte volte più bassa che acceso, perché la resistività del tungsteno cresce con la temperatura: la relazione $v = R(i)\,i$ non è una retta. Un bipolo così è un resistore non lineare, e per piccole variazioni attorno a un punto di lavoro si descrive con la resistenza differenziale $dv/di$ . I diodi sono l’esempio più importante, e l’articolo sui metodi di analisi mostra come si risolve graficamente un circuito che li contiene.

Resistori in serie e in parallelo

Definizione (serie, parallelo, equivalenza)

Due bipoli sono in serie se hanno un morsetto in comune e a quel nodo non è collegato nient’altro; sono in parallelo se ciascun morsetto dell’uno è collegato a un morsetto dell’altro. Due bipoli sono equivalenti se hanno la stessa relazione tra tensione e corrente ai morsetti.

Scambiare un bipolo con uno equivalente non cambia niente nel resto del circuito, che dei bipoli vede solo tensioni e correnti ai morsetti.

Proposizione (resistenza equivalente di serie e parallelo)

$N$ resistori in serie equivalgono a un resistore di resistenza $R = R_1 + \dots + R_N$ ; $N$ resistori in parallelo equivalgono a un resistore di conduttanza $G = G_1 + \dots + G_N$ . In particolare due resistori in parallelo equivalgono a

R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} .

Dimostrazione.

In serie, la legge delle correnti applicata a ogni nodo interno, dove non è collegato nient’altro, dice che tutti i resistori sono percorsi dalla stessa corrente $i$ . Per la legge delle tensioni lungo la catena, $v = \sum_k v_k = \sum_k R_k\,i = \big(\sum_k R_k\big)\,i$ .

In parallelo, la legge delle tensioni dice che tutti i resistori hanno la stessa tensione $v$ , e la legge delle correnti applicata a uno dei due nodi dà $i = \sum_k i_k = \sum_k G_k\,v$ . Con due resistori $G = 1/R_1 + 1/R_2 = (R_1 + R_2)/(R_1R_2)$ .

Fine della dimostrazione.

La serie ha resistenza maggiore di ciascuno dei suoi resistori, il parallelo minore, perché la sua conduttanza è maggiore di ciascuna. La formula del prodotto diviso la somma vale solo per due resistori: per tre non si generalizza nel modo ingenuo, e conviene sommare le conduttanze.

Tre resistori in serie, sopra, e in parallelo, sotto. In serie sono attraversati dalla stessa corrente e le resistenze si sommano; in parallelo hanno la stessa tensione e si sommano le conduttanze.

I partitori

Proposizione (partitori di tensione e di corrente)

Se $N$ resistori in serie hanno ai capi la tensione $v$ , la tensione del resistore $k$ è

v_k = v\,\frac{R_k}{R_1 + \dots + R_N} .

Se $N$ resistori in parallelo sono attraversati in totale dalla corrente $i$ , la corrente del resistore $k$ è

i_k = i\,\frac{G_k}{G_1 + \dots + G_N} , \qquad \text{e con due resistori} \quad i_1 = i\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} .

Dimostrazione.

In serie la corrente è $i = v/\sum_j R_j$ per la proposizione precedente, e $v_k = R_k\,i$ . In parallelo la tensione è $v = i/\sum_j G_j$ e $i_k = G_k\,v$ . Con due resistori $G_1/(G_1 + G_2) = (1/R_1)\big/\big((R_1 + R_2)/(R_1R_2)\big) = R_2/(R_1 + R_2)$ .

Fine della dimostrazione.

Nel partitore di corrente la corrente maggiore passa nel resistore più piccolo, e nella formula per due resistori al numeratore c’è l’altro resistore: è l’errore più frequente. Il partitore di tensione vale solo se dal nodo intermedio non esce corrente. Appena gli si collega un carico, la tensione scende; di quanto, lo calcola l’articolo sul potenziometro.

Un partitore con $E = 12$ V, $R_1 = 1$ kΩ e $R_2 = 2$ kΩ: la tensione del nodo $M$ è $12 \cdot 2/3 = 8$ V. Nell’animazione una carica fa il giro del circuito, e la scala a destra segna il suo potenziale: sale di $12$ V nel generatore, resta costante lungo i fili, scende di $4$ V in $R_1$ e di $8$ V in $R_2$ . Le cadute sono proporzionali alle resistenze, e la somma di salite e discese lungo il giro è zero, come vuole la legge delle tensioni.

I resistori reali

I resistori per circuiti elettronici si fanno quasi tutti depositando uno strato resistivo su un supporto ceramico. Quelli a film di carbone sono i più economici, con tolleranze del 5%. Quelli a film metallico arrivano all’1% e oltre, con coefficienti di temperatura di qualche decina di parti per milione al kelvin. I resistori a montaggio superficiale sono piccoli parallelepipedi saldati direttamente sulla scheda, con uno strato spesso di pasta resistiva, e le loro sigle indicano le dimensioni in centesimi di pollice: un 0603 è lungo $1{,}6$ mm e largo $0{,}8$ . Per le potenze elevate si usano resistori a filo, con un filo di lega avvolto su un supporto isolante, che hanno però un’induttanza non trascurabile.

I valori in commercio non sono arbitrari. La norma IEC 60063 li raggruppa in serie di valori per decade, spaziati in progressione geometrica perché l’errore relativo tra un valore e il successivo sia lo stesso in tutta la decade. La serie E12, pensata per la tolleranza del 10%, ha dodici valori con rapporto circa $10^{1/12} \approx 1{,}21$ : 1,0, 1,2, 1,5, 1,8, 2,2, 2,7, 3,3, 3,9, 4,7, 5,6, 6,8, 8,2, ciascuno moltiplicabile per una potenza di dieci. La E24 è pensata per il 5% e contiene la E12, e così via fino alla E192.

Sui resistori con i terminali il valore è scritto con anelli colorati, secondo la norma IEC 60062. Le cifre sono:

nero 0, marrone 1, rosso 2, arancione 3, giallo 4, verde 5, blu 6, viola 7, grigio 8, bianco 9;
come moltiplicatore valgono anche oro, $10^{-1}$ , e argento, $10^{-2}$ ;
l’ultimo anello è la tolleranza: marrone 1%, rosso 2%, verde 0,5%, blu 0,25%, viola 0,1%, oro 5%, argento 10%.

Con quattro anelli i primi due sono cifre e il terzo il moltiplicatore: giallo, viola, rosso, oro significa $47 \times 10^2\ \Omega = 4{,}7$ kΩ al 5%. Con cinque anelli le cifre sono tre. Sui componenti a montaggio superficiale il valore è stampato con tre cifre, due significative e un esponente, per cui 472 vuol dire $4{,}7$ kΩ, oppure con una R al posto della virgola: 4R7 vuol dire $4{,}7\ \Omega$ .

Oltre alla resistenza e alla tolleranza, un resistore ha dei limiti. La potenza nominale è quella che può dissipare senza scaldarsi oltre il consentito: $1/4$ W per i comuni resistori con i terminali, $0{,}1$ W per un 0603. I cataloghi la garantiscono fino a una temperatura ambiente, tipicamente 70 °C, e oltre la riducono linearmente. C’è poi una tensione massima di lavoro, qualche centinaio di volt per i resistori con i terminali e qualche decina per quelli piccoli a montaggio superficiale, che per valori di resistenza alti diventa il limite più stringente. Infine nessun resistore è solo un resistore: i terminali e il corpo aggiungono una piccola induttanza in serie e una piccola capacità in parallelo, trascurabili fino a frequenze elevate, e ogni resistore produce un rumore elettrico, di cui si occupa il percorso di strumentazione elettronica.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una prolunga lunga $50$ m ha due conduttori di rame da $1{,}5$ mm² e alimenta una stufa che assorbe $10$ A. Calcola la resistenza dei conduttori a 20 °C, la caduta di tensione e la potenza dissipata nella prolunga. Quanto cambiano se il cavo, lasciato arrotolato, arriva a 50 °C?

La corrente percorre andata e ritorno, $100$ m di rame:

R = \rho\,\frac{\ell}{S} = 1{,}68\times10^{-8}\ \Omega\,\text m \cdot \frac{100\ \text m}{1{,}5\times10^{-6}\ \text m^2} \approx 1{,}12\ \Omega .

La caduta è $RI \approx 11$ V, circa il 5% dei $230$ V di rete, e la prolunga dissipa $RI^2 \approx 112$ W. A 50 °C la resistenza cresce del fattore $1 + 3{,}9\times10^{-3}\cdot 30 \approx 1{,}12$ , e diventa circa $1{,}25\ \Omega$ ; con la stessa corrente la potenza dissipata sale a circa $125$ W.

Commento: $112$ W distribuiti su cento metri di cavo steso sono pochi, ma in una bobina avvolta il calore non ha modo di uscire. Il cavo si scalda, la resistenza cresce e con lei la potenza dissipata. Per questo le istruzioni delle prolunghe avvolgibili danno due potenze massime, una con il cavo svolto e una, molto più bassa, con il cavo avvolto.

Esercizio 2. L’avvolgimento in rame di un motore misura $2{,}00\ \Omega$ a motore freddo, a 20 °C, e $2{,}40\ \Omega$ subito dopo una prova di funzionamento. Qual è la temperatura media dell’avvolgimento?

Dalla legge lineare, $R_\text{caldo}/R_\text{freddo} = 1 + \alpha\,\Delta T$ , quindi $\Delta T = (1{,}20 - 1)/(3{,}9\times10^{-3}) \approx 51$ K, e la temperatura è circa 71 °C.

Commento: è il metodo usato davvero nelle prove delle macchine elettriche, perché un termometro misura la temperatura di un punto, la resistenza quella media di tutto l’avvolgimento. Le norme lo scrivono nella forma $T_2 = (R_2/R_1)(234{,}5 + T_1) - 234{,}5$ , dove $234{,}5 = 1/\alpha_{20} - 20$ con il valore esatto di $\alpha$ per il rame ricotto; il risultato è lo stesso, circa 71 °C.

Esercizio 3. Il dispersore di un impianto di terra è una semisfera metallica di raggio $a = 0{,}5$ m sepolta a filo del suolo, in un terreno omogeneo di resistività $100\ \Omega$ m. Calcola la resistenza tra il dispersore e un punto molto lontano, e la tensione che assume il dispersore se vi entra una corrente di guasto di $10$ A.

La corrente si allontana radialmente, e le superfici equipotenziali sono semisfere concentriche, parallele tra loro, di area $2\pi r^2$ a distanza $r$ dal centro. Per la proposizione sulla resistenza lungo le linee di corrente, con $r = a + \ell$ ,

R = \int_a^\infty \frac{\rho}{2\pi r^2}\,dr = \frac{\rho}{2\pi a} = \frac{100}{2\pi \cdot 0{,}5}\ \Omega \approx 32\ \Omega .

Con $10$ A il dispersore si porta a circa $320$ V rispetto al terreno lontano.

Commento: metà della resistenza sta nel primo mezzo metro di terreno attorno al dispersore, fino a $r = 2a$ , perché $\int_a^{2a} \rho\,dr/(2\pi r^2) = \rho/(4\pi a)$ . Vicino al dispersore il potenziale del terreno cambia rapidamente, e una persona che cammina lì durante un guasto ha tra i piedi una tensione pericolosa. L’articolo sulla sicurezza elettrica, nel percorso «Sistemi elettrici», parte da questo calcolo.

Esercizio 4. Un cavo coassiale lungo $100$ m ha il conduttore interno di raggio $a = 0{,}5$ mm, lo schermo di raggio interno $b = 2$ mm e tra i due un isolante di resistività $10^{14}\ \Omega$ m. Calcola la resistenza di isolamento tra conduttore e schermo.

Le superfici equipotenziali sono cilindri coassiali, di area $2\pi rL$ a distanza $r$ dall’asse:

R = \int_a^b \frac{\rho}{2\pi r L}\,dr = \frac{\rho}{2\pi L}\,\ln\frac ba = \frac{10^{14}}{2\pi\cdot 100}\,\ln 4\ \Omega \approx 2{,}2\times10^{11}\ \Omega .

Commento: qui la resistenza è inversamente proporzionale alla lunghezza, al contrario di un filo. La corrente di dispersione non corre lungo il cavo ma lo attraversa, e cento metri di cavo sono cento tratti da un metro in parallelo. Per questo i cataloghi danno la resistenza di isolamento in ohm per chilometro, da dividere per la lunghezza.

Esercizio 5. Un generatore da $24$ V alimenta un resistore $R_1 = 10\ \Omega$ in serie con il parallelo di $R_2 = 30\ \Omega$ ed $R_3 = 60\ \Omega$ . Calcola tutte le tensioni, le correnti e le potenze.

Il parallelo vale $30\cdot60/90 = 20\ \Omega$ , e la resistenza totale $30\ \Omega$ . La corrente del generatore è $24/30 = 0{,}8$ A. Per il partitore di tensione $v_1 = 24\cdot 10/30 = 8$ V e il parallelo ha $16$ V. Per il partitore di corrente $i_2 = 0{,}8\cdot 60/90 \approx 0{,}533$ A e $i_3 = 0{,}8\cdot 30/90 \approx 0{,}267$ A, e infatti $16/30$ e $16/60$ . Le potenze sono $P_1 = 10\cdot 0{,}8^2 = 6{,}4$ W, $P_2 = 16^2/30 \approx 8{,}53$ W, $P_3 = 16^2/60 \approx 4{,}27$ W, in totale $19{,}2$ W, uguale alla potenza erogata $24 \cdot 0{,}8$ .

Commento: il controllo finale sulle potenze costa poco e scopre quasi tutti gli errori di calcolo. Da notare che $R_2$ dissipa più di $R_3$ pur essendo più piccolo: in parallelo, a parità di tensione, conta $v^2/R$ .

Esercizio 6. Un resistore da $1/4$ W ha una tensione massima di lavoro di $250$ V. Qual è la tensione più alta che si può applicare a un esemplare da $1$ kΩ? E a uno da $1$ MΩ?

Dalla potenza, $V = \sqrt{PR}$ : per $1$ kΩ $V = \sqrt{0{,}25\cdot1000} \approx 15{,}8$ V, ben sotto il limite di tensione. Per $1$ MΩ la potenza permetterebbe $500$ V, ma il limite di tensione ferma a $250$ V, a cui il resistore dissipa solo $62{,}5$ mW.

Commento: con resistori di valore basso comanda la potenza, con valori alti la tensione. Oltre la tensione massima il pericolo non è il calore ma una scarica lungo la superficie del corpo del resistore. Negli alimentatori da rete, dove servono resistori da centinaia di kilohm sotto tensioni di centinaia di volt, si mettono più resistori in serie proprio per questo.

Esercizio 7. Un resistore ha gli anelli marrone, nero, arancione, oro. Quanto vale, e tra quali valori sta la sua resistenza vera?

Marrone e nero danno le cifre 1 e 0, arancione il moltiplicatore $10^3$ : $10$ kΩ, con tolleranza del 5%. La resistenza vera sta tra $9{,}5$ e $10{,}5$ kΩ.

Commento: gli anelli si leggono partendo da quello più vicino a un terminale; l’anello della tolleranza, oro o argento, di solito è un po’ staccato dagli altri e aiuta a capire da che parte cominciare.

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