Il diodo e i suoi circuiti

Il componente

Un diodo è un componente a due terminali che lascia passare la corrente in un verso e quasi niente nel verso opposto. Il terminale da cui la corrente entra si chiama anodo, quello da cui esce catodo. Nel simbolo il triangolo punta nel verso della corrente e la sbarra sta sul catodo; sul corpo dei diodi veri una fascia segna lo stesso lato. Quasi tutti i diodi sono giunzioni pn di silicio: l’anodo è la zona $p$, il catodo la zona $n$, e la caratteristica è quella dell’articolo precedente,

$$I = I_s\left(e^{V/V_T} - 1\right) ,$$

con $V$ la tensione tra anodo e catodo. Nei diodi reali la corrente di saturazione $I_s$ va da qualche femtoampere a qualche nanoampere, secondo l’area e la tecnologia, e spesso all’esponente compare $\eta V_T$, con il fattore di idealità $\eta$ tra $1$ e $2$. In questo articolo si usa il diodo di riferimento degli esercizi precedenti, con $I_s = 5{,}35\times10^{-14}$ A ed $\eta = 1$.

In diretta la corrente cresce di dieci volte ogni $60$ mV. Per questo, alla corrente per cui è costruito, un diodo al silicio ha ai capi quasi sempre $0{,}6$-$0{,}7$ V, che conduca un milliampere o cento ampere: i diodi di potenza hanno solo una giunzione più grande. In inversa la corrente resta minuscola fino alla tensione di rottura, che per un diodo comune va da qualche decina a qualche migliaio di volt e non deve essere raggiunta. Il limite in diretta è termico: la potenza $VI$ scalda il cristallo, e oltre una certa temperatura il diodo si guasta.

Per piccole variazioni attorno a un punto di lavoro conta la pendenza della caratteristica.

A $1$ mA la resistenza differenziale vale $26$ Ω, a $10$ μA $2{,}6$ kΩ, a $100$ mA un quarto di ohm. Non dipende né dall’area né dal drogaggio del diodo, ma solo dalla corrente: è un risultato che torna in tutti i circuiti con giunzioni, dagli amplificatori ai sensori.

I modelli semplificati

Un circuito con un diodo e dei resistori porta a un’equazione in cui la tensione compare sia fuori sia dentro un esponenziale, e non si risolve in forma chiusa. Per progettare si usano modelli più semplici. Il più semplice di tutti è il diodo ideale: un cortocircuito in diretta, un circuito aperto in inversa. Il più usato è il modello a tensione costante: nessuna corrente finché la tensione è sotto $V_\gamma$, e tensione $V_\gamma$, tra $0{,}6$ e $0{,}7$ V, qualunque sia la corrente. Quando serve più precisione attorno a un punto di lavoro si usa il modello lineare a tratti, la retta tangente alla caratteristica in quel punto: una tensione di soglia in serie alla resistenza differenziale.

Quando serve la soluzione esatta, per esempio per un generatore $E$ che alimenta il diodo attraverso un resistore $R$, si può procedere per iterazione. Si parte da una tensione di tentativo $V_0$, si calcola la corrente $I = (E - V_0)/R$, da questa la tensione $V_1 = V_T\ln(I/I_s + 1)$, e si ripete. Con $E = 5$ V, $R = 1$ kΩ e $V_0 = 0{,}7$ V si ottiene $I = 4{,}30$ mA e $V_1 = 0{,}6491$ V, poi $I = 4{,}351$ mA e $V_2 = 0{,}6494$ V, e il terzo passo non cambia più le prime quattro cifre. Il metodo converge così in fretta per il teorema del valor medio: la funzione che dà $V_{k+1}$ da $V_k$ ha derivata $-V_T/(E - V + RI_s)$, e con $4{,}35$ V ai capi del resistore la differenza tra la tensione vera e quella di tentativo si riduce a ogni passo di circa centosettanta volte. Lo stesso problema si risolve anche con il metodo grafico, intersecando la caratteristica con la retta di carico.

Il circuito di taglio

Un diodo collegato tra un nodo e la massa impedisce alla tensione del nodo di scendere sotto $-V_\gamma$. Nello schema della figura un generatore sinusoidale di ampiezza $5$ V alimenta, attraverso un resistore da $1$ kΩ, un diodo con l’anodo a massa. Con il modello a tensione costante il ragionamento è immediato. Finché $V_{in} > -V_\gamma$ il diodo è spento, nel resistore non passa corrente e l’uscita coincide con l’ingresso. Quando l’ingresso scende sotto $-V_\gamma$ il diodo conduce, l’uscita resta a $-V_\gamma$ e il resto della tensione cade sul resistore.

Il modello semplificato sbaglia di pochissimo. Con il diodo spento la corrente è al più $I_s$, e l’uscita differisce dall’ingresso di $RI_s$, cinquanta picovolt. Con il diodo acceso la tensione vera va da $0{,}58$ V con $0{,}3$ mA a $0{,}65$ V con $4{,}35$ mA, la corrente di picco. Un circuito così si chiama limitatore o circuito di taglio. Ne esistono dappertutto: gli ingressi dei circuiti integrati sono protetti da diodi verso l’alimentazione e verso la massa, che impediscono alla tensione di un piedino di uscire di più di una soglia di diodo dall’intervallo consentito.

Nella scelta del diodo contano due numeri. In inversa il diodo deve reggere la tensione massima dell’ingresso, qui $5$ V, con margine sulla tensione di rottura. In diretta deve sopportare la corrente di picco e la potenza, $0{,}65\ \text{V}\cdot4{,}35\ \text{mA} = 2{,}8$ mW.

Il raddrizzatore

Quasi ogni apparecchio collegato alla rete elettrica deve trasformare i $230$ V efficaci a $50$ Hz della presa in una tensione continua di pochi volt. La tensione di rete ha un’ampiezza di $230\sqrt2 = 325$ V e un periodo di $20$ ms. Un trasformatore la riduce: con un rapporto spire di circa $22$ il secondario dà una sinusoide $V_s$ di ampiezza $15$ V.

Un diodo in serie al carico lascia passare solo le semionde positive: è il raddrizzatore a una semionda. L’uscita segue $V_s - V_\gamma$ quando il secondario supera la soglia del diodo, ed è nulla nel resto del periodo. La tensione non cambia più segno, ma è tutt’altro che continua. Per livellarla si mette un condensatore in parallelo al carico. Mentre la sinusoide sale il diodo conduce e carica il condensatore fino a $V_{max} = 15 - 0{,}7 = 14{,}3$ V. Dopo il picco il secondario scende più in fretta di quanto il condensatore possa scaricarsi, il diodo si spegne, e il carico è alimentato solo dal condensatore, che si scarica con la costante di tempo $RC$ finché la sinusoide successiva non lo raggiunge.

Con i valori della figura la stima dà $4{,}3$ V, mentre l’ondulazione vera è $3{,}4$ V: la scarica dura circa quattro quinti del periodo. La formula dice come ridurre l’ondulazione: un condensatore più grande, o una frequenza più alta. Il raddrizzatore a ponte, detto anche ponte di Graetz, usa quattro diodi e fa passare nel carico entrambe le semionde: il condensatore si ricarica ogni $10$ ms, e l’ondulazione si dimezza, al prezzo di due soglie di diodo in serie invece di una.

Due conseguenze pratiche. Con il condensatore, durante la semionda negativa il catodo del diodo resta a $14{,}3$ V e l’anodo scende a $-15$ V: il diodo deve reggere quasi il doppio dell’ampiezza, circa $30$ V, e non $15$. E poiché il condensatore si ricarica in una piccola frazione del periodo, in quel breve intervallo il diodo porta tutta la carica che il carico consuma in un periodo: la corrente di picco nel diodo è molte volte la corrente media del carico.

Lo stabilizzatore con diodo Zener

Un diodo in rottura ha ai capi una tensione quasi indipendente dalla corrente. I diodi Zener sono costruiti per lavorare lì, con una tensione di rottura $V_Z$ precisa e stabile, da poco più di $2$ V fino a circa duecento volt. Portano il nome di Clarence Zener, che nel 1934 descrisse la conduzione per effetto tunnel attraverso il gap, il meccanismo che prevale nei diodi con $V_Z$ sotto i $5$ V circa; sopra i $7$ V circa prevale la valanga. I due meccanismi dipendono dalla temperatura in versi opposti, e gli Zener attorno ai $5{,}6$ V sono quelli con la tensione più stabile. In rottura uno Zener si comporta come un generatore di tensione $V_Z$ in serie a una piccola resistenza $r_z$, da qualche ohm a qualche decina di ohm; è un generatore solo nel senso del modello, perché la potenza la assorbe sempre.

Messo in parallelo al carico, dopo il condensatore di filtro e un resistore $R$, lo Zener tiene l’uscita a $V_Z$ e assorbe la differenza tra la corrente che arriva da $R$ e quella che il carico prende.

Il progetto si fa sui casi peggiori. La corrente nello Zener non deve scendere sotto un minimo, altrimenti il diodo esce dalla rottura: questo fissa il valore massimo di $R$, con la tensione di ingresso minima e il carico massimo. La potenza nello Zener non deve superare quella ammessa: il caso peggiore è con la tensione di ingresso massima e il carico staccato, quando tutta la corrente passa nello Zener. Lo stabilizzatore a Zener è semplice ma spreca potenza, e oggi negli alimentatori si usano regolatori integrati, che contengono un riferimento di tensione e un amplificatore, oppure convertitori a commutazione; lo Zener resta il modo più semplice di avere una tensione di riferimento.

Il diodo come termometro

A corrente costante la tensione di un diodo dipende dalla temperatura, e in modo molto riproducibile. La dipendenza passa soprattutto dalla corrente di saturazione, proporzionale a $n_i^2$. Dall’articolo sul livello di Fermi, $n_i^2 = N_cN_v\,e^{-E_g/kT}$ con $N_cN_v \propto T^3$. Vicino alla temperatura ambiente il gap diminuisce quasi linearmente, $E_g = E_{g0} - \beta T$, e il termine $\beta T$ nell’esponente dà solo un fattore costante: $I_s \propto T^3\,e^{-E_{g0}/kT}$, con $E_{g0} = 1{,}20$ eV per il silicio, il valore del gap prolungato in linea retta fino allo zero assoluto. Gli altri fattori di $I_s$, coefficienti e lunghezze di diffusione, cambiano molto più lentamente.

Con $V = 0{,}61$ V a $300$ K il primo termine vale $-(1{,}20 - 0{,}61)/300 = -1{,}96$ mV/K e il secondo $-0{,}26$ mV/K: in tutto circa $-2{,}2$ mV/K. È il «meno due millivolt per grado» dei diodi e dei transistori al silicio, lo stesso dell’articolo sulla giunzione all’equilibrio. La tensione scende perché, a temperatura più alta, la stessa corrente si ottiene con una barriera meno abbassata.

Un termometro fatto con un diodo solo va tarato, perché $I_s$ varia da un esemplare all’altro. Con due diodi uguali si toglie di mezzo.

Con $N = 8$ l’uscita vale $V_T\ln8 = 53{,}8$ mV a $300$ K e cambia di $0{,}179$ mV/K. Il rapporto $N$ si ottiene mettendo in parallelo otto generatori di corrente uguali, e nei circuiti integrati i due diodi sono giunzioni costruite una accanto all’altra. È il principio dei sensori di temperatura dentro i processori. Sommando a una tensione di giunzione, che scende di circa $2$ mV/K, una tensione di questo tipo amplificata quanto basta a compensare la discesa, si ottiene una tensione che non dipende dalla temperatura: vale circa $1{,}2$ V, vicino a $E_{g0}/q$, ed è il riferimento a bandgap usato in quasi tutti i circuiti integrati analogici.

I diodi che emettono luce

Nel silicio un elettrone che si ricombina con una lacuna cede la sua energia al reticolo, perché il salto tra le due bande richiede un cambio di quantità di moto. In altri semiconduttori, detti a gap diretto, il fondo della banda di conduzione e la cima di quella di valenza hanno la stessa quantità di moto, e la ricombinazione emette facilmente un fotone con energia vicina al gap. In una giunzione polarizzata in diretta i minoritari iniettati si ricombinano in continuazione: è un LED, diodo che emette luce. La lunghezza d’onda è $\lambda = hc/E_g$, cioè $\lambda \approx 1240\ \text{nm}/(E_g/\text{eV})$. L’arseniuro di gallio, con $1{,}42$ eV, emette nell’infrarosso a circa $870$ nm; i LED rossi e gialli usano leghe di alluminio, indio, gallio e fosforo, quelli verdi e blu il nitruro di indio e gallio. Per i LED blu efficienti Isamu Akasaki, Hiroshi Amano e Shuji Nakamura ricevettero il premio Nobel per la fisica nel 2014, e dai LED blu vengono quelli bianchi, in cui una parte della luce blu è convertita in giallo da un fosforo.

In una giunzione molto drogata la barriera da abbassare per far passare corrente è quasi quanto il gap, e la tensione in conduzione di un LED è vicina a $E_g/q$: cresce verso il blu, circa $2$ V per un LED rosso, circa $3$ V per uno blu o bianco. Come ogni diodo, un LED non va collegato direttamente a un generatore di tensione: sessanta millivolt in più decuplicano la corrente. La corrente si fissa con un resistore in serie.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un generatore da $5$ V alimenta il diodo di riferimento attraverso un resistore da $1$ kΩ. Confronta la soluzione esatta con quella del modello a tensione costante di $0{,}7$ V.

Con il modello, $I = (5 - 0{,}7)/1000 = 4{,}30$ mA. L’iterazione del paragrafo sui modelli dà $V = 0{,}6494$ V e $I = 4{,}351$ mA.

Commento: il modello sbaglia la tensione di $50$ mV, e la corrente solo dell’$1{,}2\%$, perché l’errore sulla tensione pesa su $4{,}3$ V di caduta nel resistore. Il modello a tensione costante è buono proprio quando le tensioni del circuito sono molto più grandi della soglia.

Esercizio 2. Un segnale che arriva fino a $12$ V deve entrare in un microcontrollore alimentato a $5$ V, che tollera sul piedino al più $0{,}5$ V sopra l’alimentazione. Tra il segnale e il piedino c’è un resistore da $10$ kΩ, e un diodo va dal piedino all’alimentazione. Il piedino è protetto? Quanta corrente passa nel diodo?

Il diodo conduce quando il piedino supera l’alimentazione di una soglia. La corrente è piccola, $(12 - 5{,}6)/10\,000 = 0{,}64$ mA, e con una corrente così la soglia del diodo di riferimento è $V_T\ln(0{,}64\times10^{-3}/5{,}35\times10^{-14}) = 0{,}60$ V: il piedino arriva a $5{,}6$ V.

Commento: non basta. Con un diodo al silicio il piedino supera l’alimentazione di $0{,}6$ V, oltre il limite. Si risolve con un diodo Schottky, una giunzione tra metallo e semiconduttore che in conduzione ha circa $0{,}3$ V. Va anche controllato che la corrente iniettata nell’alimentazione, $0{,}64$ mA, sia assorbita dal resto del circuito e non la faccia salire.

Esercizio 3. Un alimentatore deve fornire $100$ mA con un’ondulazione di al più $1$ V a $50$ Hz. Quanto deve valere il condensatore di filtro con il raddrizzatore a una semionda? E con quello a ponte?

Dalla stima dell’ondulazione, $C \ge I_LT/\Delta V = 0{,}1\ \text{A}\cdot0{,}02\ \text{s}/1\ \text{V} = 2000$ μF, e si sceglie il valore commerciale da $2200$ μF. Con il ponte il condensatore si ricarica ogni $10$ ms, e bastano $1000$ μF.

Commento: la stima per eccesso della scarica dà un margine a favore della sicurezza. I condensatori elettrolitici di queste capacità sono comuni e poco costosi, ma hanno tolleranze del $20\%$ e perdono capacità invecchiando: conviene abbondare.

Esercizio 4. Dopo il filtro la tensione $V_A$ oscilla tra $13{,}3$ e $14{,}3$ V. Si vuole un’uscita di $10$ V per un carico che assorbe $20$ mA, con uno Zener da $10$ V con $r_z = 10$ Ω e una corrente minima di $5$ mA. Dimensiona $R$, calcola l’ondulazione in uscita e la potenza massima nello Zener.

Con la tensione minima e il carico collegato, in $R$ devono passare almeno $25$ mA: $R \le (13{,}3 - 10)/0{,}025 = 132$ Ω, e si sceglie $120$ Ω. L’ondulazione di $1$ V diventa $1\cdot10/(120 + 10) = 77$ mV. Con la tensione massima e il carico staccato la corrente nello Zener è $(14{,}3 - 10)/(120 + 10) = 33$ mA, e la potenza $10\ \text{V}\cdot33\ \text{mA} + (33\ \text{mA})^2\cdot10\ \Omega = 0{,}34$ W.

Commento: serve uno Zener da almeno mezzo watt. L’ondulazione è scesa di tredici volte, ma a pieno carico il circuito dissipa nel resistore e nello Zener quasi quanto consegna al carico: per questo gli stabilizzatori a Zener si usano solo con correnti piccole.

Esercizio 5. Il diodo di riferimento, attraversato da $1$ mA, ha $0{,}611$ V a $300$ K. Quando la tensione misurata è $0{,}561$ V, qual è la temperatura?

Con la pendenza di $-2{,}2$ mV/K, $50$ mV in meno corrispondono a $50/2{,}2 = 23$ K in più: circa $323$ K, cioè $50$ °C. Il calcolo con la formula completa di $I_s(T)$ dà $322{,}4$ K.

Commento: con un termometro di taratura si trova la pendenza del singolo diodo, e l’errore resta di qualche decimo di grado su qualche decina di gradi. Il sensore a due diodi non richiede la taratura della pendenza, ma dà un segnale dieci volte più piccolo, $0{,}18$ mV/K con $N = 8$, e ha bisogno di un amplificatore.

Esercizio 6. Un LED rosso, con $2{,}0$ V in conduzione, deve essere acceso da un’uscita a $5$ V di un microcontrollore con una corrente di circa $10$ mA. Quale resistore serve?

$R = (5 - 2{,}0)/0{,}010 = 300$ Ω. Il valore più vicino della serie E12 è $330$ Ω, con cui la corrente è $(5 - 2)/330 = 9{,}1$ mA.

Commento: la tensione del LED cambia poco con la corrente, e l’errore del modello a tensione costante si riflette poco sulla corrente perché sul resistore cadono $3$ V. Un LED blu, con circa $3$ V, con lo stesso resistore porterebbe solo $6$ mA.