L'induttore

Una bobina e il suo flusso

Un induttore è una bobina di filo, spesso avvolta su un nucleo di materiale ferromagnetico. La corrente che la percorre produce un flusso magnetico, e quando la corrente cambia il flusso cambia e induce una tensione ai capi della bobina. Nel bilancio energetico dell’introduzione al percorso l’induttore è il componente che accumula energia nel campo magnetico, il duale del condensatore. L’articolo usa i circuiti magnetici dell’articolo precedente.

Michael Faraday scoprì l’induzione nel 1831, muovendo magneti dentro bobine collegate a un galvanometro. La legge che porta il suo nome è già comparsa nell’articolo sulle leggi di Kirchhoff, dove giustificava la legge delle tensioni: lungo una linea chiusa $\gamma$, con una superficie fissa $\Sigma$ che ha $\gamma$ per bordo,

$$\oint_\gamma \mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = -\frac{d}{dt}\int_\Sigma \mathbf B\cdot\mathbf n\,dS .$$

Per una bobina di $N$ spire il flusso che conta è il flusso concatenato $\psi$, la somma dei flussi attraverso le singole spire; se tutte sono attraversate dallo stesso flusso $\Phi$, $\psi = N\Phi$.

Il percorso esterno va specificato per la ragione vista con i due voltmetri dell’articolo sulle leggi di Kirchhoff: dentro la bobina il flusso cambia, e la tensione tra due punti dipende dal percorso. Nella teoria dei circuiti si intende sempre un percorso esterno, lontano dal flusso variabile.

L’induttanza

L’induttanza cresce con il quadrato del numero di spire: il doppio delle spire dà il doppio della forza magnetomotrice e il doppio dei concatenamenti. Per un toroide di permeabilità $\mu$, sezione $A$ e raggio medio $r$, $\mathcal R = 2\pi r/(\mu A)$ e $L = \mu N^2 A/(2\pi r)$. Con un traferro $\delta$ che domina sul ferro, $L \approx \mu_0 N^2 A/\delta$, un valore che non dipende più dal materiale del nucleo.

Tutto quello che si è detto per il condensatore vale scambiando tensione e corrente, come vuole la dualità. L’induttore ha memoria, riassunta nella corrente iniziale. In regime stazionario, con la corrente costante, la tensione è nulla: l’induttore è un cortocircuito.

La conseguenza pratica si vede quando si apre un interruttore in serie a un induttore percorso da corrente. La corrente dovrebbe annullarsi in un tempo brevissimo, e la tensione ai capi dell’induttore sale fino a quando qualcosa le cede: di solito l’aria tra i contatti dell’interruttore, con una scintilla. È così che funziona la bobina di accensione dei motori a benzina, e per la stessa ragione in parallelo alle bobine dei relè comandati da un transistore si mette un diodo, che al momento dell’apertura offre alla corrente una strada per spegnersi senza sovratensioni.

Con un generatore di tensione $E$ e un resistore $R$ in serie, la corrente di un induttore inizialmente a riposo cresce come la tensione di un condensatore che si carica: $i(t) = (E/R)\,(1 - e^{-t/\tau})$, con costante di tempo $\tau = L/R$. La dimostrazione è quella della carica del condensatore, dall’equazione $E = Ri + L\,di/dt$; l’articolo sui transitori tratta insieme i due casi.

Energia

L’energia sta nel campo magnetico, con densità $\tfrac12\,BH = B^2/(2\mu)$ per unità di volume. In un circuito magnetico l’energia di ogni tronco è proporzionale alla sua riluttanza: con il flusso $\Phi$ uniforme su una sezione $A$ e una lunghezza $\ell$, $\tfrac12\,(\Phi/A)(\Phi/\mu A)\,A\ell = \tfrac12\,\mathcal R\,\Phi^2$, e la somma sui tronchi dà $\tfrac12\,\mathcal R\,\Phi^2 = \tfrac12\,(N^2/\mathcal R)\,i^2 = \tfrac12Li^2$. In un nucleo con traferro, quindi, quasi tutta l’energia sta nel traferro, perché lì sta quasi tutta la riluttanza. È la ragione per cui gli induttori che devono immagazzinare energia, come quelli degli alimentatori a commutazione, hanno un traferro.

La forza al traferro

L’energia nel traferro spiega anche perché un elettromagnete attira il ferro.

Con $1$ T la pressione $B^2/(2\mu_0)$ vale circa $4\times10^5$ Pa, quattro atmosfere: su un centimetro quadrato fanno $40$ N, il peso di quattro chilogrammi. È la forza che chiude i contatti dei relè e dei contattori e che solleva i rottami nei gru con elettromagnete.

Serie, parallelo e induttori reali

Induttori non accoppiati magneticamente si combinano come i resistori: in serie le induttanze si sommano, in parallelo si sommano gli inversi. La dimostrazione è quella dei condensatori con tensione e corrente scambiate. Se i flussi di due induttori si concatenano l’uno con l’altro le regole cambiano, e serve il mutuo induttore del prossimo articolo.

Un induttore reale ha anzitutto la resistenza del filo, e in continua è un resistore, non un cortocircuito. Nel nucleo il campo variabile produce perdite per isteresi e correnti parassite, correnti indotte nel materiale stesso del nucleo: per ridurle i nuclei a bassa frequenza sono fatti di lamierini sottili isolati tra loro, e quelli ad alta frequenza di ferriti, che hanno resistività altissima. Oltre una certa corrente il nucleo satura e l’induttanza crolla, e i cataloghi danno la corrente di saturazione accanto all’induttanza. Tra una spira e l’altra c’è infine una piccola capacità, e oltre la frequenza di risonanza propria l’induttore si comporta come un condensatore. I valori vanno dai nanohenry degli induttori per radiofrequenza agli henry dei filtri a $50$ Hz.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un toroide di ferrite con $\mu_r = 2000$, sezione $0{,}5$ cm² e raggio medio $2$ cm ha $100$ spire. Quanto vale l’induttanza? Quante spire servono per $40$ mH?

$L = \mu_0\mu_r N^2 A/(2\pi r) = 4\pi\times10^{-7}\cdot 2000\cdot 10^4\cdot 5\times10^{-5}/(2\pi\cdot 0{,}02)$ H $= 10$ mH. L’induttanza va con $N^2$: per $40$ mH servono $200$ spire.

Commento: quadruplicare l’induttanza costa il doppio delle spire, non il quadruplo. I costruttori di nuclei danno spesso un fattore $A_L$, l’induttanza per spira al quadrato, che qui vale $1\ \mu\text H$: con quello il progetto si riduce a $L = A_L N^2$.

Esercizio 2. Con i dati dell’esercizio 3 dell’articolo sui circuiti magnetici, $500$ spire su un nucleo con riluttanza totale $2{,}29\times10^6\ \text H^{-1}$, di cui $1{,}99\times10^6$ nel traferro, calcola l’induttanza e l’energia con $2$ A. Quanta energia sta nel traferro?

$L = 500^2/(2{,}29\times10^6) \approx 0{,}109$ H, e con $2$ A l’energia è $\tfrac12\cdot 0{,}109\cdot 4 \approx 0{,}22$ J. Nel traferro ne sta la frazione $1{,}99/2{,}29 \approx 87\%$, circa $0{,}19$ J, in un millimetro d’aria.

Commento: il ferro, che occupa quasi tutto il volume, tiene poco più di un decimo dell’energia. Se si togliesse il traferro l’induttanza crescerebbe di quasi otto volte, ma con la stessa corrente il nucleo satura.

Esercizio 3. In un induttore da $10$ mH la corrente sale linearmente da $0$ a $2$ A in $5$ ms e poi scende a zero nello stesso tempo. Quanto vale la tensione nei due tratti?

Nella salita $v = L\,\Delta i/\Delta t = 0{,}01\cdot 2/0{,}005 = 4$ V, nella discesa $-4$ V.

Commento: è il funzionamento di base di un convertitore a commutazione: si applica all’induttore una tensione costante e la corrente cresce a rampa, si applica una tensione di segno opposto e decresce. La tensione applicata decide la pendenza della corrente, non il suo valore.

Esercizio 4. La bobina di un relè ha $0{,}2$ H e $240\ \Omega$ ed è alimentata a $12$ V. Quanta energia contiene? Se un transistore interrompe la corrente in $10$ µs, che tensione si genera? E con un diodo in parallelo alla bobina?

La corrente è $12/240 = 50$ mA e l’energia $\tfrac12\cdot 0{,}2\cdot 0{,}05^2 = 0{,}25$ mJ. Una discesa lineare della corrente in $10$ µs richiederebbe $v = L\,\Delta i/\Delta t = 0{,}2\cdot 0{,}05/10^{-5} = 1000$ V, abbastanza per distruggere un transistore da $40$ V. Con il diodo la corrente continua a circolare nell’anello formato da bobina e diodo, e si spegne con costante di tempo circa $L/R = 0{,}2/240 \approx 0{,}8$ ms; la tensione ai capi della bobina resta limitata alla caduta sul diodo, meno di un volt.

Commento: un quarto di millijoule sembra poco, ma liberato in pochi microsecondi è una potenza di decine di watt. Il diodo rallenta lo spegnimento del relè, e dove serve che i contatti si aprano in fretta si usano soluzioni che lasciano salire la tensione in modo controllato, per esempio con un diodo Zener in serie.

Esercizio 5. Un elettromagnete come quello della figura ha due traferri di $0{,}5$ mm, ciascuno di sezione $4$ cm², e ferro ideale. Quante amperspire servono per avere $0{,}8$ T nei traferri? Con che forza è attirata l’ancora?

La tensione magnetica sui due traferri è $2\cdot(B/\mu_0)\,\delta = 2\cdot 6{,}37\times10^5\cdot 5\times10^{-4} \approx 637$ A, per esempio $1000$ spire con $0{,}64$ A. Su ciascun traferro $F = 0{,}8^2\cdot 4\times10^{-4}/(2\cdot 4\pi\times10^{-7}) \approx 102$ N, in totale circa $204$ N.

Commento: con la corrente fissata, l’induzione è inversamente proporzionale al traferro e la forza al suo quadrato. Quando l’ancora si avvicina la forza cresce rapidamente, finché il ferro satura: un elettromagnete attira debolmente da lontano e tiene fortissimo a contatto.

Esercizio 6. Un induttore da $0{,}5$ H con in serie un resistore da $10\ \Omega$ viene collegato all’istante zero a un generatore da $10$ V. Quanto vale la costante di tempo? Che corrente circola dopo $50$ ms e a regime?

$\tau = L/R = 50$ ms. A regime l’induttore è un cortocircuito e la corrente è $10/10 = 1$ A; dopo $50$ ms è $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$ A.

Commento: all’istante zero la corrente è nulla, per la continuità, e l’induttore si comporta come un circuito aperto: tutti i $10$ V sono ai suoi capi. È il contrario del condensatore, che all’istante zero è un cortocircuito.