Offset e correnti di polarizzazione

Il datasheet di un operazionale

Nell’articolo sull’operazionale reale la tensione di offset e le correnti di polarizzazione sono entrate nel modello come generatori costanti, e se ne è calcolato l’effetto sull’uscita. Qui si guarda da dove vengono, come cambiano con la temperatura e come si riducono. I valori si leggono nel datasheet, e conviene sapere come è organizzato.

La prima tabella riporta i valori massimi assoluti: tensione di alimentazione, tensione degli ingressi, differenziale e verso le alimentazioni, temperatura di giunzione e di immagazzinamento, potenza dissipata. Superarli, anche per poco tempo, può danneggiare il componente. Stare sotto questi valori, però, non garantisce che l’operazionale funzioni come descritto. Le garanzie valgono nelle condizioni di funzionamento raccomandate, una seconda tabella con intervalli più stretti: alimentazione, tensioni di ingresso, temperatura ambiente. Gli intervalli di temperatura più comuni sono quello commerciale, da $0$ a $70$ °C, quello industriale, da $-40$ a $85$ °C, e quello automobilistico, da $-40$ a $125$ °C.

Le caratteristiche elettriche sono la parte più lunga. Ogni riga dà un parametro con le condizioni di misura, per esempio temperatura ambiente di $25$ °C, alimentazione $\pm15$ V e carico di $2$ k$\Omega$, e fino a tre colonne: minimo, tipico e massimo. Il valore tipico è rappresentativo della produzione, spesso la media, e il costruttore non lo garantisce; i limiti minimo e massimo sono garantiti, per misura su ogni esemplare o per progetto. Spesso una seconda riga dà il limite su tutto l’intervallo di temperatura, più largo di quello a $25$ °C. Un progetto che deve funzionare con ogni esemplare si fa con i limiti, non con i valori tipici.

Tra le prime righe ci sono gli intervalli di tensione. La tensione di modo comune degli ingressi, $(V_+ + V_-)/2$, deve restare dentro un intervallo che per molti operazionali si ferma a un paio di volt dalle alimentazioni; l’uscita, allo stesso modo, arriva solo fino a una certa distanza dalle alimentazioni, salvo negli operazionali rail-to-rail. Poi il guadagno ad anello aperto per grandi segnali, tra $80$ e $120$ dB: il valore che conta è il minimo, perché da quello dipende quanto è grande il guadagno d’anello nel caso peggiore.

Potenza e temperatura

Un operazionale scalda. Si prenda un inseguitore alimentato a $\pm15$ V che porta $2$ V su un carico di $500\ \Omega$. Nel carico scorrono $4$ mA, che arrivano dall’alimentazione positiva attraverso il transistore dello stadio di uscita. Il carico dissipa $2\ \text{V}\cdot4\ \text{mA} = 8$ mW; il transistore di uscita, che ha ai capi $15 - 2 = 13$ V, ne dissipa $52$. A questi si aggiunge la corrente di riposo moltiplicata per la tensione totale di alimentazione: con $1$ mA sono altri $30$ mW. La potenza dissipata nel chip ne alza la temperatura, e il datasheet dice di quanto.

Il nome viene dall’analogia con la legge di Ohm: la potenza è la corrente, la differenza di temperatura la tensione. Come le resistenze elettriche, le resistenze termiche in serie si sommano: $\theta_{JA}$ è la somma di quella tra giunzione e contenitore, che dipende dal contenitore, e di quella tra contenitore e ambiente, che dipende dal circuito stampato, dall’aria e dall’eventuale dissipatore. Con $T_{J,max} = 150$ °C e $\theta_{JA} = 103$ °C/W, un valore tipico per un piccolo contenitore a otto piedini, la potenza massima è $1{,}21$ W a $25$ °C e solo $0{,}63$ W a $85$ °C. Gli operazionali di potenza, montati su un dissipatore, arrivano a decine di watt.

Gli $82$ mW dell’esempio scaldano la giunzione di $8{,}4$ °C. Non sono pericolosi, ma bastano a spostare l’offset e le correnti di polarizzazione, che dipendono dalla temperatura del chip, non da quella dell’aria intorno.

La tensione di offset

Nel modello dell’operazionale reale la tensione di offset $V_{OS}$ è un generatore in serie all’ingresso non invertente di un operazionale ideale: l’uscita si annulla quando tra gli ingressi c’è $V_+ - V_- = -V_{OS}$. Il segno cambia da un esemplare all’altro, e il datasheet dà il valore massimo del modulo: da $1$ a $5$ mV per un operazionale comune, da qualche centinaio a qualche decina di microvolt per uno di precisione.

L’offset nasce nel primo stadio. Quasi ogni operazionale ha all’ingresso una coppia differenziale: due transistori con gli emettitori, o i source, collegati tra loro e alimentati da un generatore di corrente, e due carichi uguali. Se i due lati sono identici e gli ingressi sono alla stessa tensione, le correnti si dividono a metà e le tensioni sui carichi sono uguali. Due transistori identici, però, non esistono.

Le due formule hanno la stessa struttura. Un errore relativo $\varepsilon$ sulle correnti o sui carichi si traduce in un offset $\varepsilon\,I/g_m$: la tensione di ingresso che sposta la corrente di quella frazione. Per il bipolare $I/g_m = V_T$, $25{,}7$ mV a $25$ °C; per il MOSFET, dall’amplificatore a source comune, $g_m = 2I/V_{ov}$ e $I/g_m = V_{ov}/2$, che con $V_{ov} = 0{,}2$ V vale $100$ mV. Una differenza dell’1% tra due transistori bipolari dà $0{,}26$ mV di offset; la stessa differenza sul $k$ di due MOSFET ne dà $1$ mV, e a questo si somma la differenza tra le tensioni di soglia, che da sola arriva a qualche millivolt. Per questo gli stadi di ingresso bipolari hanno di solito offset più piccoli: nei migliori operazionali bipolari si scende a $10$-$25$ μV, in quelli a JFET e CMOS si resta tra meno di $100$ μV e $1$ mV.

Le differenze tra transistori vicini sullo stesso chip sono casuali: vengono dal numero di atomi droganti sotto il gate, dai bordi irregolari delle geometrie, dallo spessore dell’ossido. Nel 1989 Marcel Pelgrom e i suoi colleghi della Philips mostrarono che la deviazione standard della differenza di soglia tra due MOSFET uguali decresce come $1/\sqrt{WL}$: quadruplicare l’area dimezza l’offset. Per questo i transistori della coppia di ingresso sono molto più grandi di quelli del resto del circuito, e sono disegnati in modo simmetrico, spesso ognuno diviso in due metà disposte a croce con quelle dell’altro, perché le variazioni lente del processo lungo il wafer li tocchino allo stesso modo.

La deriva dell’offset

Un offset costante si può misurare e sottrarre. Il problema è che cambia con la temperatura. Il coefficiente di deriva $dV_{OS}/dT$, in μV/°C, va da $1$ a $10$ μV/°C negli operazionali comuni e scende sotto $0{,}3$ μV/°C in quelli a bassa deriva. Gli operazionali chopper e auto-zero, che correggono il proprio offset in continuazione e sono l’argomento dell’ultimo articolo del percorso, stanno sotto $1$ μV di offset e $30$ nV/°C di deriva. Per la coppia bipolare la deriva si calcola.

La proposizione ha una conseguenza pratica. Se si annulla l’offset cambiando il rapporto tra i carichi, cioè rendendo $I_{S1}R_1 = I_{S2}R_2$, il logaritmo è nullo a ogni temperatura: si annulla anche la deriva. Se invece si somma dall’esterno una tensione costante uguale a $-V_{OS}$ misurato a $25$ °C, l’offset si annulla a quella temperatura, ma a $T$ vale $V_{OS}(T/T_0 - 1)$: la deriva resta quella di prima. E se si sbilanciano i carichi apposta, per compensare un offset che sta altrove nel circuito, si aggiunge una deriva di $3{,}4$ μV/°C per ogni millivolt compensato.

Per le coppie di MOSFET e JFET la proposizione non vale: la differenza tra le soglie ha un comportamento in temperatura meno regolare, e annullare l’offset a una temperatura non ne annulla la deriva. Per questo gli operazionali CMOS di precisione usano le tecniche chopper e auto-zero, mentre quelli bipolari ottengono offset e derive piccoli tarando i resistori del primo stadio durante la produzione, con un laser o con fusibili sul chip.

Azzerare l’offset

Molti operazionali hanno due piedini di azzeramento dell’offset, collegati dentro il chip ai carichi del primo stadio. Il datasheet indica come usarli: di solito un trimmer da $10$ k$\Omega$ tra i due piedini, con il cursore verso una delle alimentazioni. Con gli ingressi in cortocircuito, o con il segnale a zero nel circuito finito, si ruota il trimmer finché l’uscita va a zero. È il metodo che, per quanto detto sopra, riduce insieme offset e deriva, almeno per la parte che viene dalla coppia di ingresso.

Quando i piedini non ci sono, come negli operazionali doppi e quadrupli, si somma una tensione dall’esterno. In un amplificatore invertente il non invertente, invece di andare direttamente a massa, va al centro di un partitore: una resistenza piccola $R_b$ verso massa e una grande $R_a$ verso il cursore di un potenziometro collegato tra le alimentazioni. La tensione al non invertente, $V_cR_b/(R_a + R_b)$ con $V_c$ la tensione del cursore, è in serie a $V_{OS}$ e viene amplificata come lei; basta regolarla a $-V_{OS}$. Con $R_a = 30$ k$\Omega$, $R_b = 10\ \Omega$ e alimentazioni a $\pm15$ V si copre $\pm5$ mV. Nel non invertente, dove il non invertente riceve il segnale, il partitore si mette tra $R_1$ e massa.

Il metodo esterno ha tre limiti. Non corregge la deriva, come si è visto. La tensione sommata dipende dalle alimentazioni, che a loro volta cambiano. E il partitore aggiunge una resistenza in serie al non invertente, che conta per le correnti di polarizzazione.

Le correnti di polarizzazione

Gli ingressi di un operazionale non sono aperti: ci entra, o ne esce, una corrente continua. Da dove venga dipende dai transistori della coppia di ingresso.

Negli ingressi bipolari è la corrente di base, $I_C/\beta$, tra $10^{-8}$ e $10^{-6}$ A. Entra negli ingressi se i transistori sono $npn$, esce se sono $pnp$, come nell’LM358. Alcuni operazionali bipolari di precisione hanno generatori interni che forniscono quasi tutta la corrente di base, e la corrente che resta ai piedini scende a meno di un nanoampere.

Negli ingressi a JFET il gate è una giunzione $pn$ polarizzata in inverso, e la corrente è quella inversa della giunzione. Negli ingressi a MOSFET il gate è isolato, ma l’ossido regge pochi volt, e la carica elettrostatica portata da una mano o da un cavo basta a perforarlo: su una capacità di qualche picofarad, $V = Q/C$ diventa grande anche con poca carica. Ogni ingresso ha quindi dei diodi di protezione verso le alimentazioni, e la corrente di polarizzazione è la loro corrente inversa. In tutti e due i casi è tra $10^{-13}$ e $10^{-10}$ A, e il suo verso dipende da quale giunzione perde di più.

Negli ingressi bipolari $I_{OS}$ è circa $I_B/10$: viene dalla differenza tra i $\beta$ dei due transistori, che è dell’ordine del 10%. Negli ingressi a FET e negli operazionali bipolari con la corrente di base fornita internamente $I_{OS}$ è dello stesso ordine di $I_B$, perché la corrente che resta è già una differenza.

Le correnti di perdita delle giunzioni crescono molto con la temperatura. La regola che si trova nei datasheet è che raddoppiano ogni $10$ °C.

Nel silicio a temperatura ambiente la corrente inversa è quasi tutta di generazione. Con un fattore $2{,}3$ ogni $10$ °C la corrente raddoppia ogni $8{,}3$ °C, un po’ più in fretta di quanto dice la regola; ma il fattore cala salendo, perché il secondo termine va come $1/T^2$, e le due cose si compensano. Da $25$ a $85$ °C la corrente cresce di $66$ volte, quasi esattamente $2^6 = 64$; da $25$ a $125$ °C di circa $550$ volte, e qui la regola, con $1024$, sbaglia per eccesso.

Negli ingressi bipolari la corrente di base segue invece $\beta$, che cresce con la temperatura: la corrente di polarizzazione di solito diminuisce, quasi linearmente, con derive tra $10$ e $100$ pA/°C. Il vantaggio dei FET si riduce ad alta temperatura: un operazionale CMOS con $1$ pA a $25$ °C ne ha mezzo nanoampere a $125$ °C, quanto un buon operazionale bipolare.

Compensare le correnti di polarizzazione

L’errore in continua dell’operazionale reale si calcola con il segnale spento: $R_1$ dall’ingresso invertente a massa, $R_2$ in retroazione, e una resistenza $R$ tra il non invertente e massa. Lì si è dimostrato che le correnti spostano l’uscita di $I_{B-}R_2 - I_{B+}R(1 + R_2/R_1)$. Scritto con $I_B$ e $I_{OS}$, il risultato mostra quando la compensazione funziona.

La resistenza di compensazione rende uguali le resistenze viste dai due ingressi, e le cadute prodotte dalla parte comune delle correnti si cancellano. Serve solo se $I_{OS} \ll I_B$, cioè con gli ingressi bipolari senza correnti di base fornite internamente: lì riduce l’errore di circa dieci volte. Con gli ingressi a FET, o bipolari con la corrente di base compensata dentro il chip, $I_{OS}$ è simile a $I_B$ e la resistenza non guadagna nulla, mentre aggiunge rumore termico, l’argomento della seconda parte del percorso. Nemmeno la deriva si compensa del tutto: resta quella di $I_{OS}$.

L’errore totale

Per giudicare un amplificatore conviene riportare gli errori all’ingresso, dove si confrontano direttamente con il segnale.

Nell’invertente il guadagno è di solito maggiore di uno, $(R_1 + R_2)/R_2$ è vicino a $1$ e l’offset pesa all’ingresso quasi quanto $V_{OS}$. L’errore di corrente $I_{OS}R_1$ si riduce abbassando $R_1$, ma $R_1$ è anche la resistenza di ingresso dell’amplificatore, che si vuole grande per non caricare la sorgente: bisogna trovare un compromesso. Nel non invertente l’errore di corrente dipende da $R_1\parallel R_2$, che si può scegliere piccolo senza toccare la resistenza di ingresso, grandissima; il limite è solo la corrente che $R_1 + R_2$ chiede all’uscita. Per ridurre gli errori in continua il non invertente è quindi il più comodo.

Restano da considerare le resistenze di ingresso e di uscita dell’operazionale. Tra i due ingressi c’è la resistenza differenziale $R_d$, da ogni ingresso verso massa una resistenza di modo comune, molto più grande, e in parallelo capacità di qualche picofarad. $R_d$ va da $10^5$ a $10^8\ \Omega$ con gli ingressi bipolari e supera $10^{11}\ \Omega$ con quelli a FET. La resistenza di uscita è di qualche decina di ohm, di più negli operazionali CMOS. La retroazione cambia molto questi valori, e il prossimo articolo mostra come calcolare guadagno e impedenze in circuiti con più anelli.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un operazionale alimentato a $\pm15$ V, con corrente di riposo di $1$ mA, $\theta_{JA} = 103$ °C/W e $T_{J,max} = 150$ °C, è montato come inseguitore e porta $2$ V su un carico di $500\ \Omega$. Quanto scalda la giunzione? E se l’uscita va in cortocircuito verso massa, con la corrente limitata internamente a $25$ mA, fino a che temperatura ambiente l’operazionale resta sotto il limite?

Soluzione. Nel carico scorrono $4$ mA, e il transistore di uscita dissipa $(15 - 2)\cdot4 = 52$ mW; la corrente di riposo, tra $+15$ e $-15$ V, ne aggiunge $30$. Con $82$ mW la giunzione sale di $103\cdot0{,}082 = 8{,}4$ °C. In cortocircuito il transistore di uscita ha ai capi $15$ V con $25$ mA: $375$ mW, più i $30$ di riposo, e la giunzione sale di $103\cdot0{,}405 = 41{,}7$ °C. Il limite si raggiunge con $T_A = 150 - 41{,}7 = 108$ °C.

Commento. Il cortocircuito, qui, non è pericoloso nemmeno a $85$ °C. Gli $8{,}4$ °C del funzionamento normale contano per la precisione: con una deriva di $5$ μV/°C l’offset si sposta di $42$ μV quando il carico si collega, e torna indietro quando si scollega, con il ritardo con cui si scaldano chip e contenitore.

Esercizio 2. In una coppia di MOSFET con $V_{ov} = 0{,}2$ V le differenze relative tra i $k$ hanno deviazione standard dell’1% e le differenze tra le soglie di $1$ mV, indipendenti; i carichi sono uguali. Qual è la deviazione standard dell’offset, e entro quale valore sta il 99,7% degli esemplari? E per una coppia bipolare con differenze relative tra le $I_S$ dell’1%?

Soluzione. $V_{OS} = -\Delta V_{TH} + (V_{ov}/2)\,\Delta k/k$. Il secondo termine ha deviazione standard $0{,}1\ \text{V}\cdot0{,}01 = 1$ mV. Le varianze di termini indipendenti si sommano: $\sigma = \sqrt{1^2 + 1^2} = 1{,}41$ mV. Con una distribuzione normale il 99,7% degli esemplari sta entro $3\sigma = 4{,}2$ mV. Per la coppia bipolare $\sigma = V_T\cdot0{,}01 = 0{,}26$ mV, e $3\sigma = 0{,}77$ mV.

Commento. È la ragione per cui il valore massimo del datasheet è molte volte quello tipico. Per la legge di Pelgrom, quadruplicando l’area dei due MOSFET entrambe le deviazioni standard si dimezzano, e l’offset con loro.

Esercizio 3. Un operazionale bipolare ha $V_{OS} = 0{,}5$ mV a $25$ °C, dovuto tutto alla coppia di ingresso. Quanto vale la deriva? Quanto vale l’offset a $85$ °C e a $-40$ °C? Se lo si compensa a $25$ °C con una tensione esterna, quanto resta alle due temperature?

Soluzione. $dV_{OS}/dT = 0{,}5\ \text{mV}/298\ \text{K} = 1{,}68$ μV/°C. A $85$ °C l’offset è $0{,}5\cdot358/298 = 0{,}60$ mV, a $-40$ °C $0{,}5\cdot233/298 = 0{,}39$ mV. Compensato a $25$ °C, resta $+0{,}10$ mV a $85$ °C e $-0{,}11$ mV a $-40$ °C.

Commento. Con i piedini di azzeramento, nel modello della proposizione, l’offset resterebbe nullo a ogni temperatura. Negli operazionali veri anche gli altri stadi e i resistori contribuiscono, e la regola dei $3{,}4$ μV/°C per millivolt dà l’ordine di grandezza della deriva, non il valore esatto.

Esercizio 4. Una fotocorrente di $100$ pA si legge con un amplificatore a transimpedenza, $R_F = 1$ G$\Omega$, costruito con un operazionale CMOS con $I_B = 1$ pA a $25$ °C. Quanto vale l’errore relativo a $25$ °C e a $85$ °C?

Soluzione. L’uscita del segnale è $R_FI_{in} = 0{,}1$ V. La corrente di polarizzazione dell’invertente scorre in $R_F$ come la fotocorrente e sposta l’uscita di $I_BR_F = 1$ mV: l’1%. A $85$ °C la corrente è $66$ volte più grande, $66$ pA, e l’errore diventa $66$ mV, il 66%.

Commento. A queste correnti contano anche le perdite del circuito stampato: una resistenza superficiale di $10^{12}\ \Omega$ con $1$ V ai capi fa passare $1$ pA. Per questo gli ingressi si circondano con un anello di guardia, una pista alla stessa tensione dell’ingresso che intercetta le correnti di superficie, e si tiene freddo l’operazionale, anche limitando la potenza che dissipa.

Esercizio 5. Si vuole amplificare di $-20$ un segnale continuo di $50$ mV, con resistenza di ingresso di almeno $100$ k$\Omega$, usando un operazionale bipolare con $V_{OS} = 0{,}5$ mV, $I_B = 50$ nA e $I_{OS} = 5$ nA. Quanto vale l’errore, riportato all’ingresso, con e senza resistenza di compensazione? Quanto varrebbe con un non invertente di guadagno $20$, seguito da un invertitore di precisione?

Soluzione. Nell’invertente $R_1 = 100$ k$\Omega$ e $R_2 = 2$ M$\Omega$, e $R = R_1\parallel R_2 = 95{,}2$ k$\Omega$. L’offset pesa $V_{OS}(R_1 + R_2)/R_2 = 0{,}525$ mV, la corrente $I_{OS}R_1 = 0{,}5$ mV: nel caso peggiore $1{,}03$ mV, il 2% del segnale. Senza $R$ la corrente sposta l’uscita di $I_{B-}R_2 \simeq 50\ \text{nA}\cdot2\ \text{M}\Omega = 100$ mV, cioè $5$ mV all’ingresso: il 10%. Nel non invertente con $R_1 = 1$ k$\Omega$, $R_2 = 19$ k$\Omega$ e $R = 950\ \Omega$ l’errore di corrente è $I_{OS}(R_1\parallel R_2) = 4{,}8$ μV, e resta l’offset: $0{,}505$ mV, l’1%.

Commento. Nell’invertente la resistenza di ingresso richiesta blocca $R_1$, e con lei l’errore di corrente. Nel non invertente domina l’offset, e per scendere sotto l’1% serve un operazionale di precisione o una taratura. Con il valore commerciale più vicino, $R = 91$ k$\Omega$, la compensazione nell’invertente non è più esatta: il termine in $I_B$ vale $I_BR_2(1 - 91/95{,}2) = 4{,}4$ mV all’uscita, altri $0{,}22$ mV all’ingresso.