Le potenze in regime sinusoidale

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Energia che va e che torna

In corrente continua la potenza di un bipolo è un numero, $VI$ . In regime sinusoidale tensione e corrente oscillano, e la potenza istantanea oscilla con loro: una parte dell’energia entra nel bipolo e resta lì, una parte entra ed esce a ogni periodo, scambiata con i campi di condensatori e induttori. Per descrivere questo bilancio servono più numeri, la potenza attiva, reattiva, apparente e complessa, e il loro uso è il cuore dell’ingegneria degli impianti. Con questo articolo il percorso si chiude.

La potenza istantanea

Proposizione (potenza istantanea in regime sinusoidale)

Con $v(t) = \sqrt2\,V\sin(\omega t + \alpha_V)$ e $i(t) = \sqrt2\,I\sin(\omega t + \alpha_I)$ , con la convenzione degli utilizzatori e $\varphi = \alpha_V - \alpha_I$ , la potenza istantanea assorbita è

p(t) = VI\cos\varphi - VI\cos(2\omega t + \alpha_V + \alpha_I) = VI\cos\varphi\,\big[1 - \cos(2\omega t + 2\alpha_I)\big] + VI\sin\varphi\,\sin(2\omega t + 2\alpha_I) ,

e il suo valore medio è $P = VI\cos\varphi$ .

Dimostrazione.

Per la formula $\sin a\,\sin b = \tfrac12\big[\cos(a - b) - \cos(a + b)\big]$ , $p = 2VI\sin(\omega t + \alpha_V)\sin(\omega t + \alpha_I) = VI\big[\cos\varphi - \cos(2\omega t + \alpha_V + \alpha_I)\big]$ . Scrivendo $2\omega t + \alpha_V + \alpha_I = \theta + \varphi$ con $\theta = 2\omega t + 2\alpha_I$ e sviluppando $\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi$ si ottiene la seconda forma. I termini oscillanti hanno media nulla su un periodo, e resta $VI\cos\varphi$ .

Fine della dimostrazione.

La potenza istantanea ha un termine costante e un termine a frequenza doppia di quella di rete. La seconda forma lo separa in modo più fisico. Il primo addendo, la potenza attiva istantanea, non è mai negativo e ha media $VI\cos\varphi$ : è l’energia che entra nel bipolo e non torna indietro. Il secondo, la potenza reattiva istantanea, ha media nulla e ampiezza $VI\sin\varphi$ : è l’energia che va e viene tra la rete e i campi elettrici e magnetici del bipolo. In un resistore $\varphi = 0$ e resta solo il primo; in un induttore o in un condensatore $\varphi = \pm\pi/2$ e resta solo il secondo.

Tensione, corrente e potenza istantanea in un bipolo ohmico-induttivo, con la corrente in ritardo di $50°$ . La potenza oscilla a frequenza doppia attorno al valore medio $P$ , tratteggiato. Nei tratti arancioni è negativa: per una frazione di periodo il bipolo restituisce alla rete parte dell’energia accumulata nel campo magnetico.

Attiva, reattiva, apparente, complessa

Definizione (potenze in regime sinusoidale)

Per un bipolo in regime sinusoidale, con la convenzione degli utilizzatori:

la potenza attiva è $P = VI\cos\varphi$ , in watt;
la potenza reattiva è $Q = VI\sin\varphi$ , in voltampere reattivi (VAr);
la potenza apparente è $S = VI$ , in voltampere (VA);
la potenza complessa è $\bar S = \bar V\,\bar I^* = P + jQ$ , dove $\bar I^*$ è il coniugato del fasore della corrente;
il fattore di potenza è $\cos\varphi = P/S$ .

La potenza apparente si indica con $S$ , come in molti testi e nelle targhe delle macchine; alcuni testi italiani usano la lettera $A$ . Che $\bar V\,\bar I^*$ valga $P + jQ$ si vede subito: $Ve^{j\alpha_V}\cdot Ie^{-j\alpha_I} = VIe^{j\varphi}$ . Cambiare l’origine dei tempi aggiunge lo stesso angolo alle fasi di tensione e corrente, che si cancella nel prodotto: le potenze non dipendono dal riferimento di fase. Il coniugato serve proprio a questo, e a far comparire la differenza delle fasi invece della somma.

Per un’impedenza $\bar Z = R + jX$ , da $\bar V = \bar Z\bar I$ si ha $\bar S = \bar Z\,\bar I\,\bar I^* = \bar ZI^2$ , cioè $P = RI^2$ e $Q = XI^2$ . Un induttore ha $Q = \omega LI^2 > 0$ , un condensatore $Q = -I^2/(\omega C) < 0$ . Parlare di potenza reattiva «assorbita» o «generata» è un modo di dire, perché la potenza reattiva è l’ampiezza di un’oscillazione a media nulla; con questa convenzione si dice che l’induttore assorbe potenza reattiva e il condensatore la genera.

Proposizione (significato energetico della potenza reattiva)

In un induttore la potenza reattiva è $Q_L = 2\omega\,\overline{W}_L$ , dove $\overline{W}_L$ è l’energia magnetica media; in un condensatore $Q_C = -2\omega\,\overline{W}_C$ , con $\overline{W}_C$ l’energia elettrica media.

Dimostrazione.

L’energia dell’induttore è $\tfrac12Li^2$ , e la sua media è $\tfrac12L$ per la media di $i^2$ , cioè $\tfrac12LI^2$ , per la definizione di valore efficace. Allora $2\omega\overline W_L = \omega LI^2 = Q_L$ . Per il condensatore la media dell’energia è $\tfrac12CV^2$ , e $Q_C = -V^2\omega C = -2\omega\overline W_C$ , usando $\bar S = V^2/\bar Z^*$ con $\bar Z = -j/(\omega C)$ .

Fine della dimostrazione.

Sommando su tutti gli induttori e i condensatori di una rete passiva, per il teorema di Boucherot del prossimo paragrafo, la potenza reattiva assorbita è $2\omega$ volte la differenza tra l’energia magnetica media e l’energia elettrica media. Un carico con $Q > 0$ ha più energia media nei campi magnetici, e si dice induttivo.

Il fattore di potenza e la potenza apparente

La potenza apparente non ha un significato energetico diretto, ma è quella che decide le dimensioni delle macchine. La corrente efficace fissa le perdite nei conduttori, quindi il riscaldamento; la tensione efficace fissa l’isolamento. Si parla di cimento termico: per questo trasformatori e generatori hanno sulla targa una potenza in kVA e non in kW. A parità di potenza attiva, un carico con fattore di potenza basso chiede più corrente, $I = P/(V\cos\varphi)$ , e fa lavorare di più linee e macchine, con più perdite, per trasportare la stessa energia.

Il teorema di Boucherot

Teorema (di Boucherot)

In una rete in regime sinusoidale, con la convenzione degli utilizzatori su tutti i lati, la somma delle potenze complesse assorbite è nulla:

\sum_k \bar S_k = \sum_k \bar V_k\,\bar I_k^* = 0, \qquad \text{quindi} \quad \sum_k P_k = 0, \quad \sum_k Q_k = 0 .

Dimostrazione.

I fasori $\bar V_k$ soddisfano le leggi delle tensioni e i fasori $\bar I_k$ le leggi delle correnti, per il teorema di Kennelly e Steinmetz. Coniugando le leggi delle correnti, anche i coniugati $\bar I_k^*$ le soddisfano. Il teorema di Tellegen usa solo le leggi di Kirchhoff e l’algebra delle somme, e la sua dimostrazione vale parola per parola con tensioni e correnti complesse: $\sum_k \bar V_k\,\bar I_k^* = 0$ . Parte reale e parte immaginaria di una somma nulla sono nulle.

Fine della dimostrazione.

Le potenze attive si conservano, ed è la conservazione dell’energia in media. Si conservano anche le potenze reattive, benché siano ampiezze di oscillazioni che non raggiungono il massimo negli stessi istanti. Le potenze apparenti invece non si sommano. Ne viene un metodo di calcolo che non usa i fasori: si divide la rete in sezioni, si sommano sezione per sezione le potenze attive e reattive dei componenti, e dalla potenza apparente e dalla tensione, o dalla corrente, di ogni sezione si ricava l’altra grandezza. Gli esercizi lo mostrano su un impianto.

Il massimo trasferimento di potenza attiva

Teorema (massimo trasferimento di potenza attiva)

Una rete con equivalente di Thévenin $\bar V_{th}$ , $\bar Z_{th} = R_{th} + jX_{th}$ , con $R_{th} > 0$ , trasferisce a un carico $\bar Z_L$ la potenza attiva massima quando il carico è il coniugato dell’impedenza della rete,

\bar Z_L = \bar Z_{th}^* = R_{th} - jX_{th}, \qquad P_\text{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}} .

Dimostrazione.

Con $\bar Z_L = R_L + jX_L$ la corrente ha modulo $V_{th}/\sqrt{(R_{th} + R_L)^2 + (X_{th} + X_L)^2}$ , e la potenza attiva nel carico è

P = \frac{R_L\,V_{th}^2}{(R_{th} + R_L)^2 + (X_{th} + X_L)^2} .

Per ogni $R_L$ il denominatore è minimo con $X_L = -X_{th}$ , che annulla il secondo quadrato. Resta $P = R_LV_{th}^2/(R_{th} + R_L)^2$ , la stessa espressione del caso resistivo dell’articolo sui generatori, massima per $R_L = R_{th}$ con valore $V_{th}^2/(4R_{th})$ .

Fine della dimostrazione.

La reattanza del carico compensa quella della sorgente, come in un circuito risonante, e il resto è il caso resistivo. È la condizione di adattamento delle antenne e degli stadi a radiofrequenza; negli impianti di potenza, come in continua, si lavora lontano da questa condizione, che ha rendimento del 50%.

La linea e la caduta di tensione

Un carico è collegato alla rete attraverso una linea, che non è un cortocircuito: la si rappresenta con una resistenza $R$ e una reattanza $X$ in serie. La tensione del carico $\bar V$ è allora diversa da quella all’inizio della linea, $\bar E = \bar V + (R + jX)\,\bar I$ . Agli apparecchi interessa il modulo della tensione, non la sua fase, e la caduta di tensione industriale è la differenza dei moduli, $\Delta V = E - V$ .

Proposizione (caduta di tensione industriale)

Con la tensione del carico come riferimento di fase e la corrente in ritardo di $\varphi$ ,

\Delta V = E - V \approx I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi) ,

dove il termine trascurato vale $b^2/(E + V + a)$ , circa $b^2/(2E)$ , con $a = I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)$ e $b = I\,(X\cos\varphi - R\sin\varphi)$ .

Dimostrazione.

Con $\bar V = V$ reale e $\bar I = I\,(\cos\varphi - j\sin\varphi)$ , il prodotto $(R + jX)\,\bar I$ ha parte reale $a = I(R\cos\varphi + X\sin\varphi)$ e parte immaginaria $b = I(X\cos\varphi - R\sin\varphi)$ , quindi $E = \sqrt{(V + a)^2 + b^2}$ . Poiché $E^2 - (V + a)^2 = b^2$ , si ha $E - (V + a) = b^2/(E + V + a)$ , cioè $\Delta V = a + b^2/(E + V + a)$ . Nei casi pratici $V + a$ è molto vicino a $E$ , e il secondo termine è circa $b^2/(2E)$ , piccolissimo perché $b$ è una piccola frazione di $E$ .

Fine della dimostrazione.

Il diagramma vettoriale di una linea che alimenta un carico ohmico-induttivo, con le cadute esagerate per leggibilità. La tensione all’inizio della linea $\bar E$ è la somma della tensione del carico $\bar V$ e delle cadute $R\bar I$ e $jX\bar I$ . L’arco riporta il modulo di $\bar E$ sull’asse di $\bar V$ , la linea tratteggiata ne proietta la punta: i due punti quasi coincidono, ed è la formula approssimata della caduta di tensione.

La caduta dipende dalla corrente e dal fattore di potenza: a parità di corrente, con un carico induttivo il termine $X\sin\varphi$ si aggiunge a quello resistivo. È una delle ragioni per cui conviene rifasare.

Il rifasamento

Rifasare vuol dire aumentare il fattore di potenza di un impianto fornendo sul posto, con dei condensatori, la potenza reattiva che i carichi induttivi, come i motori, richiedono. La linea non deve più portarla, e a parità di potenza attiva la corrente diminuisce.

Proposizione (potenza del condensatore di rifasamento)

Per portare il fattore di potenza di un carico con potenza attiva $P$ da $\cos\varphi_1$ a $\cos\varphi_2$ con un condensatore in parallelo alla tensione efficace $V$ e pulsazione $\omega$ , servono

Q_c = P\,(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2), \qquad C = \frac{Q_c}{\omega V^2} .

Dimostrazione.

Un condensatore ideale non assorbe potenza attiva, e per il teorema di Boucherot la potenza attiva dell’insieme resta $P$ . La potenza reattiva del carico è $P\tan\varphi_1$ , quella voluta $P\tan\varphi_2$ , e la differenza deve essere fornita dal condensatore, che ha $Q = -\omega CV^2$ .

Fine della dimostrazione.

Il triangolo delle potenze di un carico con $P = 1200$ W e $\cos\varphi = 0{,}75$ , cioè $Q = 1058$ VAr. Nell’animazione si inserisce un condensatore che fornisce $Q_c = 477$ VAr: la potenza reattiva scende a $581$ VAr, la potenza apparente da $1600$ a $1333$ VA, e il fattore di potenza sale a $0{,}9$ . La potenza attiva non cambia.

I vantaggi del rifasamento sono tre: macchine e linee meglio utilizzate, perché a parità di corrente trasportano più potenza attiva; perdite ridotte, perché proporzionali al quadrato della corrente; cadute di tensione minori. Per le utenze con potenze importanti le tariffe fanno anche pagare l’energia reattiva quando il fattore di potenza medio scende sotto una soglia. Il rifasamento si può fare carico per carico, per gruppi o centralizzato a monte dell’impianto, e le batterie di condensatori automatiche inseriscono i gradini necessari man mano che i carichi cambiano.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un carico alimentato a $230$ V assorbe $10$ A con fattore di potenza $0{,}8$ in ritardo. Calcola le potenze e l’impedenza equivalente.

$S = 230\cdot10 = 2300$ VA, $P = 2300\cdot0{,}8 = 1840$ W e, con $\sin\varphi = 0{,}6$ , $Q = 1380$ VAr. L’impedenza ha modulo $23\ \Omega$ e argomento $\arccos0{,}8 \approx 36{,}9°$ : $\bar Z = 18{,}4 + j13{,}8\ \Omega$ .

Commento: dal fattore di potenza non si sa se il carico è induttivo o capacitivo; per questo si specifica «in ritardo», cioè corrente in ritardo sulla tensione, carico induttivo. Il segno di $Q$ porta la stessa informazione.

Esercizio 2. A $230$ V sono collegati in parallelo un motore da $2$ kW con fattore di potenza $0{,}8$ in ritardo e una stufa da $1$ kW. Calcola la corrente totale e il fattore di potenza con il metodo di Boucherot.

Il motore assorbe $P_1 = 2000$ W e $Q_1 = 2000\tan\varphi_1 = 1500$ VAr; la stufa $P_2 = 1000$ W e $Q_2 = 0$ . In totale $P = 3000$ W e $Q = 1500$ VAr, $S = \sqrt{3000^2 + 1500^2} \approx 3354$ VA, $I = S/V \approx 14{,}6$ A e $\cos\varphi = 3000/3354 \approx 0{,}894$ .

Commento: le correnti prese da sole sono $2500/230 \approx 10{,}9$ A e $4{,}35$ A, e la loro somma, $15{,}2$ A, supera la corrente vera: le correnti sono sfasate, e si sommano come vettori. Boucherot evita i fasori sommando le sole grandezze che si conservano, $P$ e $Q$ .

Esercizio 3. Un carico a $250$ V, $50$ Hz, assorbe $1200$ W con fattore di potenza $0{,}75$ . Quale condensatore porta il fattore di potenza a $0{,}9$ ? Di quanto scende la corrente?

$\tan\varphi_1 = 0{,}882$ e $\tan\varphi_2 = 0{,}484$ , quindi $Q_c = 1200\cdot(0{,}882 - 0{,}484) \approx 477$ VAr e $C = 477/(314\cdot250^2) \approx 24{,}3\ \mu$ F. La corrente passa da $1200/(250\cdot0{,}75) = 6{,}40$ A a $1200/(250\cdot0{,}9) \approx 5{,}33$ A.

Commento: un sesto di corrente in meno vuol dire, sulla linea, quasi un terzo di perdite in meno, perché le perdite vanno con il quadrato della corrente. Rifasare fino a $1$ costerebbe molto di più: la tangente scende lentamente vicino a zero, e gli ultimi centesimi di fattore di potenza richiedono condensatori grandi con poco guadagno.

Esercizio 4. Una sorgente ha $V_{th} = 10$ V ed $\bar Z_{th} = 5 + j12\ \Omega$ . Qual è la potenza massima trasferibile a un carico qualsiasi? E a un carico puramente resistivo?

Con $\bar Z_L = 5 - j12\ \Omega$ la potenza è massima, $10^2/(4\cdot5) = 5$ W. Con un resistore $R_L$ , $P = 100R_L/\big((5 + R_L)^2 + 144\big)$ ; annullando la derivata si trova $R_L^2 = 5^2 + 12^2$ , cioè $R_L = |\bar Z_{th}| = 13\ \Omega$ , e $P = 1300/(18^2 + 144) \approx 2{,}78$ W.

Commento: senza la reattanza di compensazione si perde quasi metà della potenza disponibile. Il risultato $R_L = |\bar Z_{th}|$ vale in generale per i carichi resistivi, e spiega perché gli adattatori d’impedenza, nelle radio, usano induttori e condensatori.

Esercizio 5. Una linea con $R = 0{,}5\ \Omega$ e $X = 0{,}3\ \Omega$ alimenta un carico a $230$ V che assorbe $20$ A con fattore di potenza $0{,}8$ in ritardo. Calcola la caduta di tensione con la formula approssimata e in modo esatto.

La formula dà $\Delta V \approx 20\,(0{,}5\cdot0{,}8 + 0{,}3\cdot0{,}6) = 11{,}6$ V. In modo esatto $(0{,}5 + j0{,}3)(16 - j12) = 11{,}6 - j1{,}2$ , quindi $\bar E = 241{,}6 - j1{,}2$ V e $E \approx 241{,}603$ V: la caduta è $11{,}603$ V.

Commento: l’errore è di tre millivolt. Nei calcoli degli impianti la formula approssimata basta sempre, e la caduta di tensione ammessa, di solito qualche per cento della tensione nominale, è uno dei criteri con cui si sceglie la sezione dei cavi nel percorso «Sistemi elettrici».

Esercizio 6. Un induttore da $0{,}1$ H a $50$ Hz è percorso da $2$ A efficaci. Calcola la potenza reattiva e l’energia magnetica media, e verifica la relazione tra le due.

$Q = \omega LI^2 = 314\cdot0{,}1\cdot4 \approx 126$ VAr, $\overline W = \tfrac12LI^2 = 0{,}2$ J, e $2\omega\overline W = 2\cdot314\cdot0{,}2 \approx 126$ VAr.

Commento: $126$ VAr sembrano tanti per un’energia di due decimi di joule. Ma quell’energia entra ed esce cento volte al secondo, e la potenza reattiva misura la rapidità dello scambio, non la quantità scambiata.

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