Circuiti elettrici

Dal campo elettromagnetico al circuito

Quello che succede in un circuito, dalla pila che accende una lampadina alla rete che porta l’energia di una centrale in una città, è descritto dalle equazioni di Maxwell. Sono equazioni per campi: il campo elettrico e il campo magnetico hanno un valore in ogni punto e in ogni istante, e per conoscerli bisogna risolvere equazioni alle derivate parziali in tutta la regione che interessa. Per un motore o una scheda elettronica è un calcolo da fare al computer, con metodi numerici come gli elementi finiti, e dà molte più informazioni di quelle che servono a chi deve sapere quanta corrente assorbe il motore.

La teoria dei circuiti fa un’altra scelta. Divide il sistema in componenti, ciascuno chiuso in una regione di spazio da cui escono pochi conduttori, e di ogni componente guarda solo due grandezze: la tensione tra i suoi morsetti e la corrente che vi entra. Quello che succede dentro, la distribuzione dei campi e delle cariche, si riassume in una relazione tra tensione e corrente; i collegamenti tra i componenti si traducono nelle due leggi di Kirchhoff. Al posto delle equazioni di Maxwell resta un sistema di equazioni algebriche o differenziali ordinarie, con un’incognita per ogni tensione e ogni corrente. È il modello a costanti concentrate: resistenze, capacità e induttanze stanno tutte nei componenti, e i fili che li uniscono non hanno proprietà elettriche.

Il modello non vale sempre. Un segnale elettromagnetico viaggia al più alla velocità della luce, e impiega circa 3 nanosecondi a percorrere un metro. Se in un tempo del genere tensioni e correnti cambiano poco, ogni variazione arriva in pratica ovunque nello stesso istante e le leggi di Kirchhoff valgono. Se cambiano molto, due punti dello stesso filo possono trovarsi in condizioni diverse e il modello cade. La condizione è che il circuito sia piccolo rispetto alla lunghezza d’onda dei segnali. A 50 Hz, la frequenza della rete elettrica, la lunghezza d’onda è 6000 km, e un impianto domestico è piccolissimo; a 1 GHz, una frequenza tipica dei telefoni cellulari, è 30 cm, e anche le piste di una scheda vanno trattate come linee di trasmissione. Il primo articolo ricava le leggi di Kirchhoff dalle equazioni di Maxwell e rende precisa questa condizione.

Prima i circuiti, poi i campi

Storicamente le cose sono andate al contrario. Georg Ohm pubblicò la legge che porta il suo nome nel 1827, nel libro Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet, dopo anni di misure su fili di materiali e lunghezze diverse. Gustav Kirchhoff enunciò le sue due leggi nel 1845, quando era ancora studente a Königsberg. Le equazioni di Maxwell arrivarono vent’anni dopo, nel 1865. Per decenni i circuiti si progettarono con leggi trovate in laboratorio, e solo più tardi si capì da dove venivano e dove smettevano di valere.

Componenti ideali e componenti reali

I componenti si possono introdurre con un bilancio di energia, applicando il primo principio della termodinamica a un componente qualsiasi. Il lavoro elettrico che entra dai morsetti può fare tre cose: essere scambiato con un sistema fisico di altra natura, come le reazioni chimiche di una pila o la turbina di una centrale; trasformarsi in calore; restare immagazzinato nel campo elettrico o nel campo magnetico. A ciascuna corrisponde un componente ideale che fa solo quella. I generatori scambiano energia con l’esterno, il resistore la dissipa, il condensatore la accumula nel campo elettrico e l’induttore nel campo magnetico.

I componenti che si comprano sono un’altra cosa. Un resistore reale scalda, cambia valore con la temperatura e sopra una certa potenza si brucia; il condensatore ha reofori con una piccola induttanza e un isolante che lascia passare un po’ di corrente; una pila dà una tensione che cala quando la corrente cresce. Ogni componente reale si descrive però con una combinazione di componenti ideali, scelta abbastanza ricca da riprodurre i fenomeni che interessano e non di più: la pila come un generatore ideale di tensione con un resistore in serie, il condensatore come un condensatore ideale con un resistore in parallelo e, alle frequenze alte, un induttore in serie. Per questo gli articoli sui componenti hanno sempre due parti: il modello ideale, con le sue proprietà dimostrate, e il componente reale con i suoi limiti.

Gli articoli del percorso

Il primo articolo definisce tensione, corrente e potenza e ricava le leggi di Kirchhoff. I successivi presentano i componenti uno alla volta: resistore, potenziometro, generatori, condensatore, induttore e mutuo induttore. Due articoli fanno da raccordo: uno sui collegamenti tra più resistori e sulla trasformazione stella-triangolo, uno sui circuiti magnetici, senza i quali l’induttanza di una bobina resta un numero sul catalogo.

Con i componenti a disposizione, due articoli insegnano a risolvere una rete qualsiasi: i metodi sistematici di analisi e i teoremi di sovrapposizione, di Thévenin e di Norton. Gli ultimi tre studiano le reti in cui tensioni e correnti cambiano nel tempo: i transitori, il regime sinusoidale con i fasori, le potenze in regime sinusoidale.

Servono le basi dell’elettromagnetismo, in particolare le equazioni di Maxwell in forma integrale, e il calcolo con derivate e integrali. Gli articoli sul regime sinusoidale usano i numeri complessi. Il percorso prosegue in «Sistemi elettrici», che porta le reti alla scala degli impianti, e in «Fondamenti di elettronica», dove ai componenti di questo percorso si aggiungono i dispositivi a semiconduttore.

1. 1Tensione, corrente e leggi di Kirchhoff
2. 2Il resistore
3. 3Il potenziometro
4. 4I generatori
5. 5Bipoli equivalenti e trasformazione stella-triangolo
6. 6Il condensatore
7. 7Circuiti magnetici
8. 8L'induttore
9. 9Il mutuo induttore
10. 10Metodi di analisi delle reti
11. 11Sovrapposizione, Thévenin e Norton
12. 12Transitori nelle reti
13. 13Regime sinusoidale e fasori
14. 14Le potenze in regime sinusoidale