Bipoli equivalenti e trasformazione stella-triangolo

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Una rete vista da due morsetti

Nell’articolo sul resistore due bipoli sono stati detti equivalenti quando hanno la stessa relazione tra tensione e corrente ai morsetti. È l’idea con cui si semplificano i circuiti: una parte di rete collegata al resto attraverso due soli morsetti si può sostituire con un bipolo equivalente, e il resto del circuito non se ne accorge. Per una rete connessa fatta solo di resistori il bipolo equivalente è sempre un resistore, di resistenza $R_{eq} \ge 0$ : con la corrente $i$ che entra da un morsetto ed esce dall’altro, la tensione è $R_{eq}\,i$ . Che tensione e corrente siano proporzionali discende dalla linearità delle equazioni della rete e dall’unicità della loro soluzione, dimostrate nell’articolo sui metodi di analisi; qui interessa come si calcola $R_{eq}$ .

Il procedimento è questo: si semplifica la rete a passi, sostituendo via via un gruppo di resistori con il suo equivalente: la serie, il parallelo e, quando non bastano, la trasformazione stella-triangolo.

Una rete ridotta a un solo resistore in tre passi. $R_3$ ed $R_4$ sono in serie e diventano $R_{34} = 3\ \Omega$ ; $R_{34}$ è in parallelo con $R_2$ , e i due diventano $R_{234} = 6\cdot3/9 = 2\ \Omega$ ; infine $R_{234}$ è in serie con $R_1$ , e la resistenza equivalente è $4\ \Omega$ . Nell’animazione i passi si susseguono.

Nella figura $R_1$ ed $R_3$ sono disegnati uno dopo l’altro, sulla stessa riga, ma non sono in serie: al nodo tra loro è collegato anche $R_2$ . Due resistori sono in serie solo se al loro nodo comune non arriva nient’altro, e in parallelo solo se sono collegati agli stessi due nodi. Riconoscerlo sul disegno è la parte difficile, perché uno schema si può disegnare in molti modi; conviene dare un nome ai nodi e ridisegnare la rete quando la forma confonde.

Il ponte

Non tutte le reti si riducono con serie e parallelo. Nel ponte della figura nessuna coppia di resistori è in serie o in parallelo: ogni nodo ha tre resistori collegati, e nessuna coppia di resistori ha entrambi i nodi in comune. Il circuito fu descritto da Samuel Hunter Christie nel 1833 e reso noto da Charles Wheatstone dieci anni dopo come metodo per misurare resistenze, e porta il nome del secondo.

Il ponte di Wheatstone. I resistori $R_1$ ed $R_2$ formano un partitore tra $A$ e $B$ con il nodo intermedio $C$ , $R_3$ ed $R_4$ un secondo partitore con il nodo intermedio $D$ , e $R_5$ collega i due nodi intermedi. Il ponte è bilanciato quando $C$ e $D$ hanno lo stesso potenziale.

C’è un caso in cui il ponte si risolve subito.

Proposizione (ponte bilanciato)

Se $R_1R_4 = R_2R_3$ , i nodi $C$ e $D$ hanno lo stesso potenziale per qualsiasi valore di $R_5$ , in $R_5$ non passa corrente, e la resistenza equivalente tra $A$ e $B$ è quella del parallelo tra $R_1 + R_2$ e $R_3 + R_4$ .

Dimostrazione.

Si toglie $R_5$ e si pone $V_B = 0$ , $V_A = v$ . Restano due partitori, e $V_C = v\,R_2/(R_1 + R_2)$ , $V_D = v\,R_4/(R_3 + R_4)$ . I due potenziali sono uguali se $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$ , cioè se $R_2R_3 = R_1R_4$ . Si rimette ora $R_5$ : le tensioni e le correnti di prima, con corrente nulla in $R_5$ , che ha ai capi tensione nulla, soddisfano ancora tutte le leggi di Kirchhoff e tutte le leggi di Ohm della rete. Poiché la soluzione di una rete di resistori è unica, sono la soluzione. La resistenza equivalente è quella dei due rami in parallelo.

Fine della dimostrazione.

È così che il ponte misura una resistenza: con tre resistori noti, uno dei quali regolabile, si cerca la regolazione per cui uno strumento sensibile al posto di $R_5$ non segna corrente, e la resistenza incognita si ricava dalla condizione di bilanciamento. Il vantaggio è che lo strumento deve solo riconoscere lo zero, non misurare un valore. Il ponte è anche il circuito con cui si leggono molti sensori resistivi, e ci torna il percorso di strumentazione elettronica. Quando il ponte non è bilanciato serve la trasformazione del prossimo paragrafo.

La trasformazione stella-triangolo

Tre resistori che collegano a due a due tre nodi $a$ , $b$ , $c$ formano un triangolo; tre resistori che partono da un nodo interno e arrivano ciascuno a uno dei tre nodi formano una stella. Sono due reti con tre morsetti, e in certe condizioni si comportano allo stesso modo verso il resto del circuito. Le condizioni si trovano imponendo che, con il terzo morsetto scollegato, la resistenza tra ogni coppia di morsetti sia la stessa nelle due reti: per la coppia $a$ , $b$ , nella stella $R_a + R_b$ , nel triangolo il parallelo di $R_{ab}$ con la serie $R_{bc} + R_{ca}$ . Tre equazioni per tre incognite danno le formule. Resta da dimostrare che bastano, cioè che le due reti sono equivalenti anche quando la corrente entra ed esce da tutti e tre i morsetti insieme.

Teorema (trasformazione stella-triangolo)

Un triangolo di resistori $R_{ab}$ , $R_{bc}$ , $R_{ca}$ tra i morsetti $a$ , $b$ , $c$ e una stella di resistori $R_a$ , $R_b$ , $R_c$ dal centro verso gli stessi morsetti sono equivalenti, cioè danno le stesse relazioni tra tensioni e correnti ai tre morsetti, se

R_a = \frac{R_{ab}R_{ca}}{S}, \qquad R_b = \frac{R_{ab}R_{bc}}{S}, \qquad R_c = \frac{R_{bc}R_{ca}}{S}, \qquad S = R_{ab} + R_{bc} + R_{ca} ,

o, in modo equivalente,

R_{ab} = \frac{P}{R_c}, \qquad R_{bc} = \frac{P}{R_a}, \qquad R_{ca} = \frac{P}{R_b}, \qquad P = R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a .

Dimostrazione.

Si prende il morsetto $c$ come riferimento dei potenziali. Siano $v_a$ e $v_b$ le tensioni di $a$ e $b$ rispetto a $c$ , e $i_a$ , $i_b$ le correnti che entrano in $a$ e $b$ dall’esterno; per la legge delle correnti da $c$ esce $i_a + i_b$ . Verso l’esterno una rete a tre morsetti senza generatori è descritta dalla relazione tra $(v_a, v_b)$ e $(i_a, i_b)$ .

Nella stella, detto $O$ il centro, $v_a - v_O = R_a\,i_a$ e $v_b - v_O = R_b\,i_b$ ; in $R_c$ la corrente $i_a + i_b$ va dal centro verso $c$ , quindi $v_O = R_c\,(i_a + i_b)$ . Dunque

v_a = (R_a + R_c)\,i_a + R_c\,i_b, \qquad v_b = R_c\,i_a + (R_b + R_c)\,i_b .

Nel triangolo, con le conduttanze $G_{ab} = 1/R_{ab}$ e simili, la legge delle correnti in $a$ e in $b$ dà

i_a = (G_{ab} + G_{ca})\,v_a - G_{ab}\,v_b, \qquad i_b = -G_{ab}\,v_a + (G_{ab} + G_{bc})\,v_b .

Le due reti sono equivalenti se, dando al triangolo le tensioni prodotte dalla stella, si ritrovano le stesse correnti, cioè se il prodotto delle due matrici dei coefficienti è la matrice identità:

\begin{pmatrix} R_a + R_c & R_c \\ R_c & R_b + R_c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} G_{ab} + G_{ca} & -G_{ab} \\ -G_{ab} & G_{ab} + G_{bc} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Con le formule dell’enunciato $R_a + R_c = R_{ca}(R_{ab} + R_{bc})/S$ e $R_c = R_{bc}R_{ca}/S$ , mentre $G_{ab} + G_{ca} = (R_{ab} + R_{ca})/(R_{ab}R_{ca})$ e $G_{ab} + G_{bc} = (R_{ab} + R_{bc})/(R_{ab}R_{bc})$ . L’elemento in alto a sinistra del prodotto è

\frac{(R_{ab} + R_{bc})(R_{ab} + R_{ca}) - R_{bc}R_{ca}}{S\,R_{ab}} = \frac{R_{ab}\,(R_{ab} + R_{bc} + R_{ca})}{S\,R_{ab}} = 1 ,

e quello in alto a destra

-\frac{R_{ca}(R_{ab} + R_{bc})}{S\,R_{ab}} + \frac{R_{bc}R_{ca}}{S}\cdot\frac{R_{ab} + R_{bc}}{R_{ab}R_{bc}} = 0 .

Le formule restano le stesse scambiando i ruoli di $a$ e $b$ , e lo scambio porta questi due elementi negli altri due, che valgono quindi $0$ e $1$ . Per le formule inverse si sostituiscono le prime in $P$ : $P = R_{ab}R_{bc}R_{ca}\,(R_{ab} + R_{bc} + R_{ca})/S^2 = R_{ab}R_{bc}R_{ca}/S$ , e dividendo per $R_c = R_{bc}R_{ca}/S$ si ottiene $R_{ab}$ ; allo stesso modo le altre due.

Fine della dimostrazione.

Un triangolo e una stella di resistori sugli stessi tre morsetti. Con le formule della trasformazione nessuna misura fatta ai morsetti distingue le due reti, e nell’animazione l’una prende il posto dell’altra.

Le formule si ricordano meglio a parole. Dal triangolo alla stella: la resistenza della stella verso un morsetto è il prodotto dei due resistori del triangolo che toccano quel morsetto, diviso la somma dei tre. Dalla stella al triangolo: il resistore del triangolo tra due morsetti è la somma dei prodotti a due a due dei resistori della stella, divisa per il resistore della stella che va al terzo morsetto. Con tre resistori uguali la trasformazione è semplice, $R_Y = R_\Delta/3$ , e torna in continuazione con i carichi trifase. La trasformazione fu pubblicata da Arthur Kennelly nel 1899. Il nodo centrale della stella non deve essere collegato ad altro: se lo è, la rete ha quattro morsetti e il teorema non si applica.

Usare la simmetria

A volte la soluzione più rapida non è un calcolo ma un argomento di simmetria, fondato su una proprietà generale.

Proposizione (nodi allo stesso potenziale)

Se in una rete due nodi hanno lo stesso potenziale, collegarli con un conduttore, o scollegare un resistore che li unisce, non cambia nessuna tensione e nessuna corrente del resto della rete.

Dimostrazione.

Nella rete di partenza il resistore tra i due nodi ha tensione nulla e quindi corrente nulla; un conduttore aggiunto tra i due nodi ha anch’esso tensione nulla, e lo si può percorrere con corrente nulla. In entrambi i casi le tensioni e le correnti degli altri componenti soddisfano tutte le equazioni della rete modificata, e per l’unicità della soluzione sono la soluzione.

Fine della dimostrazione.

Il caso classico è il cubo: dodici resistori uguali $R$ sugli spigoli, e la resistenza tra due vertici opposti. Una rotazione di $120°$ attorno alla diagonale che unisce i due vertici porta il cubo in sé e lascia fermi i due vertici, quindi nei tre spigoli che escono dal primo vertice passa la stessa corrente, $I/3$ . Ciascuno dei tre vertici raggiunti ha lo stesso potenziale degli altri due e divide la sua corrente tra due spigoli simmetrici, $I/6$ ciascuno; nei tre spigoli che arrivano al secondo vertice si ritrova $I/3$ . Lungo un percorso di tre spigoli la tensione è allora $R\,(I/3 + I/6 + I/3) = \tfrac56\,R\,I$ , e

R_{eq} = \frac56\,R .

Dodici resistori uguali sugli spigoli di un cubo, con la corrente $I$ che entra in $A$ ed esce dal vertice opposto $B$ . Per simmetria la corrente si divide in tre parti uguali, poi in sei, poi si ricompone in tre: nell’animazione i punti corrono il doppio più veloci nei sei spigoli esterni che nei sei centrali. La resistenza tra $A$ e $B$ è $5R/6$ .

La dualità

Le leggi dei circuiti hanno una simmetria che si chiama dualità: in molte affermazioni vere, scambiando ogni termine con il suo duale, si ottiene un’altra affermazione vera. Le coppie sono queste:

tensione e corrente;
resistenza e conduttanza;
serie e parallelo;
generatore di tensione e generatore di corrente;
cortocircuito e circuito aperto;
legge delle tensioni e legge delle correnti;
capacità e induttanza;
teorema di Thévenin e teorema di Norton.

Resistori in serie sommano le resistenze, resistori in parallelo sommano le conduttanze. Il partitore di tensione divide la tensione in proporzione alle resistenze, quello di corrente divide la corrente in proporzione alle conduttanze. Il generatore reale di tensione ha il resistore in serie, quello di corrente in parallelo. Per affermazioni che riguardano bipoli e collegamenti in serie e in parallelo lo scambio funziona sempre; per reti intere serve che la rete si possa disegnare nel piano senza incroci, e la rete duale ha un nodo per ogni maglia della rete di partenza. Il valore pratico è dimezzare le cose da ricordare: dimostrato un risultato, il suo duale viene gratis.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una rete a scala ha tre nodi $N_1$ , $N_2$ , $N_3$ collegati in fila da due resistori $R$ . Da ogni nodo un resistore $2R$ va a massa, e un altro resistore $2R$ va a massa dall’ultimo nodo. Quanto vale la resistenza tra $N_1$ e massa?

Si parte dal fondo. In $N_3$ ci sono due resistori $2R$ in parallelo verso massa: $R$ . Da $N_2$ , la serie di $R$ con quel parallelo vale $2R$ , in parallelo con il $2R$ di $N_2$ : di nuovo $R$ . Da $N_1$ lo stesso conto dà ancora $R$ .

Commento: a ogni nodo la rete che sta a destra vale $2R$ , come il resistore verso massa, e la corrente che arriva al nodo si divide a metà. È la rete R-2R dei convertitori digitale-analogico: aggiungendo nodi la resistenza d’ingresso resta $R$ , e le correnti nei resistori verso massa valgono $1/2$ , $1/4$ , $1/8$ di quella d’ingresso, i pesi dei bit di un numero binario.

Esercizio 2. Nel ponte della figura $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 20\ \Omega$ , $R_3 = 20\ \Omega$ , $R_4 = 10\ \Omega$ e $R_5 = 10\ \Omega$ . Calcola la resistenza tra $A$ e $B$ .

Il ponte non è bilanciato, perché $R_1R_4 = 100$ e $R_2R_3 = 400$ . Si trasforma in stella il triangolo di nodi $A$ , $C$ , $D$ , con $R_{AC} = R_1 = 10$ , $R_{AD} = R_3 = 20$ , $R_{CD} = R_5 = 10$ e $S = 40$ : la stella ha $R_A = 10\cdot20/40 = 5\ \Omega$ , $R_C = 10\cdot10/40 = 2{,}5\ \Omega$ e $R_D = 20\cdot10/40 = 5\ \Omega$ . Ora dal centro della stella partono due rami verso $B$ : $R_C + R_2 = 22{,}5\ \Omega$ e $R_D + R_4 = 15\ \Omega$ , in parallelo $22{,}5\cdot15/37{,}5 = 9\ \Omega$ , in serie a $R_A$ . La resistenza equivalente è $14\ \Omega$ .

Commento: per controllo si possono scrivere le leggi delle correnti nei nodi $C$ e $D$ con $V_A = v$ e $V_B = 0$ . Si trova $V_C = 4v/7$ e $V_D = 3v/7$ , e la corrente che entra da $A$ è $(v - V_C)/10 + (v - V_D)/20 = v/14$ . Il triangolo da trasformare si sceglie in modo che dopo la trasformazione compaiano serie e parallelo; qui andava bene anche quello di nodi $B$ , $C$ , $D$ .

Esercizio 3. In un ponte usato per misurare una resistenza, $R_2$ è incognita, $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_3 = 1$ kΩ, e lo strumento al posto di $R_5$ segna zero quando il resistore regolabile $R_4$ vale $2{,}5$ kΩ. Quanto vale $R_2$ ?

Dalla condizione di bilanciamento $R_2 = R_1R_4/R_3 = 100\cdot2500/1000 = 250\ \Omega$ .

Commento: il risultato non dipende dalla tensione di alimentazione né dalla resistenza dello strumento, che a ponte bilanciato non è attraversato da corrente. La precisione della misura è quella dei tre resistori noti e della sensibilità dello strumento vicino allo zero.

Esercizio 4. Tre resistori da $30\ \Omega$ sono collegati a triangolo. Qual è la stella equivalente? Verifica l’equivalenza calcolando la resistenza tra due morsetti con il terzo scollegato.

La stella ha tre resistori da $30/3 = 10\ \Omega$ . Con il terzo morsetto scollegato, nel triangolo $30\ \Omega$ sono in parallelo con $60\ \Omega$ , cioè $20\ \Omega$ ; nella stella la serie di due resistori da $10\ \Omega$ , ancora $20\ \Omega$ .

Commento: un carico trifase di tre resistori uguali si può calcolare a stella o a triangolo, a seconda di cosa è comodo. La corrispondenza $R_Y = R_\Delta/3$ vale solo per resistori uguali; con valori diversi servono le formule complete.

Esercizio 5. Quattro resistori $R$ formano i lati di un quadrato $ABCD$ , e un quinto resistore $R$ unisce $A$ e $C$ . Quanto vale la resistenza tra $B$ e $D$ ?

La simmetria rispetto alla diagonale $BD$ scambia $A$ con $C$ e lascia fermi $B$ e $D$ , quindi $A$ e $C$ hanno lo stesso potenziale. Per la proposizione sui nodi allo stesso potenziale il resistore tra $A$ e $C$ si può togliere. Restano due rami da $2R$ in parallelo: $R_{BD} = R$ .

Commento: tra $A$ e $C$ , invece, la diagonale conta, e la resistenza è il parallelo di $R$ con i due rami da $2R$ , cioè $R/2$ . La simmetria va cercata rispetto ai morsetti tra cui si misura: è quella che lascia fermi i morsetti a dire quali nodi stanno allo stesso potenziale.

Esercizio 6. Scrivi il duale dell’enunciato «in un partitore di tensione con due resistori, la tensione del primo è $v\,R_1/(R_1 + R_2)$ » e verificane la validità.

Scambiando tensione con corrente, resistenza con conduttanza e serie con parallelo si ottiene: in un partitore di corrente con due conduttori in parallelo, la corrente del primo è $i\,G_1/(G_1 + G_2)$ . È la formula del partitore di corrente, dimostrata nell’articolo sul resistore, che con le resistenze diventa $i\,R_2/(R_1 + R_2)$ .

Commento: la versione con le resistenze non è il duale letterale della prima, ed è per questo che nella formula del partitore di corrente al numeratore compare l’altro resistore. Scritta con le conduttanze, la formula è identica a quella del partitore di tensione.

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