Cosmologia

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Indice

L’universo come un unico oggetto

La cosmologia studia l’universo nel suo insieme. Newton lo pensava infinito e statico: in un universo finito la gravità avrebbe fatto collassare tutta la materia verso il centro. Un universo infinito e uniformemente pieno di stelle ha però un problema, che porta il nome di Heinrich Olbers, che lo discusse nel 1823, anche se era già stato notato da Edmond Halley e da Jean-Philippe Loys de Chéseaux nel Settecento.

Proposizione (paradosso di Olbers)

In un universo infinito, statico ed eterno, con stelle di luminosità $L$ distribuite uniformemente con $n$ stelle per unità di volume, ogni guscio sferico di spessore $dr$ attorno all’osservatore contribuisce al flusso luminoso che riceve con la stessa quantità $nL\,dr$ , qualunque sia il suo raggio.

Dimostrazione.

Il guscio tra $r$ e $r + dr$ contiene $4\pi r^2n\,dr$ stelle, e ciascuna produce all’osservatore il flusso $L/(4\pi r^2)$ . Il prodotto è $nL\,dr$ .

Fine della dimostrazione.

Sommando infiniti gusci uguali il flusso diverge. Tenendo conto che le stelle più vicine nascondono quelle dietro, il risultato è finito ma assurdo: ogni linea di vista finisce sulla superficie di una stella, e il cielo notturno dovrebbe essere luminoso come il disco del Sole. Il cielo è buio perché l’universo ha un’età finita, e la luce delle stelle troppo lontane non ci ha ancora raggiunto, e perché si espande, e la luce che arriva da lontano è spostata verso il rosso.

La prima cosmologia relativistica fu di Einstein, nel 1917: un universo statico e finito. Allora si pensava che la nostra galassia fosse tutto l’universo. Nel 1923 Edwin Hubble individuò nella nebulosa di Andromeda delle stelle variabili cefeidi e ne misurò la distanza: molto più grande delle dimensioni della Via Lattea. Andromeda era un’altra galassia, e l’universo diventò enormemente più grande.

Per applicare le equazioni di Einstein all’universo si usa il principio cosmologico: su scale abbastanza grandi, oltre qualche centinaio di milioni di anni luce, l’universo è omogeneo e isotropo. Le galassie sono le particelle di un fluido perfetto, descritto da una densità $\rho$ e da una pressione $p$ che dipendono solo dal tempo, così come in un gas si ignorano le singole molecole.

La metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Il tensore metrico più generale compatibile con omogeneità e isotropia, in coordinate sferiche, è

ds^2 = c^2dt^2 - a(t)^2\left(\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\right),

la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Che sia l’unica si dimostra con la teoria degli spazi a curvatura costante, e va oltre l’articolo. Il fattore di scala $a(t)$ è adimensionale e vale $1$ oggi; $r$ è una coordinata comovente, fissata a ciascuna galassia, e $k$ è una costante con le dimensioni dell’inverso di una lunghezza al quadrato, il cui segno distingue tre geometrie. Molti testi la normalizzano ai valori $-1$ , $0$ e $1$ . Il tempo $t$ è quello segnato dagli orologi delle galassie.

Proposizione (la geometria dello spazio)

A tempo fissato, la superficie $\theta = \pi/2$ ha curvatura gaussiana $k/a^2$ : per $k > 0$ è una sfera di raggio $a/\sqrt k$ , per $k = 0$ un piano, per $k < 0$ un piano iperbolico.

Dimostrazione.

Sulla superficie $dl^2 = a^2\big(dr^2/(1 - kr^2) + r^2d\varphi^2\big)$ . Per $k = 0$ è la metrica polare del piano, moltiplicata per la costante $a^2$ . Per $k > 0$ si pone $r = \sin\psi/\sqrt k$ : allora $dr = \cos\psi\,d\psi/\sqrt k$ , $1 - kr^2 = \cos^2\psi$ , e $dl^2 = (a^2/k)\,(d\psi^2 + \sin^2\psi\,d\varphi^2)$ , la metrica di una sfera di raggio $a/\sqrt k$ , con curvatura $k/a^2$ per l’articolo sulla curvatura gaussiana. Per $k < 0$ si pone $r = \sinh\psi/\sqrt{|k|}$ , con $1 + |k|r^2 = \cosh^2\psi$ , e $dl^2 = (a^2/|k|)\,(d\psi^2 + \sinh^2\psi\,d\varphi^2)$ : è la metrica dell’esercizio 4 di quell’articolo, di curvatura $-1$ , moltiplicata per $a^2/|k|$ , quindi con curvatura $-|k|/a^2$ .

Fine della dimostrazione.

Con $k > 0$ lo spazio è chiuso e finito, come la superficie di una sfera; con $k \le 0$ è aperto. Anche con $k = 0$ lo spaziotempo non è quello di Minkowski, a meno che $a$ sia costante: le sezioni a tempo fissato sono piatte, ma la loro scala cambia nel tempo, e il tensore di Riemann non è nullo.

Proposizione (legge di Hubble)

La distanza propria, misurata a tempo $t$ fissato, tra l’osservatore nell’origine e una galassia di coordinata comovente $r$ è $D(t) = a(t)\,\chi$ , con $\chi = \int_0^r dr'/\sqrt{1 - kr'^2}$ costante. Quindi la galassia si allontana con velocità

\dot D = H\,D, \qquad H = \frac{\dot a}{a} .

Dimostrazione.

A $t$ , $\theta$ e $\varphi$ fissati, lungo il raggio $dl = a(t)\,dr/\sqrt{1 - kr^2}$ , e integrando da $0$ a $r$ si ha $D = a(t)\chi$ . La coordinata $r$ della galassia non cambia, quindi $\chi$ è costante e $\dot D = \dot a\chi = (\dot a/a)\,D$ .

Fine della dimostrazione.

La velocità è proporzionale alla distanza, con la stessa costante $H$ per tutte le galassie e per ogni osservatore. Non è un moto delle galassie nello spazio, come i frammenti di un’esplosione con un centro, ma la dilatazione della metrica: le galassie restano ferme sulla griglia comovente, e la griglia si allarga. Georges Lemaître ricavò la relazione nel 1927 dalla relatività generale e dalle prime misure; Hubble la trovò nei dati nel 1929, con una costante circa sette volte più grande di quella misurata oggi.

L’espansione dell’universo come dilatazione della metrica. Le galassie, in blu, sono ferme sulla griglia delle coordinate comoventi; al centro, in arancione, la galassia dell’osservatore. Nell’animazione il fattore di scala cresce, sempre più in fretta come nell’universo attuale: tutte le distanze aumentano nella stessa proporzione, e le galassie lontane si allontanano più rapidamente di quelle vicine. Da qualunque galassia la scena è la stessa: nessuna è il centro.

Proposizione (spostamento cosmologico verso il rosso)

La luce emessa da una galassia al tempo $t_e$ e ricevuta al tempo $t_0$ ha la lunghezza d’onda moltiplicata per $a(t_0)/a(t_e)$ :

1 + z = \frac{\lambda_0}{\lambda_e} = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} .

Dimostrazione.

Per l’isotropia un raggio di luce diretto verso l’osservatore resta radiale. Lungo di esso $ds = 0$ , cioè $c\,dt = a(t)\,dr/\sqrt{1 - kr^2}$ , e quindi $\int_{t_e}^{t_0}c\,dt/a(t) = \chi$ , lo stesso per tutti i raggi emessi dalla galassia. Una cresta emessa a $t_e + \delta t_e$ e ricevuta a $t_0 + \delta t_0$ dà lo stesso integrale; sottraendo, per intervalli brevi, $c\,\delta t_e/a(t_e) = c\,\delta t_0/a(t_0)$ . I periodi, e con loro le lunghezze d’onda, stanno nel rapporto $a(t_0)/a(t_e)$ .

Fine della dimostrazione.

Le lunghezze d’onda si allungano con l’universo. Per le galassie vicine $a(t_0)/a(t_e) \approx 1 + H_0(t_0 - t_e)$ , e con la distanza $D \approx c(t_0 - t_e)$ si ritrova $z \approx H_0D/c$ , la legge di Hubble scritta con lo spostamento verso il rosso.

Le equazioni di Friedmann

Il fluido cosmico, fermo nelle coordinate comoventi, ha $u^\mu = (1, 0, 0, 0)$ e il tensore energia-impulso di un fluido perfetto, diagonale, con $T^{00} = \rho c^2$ e le pressioni $p$ nelle direzioni spaziali. Inserendo questo tensore e la metrica nelle equazioni di Einstein si ottengono equazioni per $a(t)$ , trovate da Aleksandr Friedmann nel 1922.

Teorema (equazioni di Friedmann per k = 0)

Per $k = 0$ le equazioni di Einstein con la costante cosmologica equivalgono a

\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\,\rho + \frac{\Lambda c^2}{3}, \qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3} .

Dimostrazione.

Con $k = 0$ si usano coordinate comoventi cartesiane, $ds^2 = c^2dt^2 - a^2(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ , con $x^0 = ct$ e il punto per la derivata rispetto a $t$ . Gli unici simboli di Christoffel non nulli sono $\Gamma^0_{ij} = a\dot a\,\delta_{ij}/c$ e $\Gamma^i_{0j} = \Gamma^i_{j0} = \dot a\,\delta^i_j/(ca)$ , con $i, j$ spaziali. Quindi $\Gamma^\mu_{0\mu} = 3\dot a/(ca)$ e $\Gamma^\mu_{i\mu} = 0$ . Dalla definizione del tensore di Ricci, con $\partial_0 = c^{-1}\,d/dt$ e le derivate spaziali nulle,

R_{00} = -\partial_0\Gamma^\mu_{0\mu} - \Gamma^i_{j0}\Gamma^j_{0i} = -\frac{3}{c^2}\left(\frac{\ddot a}{a} - \frac{\dot a^2}{a^2}\right) - \frac{3\dot a^2}{c^2a^2} = -\frac{3\ddot a}{c^2a},

R_{ij} = \partial_0\Gamma^0_{ij} + \Gamma^\mu_{0\mu}\Gamma^0_{ij} - \Gamma^0_{kj}\Gamma^k_{i0} - \Gamma^k_{0j}\Gamma^0_{ik} = \frac{\dot a^2 + a\ddot a + 3\dot a^2 - 2\dot a^2}{c^2}\,\delta_{ij} = \frac{a\ddot a + 2\dot a^2}{c^2}\,\delta_{ij} .

Per il fluido, con $u_\mu = (1, 0, 0, 0)$ , $T_{\mu\nu} = (\rho c^2 + p)u_\mu u_\nu - p\,g_{\mu\nu}$ dà $T_{00} = \rho c^2$ , $T_{ij} = pa^2\delta_{ij}$ , $T = \rho c^2 - 3p$ . Le equazioni di Einstein con la costante cosmologica, nella forma dell’articolo che le introduce, sono $R_{\mu\nu} = \kappa(T_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu}T) - \Lambda g_{\mu\nu}$ con $\kappa = 8\pi G/c^4$ . La componente $00$ è

-\frac{3\ddot a}{c^2a} = \frac\kappa2\,(\rho c^2 + 3p) - \Lambda ,

che è la seconda equazione dell’enunciato. Le componenti $ij$ danno $(a\ddot a + 2\dot a^2)/c^2 = a^2\big(\tfrac\kappa2(\rho c^2 - p) + \Lambda\big)$ , cioè $\ddot a/a + 2\dot a^2/a^2 = 4\pi G(\rho - p/c^2) + \Lambda c^2$ . Sostituendo $\ddot a/a$ dalla seconda equazione, i termini in $p$ si elidono e resta $2\dot a^2/a^2 = \tfrac{16\pi G}{3}\rho + \tfrac23\Lambda c^2$ , la prima. Le componenti $0i$ sono identicamente nulle.

Fine della dimostrazione.

Con $k \ne 0$ il calcolo è lo stesso, con le coordinate sferiche, e nella prima equazione compare in più il termine $-kc^2/a^2$ :

\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\,\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} .

Molti testi scrivono le equazioni con la densità di energia $\varepsilon = \rho c^2$ al posto di $\rho$ .

Corollario (come cambia la densità)

$\dot\rho = -3\,\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^2}\right)$ . Per la materia, con pressione trascurabile, $\rho \propto a^{-3}$ ; per la radiazione, con $p = \rho c^2/3$ , $\rho \propto a^{-4}$ ; per un fluido con $p = -\rho c^2$ , come l’energia del vuoto, $\rho$ è costante.

Dimostrazione.

Si deriva la prima equazione moltiplicata per $a^2$ , per $k = 0$ : $2\dot a\ddot a = \tfrac{8\pi G}{3}(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a) + \tfrac23\Lambda c^2a\dot a$ . Sostituendo $\ddot a$ dalla seconda equazione, i termini in $\Lambda$ si elidono e resta $\dot\rho a + 2\rho\dot a = -\dot a(\rho + 3p/c^2)$ , cioè la tesi. Con $p = w\rho c^2$ e $w$ costante l’equazione è $d\rho/\rho = -3(1 + w)\,da/a$ , con soluzione $\rho \propto a^{-3(1 + w)}$ . Il termine $-kc^2/a^2$ non cambia il risultato, perché la sua derivata si compensa con quella di $a^2$ .

Fine della dimostrazione.

La materia si diluisce con il volume; la radiazione anche con l’allungamento delle lunghezze d’onda. Senza costante cosmologica $\rho + 3p/c^2$ è positivo, e la seconda equazione dice che l’espansione rallenta sempre. Per ottenere un universo statico Einstein aveva introdotto $\Lambda$ nel 1917; il suo universo però era instabile, e dopo le osservazioni di Hubble, nel 1931, la tolse. Per quasi settant’anni la domanda fu se la gravità della materia avrebbe fermato l’espansione: con $\Lambda = 0$ , dalla prima equazione, con $k > 0$ il termine positivo $8\pi G\rho/3$ , che cala come $a^{-3}$ , prima o poi pareggia $kc^2/a^2$ , e l’universo si ferma e ricollassa; con $k \le 0$ si espande per sempre. La densità critica $\rho_c = 3H^2/(8\pi G)$ separa i due casi.

Nel 1998 due gruppi, guidati da Saul Perlmutter e da Brian Schmidt e Adam Riess, misurarono con le supernove di tipo Ia che l’espansione accelera. La seconda equazione lo consente solo con un termine che vince la gravità della materia: la costante cosmologica, o un fluido con pressione minore di $-\rho c^2/3$ . Le misure attuali danno un universo con $k$ compatibile con zero, fatto per circa il $5\%$ di materia ordinaria, il $27\%$ di materia oscura, che non emette né assorbe luce e si rivela solo con la gravità, e il $68\%$ di energia oscura, compatibile con una costante cosmologica. La materia oscura è quindi circa cinque volte la materia ordinaria.

Il fattore di scala $a$ in funzione del tempo da oggi, per tre universi piatti con la stessa costante di Hubble attuale, $H_0 = 67{,}4$ km/s/Mpc, e $a = 1$ oggi. In blu un universo di sola materia, $a \propto t^{2/3}$ , che avrebbe 9,7 miliardi di anni ed è sempre in rallentamento. In arancione il modello con il $31{,}5\%$ di materia e il $68{,}5\%$ di costante cosmologica, $a \propto \sinh^{2/3}\big(\tfrac32\sqrt{\Omega_\Lambda}\,H_0t\big)$ : nato 13,8 miliardi di anni fa, ha rallentato finché dominava la materia e accelera da circa sei miliardi di anni. In grigio un universo di sola costante cosmologica, esponenziale.

Il valore della costante cosmologica pone due problemi aperti. La densità di energia corrispondente, circa $5 \times 10^{-10}$ J/m³, è di circa $120$ ordini di grandezza più piccola della stima ingenua dell’energia di punto zero dei campi quantistici; nessuno sa perché. E la costante di Hubble misurata con le cefeidi e le supernove vicine, circa $73$ km/s/Mpc, non coincide con quella dedotta dalla radiazione cosmica di fondo con il modello standard, circa $67$ km/s/Mpc: è la tensione di Hubble.

La radiazione cosmica di fondo

Se l’universo si espande, in passato era più denso e più caldo. Fino a circa $380\,000$ anni dopo l’inizio era un plasma opaco di nuclei, elettroni e fotoni; a circa $3000$ K si formarono gli atomi neutri e la luce cominciò a viaggiare libera. Da allora le lunghezze d’onda si sono allungate di un fattore di circa $1100$ , e quella luce oggi è una radiazione di corpo nero a $2{,}725$ K, nelle microonde, che arriva da tutte le direzioni. La scoprirono per caso Arno Penzias e Robert Wilson nel 1964; il satellite COBE ne misurò lo spettro di corpo nero e le prime disuguaglianze, WMAP e Planck le hanno mappate in dettaglio.

Mappa ovale del cielo intero coperta di macchie blu, verdi, gialle e rosse, che rappresentano piccole differenze di temperatura della radiazione cosmica di fondo. — La radiazione cosmica di fondo su tutto il cielo, misurata dal satellite WMAP. I colori indicano differenze di temperatura di poche parti su centomila rispetto al valore medio di $2{,}725$ K: le tracce delle disuguaglianze di densità da cui, crescendo per effetto della gravità, si sono formate le galassie.
NASA / WMAP Science Team

Le leggi fisiche verificate in laboratorio descrivono l’universo da circa $10^{-12}$ s dopo l’inizio, l’energia raggiunta negli acceleratori. Prima servono ipotesi; e al tempo di Planck, circa $10^{-43}$ s, servirebbe una teoria quantistica della gravità.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Calcola la densità critica con $H_0 = 67{,}4$ km/s/Mpc. Usa $1$ Mpc $= 3{,}086 \times 10^{22}$ m e $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ m³/(kg s²).

$H_0 = 6{,}74 \times 10^4/3{,}086 \times 10^{22}$ s⁻¹ $\approx 2{,}18 \times 10^{-18}$ s⁻¹. $\rho_c = 3H_0^2/(8\pi G) \approx 3 \cdot 4{,}77 \times 10^{-36}/(1{,}68 \times 10^{-9})$ kg/m³ $\approx 8{,}5 \times 10^{-27}$ kg/m³, cioè circa cinque masse di protone per metro cubo.

Commento: è una densità bassissima, ma distribuita su tutto l’universo. La materia ordinaria ne è il $5\%$ , meno di un atomo di idrogeno ogni quattro metri cubi in media. $1/H_0 \approx 4{,}58 \times 10^{17}$ s, circa $14{,}5$ miliardi di anni, fissa la scala dei tempi cosmologici.

Esercizio 2. Mostra che un universo di sola materia, piatto e senza costante cosmologica, ha $a \propto t^{2/3}$ ed età $2/(3H_0)$ . Quanto vale con $H_0 = 67{,}4$ km/s/Mpc?

Con $\rho = \rho_0a^{-3}$ la prima equazione è $\dot a^2 = (8\pi G\rho_0/3)\,a^{-1}$ , cioè $a^{1/2}\dot a = \text{costante}$ , che si integra in $\tfrac23 a^{3/2} = \text{costante}\cdot t$ scegliendo $a = 0$ a $t = 0$ : $a \propto t^{2/3}$ . Allora $H = \dot a/a = 2/(3t)$ , e oggi $t_0 = 2/(3H_0) \approx \tfrac23 \cdot 14{,}5$ miliardi di anni $\approx 9{,}7$ miliardi di anni.

Commento: le stelle più vecchie della Via Lattea hanno circa $13$ miliardi di anni. Un universo di sola materia con la costante di Hubble misurata sarebbe più giovane delle sue stelle: è uno degli indizi, precedenti al 1998, che mancasse qualcosa. Con la costante cosmologica l’età sale a $13{,}8$ miliardi di anni.

Esercizio 3. Trova le condizioni per l’universo statico di Einstein, con materia a pressione nulla, e mostra che $k$ deve essere positivo.

Con $\dot a = \ddot a = 0$ la seconda equazione dà $\Lambda c^2/3 = 4\pi G\rho/3$ , cioè $\Lambda c^2 = 4\pi G\rho$ . La prima diventa $0 = 8\pi G\rho/3 - kc^2/a^2 + 4\pi G\rho/3 = 4\pi G\rho - kc^2/a^2$ , quindi $k > 0$ e il raggio dello spazio sferico è $a/\sqrt k = c/\sqrt{4\pi G\rho} = 1/\sqrt\Lambda$ .

Commento: l’equilibrio è instabile. Se $a$ cresce un poco, $\rho$ cala come $a^{-3}$ , la gravità indebolita non compensa più $\Lambda$ e l’espansione accelera; se cala, vince la gravità e l’universo collassa. È come una matita in equilibrio sulla punta, e fu uno dei motivi, oltre alle osservazioni di Hubble, per abbandonare quel modello.

Esercizio 4. La radiazione di fondo si è liberata a circa $3000$ K e oggi è a $2{,}725$ K. Qual è lo spostamento verso il rosso di quell’epoca? Dove cadeva il picco dello spettro allora e dove cade oggi? Usa la legge di Wien, $\lambda_{\max}T = 2{,}898 \times 10^{-3}$ m·K.

La temperatura di un corpo nero che si espande scala come $1/a$ , perché le lunghezze d’onda di tutti i fotoni crescono come $a$ . Quindi $1 + z = 3000/2{,}725 \approx 1100$ . Il picco era a $2{,}898 \times 10^{-3}/3000$ m $\approx 0{,}97$ μm, nel vicino infrarosso; oggi è a $2{,}898 \times 10^{-3}/2{,}725$ m $\approx 1{,}06$ mm, nelle microonde.

Commento: la luce più antica che si possa vedere è quasi visibile all’origine, ed è arrivata a noi come microonde. Prima di quell’epoca l’universo era opaco: la radiazione di fondo è un muro oltre il quale i telescopi non vedono, e per guardare più indietro servono i neutrini o le onde gravitazionali.

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