Metodi di analisi delle reti

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Risolvere una rete

Risolvere una rete vuol dire calcolare la tensione e la corrente di ogni lato. Le equazioni a disposizione sono di due tipi: le equazioni costitutive, una per lato, che dicono di che componente si tratta, e le equazioni topologiche, le leggi di Kirchhoff, che dicono come i componenti sono collegati. Serve un metodo che scelga, tra tutte le equazioni che si possono scrivere, tante equazioni indipendenti quante sono le incognite.

Negli articoli precedenti questo articolo è stato promesso più volte: per dimostrare che una rete di resistori ha una sola soluzione, per il teorema di Tellegen, per la formula di Millman e per il metodo grafico dei circuiti con diodi.

Nodi, lati, maglie

Una rete è un insieme di bipoli collegati. Un nodo è un punto in cui si uniscono i morsetti di più bipoli, un lato è un bipolo, o una serie di bipoli, tra due nodi, una maglia è un percorso chiuso fatto di lati. Di una rete, per scrivere le leggi di Kirchhoff, conta solo il grafo: quali nodi sono collegati da quali lati. Una rete connessa con $N$ nodi e $L$ lati ha $2L$ incognite, una tensione e una corrente per lato, e $L$ equazioni costitutive. Le altre $L$ devono venire da Kirchhoff.

Un albero è un insieme di lati che collega tutti i nodi senza formare maglie. Ogni grafo connesso ne ha almeno uno, e ogni albero ha $N - 1$ lati: partendo da un nodo, ogni lato dell’albero aggiunge un nodo nuovo. I lati che non appartengono all’albero sono le corde, e sono $L - N + 1$ . Ogni corda, insieme all’unico percorso che l’albero offre tra i suoi due estremi, forma una maglia fondamentale.

Il grafo di una rete con $N = 4$ nodi e $L = 6$ lati. L’albero, in blu, ha $N - 1 = 3$ lati; le corde, in arancione, sono $L - N + 1 = 3$ . Nell’animazione si evidenziano a turno le tre maglie fondamentali, ciascuna con una sola corda.

Teorema (equazioni topologiche indipendenti)

In una rete connessa con $N$ nodi e $L$ lati:

le leggi delle correnti scritte in $N - 1$ nodi qualsiasi sono indipendenti, e quella dell’ultimo nodo ne è conseguenza;
le leggi delle tensioni delle $L - N + 1$ maglie fondamentali di un albero sono indipendenti, e tutte le altre ne sono conseguenza.

Dimostrazione.

Ogni corrente di lato compare in due leggi dei nodi, quelle dei suoi estremi, una volta uscente e una entrante: sommando le leggi di tutti gli $N$ nodi si ottiene l’identità $0 = 0$ , quindi l’ultima legge è la somma delle altre cambiata di segno. Per l’indipendenza, si supponga che una combinazione $\sum_n c_n\,(\text{legge del nodo } n)$ delle leggi di tutti i nodi tranne un nodo $r$ sia identicamente nulla, e si ponga $c_r = 0$ . Un lato tra i nodi $a$ e $b$ compare nella combinazione con il coefficiente $c_a - c_b$ , che deve quindi essere nullo: nodi collegati da un lato hanno lo stesso coefficiente. Poiché la rete è connessa, tutti i coefficienti sono uguali a $c_r = 0$ .
Si fissa un nodo di riferimento con potenziale nullo e si assegna a ogni altro nodo il potenziale ottenuto sommando le tensioni lungo l’unico percorso dell’albero che lo raggiunge. Le tensioni dei lati dell’albero sono allora differenze di potenziali. Se vale la legge delle tensioni di una maglia fondamentale, anche la tensione della sua corda è la differenza tra i potenziali dei suoi estremi. Tutte le tensioni sono dunque differenze di potenziali, e soddisfano la legge delle tensioni di qualsiasi maglia, perché in una somma di differenze lungo un percorso chiuso ogni potenziale compare una volta con il più e una con il meno. Le leggi delle maglie fondamentali sono indipendenti perché ciascuna contiene la tensione della propria corda, che nelle altre non compare.

Fine della dimostrazione.

Il bilancio torna: $L$ equazioni costitutive, $N - 1$ leggi delle correnti e $L - N + 1$ leggi delle tensioni fanno $2L$ equazioni per $2L$ incognite.

Il metodo di Kirchhoff e il metodo modificato

Il metodo di Kirchhoff scrive tutte le $2L$ equazioni e risolve il sistema. È generale, ma lungo. Il metodo modificato dimezza il lavoro: sceglie un’incognita principale per lato, la corrente per i lati in cui la corrente non è imposta da un generatore e la tensione per i lati con un generatore di corrente, e scrive le $N - 1$ leggi delle correnti e le $L - N + 1$ leggi delle tensioni sostituendovi direttamente le equazioni costitutive. Restano $L$ equazioni in $L$ incognite, e le altre grandezze si ricavano dopo, lato per lato. A volte le equazioni si separano in gruppi indipendenti, e la rete si risolve a pezzi: è il disaccoppiamento di cui si parla più avanti.

Il metodo dei potenziali di nodo

Il metodo usato in pratica, anche dai programmi di simulazione dei circuiti, prende come incognite i potenziali dei nodi. Si sceglie un nodo di riferimento, la massa, e le incognite sono le $N - 1$ tensioni degli altri nodi. Le leggi delle tensioni sono soddisfatte da sole, come nella dimostrazione del teorema, e restano le $N - 1$ leggi delle correnti.

Proposizione (equazioni ai nodi)

In una rete di resistori e generatori di corrente, con i potenziali di nodo $V_1, \dots, V_{N-1}$ rispetto alla massa, le leggi delle correnti si scrivono

\sum_m G_{nm}\,V_m = A_n, \qquad n = 1, \dots, N - 1,

dove $G_{nn}$ è la somma delle conduttanze collegate al nodo $n$ , $G_{nm} = G_{mn}$ è l’opposto della conduttanza tra i nodi $n$ ed $m$ , e $A_n$ è la somma delle correnti dei generatori entranti nel nodo $n$ .

Dimostrazione.

Un resistore di conduttanza $G$ tra il nodo $n$ e il nodo $m$ porta dal nodo $n$ verso il nodo $m$ la corrente $G\,(V_n - V_m)$ , con $V_m = 0$ se $m$ è la massa. La legge delle correnti del nodo $n$ dice che la somma di queste correnti uscenti è uguale alla somma delle correnti dei generatori entranti. Raccogliendo i potenziali, $V_n$ ha per coefficiente la somma delle conduttanze collegate al nodo, e ogni $V_m$ l’opposto della conduttanza tra $n$ ed $m$ , che è la stessa vista da entrambi i nodi.

Fine della dimostrazione.

Un generatore di tensione tra un nodo e la massa fissa direttamente il potenziale di quel nodo, che esce dalle incognite. Un generatore di tensione tra due nodi qualsiasi lega i loro potenziali: si scrive la legge delle correnti per la superficie che racchiude entrambi i nodi, un supernodo, insieme al vincolo sulla differenza dei potenziali. I simulatori derivati da SPICE usano una versione sistematica di questo procedimento, l’analisi nodale modificata, che aggiunge come incognite le correnti dei generatori di tensione.

Tellegen, esistenza e unicità

Teorema (di Tellegen)

Su una rete connessa, con i versi di riferimento di ogni lato secondo la convenzione degli utilizzatori, siano $v_k$ tensioni di lato qualsiasi che soddisfano le leggi delle tensioni e $i_k$ correnti di lato qualsiasi che soddisfano le leggi delle correnti. Allora

\sum_{k=1}^L v_k\,i_k = 0 .

Dimostrazione.

Per il teorema sulle equazioni topologiche le tensioni sono differenze di potenziali: se il lato $k$ va dal nodo $a_k$ , dal lato del $+$ , al nodo $b_k$ , $v_k = V_{a_k} - V_{b_k}$ . La corrente $i_k$ entra nel lato dal nodo $a_k$ ed esce verso $b_k$ . Raccogliendo per nodi,

\sum_k v_k\,i_k = \sum_k \big(V_{a_k} - V_{b_k}\big)\,i_k = \sum_n V_n\left(\sum_{k:\,a_k = n} i_k - \sum_{k:\,b_k = n} i_k\right),

e la parentesi è la corrente totale che esce dal nodo $n$ , nulla per la legge delle correnti.

Fine della dimostrazione.

Con tensioni e correnti della stessa rete è la conservazione della potenza: la somma delle potenze assorbite da tutti i lati è zero, cioè la potenza erogata dai generatori è istante per istante quella assorbita dagli altri componenti. Ma il teorema dice di più: tensioni e correnti possono venire da due reti diverse con lo stesso grafo, o dalla stessa rete in due istanti diversi, e la somma è nulla lo stesso. Il teorema usa solo le leggi di Kirchhoff, non i componenti, e vale per reti lineari e non lineari.

Teorema (esistenza e unicità della soluzione)

Una rete connessa formata da resistori con $R > 0$ e da generatori ideali indipendenti, in cui i generatori di tensione non formano maglie e togliendo i generatori di corrente la rete resta connessa, ha una e una sola soluzione. Ogni tensione e ogni corrente è una combinazione lineare delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori.

Dimostrazione.

Le $L$ equazioni costitutive, le $N - 1$ leggi delle correnti e le $L - N + 1$ leggi delle tensioni indipendenti formano un sistema lineare di $2L$ equazioni in $2L$ incognite, con i valori dei generatori come termini noti. Un sistema quadrato ha una e una sola soluzione per ogni termine noto se e solo se il sistema con i termini noti nulli ha soltanto la soluzione nulla; in quel caso la soluzione è il prodotto della matrice inversa per il vettore dei termini noti, e quindi è lineare nei valori dei generatori.

Con i generatori spenti i generatori di tensione diventano cortocircuiti e quelli di corrente circuiti aperti. Per il teorema di Tellegen $\sum_k v_ki_k = 0$ ; nei generatori spenti uno dei due fattori è nullo, e resta $\sum R_k i_k^2 = 0$ sui resistori: tutte le correnti e le tensioni dei resistori sono nulle. Le sole correnti ancora da determinare sono quelle dei generatori di tensione, e per la legge delle correnti formano una circolazione sui lati dei generatori di tensione, che non contengono maglie. In un insieme di lati senza maglie c’è sempre un nodo toccato da un solo lato, la cui corrente deve quindi essere nulla; togliendolo e ripetendo, sono nulle tutte. Le sole tensioni ancora da determinare sono quelle dei generatori di corrente; ma i lati rimanenti, tutti con tensione nulla, collegano tra loro tutti i nodi, quindi tutti i nodi hanno lo stesso potenziale e anche quelle tensioni sono nulle.

Fine della dimostrazione.

Le ipotesi escludono i due circuiti impossibili dell’articolo sui generatori: generatori di tensione chiusi su se stessi e generatori di corrente senza strada. Da questo teorema dipendono il ponte bilanciato e i nodi allo stesso potenziale dell’articolo sui bipoli equivalenti, la resistenza equivalente di una rete di resistori, il teorema di sostituzione e, nel prossimo articolo, la sovrapposizione degli effetti. Per le reti non lineari il teorema non vale, e una rete può avere più soluzioni: è così che un circuito bistabile ricorda un bit.

Il metodo grafico

Quando un componente non è lineare le equazioni non si risolvono più con l’algebra lineare. Se il resto della rete si riduce a un generatore reale, però, la soluzione si trova disegnando: la rete lineare impone la retta $v = E - Ri$ , il componente la sua caratteristica, e la soluzione è il punto in cui le due curve si incontrano. È il metodo grafico, che si applica ai resistori non lineari; il caso più importante in elettronica è il diodo, che il percorso «Fondamenti di elettronica» studia a fondo.

Un diodo alimentato da un generatore $E$ attraverso un resistore da $1$ kΩ. La caratteristica del diodo, in blu, è quasi nulla fino a circa $0{,}6$ V e poi sale ripidissima; la retta di carico, in arancione, va da $E$ sull’asse delle tensioni a $E/R$ sull’asse delle correnti. Il punto di lavoro è all’incrocio. Nell’animazione $E$ varia tra $1{,}5$ e $3$ V: la corrente cambia molto, la tensione del diodo pochissimo.

La formula di Millman

Proposizione (formula di Millman)

Una rete sia formata da lati tutti collegati in parallelo tra due nodi $A$ e $B$ , ciascuno fatto da un generatore di tensione $E_k$ con un resistore $R_k$ in serie, da un resistore solo, o da un generatore di corrente $A_k$ con o senza un resistore in serie. Allora

V_{AB} = \frac{\sum_k E_k/R_k + \sum_k A_k}{\sum_k 1/R_k} ,

dove le $E_k$ hanno segno positivo se il loro $+$ è dal lato di $A$ , le $A_k$ se la loro corrente entra in $A$ , e le somme sulle resistenze escludono i resistori in serie ai generatori di corrente.

Dimostrazione.

In un lato con generatore di tensione e resistore la corrente che entra in $A$ è $I_k = (E_k - V_{AB})/R_k$ , per la legge delle tensioni lungo il lato; in un lato con il solo resistore vale lo stesso con $E_k = 0$ . Un lato con un generatore di corrente porta verso $A$ la corrente $A_k$ , qualunque resistore abbia in serie. La legge delle correnti in $A$ dà $\sum_k (E_k - V_{AB})/R_k + \sum_k A_k = 0$ , che risolta per $V_{AB}$ è la formula.

Fine della dimostrazione.

È la stessa formula trovata nell’articolo sui generatori per il parallelo di generatori reali, ottenuta qui con le leggi di Kirchhoff invece che con l’equivalenza tra generatori. Un resistore in serie a un generatore di corrente non compare: la corrente del lato è quella del generatore, qualunque sia il resistore.

Sostituzione e disaccoppiamento

Teorema (di sostituzione)

Una rete con soluzione unica sia divisa in due parti collegate da due morsetti, tra i quali la soluzione ha tensione $V$ e corrente $I$ . Se si sostituisce una delle due parti con un generatore ideale di tensione $V$ , oppure con un generatore ideale di corrente $I$ , e la nuova rete ha soluzione unica, le tensioni e le correnti dell’altra parte non cambiano.

Dimostrazione.

Le tensioni e le correnti della rete di partenza nella parte che resta, insieme a $V$ e $I$ ai morsetti, soddisfano tutte le equazioni della nuova rete: quelle della parte che resta non sono cambiate, e il generatore impone esattamente il valore che la grandezza aveva. Poiché la nuova rete ha soluzione unica, sono la sua soluzione.

Fine della dimostrazione.

Da qui viene il disaccoppiamento. Un generatore ideale di tensione in parallelo a due parti di una rete impone la tensione a entrambe, e ciascuna parte si risolve da sola, come se l’altra non esistesse; la corrente del generatore si ricava alla fine con la legge delle correnti. Allo stesso modo un generatore ideale di corrente in serie a due parti impone a entrambe la corrente, e la sua tensione si ricava con la legge delle tensioni.

Un generatore ideale di tensione $E$ in parallelo a due parti di una rete. La rete 1 vede ai suoi capi la tensione $E$ qualunque cosa succeda nella rete 2, e viceversa: le due parti si risolvono separatamente. La corrente di $E$ è la somma delle correnti che le due parti gli chiedono.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una rete connessa ha $5$ nodi e $8$ lati. Quante sono le incognite, le leggi delle correnti indipendenti, le leggi delle tensioni indipendenti? Quante incognite ha il metodo dei potenziali di nodo?

Le incognite sono $2L = 16$ . Le leggi delle correnti indipendenti sono $N - 1 = 4$ , quelle delle tensioni $L - N + 1 = 4$ , e con le $8$ equazioni costitutive fanno $16$ . Il metodo dei nodi ha $N - 1 = 4$ incognite, il metodo modificato $L = 8$ .

Commento: il metodo dei nodi conviene quando i nodi sono pochi rispetto ai lati, cioè quasi sempre nelle reti con molti componenti in parallelo. Il numero di maglie fondamentali non dipende dall’albero scelto, ma le maglie sì.

Esercizio 2. Tre lati in parallelo tra i nodi $A$ e $B$ : un generatore $E_1 = 10$ V con $R_1 = 2\ \Omega$ , un generatore $E_2 = 5$ V con $R_2 = 5\ \Omega$ , entrambi con il $+$ verso $A$ , e un generatore di corrente $A_3 = 1$ A entrante in $A$ . Calcola $V_{AB}$ , le correnti e il bilancio delle potenze.

Per la formula di Millman $V_{AB} = (10/2 + 5/5 + 1)/(1/2 + 1/5) = 7/0{,}7 = 10$ V. Le correnti entranti in $A$ sono $I_1 = (10 - 10)/2 = 0$ e $I_2 = (5 - 10)/5 = -1$ A: nel secondo lato la corrente va da $A$ verso il generatore, che quindi assorbe potenza. Il generatore di corrente eroga $10\cdot1 = 10$ W; $E_2$ assorbe $5\cdot1 = 5$ W; $R_2$ dissipa $5\cdot1^2 = 5$ W; $E_1$ e $R_1$ non scambiano niente. La somma torna.

Commento: il primo generatore ha la stessa tensione della rete ai suoi capi, e non eroga niente. Il segno negativo di $I_2$ non va corretto: dice che quel generatore si sta caricando. Il controllo con Tellegen scopre gli errori di segno, che nel metodo di Millman sono l’errore più comune.

Esercizio 3. Con il metodo dei potenziali di nodo, risolvi la rete con due nodi più la massa: un generatore da $10$ V con $R_1 = 1$ kΩ verso il nodo 1, $R_2 = 2$ kΩ tra il nodo 1 e la massa, $R_3 = 1$ kΩ tra i nodi 1 e 2, $R_4 = 1$ kΩ tra il nodo 2 e la massa, e un generatore di corrente da $1$ mA entrante nel nodo 2.

Il generatore con $R_1$ equivale a un generatore di corrente da $10$ mA con $1$ kΩ in parallelo. Con le tensioni in volt, le conduttanze in millisiemens e le correnti in milliampere, le equazioni ai nodi sono

(1 + 0{,}5 + 1)\,V_1 - V_2 = 10, \qquad -V_1 + (1 + 1)\,V_2 = 1 .

Dalla seconda $V_1 = 2V_2 - 1$ , e sostituendo nella prima $4V_2 = 12{,}5$ : $V_2 = 3{,}125$ V e $V_1 = 5{,}25$ V.

Commento: la matrice dei coefficienti è simmetrica, con sulla diagonale la somma delle conduttanze di ogni nodo, e si scrive guardando lo schema. Le correnti di tutti i lati vengono dopo, dalla legge di Ohm: per esempio in $R_3$ passano $(5{,}25 - 3{,}125)/1 = 2{,}125$ mA dal nodo 1 al nodo 2.

Esercizio 4. Un diodo con $I_s = 10^{-14}$ A e $V_T = 25{,}85$ mV è alimentato da $5$ V attraverso $1$ kΩ. Trova il punto di lavoro.

La retta di carico è $i = (5 - v)/1000$ , la caratteristica $v = V_T\ln(i/I_s + 1)$ . Si parte da $v = 0{,}7$ V: $i = 4{,}30$ mA, e dalla caratteristica $v = 0{,}02585\,\ln(4{,}3\times10^{11}) \approx 0{,}6926$ V; di nuovo $i \approx 4{,}307$ mA e $v \approx 0{,}6925$ V. Il punto di lavoro è circa $0{,}69$ V e $4{,}31$ mA.

Commento: è il metodo grafico fatto con i numeri, alternando la retta e la caratteristica. Converge in fretta perché la caratteristica è ripidissima: un errore di $10$ mV sulla tensione cambia la corrente di appena $10\ \mu$ A. Per la stessa ragione, nei calcoli a mano si assume spesso che un diodo in conduzione abbia $0{,}7$ V, e il risultato cambia pochissimo.

Esercizio 5. Nella rete della figura sul disaccoppiamento $E = 12$ V, $E_1 = 6$ V con $R_1 = 3\ \Omega$ e il $+$ verso l’alto, $A = 2$ A verso l’alto con $R_2 = 5\ \Omega$ . Calcola la corrente erogata da $E$ e la tensione ai capi del generatore di corrente.

Nella rete 1 la tensione tra i conduttori è $12$ V, quindi $R_1$ ha ai capi $12 - 6 = 6$ V e porta $2$ A, dal conduttore superiore verso $E_1$ . Nella rete 2 la corrente è quella del generatore, $2$ A verso l’alto, cioè verso il conduttore superiore; la tensione su $R_2$ è $10$ V, e per la legge delle tensioni il generatore di corrente ha ai capi $12 + 10 = 22$ V. Nel nodo superiore arrivano $2$ A dalla rete 2 e ne partono $2$ verso la rete 1: il generatore $E$ non eroga corrente.

Commento: ciascuna parte si è risolta con un’equazione, senza guardare l’altra. Il risultato finale, corrente nulla in $E$ , non si indovinava prima: è una coincidenza dei valori scelti, e basta cambiare $A$ per vedere $E$ erogare o assorbire. Il resistore $R_2$ non influisce su nessuna corrente, ma cambia la tensione del generatore di corrente e quindi la potenza che eroga.

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