Tensione, corrente e leggi di Kirchhoff

Il bipolo

Un circuito è fatto di componenti uniti da conduttori. Il componente più semplice ha due morsetti, e la teoria dei circuiti lo descrive senza guardarci dentro.

Di un bipolo interessano tre grandezze: la corrente che entra da un morsetto, la tensione tra i morsetti, la potenza che attraversa la superficie $S$. Un componente con più morsetti, come un transistore o un trasformatore, è un multipolo e si descrive con più tensioni e più correnti, ma le definizioni restano quelle. L’articolo ricava le leggi di Kirchhoff dalle equazioni di Maxwell, svolgendo tutti i passaggi.

La corrente elettrica

Il verso di riferimento si sceglie prima dei conti, spesso a caso. Se alla fine la corrente risulta negativa, la carica positiva attraversa la sezione nel verso opposto: il segno fa parte del risultato. Il verso convenzionale è quello in cui si muovono le cariche positive, quindi opposto al moto degli elettroni nei metalli; fu fissato prima che si sapesse che a muoversi sono gli elettroni.

La densità di corrente dipende da quante cariche libere ci sono e da quanto velocemente si spostano. Con $n$ portatori per unità di volume, ciascuno di carica $q$ e con velocità media $\mathbf u$, in un tempo $dt$ attraversano un elemento di superficie $dS$ perpendicolare a $\mathbf u$ i portatori contenuti nel cilindretto di base $dS$ e altezza $u\,dt$, quindi la carica $nq\,u\,dt\,dS$, e $\mathbf J = nq\,\mathbf u$. Nel rame gli elettroni liberi sono circa $8{,}5\times10^{28}$ per metro cubo. Una corrente di $1$ A in un filo di sezione $A = 1$ mm² corrisponde allora a

$$u = \frac{i}{n\,e\,A} = \frac{1\ \text A}{8{,}5\times10^{28}\ \text m^{-3}\cdot 1{,}6\times10^{-19}\ \text C\cdot 10^{-6}\ \text m^2} \approx 7\times10^{-5}\ \text m/\text s ,$$

e un elettrone impiega quasi quattro ore a percorrere un metro di filo. Eppure la lampadina si accende appena si chiude l’interruttore. A propagarsi lungo il circuito, con una velocità vicina a quella della luce, è il campo, che mette in moto gli elettroni già presenti in ogni punto dei conduttori.

La corrente di un ramo si misura con l’amperometro, inserito in serie: si apre il ramo e lo si richiude attraverso lo strumento, che viene così attraversato dalla stessa corrente.

La tensione elettrica

Se il campo è conservativo, $\mathbf E = -\nabla V$, l’integrale non dipende dalla linea e $v_{AB} = V_A - V_B$ è la differenza di potenziale. È il caso dell’elettrostatica, e una definizione molto usata parte da qui: portare una carica $q$ da $A$ a $B$ ne abbassa l’energia potenziale di $q\,v_{AB}$. Con $v_{AB} > 0$ una carica positiva lasciata libera va da $A$ verso $B$, e per riportarla in $A$ bisogna spendere lavoro. Che la tensione possa dipendere dalla linea non è un’eccezione da manuale, e lo si vedrà tra poco.

Anche per la tensione il verso di riferimento si fissa prima: negli schemi si segna un $+$ sul morsetto $A$ e un $-$ su $B$, e $v$ indica $v_{AB}$. La tensione si misura con il voltmetro, collegato in parallelo, cioè con i puntali sui due punti, senza aprire il circuito.

La legge di Kirchhoff delle correnti

Le due leggi di Kirchhoff discendono dalle equazioni di Maxwell, e conviene ricavarle per sapere esattamente che cosa assumono. La prima viene dalla conservazione della carica.

Di solito la legge si applica a un nodo, il punto in cui si uniscono più conduttori: la somma delle correnti che entrano è uguale alla somma di quelle che escono. In un nodo la carica non si accumula, perché un pezzo di metallo con una carica netta produce un campo che la respinge verso il resto del circuito. Il modello più semplice stima il tempo di questo riassestamento in $\varepsilon_0/\sigma$, circa $10^{-19}$ s per il rame; il valore reale è più lungo, attorno a $10^{-14}$ s, e resta comunque lontanissimo dai tempi di qualsiasi circuito.

Per questo di un bipolo si parla della corrente, senza dire di quale morsetto. Il condensatore mostra perché l’ipotesi sulla carica serve. Collegato a un generatore, si carica: sull’armatura dal lato del morsetto $+$ si accumula una carica $q(t)$, sull’altra $-q(t)$. La superficie $S_1$ della figura racchiude tutto il condensatore, con carica totale nulla in ogni istante, e la legge vale: la corrente che entra da un lato esce dall’altro. La superficie $S_2$ racchiude una sola armatura, la cui carica cambia. Attraverso $S_2$ entra la corrente $i$ del filo e non esce nessuna corrente di conduzione, perché tra le armature c’è un isolante, e il lemma dà $i = dq/dt$.

L’equazione di Ampère-Maxwell tiene insieme le due cose. Tra le armature il campo $\mathbf D$ cambia, e la corrente di spostamento $\int \partial\mathbf D/\partial t\cdot\mathbf n\,dS$ che attraversa l’isolante vale esattamente $i$: la somma $\mathbf J + \partial\mathbf D/\partial t$ ha divergenza nulla, e il suo flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è zero. Nella teoria dei circuiti le superfici si scelgono come $S_1$, attorno a componenti interi, e la corrente di spostamento resta chiusa dentro i condensatori.

La legge di Kirchhoff delle tensioni

Quando il flusso cambia, la tensione tra due punti dipende dal percorso, e due voltmetri collegati agli stessi punti possono segnare valori diversi, entrambi giusti. Nella figura un anello formato da due resistori, $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 900\ \Omega$, circonda un solenoide il cui flusso cresce in modo da indurre nell’anello una forza elettromotrice di $1$ V. Nell’anello circola $i = 1\ \text V/1000\ \Omega = 1$ mA. Il voltmetro $V_1$ ha i fili che passano dal lato di $R_1$, e la maglia formata dai suoi fili e dal ramo di $R_1$ non concatena il flusso: per il corollario legge la tensione tra $P$ e $Q$ lungo $R_1$, che è $-R_1 i = -0{,}1$ V, perché in $R_1$ la corrente va da $Q$ verso $P$. Il voltmetro $V_2$, per la stessa ragione, legge la tensione lungo $R_2$, cioè $+R_2 i = +0{,}9$ V. La differenza tra le due letture è la forza elettromotrice. L’esempio è discusso in dettaglio da R. H. Romer, What do “voltmeters” measure? Faraday’s law in a multiply connected region, American Journal of Physics 50, 1089 (1982).

Nella teoria dei circuiti i flussi variabili stanno chiusi negli induttori e nei trasformatori, e la tensione ai loro morsetti si intende calcolata lungo un percorso che resta fuori dal componente. Con questa regola le tensioni di un circuito tornano a dipendere solo dai punti, e i collegamenti vanno disegnati, e realizzati, senza anelli ampi attorno a campi magnetici variabili.

Il regime quasi stazionario

I due teoremi hanno un’ipotesi ciascuno. Il primo vuole che la carica racchiusa dalle superfici non cambi, quindi nessuna corrente di spostamento fuori dai condensatori; il secondo vuole che il flusso concatenato con le maglie non cambi, quindi nessuna induzione fuori dagli induttori. La corrente di spostamento e l’induzione sono proprio i due termini che nelle equazioni di Maxwell legano il campo elettrico al campo magnetico e che, insieme, producono le onde elettromagnetiche. Trascurarli fuori dai componenti vuol dire trattare il campo, istante per istante, come se fosse statico, e quindi ignorare che si propaga con velocità finita.

In pratica il «molto minore» si traduce in un fattore dieci. A 50 Hz la lunghezza d’onda è $6000$ km, e il modello a costanti concentrate regge fino a circuiti di qualche centinaio di chilometri. A 1 MHz la lunghezza d’onda è $300$ m, e a 1 GHz è $30$ cm: già un circuito di pochi centimetri esce dal regime quasi stazionario. Nei cavi e sulle schede i segnali viaggiano più piano che nel vuoto, a una frazione tra metà e due terzi di $c$, e le lunghezze d’onda sono più corte nella stessa proporzione.

Fuori dal regime quasi stazionario le equazioni di Maxwell restano valide, ma il modello va cambiato. Le linee elettriche lunghe centinaia di chilometri e le piste delle schede digitali veloci si descrivono come linee di trasmissione, con resistenza, induttanza e capacità distribuite lungo tutta la lunghezza.

La potenza elettrica

Una carica $dq$ che entra nel bipolo da $A$ ed esce da $B$ perde l’energia potenziale $v_{AB}\,dq$, che resta nel bipolo come calore, energia immagazzinata o energia ceduta a un altro sistema fisico. Se il passaggio avviene nel tempo $dt$, la potenza assorbita è $v_{AB}\,dq/dt = v\,i$. È un ragionamento che segue le cariche. La proposizione seguente arriva allo stesso risultato seguendo l’energia del campo, con il vettore di Poynting $\mathbf E\times\mathbf H$, il cui flusso attraverso una superficie chiusa è la potenza elettromagnetica che ne esce.

Le ipotesi sono quelle del regime quasi stazionario, richieste solo attorno alla superficie: dentro il bipolo i campi possono fare quello che vogliono. Il risultato vale per ogni bipolo, lineare o no, e a ogni istante. Resta da decidere come leggere il segno.

Una potenza assorbita negativa è una potenza erogata, e viceversa: la convenzione non dice che cosa fa il bipolo, dice come leggere il segno del prodotto. Di solito si usa la convenzione degli utilizzatori per resistori, condensatori e induttori, e quella dei generatori per i generatori, ma nulla vieta di fare altrimenti. La potenza si misura con il wattmetro, che ha quattro morsetti: due di un circuito amperometrico, inserito in serie come un amperometro, e due di un circuito voltmetrico, collegato in parallelo come un voltmetro. Lo strumento moltiplica le due grandezze, e il segno della lettura dipende da come sono collegati i morsetti contrassegnati.

Massa e tensioni di nodo

In regime quasi stazionario il campo elettrico fuori dai componenti ha un potenziale, e ogni nodo del circuito ha il suo. Il potenziale è definito a meno di una costante: negli schemi si sceglie un nodo di riferimento, la massa, e gli si assegna potenziale zero. La tensione di un nodo è la sua tensione rispetto alla massa, e la tensione tra due nodi è la differenza delle loro tensioni, $v_{AB} = V_A - V_B$. Scritte così, le tensioni soddisfano da sole la legge delle maglie: in una somma di differenze lungo un percorso chiuso ogni potenziale compare una volta con il più e una con il meno. In elettronica gli schemi si disegnano quasi sempre in questo modo. Tutti i punti collegati al simbolo di massa sono lo stesso nodo, e l’alimentazione si indica con la sola tensione del suo nodo, senza disegnare il generatore.

Strumenti ideali e strumenti reali

L’amperometro ideale è un cortocircuito, attraversato dalla corrente senza tensione ai capi; il voltmetro ideale è un circuito aperto, che non assorbe corrente. Nessuno dei due disturba il circuito. Gli strumenti reali hanno una resistenza interna, e il disturbo va stimato. Un multimetro digitale misura le tensioni con una resistenza d’ingresso tipica di $10\ \text M\Omega$: su un partitore di due resistori da $10\ \text M\Omega$ legge un terzo della tensione di alimentazione invece della metà. La resistenza si misura con l’ohmmetro, che fa passare una corrente nota nel componente e ne misura la tensione. Il componente va scollegato dal resto del circuito, altrimenti lo strumento misura anche tutto quello che gli sta in parallelo.

Le grandezze di questo percorso hanno tutte unità derivate del Sistema Internazionale. Il volt è un watt per ampere, cioè $\text m^2\,\text{kg}\,\text s^{-3}\,\text A^{-1}$; l’ohm è un volt per ampere, e il siemens, unità della conduttanza, il suo inverso; il farad è un coulomb per volt, l’henry un weber per ampere, e il weber un volt-secondo, $\text V\cdot\text s$. Una nota di lessico: in italiano si dice tensione. Voltaggio è un paese dell’Appennino ligure, in provincia di Alessandria.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. In un nodo si uniscono quattro conduttori. Con i versi di riferimento entranti nel nodo, $i_1 = 3$ A e $i_2 = -1$ A; con i versi uscenti, $i_3 = 0{,}5$ A. Quanto vale la corrente $i_4$, presa uscente?

La somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle uscenti: $i_1 + i_2 = i_3 + i_4$, quindi $i_4 = 3 - 1 - 0{,}5 = 1{,}5$ A.

Commento: $i_2 = -1$ A vuole dire che nel secondo conduttore la corrente in realtà esce dal nodo. Non serve correggere il verso prima di scrivere l’equazione: basta usare i segni come sono, e la legge si occupa del resto. L’errore tipico è cambiare il verso e anche il segno, contando il cambiamento due volte.

Esercizio 2. Lungo una maglia $ABCD$ si misurano $v_{AB} = 5$ V, $v_{BC} = -2$ V e $v_{DC} = 4$ V. Quanto vale $v_{DA}$?

Percorrendo la maglia nell’ordine $A$, $B$, $C$, $D$, $A$ la legge delle tensioni dà $v_{AB} + v_{BC} + v_{CD} + v_{DA} = 0$. La tensione misurata è $v_{DC}$, e $v_{CD} = -v_{DC} = -4$ V. Allora $v_{DA} = -5 + 2 + 4 = 1$ V.

Commento: scambiare gli estremi cambia il segno della tensione, e il passaggio da $v_{DC}$ a $v_{CD}$ è il punto in cui si sbaglia. Con le tensioni di nodo il controllo è immediato: ponendo $V_A = 0$ si ha $V_B = -5$ V, $V_C = -3$ V, $V_D = 1$ V, e $v_{DA} = V_D - V_A = 1$ V.

Esercizio 3. Una batteria da $12$ V alimenta due bipoli in serie, $X$ e $Y$, con una corrente di $2$ A; la tensione ai capi di $X$ è $8$ V. Calcola le potenze. Poi la stessa batteria viene ricaricata da un caricatore che le fa entrare $2$ A dal morsetto positivo: quanto vale la potenza della batteria?

Per la legge delle tensioni $v_Y = 12 - 8 = 4$ V. Con la convenzione dei generatori per la batteria, la corrente esce dal morsetto positivo e la potenza erogata è $12 \cdot 2 = 24$ W. Con la convenzione degli utilizzatori per $X$ e $Y$ le potenze assorbite sono $8 \cdot 2 = 16$ W e $4 \cdot 2 = 8$ W, in totale $24$ W. Durante la ricarica, con la convenzione dei generatori la corrente vale $-2$ A e la potenza erogata $-24$ W: la batteria assorbe $24$ W, che finiscono nelle reazioni chimiche e in parte in calore.

Commento: se si usa la convenzione degli utilizzatori per tutti i bipoli, la somma delle potenze assorbite in un circuito è zero, con i generatori che contribuiscono con termini negativi. Non è una coincidenza: è il teorema di Tellegen, dimostrato nell’articolo sui metodi di analisi delle reti a partire dalle sole leggi di Kirchhoff.

Esercizio 4. Un cavo di rame da $1{,}5$ mm² porta $10$ A, la corrente di un forno elettrico. Quanti elettroni attraversano una sezione in un secondo, e con quale velocità media si muovono?

In un secondo passano $10$ C, cioè $10/(1{,}6\times10^{-19}) \approx 6\times10^{19}$ elettroni. La velocità media è

$$u = \frac{i}{n\,e\,A} = \frac{10}{8{,}5\times10^{28}\cdot 1{,}6\times10^{-19}\cdot 1{,}5\times10^{-6}}\ \text{m/s} \approx 5\times10^{-4}\ \text{m/s},$$

mezzo millimetro al secondo.

Commento: la corrente è grande perché gli elettroni sono tantissimi, non perché sono veloci. In corrente alternata a 50 Hz gli elettroni oscillano avanti e indietro per pochi millesimi di millimetro e non arrivano mai al forno: a viaggiare dalla centrale fino all’utenza è l’energia, portata dal campo elettromagnetico attorno ai conduttori.

Esercizio 5. Stabilisci se sono in regime quasi stazionario: una linea elettrica a 50 Hz lunga $300$ km, una lunga $1000$ km, e una scheda con piste lunghe $15$ cm su cui viaggiano segnali digitali con fronti di salita di $1$ ns.

Per le linee $\lambda = c/f = 6000$ km. Con il criterio del fattore dieci il limite è $600$ km: la linea da $300$ km è in regime quasi stazionario, quella da $1000$ km, un sesto di lunghezza d’onda, no. Per la scheda la frequenza di riferimento non è quella del clock ma quella dei fronti: un fronte di salita $t_r$ contiene frequenze fino a circa $0{,}35/t_r$, qui $350$ MHz, una regola pratica che si ricava dalla risposta di un circuito del primo ordine. Sulla vetronite i segnali viaggiano a circa metà di $c$, quindi $\lambda \approx 1{,}5\times10^8/3{,}5\times10^8$ m $\approx 43$ cm, e il limite è sui $4$ cm. Le piste da $15$ cm vanno trattate come linee di trasmissione.

Commento: la frequenza del clock può essere bassa, anche pochi megahertz, ma a decidere sono i fronti. È per questo che nelle schede digitali moderne si calcolano le impedenze delle piste anche quando il processore «va piano».