Relatività generale

Che cosa lascia fuori la relatività ristretta

La relatività ristretta mette d’accordo meccanica ed elettromagnetismo, ma lascia fuori la gravità. La legge di Newton descrive un’attrazione istantanea tra masse lontane, e un’azione che si propaga istantaneamente non ha posto in una teoria in cui nessun segnale supera la velocità della luce. La relatività ristretta dà poi un ruolo privilegiato agli osservatori inerziali, e vicino a una massa, a rigore, nessuno lo è.

Il punto di partenza di Einstein è un fatto noto da secoli: in assenza di attrito tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Dentro un laboratorio chiuso non c’è esperimento che distingua la caduta dei corpi sulla Terra dalla loro «caduta» dentro un razzo che accelera nello spazio vuoto, e un laboratorio in caduta libera vicino alla Terra si comporta come uno fermo lontano da ogni massa. È il principio di equivalenza. Einstein lo chiamò il pensiero più felice della sua vita, e ne ricavò due previsioni prima ancora di avere la teoria: un orologio più in basso in un campo gravitazionale va più lento di uno più in alto, e la luce viene deviata dalle masse.

La gravità come geometria

La luce non ha massa, eppure devia. Il modo di tenere insieme questi fatti è smettere di pensare alla gravità come a una forza. Un corpo libero, pianeta o raggio di luce, segue sempre il percorso più «dritto» possibile; la massa e l’energia cambiano la geometria dello spaziotempo, e in uno spaziotempo curvo i percorsi più dritti non sono più rette. John Wheeler lo riassunse così: la materia dice allo spazio come curvarsi, lo spazio dice alla materia come muoversi.

Per dare un senso preciso a «curvo» servono gli strumenti che Gauss e Riemann costruirono per le geometrie non euclidee, e che Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita trasformarono nel calcolo tensoriale. Einstein li conobbe grazie all’amico matematico Marcel Grossmann, e impiegò anni a padroneggiarli. Anche per chi legge sono la parte più faticosa: il percorso dedica loro sei articoli, prima di arrivare alla fisica.

La meta: le equazioni di Einstein

Conviene sapere fin dall’inizio dove si arriva. Le equazioni di campo di Einstein, pubblicate nel 1915, sono

$$R_{\mu\nu} - \frac12\,R\,g_{\mu\nu} - \Lambda\,g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu},$$

scritte con la segnatura $(+,-,-,-)$ usata in tutto il sito. A sinistra c’è la geometria dello spaziotempo. Il tensore metrico $g_{\mu\nu}$ è lo stesso della relatività ristretta, ma i suoi elementi ora dipendono dal punto; da lui discendono il tensore di Ricci $R_{\mu\nu}$ e lo scalare di Ricci $R$, che misurano la curvatura, attraverso i simboli di Christoffel e il tensore di Riemann. $\Lambda$ è la costante cosmologica, che conta solo alla scala dell’intero universo. A destra ci sono le sorgenti: il tensore energia-impulso $T_{\mu\nu}$ descrive come sono distribuite massa, energia e quantità di moto, e $G$ è la costante di gravitazione di Newton.

Sono tensori simmetrici in quattro dimensioni, con dieci componenti indipendenti: le equazioni sono dieci, non lineari, e risolverle è difficile. Nel limite di campi deboli e velocità piccole si riducono all’equazione di Poisson della gravità newtoniana, $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$. Fuori da quel limite prevedono i buchi neri, l’espansione dell’universo e le onde gravitazionali.

Gli articoli del percorso

I primi due articoli ricavano dal principio di equivalenza le proprietà del tempo e della luce in un campo gravitazionale, e mostrano perché si parla di spazio curvo. I sei successivi costruiscono gli strumenti matematici: coordinate e tensore metrico, curvatura gaussiana, tensori, derivata covariante, geodetiche, tensori di Riemann e di Ricci. Gli ultimi introducono il tensore energia-impulso, arrivano alle equazioni di Einstein e ne seguono le conseguenze. Il percorso presuppone quello sulla relatività ristretta, in particolare l’articolo sui quadrivettori.

1. 1Il principio di equivalenza
2. 2Il tempo e la luce in un campo gravitazionale
3. 3Coordinate e tensore metrico
4. 4Gli spazi curvi e la curvatura gaussiana
5. 5Vettori e tensori in coordinate arbitrarie
6. 6La derivata covariante
7. 7Trasporto parallelo e geodetiche
8. 8I tensori di Riemann e di Ricci
9. 9Il tensore energia-impulso
10. 10Le equazioni di Einstein
11. 11Buchi neri e lunghezza di Planck
12. 12Cosmologia
13. 13Le onde gravitazionali