I tensori di Riemann e di Ricci

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Come si riconosce uno spazio curvo

Uno spazio è piatto se esistono coordinate che lo coprono tutto in cui il tensore metrico è l’identità. Attorno a un punto ci si avvicina sempre a questa situazione, perché lo spazio si confonde con quello tangente; il problema è se lo si può fare con una sola trasformazione di coordinate valida in tutta una regione. Cercare quella trasformazione per tentativi non porta lontano, e guardare le componenti del tensore metrico non basta: in coordinate polari dipendono dal punto e il piano è piatto. Serve una grandezza tensoriale che si annulli negli spazi piatti e non negli altri. È il tensore di Riemann, che fa per ogni numero di dimensioni quello che il theorema egregium fa per le superfici.

La strada passa per il trasporto parallelo. Nell’articolo sulle geodetiche un vettore portato lungo un parallelo della sfera tornava ruotato, di un angolo proporzionale alla curvatura e all’area racchiusa. Il tensore di Riemann è il coefficiente di questa rotazione per un giro infinitesimo. L’articolo arriva fino all’identità di Bianchi, che servirà per le equazioni di Einstein.

Con $A^\mu{}_{;\sigma\lambda}$ si indica la derivata covariante rispetto a $x^\lambda$ del tensore $A^\mu{}_{;\sigma}$ .

Il commutatore delle derivate covarianti

Le derivate parziali ordinarie si possono scambiare. Le derivate covarianti in generale no, e la differenza misura la curvatura.

Teorema (commutatore delle derivate covarianti)

Per ogni campo vettoriale $A^\mu$ ,

A^\mu{}_{;\sigma\lambda} - A^\mu{}_{;\lambda\sigma} = R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}\,A^\nu ,

con

R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma} = \partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma} - \partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\lambda} .

Dimostrazione.

La derivata covariante di un tensore misto ha un termine di correzione per ogni indice, con il più per quelli in alto e il meno per quelli in basso. Quindi

A^\mu{}_{;\sigma\lambda} = \partial_\lambda\big(\partial_\sigma A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\sigma}A^\nu\big) + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}\big(\partial_\sigma A^\rho + \Gamma^\rho_{\nu\sigma}A^\nu\big) - \Gamma^\rho_{\sigma\lambda}\,A^\mu{}_{;\rho} .

Sviluppando,

A^\mu{}_{;\sigma\lambda} = \partial_\lambda\partial_\sigma A^\mu + \partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\,A^\nu + \Gamma^\mu_{\nu\sigma}\,\partial_\lambda A^\nu + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}\,\partial_\sigma A^\rho + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\,A^\nu - \Gamma^\rho_{\sigma\lambda}\,A^\mu{}_{;\rho} .

Nella differenza con l’espressione in cui $\lambda$ e $\sigma$ sono scambiati si elidono: le derivate seconde di $A$ , per il teorema di Schwarz; l’ultimo termine, per la simmetria dei simboli di Christoffel; il terzo e il quarto termine, che scambiando $\lambda$ con $\sigma$ e rinominando $\nu$ e $\rho$ si trasformano l’uno nell’altro. Restano i termini con $A^\nu$ senza derivate, che danno $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}A^\nu$ .

Fine della dimostrazione.

Corollario (il tensore di Riemann è un tensore)

$R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}$ è un tensore di rango quattro, controvariante nel primo indice e covariante negli altri tre.

Dimostrazione.

Il primo membro del teorema è la differenza di due tensori, per l’articolo sulla derivata covariante, quindi $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}A^\nu$ è un tensore per ogni vettore $A$ . Scegliendo in un sistema di coordinate un vettore con una sola componente non nulla, uguale a $1$ , e ripetendo il ragionamento della legge del quoziente dell’articolo sui tensori, con un indice in più per ogni fattore, si ottiene per $R$ la legge di trasformazione di un tensore.

Fine della dimostrazione.

Il giro attorno a un parallelogramma

Proposizione (trasporto lungo due cammini)

Da un punto $x$ si trasporti parallelamente un vettore $A^\mu$ lungo lo spostamento $\delta a$ e poi lungo $\delta b$ ; oppure prima lungo $\delta b$ e poi lungo $\delta a$ . Nel punto di arrivo $x + \delta a + \delta b$ i due vettori differiscono, al secondo ordine negli spostamenti, di

\delta A^\mu = -R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}\,A^\nu\,\delta a^\lambda\,\delta b^\sigma .

Dimostrazione.

Lungo $\delta a$ il trasporto dà $A^\mu(x + \delta a) = A^\mu - \Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu\delta a^\lambda$ più termini in $\delta a\,\delta a$ . Proseguendo lungo $\delta b$ , con i simboli calcolati in $x + \delta a$ , cioè $\Gamma^\mu_{\nu\sigma} + \partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\,\delta a^\lambda$ , il vettore d’arrivo è

A^\mu - \Gamma^\mu_{\nu\lambda}A^\nu\delta a^\lambda - \big(\Gamma^\mu_{\nu\sigma} + \partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\,\delta a^\lambda\big)\big(A^\nu - \Gamma^\nu_{\rho\lambda}A^\rho\delta a^\lambda\big)\delta b^\sigma ,

più termini in $\delta a\,\delta a$ e in $\delta b\,\delta b$ . I termini misti, in $\delta a\,\delta b$ , sono $-\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma}A^\nu\delta a^\lambda\delta b^\sigma + \Gamma^\mu_{\nu\sigma}\Gamma^\nu_{\rho\lambda}A^\rho\,\delta a^\lambda\delta b^\sigma$ . Per l’altro cammino si scambiano i ruoli di $\delta a$ e $\delta b$ . I termini del primo ordine e quelli in $\delta a\,\delta a$ o in $\delta b\,\delta b$ sono uguali nei due casi, a meno di termini del terzo ordine. La differenza dei termini misti, rinominando gli indici sommati, è

-\big(\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma} - \partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda}\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\big)A^\nu\,\delta a^\lambda\delta b^\sigma = -R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}A^\nu\,\delta a^\lambda\delta b^\sigma .

Fine della dimostrazione.

Andare lungo $\delta a$ , poi $\delta b$ , e tornare indietro lungo il cammino dell’altra coppia è un giro chiuso attorno a un parallelogramma infinitesimo, e $\delta A$ è la variazione del vettore dopo il giro. Con l’elemento di superficie $\Delta f^{\lambda\sigma} = \delta a^\lambda\delta b^\sigma - \delta a^\sigma\delta b^\lambda$ la formula diventa $\delta A^\mu = -\tfrac12 R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}A^\nu\Delta f^{\lambda\sigma}$ . Nello spazio piatto, in coordinate cartesiane, i simboli di Christoffel sono nulli, il tensore di Riemann pure, e il vettore torna sempre com’era.

Sulla sfera, con i simboli di Christoffel dell’articolo sulla derivata covariante, l’unica componente indipendente è

R^\Phi{}_{\theta\Phi\theta} = \partial_\Phi\Gamma^\Phi_{\theta\theta} - \Gamma^\Phi_{\theta\theta}\Gamma^\theta_{\theta\Phi} = -\cos 2\Phi + \sin\Phi\cos\Phi\,\frac{\cos\Phi}{\sin\Phi} = \sin^2\Phi .

Per un rettangolo di lati $\delta\Phi$ e $\delta\theta$ la formula dà $\delta A^\Phi = -\sin^2\Phi\,A^\theta\,\delta\Phi\,\delta\theta$ . Con le componenti sui versori, $a = RA^\Phi$ e $b = R\sin\Phi\,A^\theta$ , è $\delta a = -b\,\sin\Phi\,\delta\Phi\,\delta\theta$ , e l’area del rettangolo è $R^2\sin\Phi\,\delta\Phi\,\delta\theta$ : il vettore ruota di un angolo pari all’area divisa per $R^2$ , come nell’articolo sulle geodetiche.

Un vettore trasportato parallelamente lungo il triangolo sferico con tre angoli retti. Lungo ciascun lato, un arco di cerchio massimo, la freccia arancione mantiene lo stesso angolo con il lato; ai vertici non cambia. La freccia blu tratteggiata è il vettore di partenza al polo. Al ritorno la freccia arancione è ruotata di 90°, che è l’eccesso angolare del triangolo e, per il teorema di Girard, l’area del triangolo divisa per $R^2$ . Il calcolo della figura è esatto: il trasporto lungo un cerchio massimo è una rotazione attorno al suo asse.

Le simmetrie del tensore di Riemann

Abbassando il primo indice, $R_{\mu\nu\lambda\sigma} = g_{\mu\rho}R^\rho{}_{\nu\lambda\sigma}$ .

Teorema (simmetrie del tensore di Riemann)

$R_{\mu\nu\lambda\sigma} = -R_{\mu\nu\sigma\lambda}$ .
$R_{\mu\nu\lambda\sigma} + R_{\mu\lambda\sigma\nu} + R_{\mu\sigma\nu\lambda} = 0$ .
$R_{\mu\nu\lambda\sigma} = -R_{\nu\mu\lambda\sigma}$ .
$R_{\mu\nu\lambda\sigma} = R_{\lambda\sigma\mu\nu}$ .

Dimostrazione.

Scambiando $\lambda$ e $\sigma$ nella formula di $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}$ ogni termine cambia segno.
Basta dimostrarla per $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma}$ , e poi abbassare l’indice. Nella somma ciclica su $\nu$ , $\lambda$ , $\sigma$ i sei termini con le derivate si elidono a coppie, per esempio $\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$ del primo addendo con $-\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\sigma\nu}$ del terzo, per la simmetria dei simboli. Allo stesso modo si elidono a coppie i sei prodotti di simboli.
Il trasporto parallelo conserva i prodotti scalari, per la proposizione dell’articolo sulla derivata covariante. Due vettori $A$ e $B$ trasportati lungo il primo cammino arrivano con lo stesso prodotto scalare che hanno se trasportati lungo il secondo, e i vettori d’arrivo dei due cammini differiscono di $\delta A$ e $\delta B$ . Al secondo ordine quindi $g_{\mu\nu}\,\delta A^\mu B^\nu + g_{\mu\nu}A^\mu\,\delta B^\nu = 0$ , cioè, per la proposizione sui due cammini, $-(R_{\nu\rho\lambda\sigma} + R_{\rho\nu\lambda\sigma})\,A^\rho B^\nu\,\delta a^\lambda\delta b^\sigma = 0$ . Vale per ogni scelta di $A$ , $B$ , $\delta a$ e $\delta b$ ; prendendoli con una sola componente non nulla si ottiene $R_{\nu\rho\lambda\sigma} + R_{\rho\nu\lambda\sigma} = 0$ .
Si scrive la 2 con i quattro indici in quattro ordini ciclici e si combinano:

\big(R_{\mu\nu\lambda\sigma} + R_{\mu\lambda\sigma\nu} + R_{\mu\sigma\nu\lambda}\big) - \big(R_{\nu\lambda\sigma\mu} + R_{\nu\sigma\mu\lambda} + R_{\nu\mu\lambda\sigma}\big) - \big(R_{\lambda\sigma\mu\nu} + R_{\lambda\mu\nu\sigma} + R_{\lambda\nu\sigma\mu}\big) + \big(R_{\sigma\mu\nu\lambda} + R_{\sigma\nu\lambda\mu} + R_{\sigma\lambda\mu\nu}\big) = 0 .

Con le antisimmetrie 1 e 3, $R_{\mu\lambda\sigma\nu}$ si elide con $-R_{\lambda\mu\nu\sigma}$ , $R_{\mu\sigma\nu\lambda}$ con $R_{\sigma\mu\nu\lambda}$ , $-R_{\nu\lambda\sigma\mu}$ con $-R_{\lambda\nu\sigma\mu}$ , $-R_{\nu\sigma\mu\lambda}$ con $R_{\sigma\nu\lambda\mu}$ . Restano $R_{\mu\nu\lambda\sigma} - R_{\nu\mu\lambda\sigma} - R_{\lambda\sigma\mu\nu} + R_{\sigma\lambda\mu\nu} = 2R_{\mu\nu\lambda\sigma} - 2R_{\lambda\sigma\mu\nu} = 0$ .

Fine della dimostrazione.

Per le simmetrie, delle $n^4$ componenti ne restano indipendenti $n^2(n^2 - 1)/12$ : una in due dimensioni, sei in tre, venti nello spaziotempo. In due dimensioni lo si vede subito: una componente non nulla ha la prima coppia di indici diversi e la seconda pure, quindi entrambe le coppie sono $(1, 2)$ o $(2, 1)$ , e tutto è fissato da $R_{1212}$ .

Spazi piatti e superfici

Proposizione (negli spazi piatti il tensore di Riemann è nullo)

Se uno spazio è piatto, il suo tensore di Riemann è nullo in ogni punto e in ogni sistema di coordinate.

Dimostrazione.

Nelle coordinate in cui il tensore metrico è l’identità in tutto lo spazio le sue derivate sono nulle, e con esse i simboli di Christoffel e il tensore di Riemann. Un tensore nullo in un sistema di coordinate è nullo in tutti.

Fine della dimostrazione.

Vale anche il viceversa: se il tensore di Riemann è nullo in una regione, attorno a ogni punto esistono coordinate in cui il tensore metrico è costante. La dimostrazione richiede il teorema di Frobenius sui sistemi di equazioni alle derivate parziali e va oltre questo articolo.

Proposizione (il tensore di Riemann di una superficie)

In due dimensioni, posto $K = R_{1212}/\det g$ ,

R_{\mu\nu\lambda\sigma} = K\,\big(g_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda}\big) .

Dimostrazione.

Il secondo membro è antisimmetrico nella prima coppia di indici e nella seconda, come il primo. Due tensori con queste antisimmetrie, in due dimensioni, sono uguali se hanno uguale la componente $1212$ . Quella del secondo membro è $K(g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21}) = K\det g = R_{1212}$ .

Fine della dimostrazione.

Per la sfera $R_{\Phi\theta\Phi\theta} = g_{\Phi\Phi}R^\Phi{}_{\theta\Phi\theta} = R^2\sin^2\Phi$ e $\det g = R^4\sin^2\Phi$ , quindi $K = 1/R^2$ : è la curvatura gaussiana. In due dimensioni il tensore di Riemann contiene soltanto lei, e il theorema egregium, nella forma tensoriale, dice che $K$ così definita è la curvatura di Gauss.

Il tensore e lo scalare di Ricci

Il tensore di Riemann contiene più informazione di quella che serve alle equazioni di Einstein, dove compaiono due grandezze che se ne ricavano per contrazione.

Definizione (tensore e scalare di Ricci)

Il tensore di Ricci è $R_{\nu\sigma} = R^\mu{}_{\nu\mu\sigma}$ , e lo scalare di Ricci, o curvatura scalare, è $R = g^{\nu\sigma}R_{\nu\sigma}$ .

Proposizione (proprietà delle contrazioni)

Il tensore di Ricci è simmetrico. Le altre due contrazioni del tensore di Riemann con l’indice in alto sono $R^\mu{}_{\mu\lambda\sigma} = 0$ e $R^\mu{}_{\nu\lambda\mu} = -R_{\nu\lambda}$ . In due dimensioni $R_{\nu\sigma} = K\,g_{\nu\sigma}$ e $R = 2K$ .

Dimostrazione.

$R_{\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}R_{\lambda\nu\mu\sigma}$ , e per la simmetria 4 del teorema e la simmetria di $g^{\mu\lambda}$ questo è uguale a $g^{\mu\lambda}R_{\mu\sigma\lambda\nu} = R_{\sigma\nu}$ . Poi $R^\mu{}_{\mu\lambda\sigma} = g^{\mu\rho}R_{\rho\mu\lambda\sigma}$ , prodotto di un tensore simmetrico in $\mu$ , $\rho$ per uno antisimmetrico, quindi nullo. $R^\mu{}_{\nu\lambda\mu} = -R^\mu{}_{\nu\mu\lambda} = -R_{\nu\lambda}$ per la simmetria 1. In due dimensioni, contraendo la formula della proposizione precedente con $g^{\mu\lambda}$ , $R_{\nu\sigma} = K(\delta^\lambda_\lambda\,g_{\nu\sigma} - g_{\nu\sigma}) = K(2 - 1)\,g_{\nu\sigma}$ , e $R = g^{\nu\sigma}K g_{\nu\sigma} = 2K$ .

Fine della dimostrazione.

Le contrazioni con il secondo e con il quarto indice danno lo stesso tensore con il segno opposto. La scelta di quale contrazione chiamare tensore di Ricci, e il segno del tensore di Riemann, cambiano da un libro all’altro; con le convenzioni di questo percorso la sfera ha $R = 2/R^2$ , positivo.

L’identità di Bianchi

Lemma (coordinate con simboli nulli in un punto)

Attorno a ogni punto $x_0$ esistono coordinate in cui tutti i simboli di Christoffel sono nulli in $x_0$ .

Dimostrazione.

Si pongono $y^\mu = (x - x_0)^\mu + \tfrac12\,\Gamma^\mu_{\nu\lambda}(x_0)\,(x - x_0)^\nu(x - x_0)^\lambda$ . In $x_0$ si ha $\partial y^\mu/\partial x^\alpha = \delta^\mu_\alpha$ e $\partial^2y^\mu/\partial x^\alpha\partial x^\beta = \Gamma^\mu_{\alpha\beta}(x_0)$ . Derivando l’identità $(\partial x^\alpha/\partial y^\nu)(\partial y^\nu/\partial x^\beta) = \delta^\alpha_\beta$ rispetto a $x^\gamma$ e valutando in $x_0$ si ottiene $\partial^2x^\alpha/\partial y^\beta\partial y^\gamma = -\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(x_0)$ . Nella legge di trasformazione dei simboli dell’articolo sulla derivata covariante, con $x' = y$ , il primo termine vale $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}(x_0)$ e il secondo $-\Gamma^\mu_{\nu\lambda}(x_0)$ .

Fine della dimostrazione.

Teorema (identità di Bianchi)

R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma;\rho} + R^\mu{}_{\nu\sigma\rho;\lambda} + R^\mu{}_{\nu\rho\lambda;\sigma} = 0 .

Dimostrazione.

Il primo membro è un tensore, e basta mostrare che è nullo in un punto qualsiasi $x_0$ in un sistema di coordinate scelto. Si usano le coordinate del lemma. In $x_0$ i simboli sono nulli, quindi la derivata covariante di $R$ coincide con quella ordinaria, e nella derivata dei termini $\Gamma\Gamma$ di $R$ ogni addendo contiene un simbolo nullo. Resta $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma;\rho} = \partial_\rho\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma} - \partial_\rho\partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ . Sommando le tre permutazioni cicliche di $\lambda$ , $\sigma$ , $\rho$ ,

\partial_\rho\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\sigma} - \partial_\rho\partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\lambda} + \partial_\lambda\partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\rho} - \partial_\lambda\partial_\rho\Gamma^\mu_{\nu\sigma} + \partial_\sigma\partial_\rho\Gamma^\mu_{\nu\lambda} - \partial_\sigma\partial_\lambda\Gamma^\mu_{\nu\rho} = 0 ,

perché le derivate seconde si scambiano.

Fine della dimostrazione.

Contraendo due volte l’identità di Bianchi si ottiene una combinazione del tensore e dello scalare di Ricci con divergenza nulla. È il tensore di Einstein, e il suo articolo parte da qui.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Verifica con un calcolo diretto che il tensore di Riemann del piano in coordinate polari è nullo.

Gli unici simboli non nulli sono $\Gamma^r_{\theta\theta} = -r$ e $\Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = 1/r$ . In due dimensioni basta una componente, per esempio

R^r{}_{\theta r\theta} = \partial_r\Gamma^r_{\theta\theta} - \partial_\theta\Gamma^r_{\theta r} + \Gamma^r_{\rho r}\Gamma^\rho_{\theta\theta} - \Gamma^r_{\rho\theta}\Gamma^\rho_{\theta r} = -1 - 0 + 0 - \Gamma^r_{\theta\theta}\Gamma^\theta_{\theta r} = -1 + r\cdot\frac1r = 0 .

Commento: i simboli di Christoffel sono diversi da zero e le loro derivate pure, eppure si compensano. È la differenza tra coordinate curve e spazio curvo, ridotta a una riga.

Esercizio 2. Calcola il tensore e lo scalare di Ricci della sfera di raggio $R$ .

Oltre a $R^\Phi{}_{\theta\Phi\theta} = \sin^2\Phi$ , calcolata nel testo, serve $R^\theta{}_{\Phi\theta\Phi} = \partial_\theta\Gamma^\theta_{\Phi\Phi} - \partial_\Phi\Gamma^\theta_{\Phi\theta} + \Gamma^\theta_{\rho\theta}\Gamma^\rho_{\Phi\Phi} - \Gamma^\theta_{\rho\Phi}\Gamma^\rho_{\Phi\theta}$ . Il primo e il terzo termine sono nulli, perché $\Gamma^\theta_{\Phi\Phi} = \Gamma^\rho_{\Phi\Phi} = 0$ ; il secondo è $-\partial_\Phi(\cos\Phi/\sin\Phi) = 1/\sin^2\Phi$ ; il quarto è $-(\cos\Phi/\sin\Phi)^2$ . Quindi $R^\theta{}_{\Phi\theta\Phi} = (1 - \cos^2\Phi)/\sin^2\Phi = 1$ . Allora $R_{\Phi\Phi} = R^\theta{}_{\Phi\theta\Phi} = 1$ , $R_{\theta\theta} = R^\Phi{}_{\theta\Phi\theta} = \sin^2\Phi$ , $R_{\Phi\theta} = 0$ , e

R = g^{\Phi\Phi}R_{\Phi\Phi} + g^{\theta\theta}R_{\theta\theta} = \frac1{R^2} + \frac{\sin^2\Phi}{R^2\sin^2\Phi} = \frac2{R^2} .

Commento: $R_{\nu\sigma} = g_{\nu\sigma}/R^2$ , come prevede la proposizione sulle superfici con $K = 1/R^2$ . Il calcolo diretto e la formula generale si controllano a vicenda, ed è un buon modo di scovare errori di segno.

Esercizio 3. Per la superficie con $ds^2 = d\rho^2 + \sinh^2\rho\,d\theta^2$ calcola i simboli di Christoffel, la componente $R^\rho{}_{\theta\rho\theta}$ e la curvatura.

L’unica derivata non nulla del tensore metrico è $\partial_\rho g_{\theta\theta} = 2\sinh\rho\cosh\rho$ , quindi $\Gamma^\rho_{\theta\theta} = -\sinh\rho\cosh\rho$ e $\Gamma^\theta_{\rho\theta} = \Gamma^\theta_{\theta\rho} = \cosh\rho/\sinh\rho$ . Poi

R^\rho{}_{\theta\rho\theta} = \partial_\rho\Gamma^\rho_{\theta\theta} - \Gamma^\rho_{\theta\theta}\Gamma^\theta_{\theta\rho} = -(\cosh^2\rho + \sinh^2\rho) + \cosh^2\rho = -\sinh^2\rho ,

$R_{\rho\theta\rho\theta} = -\sinh^2\rho$ , $\det g = \sinh^2\rho$ e $K = -1$ .

Commento: è il piano iperbolico dell’articolo sulla curvatura gaussiana, dove la stessa curvatura era uscita dalla formula del theorema egregium. Il calcolo ha la stessa struttura di quello della sfera, con i seni iperbolici al posto dei seni, e il segno della curvatura cambia per l’identità $\cosh^2\rho - \sinh^2\rho = 1$ al posto di $\cos^2\Phi + \sin^2\Phi = 1$ .

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