L'intervallo e i diagrammi di Minkowski

Fisica · Relatività ristretta Articolo 14 settembre 2026

Percorso: Relatività ristretta · 3 di 12

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Indice

Eventi e linee di universo

In fisica classica la distanza tra due punti e l’intervallo di tempo tra due istanti hanno lo stesso valore per tutti gli osservatori inerziali. I postulati di Einstein li hanno resi relativi: un orologio in moto rallenta, un regolo in moto si accorcia, due eventi simultanei per un osservatore possono non esserlo per un altro. Serve una grandezza che resti uguale per tutti, e questo articolo la costruisce.

Definizione (evento e linea di universo)

Un evento è qualcosa che accade in un punto dello spazio in un istante: per un osservatore inerziale è individuato da quattro coordinate $(ct, x, y, z)$ . L’insieme degli eventi occupati da una particella nel corso del suo moto è la sua linea di universo.

La coordinata temporale si scrive $ct$ , che è una lunghezza come le altre tre: il tempo che la luce impiega a percorrere un metro diventa «un metro di tempo». Gli eventi formano uno spazio a quattro dimensioni, e una particella in moto rettilineo uniforme ha per linea di universo una retta.

Definizione (intervallo)

Dati due eventi di coordinate $(ct_1, x_1, y_1, z_1)$ e $(ct_2, x_2, y_2, z_2)$ , il loro intervallo è la quantità

s_{12}^2 = c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 .

Per due eventi infinitamente vicini si scrive $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$ .

Nonostante il quadrato nel simbolo, $s_{12}^2$ può essere positivo, nullo o negativo, e il suo segno avrà un significato preciso. Molti testi usano la convenzione opposta, $s^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2dt^2$ : cambia il segno di tutto, e nessuno dei risultati che seguono.

L’invarianza dell’intervallo

Se un impulso di luce parte dal primo evento e arriva al secondo, la distanza percorsa è $c\,|t_2 - t_1|$ e l’intervallo è nullo. Per il secondo postulato lo stesso impulso ha velocità $c$ anche per un altro osservatore $K'$ , e anche per lui l’intervallo è nullo. Che l’intervallo sia nullo, quindi, è un fatto su cui tutti gli osservatori inerziali sono d’accordo. Il teorema di questo paragrafo dice di più: il valore dell’intervallo è lo stesso per tutti, qualunque esso sia.

Le ipotesi sono le stesse usate per le trasformazioni di Galileo, tranne il tempo assoluto. Le coordinate di due sistemi inerziali sono legate da una trasformazione lineare, e quindi le differenze di coordinate $\Delta = (c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$ tra due eventi si trasformano con una matrice, $\Delta' = \Lambda\Delta$ . Lo spazio e il tempo sono omogenei e lo spazio è isotropo. La velocità di $K'$ misurata da $K$ e quella di $K$ misurata da $K'$ hanno lo stesso modulo $V$ . La trasformazione dipende con continuità da $V$ ed è l’identità per $V = 0$ .

Lemma (forme quadratiche nulle sul cono di luce)

Sia $Q$ una forma quadratica nelle quattro variabili $\Delta = (\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ che si annulla ogni volta che $\Delta_0^2 - \Delta_1^2 - \Delta_2^2 - \Delta_3^2 = 0$ . Allora esiste un numero reale $a$ tale che $Q(\Delta) = a\,(\Delta_0^2 - \Delta_1^2 - \Delta_2^2 - \Delta_3^2)$ per ogni $\Delta$ .

Dimostrazione.

Si scrive $\boldsymbol\delta = (\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ . La forma quadratica più generale è

Q(\Delta) = A\,\Delta_0^2 + 2\,\Delta_0\,(\mathbf B \cdot \boldsymbol\delta) + \boldsymbol\delta^{\mathsf T} C\,\boldsymbol\delta,

con $A$ numero, $\mathbf B$ vettore e $C$ matrice simmetrica $3 \times 3$ . Per ogni vettore $\mathbf n$ di lunghezza $1$ il vettore $\Delta = (1, \mathbf n)$ soddisfa $1 - |\mathbf n|^2 = 0$ , e così $(1, -\mathbf n)$ . Per ipotesi

A + 2\,\mathbf B \cdot \mathbf n + \mathbf n^{\mathsf T} C\,\mathbf n = 0, \qquad A - 2\,\mathbf B \cdot \mathbf n + \mathbf n^{\mathsf T} C\,\mathbf n = 0.

Sottraendo, $\mathbf B \cdot \mathbf n = 0$ per ogni $\mathbf n$ di lunghezza $1$ , quindi $\mathbf B = 0$ (basta prendere per $\mathbf n$ i tre vettori della base). Resta $\mathbf n^{\mathsf T} C\,\mathbf n = -A$ per ogni $\mathbf n$ di lunghezza $1$ . Un vettore $\mathbf w \neq 0$ qualsiasi si scrive $\mathbf w = |\mathbf w|\,\mathbf n$ , e allora $\mathbf w^{\mathsf T} C\,\mathbf w = -A\,|\mathbf w|^2$ , cioè $\mathbf w^{\mathsf T}(C + A\,I)\,\mathbf w = 0$ per ogni $\mathbf w$ . La matrice $C + A\,I$ è simmetrica e la sua forma quadratica è identicamente nulla, quindi, per lo stesso argomento di polarizzazione usato nell’articolo sulla relatività di Galileo, è la matrice nulla: $C = -A\,I$ . Sostituendo, $Q(\Delta) = A\,(\Delta_0^2 - |\boldsymbol\delta|^2)$ , e $a = A$ .

Fine della dimostrazione.

Teorema (invarianza dell'intervallo)

L’intervallo tra due eventi ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali: $s'^2 = s^2$ .

Dimostrazione.

Si fissano due sistemi $K$ e $K'$ . Poiché $\Delta' = \Lambda\Delta$ dipende linearmente da $\Delta$ , l’intervallo calcolato in $K'$ , $s'^2 = \Delta_0'^2 - \Delta_1'^2 - \Delta_2'^2 - \Delta_3'^2$ , è una forma quadratica nelle componenti di $\Delta$ .

Se $s^2 = 0$ e i due eventi sono distinti, allora $|\Delta t| \neq 0$ e un impulso di luce può partire dall’evento che viene prima e arrivare all’altro. Per il secondo postulato la luce ha velocità $c$ anche in $K'$ , quindi $s'^2 = 0$ . Se i due eventi coincidono, $\Delta = 0$ e $s'^2 = 0$ ugualmente. Dunque $s'^2$ si annulla ogni volta che si annulla $s^2$ , e per il lemma $s'^2 = a\,s^2$ con $a$ che dipende solo dalla trasformazione. Per l’omogeneità dello spazio e del tempo $a$ non dipende dal luogo né dall’istante, per l’isotropia non dipende dalla direzione della velocità relativa: $a = a(V)$ .

Per il principio di relatività lo stesso ragionamento vale scambiando $K$ e $K'$ , e poiché $K$ si muove rispetto a $K'$ con velocità dello stesso modulo $V$ , si ottiene $s^2 = a(V)\,s'^2$ . Mettendo insieme, $s^2 = a(V)^2\,s^2$ per ogni coppia di eventi; scegliendone una con $s^2 \neq 0$ , $a(V)^2 = 1$ . Per ogni $V$ , quindi, $a(V)$ vale $1$ oppure $-1$ . Una funzione continua di $V$ che assume solo questi due valori è costante, e poiché per $V = 0$ la trasformazione è l’identità, $a(0) = 1$ . Dunque $a = 1$ e $s'^2 = s^2$ .

Fine della dimostrazione.

Le trasformazioni di Galileo lasciano invariati, separatamente, gli intervalli di tempo e le distanze. Quelle compatibili con i postulati di Einstein lasciano invariata una loro combinazione, in cui spazio e tempo sono mescolati. È la stessa situazione delle rotazioni, che cambiano le coordinate ma conservano la distanza di Pitagora: qui la «distanza» conservata ha un segno meno davanti ai termini spaziali. Per questo lo spazio degli eventi, con l’intervallo come distanza, si chiama spaziotempo di Minkowski, dal nome di Hermann Minkowski, che era stato professore di Einstein al Politecnico di Zurigo e che nel 1908 diede alla teoria questa forma geometrica.

Il diagramma di Minkowski

Il modo più diretto di vedere lo spaziotempo è ridurlo a due dimensioni: una coordinata spaziale $x$ in orizzontale e $ct$ in verticale, con la stessa unità di lunghezza sui due assi. Un punto del piano è un evento. Una retta orizzontale riunisce eventi simultanei per l’osservatore del diagramma; una retta verticale è la linea di universo di un corpo fermo.

Un impulso di luce che passa per l’origine segue $x = ct$ oppure $x = -ct$ , due rette a 45°. Un corpo con velocità costante $v$ ha linea di universo $x = vt$ , cioè $ct = x\,c/v$ : poiché $|v| < c$ , la retta forma con l’asse $ct$ un angolo minore di 45°. La linea di universo di un corpo dotato di massa è sempre più ripida dei raggi di luce, anche quando è curva.

Un diagramma di Minkowski, con la stessa unità di lunghezza sui due assi. Le bisettrici $x = \pm ct$ sono i raggi di luce che passano per l’origine. La retta verticale è la linea di universo di un corpo fermo; la retta che parte dall’origine con un’inclinazione minore di 45° rispetto all’asse $ct$ è quella di un corpo che si muove con velocità $c/2$ .

Nello stesso diagramma si possono disegnare gli assi di un secondo osservatore $K'$ , che si muove rispetto a $K$ con velocità $V = \beta c$ lungo $x$ . L’asse $ct'$ è l’insieme degli eventi con $x' = 0$ , l’asse $x'$ quello degli eventi con $t' = 0$ .

Proposizione (assi di un osservatore in moto)

Nel diagramma di $K$ l’asse $ct'$ è la retta $x = \beta\,ct$ , e gli eventi simultanei per $K'$ stanno sulle rette $ct - \beta x = k$ , con $k$ costante; in particolare l’asse $x'$ è la retta $ct = \beta x$ . Il tempo $t'$ degli eventi di una di queste rette cresce al crescere di $k$ .

Dimostrazione.

L’asse $ct'$ è la linea di universo dell’origine di $K'$ , che per $K$ si muove con legge $x = Vt = \beta\,ct$ .

Per gli eventi simultanei si usa il vagone dell’articolo sui postulati di Einstein: fermo in $K'$ , di lunghezza propria $L_0$ , con la luce emessa dal centro che raggiunge la coda $A$ e la testa $B$ nello stesso istante di $K'$ . In quell’articolo si è trovato che per $K$ l’arrivo in $B$ segue quello in $A$ di $\Delta t = \gamma L_0 V/c^2$ . Nello stesso tempo le posizioni dei due arrivi, $x_A = -L/2 + Vt_A$ e $x_B = L/2 + Vt_B$ con $L = L_0/\gamma$ , distano

\Delta x = L + V\,\Delta t = \frac{L_0}{\gamma} + \gamma\,\frac{L_0 V^2}{c^2} = \gamma L_0\left(\frac{1}{\gamma^2} + \beta^2\right) = \gamma L_0,

perché $1/\gamma^2 = 1 - \beta^2$ . Quindi $c\,\Delta t/\Delta x = \beta$ : due eventi simultanei per $K'$ e separati lungo $x$ stanno, per $K$ , su una retta di pendenza $c\,\Delta t/\Delta x = \beta$ . Scegliendo la posizione e la lunghezza del vagone si può far coincidere la coppia di arrivi con una coppia qualsiasi di eventi simultanei per $K'$ , quindi tutti gli eventi simultanei a un dato evento stanno sulla retta di pendenza $\beta$ che passa per esso, cioè su una retta $ct - \beta x = k$ . Per l’evento origine $k = 0$ .

La retta $ct - \beta x = k$ incontra l’asse $ct'$ , dove $x = \beta\,ct$ , nel punto con $ct\,(1 - \beta^2) = k$ . Lì l’orologio nell’origine di $K'$ segna un tempo che cresce con $t$ , e quindi con $k$ . Tutti gli eventi della retta sono simultanei a quello, per $K'$ , e hanno lo stesso $t'$ .

Fine della dimostrazione.

Gli assi di $K'$ nel diagramma di $K$ , con $V = c/2$ . L’asse $ct'$ è inclinato verso il raggio di luce dal lato dell’asse $ct$ , l’asse $x'$ dello stesso angolo dal lato dell’asse $x$ . Gli eventi $E_1$ ed $E_2$ sono simultanei per $K$ perché stanno su una retta orizzontale. Per $K'$ sono simultanei gli eventi sulle rette parallele all’asse $x'$ : la retta arancione passa per $E_1$ e lascia $E_2$ sotto di sé, quindi per $K'$ l’evento $E_2$ avviene prima.

I due assi di $K'$ sono simmetrici rispetto al raggio di luce $x = ct$ , e si avvicinano a esso quando $V$ si avvicina a $c$ . Il raggio di luce resta lo stesso per entrambi gli osservatori, come vuole il secondo postulato.

Tipi di intervallo e causalità

Definizione (tipi di intervallo)

L’intervallo tra due eventi distinti è di tipo tempo se $s^2 > 0$ , di tipo luce se $s^2 = 0$ , di tipo spazio se $s^2 < 0$ .

Per il teorema di invarianza il tipo dell’intervallo non dipende dall’osservatore. Nel diagramma di Minkowski, rispetto a un evento $O$ nell’origine, gli eventi con intervallo di tipo luce stanno sulle rette $x = \pm ct$ ; con due coordinate spaziali formerebbero un cono, e per questo si parla di cono di luce. Dentro il cono ci sono gli eventi di tipo tempo, fuori quelli di tipo spazio.

Il cono di luce dell’evento $O$ . In alto il futuro assoluto di $O$ , in basso il passato assoluto; ai lati gli eventi separati da $O$ da un intervallo di tipo spazio, che nessun segnale può collegare a $O$ .

Proposizione (ordine temporale degli eventi di tipo tempo)

Siano $E_1$ ed $E_2$ due eventi distinti con $s_{12}^2 \ge 0$ e $t_2 > t_1$ in $K$ . Allora $t_2' > t_1'$ in ogni sistema inerziale $K'$ .

Dimostrazione.

Sia $\mathbf V$ la velocità di $K'$ rispetto a $K$ . Per $\lambda \in [0, 1]$ si considera il sistema inerziale che si muove rispetto a $K$ con velocità $\lambda\mathbf V$ , e si indica con $\Delta t(\lambda)$ la differenza $t_2 - t_1$ misurata in quel sistema. Per ipotesi la trasformazione dipende con continuità dalla velocità, quindi $\Delta t(\lambda)$ è una funzione continua di $\lambda$ , con $\Delta t(0) = t_2 - t_1 > 0$ .

$\Delta t(\lambda)$ non si annulla mai. Se in qualche sistema fosse $\Delta t = 0$ , lì l’intervallo varrebbe $s^2 = -|\Delta\mathbf x|^2$ . Con $s^2 > 0$ questo è impossibile. Con $s^2 = 0$ darebbe $\Delta\mathbf x = 0$ , e insieme a $\Delta t = 0$ i due eventi coinciderebbero in quel sistema, e quindi in tutti, contro l’ipotesi.

Una funzione continua su un intervallo che non si annulla mai non cambia segno (teorema degli zeri). Quindi $\Delta t(1) = t_2' - t_1' > 0$ .

Fine della dimostrazione.

Gli eventi dentro la metà superiore del cono di luce di $O$ vengono dopo $O$ per tutti gli osservatori: sono il suo futuro assoluto. Quelli nella metà inferiore sono il suo passato assoluto. Un segnale che parte da $O$ con velocità non superiore a $c$ può raggiungere solo eventi con $|\Delta\mathbf x| \le c\,\Delta t$ , cioè con $s^2 \ge 0$ e $\Delta t > 0$ : per la proposizione, chi riceve il segnale lo riceve dopo che è partito per ogni osservatore. Una causa precede sempre il suo effetto.

Proposizione (sistemi di quiete e di simultaneità)

Siano $E_1$ ed $E_2$ due eventi distinti.

$s_{12}^2 > 0$ se e solo se esiste un sistema inerziale in cui i due eventi avvengono nello stesso punto. In quel sistema il tempo che li separa è $s_{12}/c$ .
$s_{12}^2 < 0$ se e solo se esiste un sistema inerziale in cui i due eventi sono simultanei. In quel sistema la loro distanza è $\sqrt{-s_{12}^2}$ .

Dimostrazione.

Se in un sistema $\Delta\mathbf x' = 0$ , allora $s^2 = c^2\Delta t'^2$ , positivo perché gli eventi sono distinti, e $|\Delta t'| = s/c$ . Viceversa, se $s^2 > 0$ , allora $\Delta t \neq 0$ e il vettore $\mathbf v = \Delta\mathbf x/\Delta t$ ha modulo $|\Delta\mathbf x|/|\Delta t| < c$ . Un corpo che si muove con velocità costante $\mathbf v$ e passa per $E_1$ passa anche per $E_2$ , e nel suo sistema di quiete, che è inerziale, i due eventi avvengono entrambi nel punto in cui si trova il corpo.
Se in un sistema $\Delta t' = 0$ , allora $s^2 = -|\Delta\mathbf x'|^2$ , negativo perché gli eventi sono distinti, e la distanza è $\sqrt{-s^2}$ . Viceversa, sia $s^2 < 0$ , cioè $c\,|\Delta t| < |\Delta\mathbf x|$ . Ruotando gli assi di $K$ , operazione che non cambia i tempi, si porta $\Delta\mathbf x$ lungo l’asse $x$ . Il numero $\beta = c\,\Delta t/\Delta x$ ha modulo minore di $1$ . Per la proposizione sugli assi, per l’osservatore che si muove lungo $x$ con velocità $\beta c$ gli eventi simultanei stanno sulle rette $ct - \beta x = k$ , e i due eventi stanno sulla stessa retta perché $c\,\Delta t - \beta\,\Delta x = 0$ .

Fine della dimostrazione.

Per due eventi di tipo spazio, dunque, c’è un osservatore per cui sono simultanei. Osservatori con velocità un po’ maggiore o un po’ minore li vedono in ordine opposto, come si legge nella figura degli assi di $K'$ . Se un segnale potesse viaggiare più veloce della luce, per qualche osservatore arriverebbe prima di partire. È il motivo per cui nessuna informazione può superare $c$ .

Il tempo proprio

Il tempo proprio, definito nell’articolo sui postulati di Einstein, è quello segnato da un orologio tra due eventi che per lui avvengono nello stesso punto. L’intervallo permette di calcolarlo da qualsiasi sistema di riferimento.

Proposizione (tempo proprio lungo una linea di universo)

Un orologio che si muove con velocità costante $\mathbf v$ rispetto a $K$ segna, tra due eventi della sua linea di universo separati da $dt$ in $K$ , il tempo

d\tau = \frac{ds}{c} = dt\,\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} .

Per un orologio con velocità variabile $\mathbf v(t)$ , ammesso che il suo ritmo dipenda solo dalla velocità istantanea e non dall’accelerazione, il tempo segnato tra gli istanti $t_A$ e $t_B$ di $K$ è

\tau_{AB} = \int_{t_A}^{t_B} \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\;dt .

Dimostrazione.

Nel sistema di quiete dell’orologio i due eventi avvengono nello stesso punto, $d\mathbf x' = 0$ , e il tempo segnato è $d\tau = dt'$ , quindi $ds^2 = c^2 d\tau^2$ . Per l’invarianza dell’intervallo lo stesso $ds^2$ si calcola in $K$ , dove $d\mathbf x = \mathbf v\,dt$ :

c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - |\mathbf v|^2 dt^2 = c^2 dt^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right).

Estraendo la radice positiva si ottiene la prima formula. Se la velocità varia, si divide il moto in tratti così brevi che su ciascuno la velocità è praticamente costante; per l’ipotesi fatta sul ritmo dell’orologio, su ogni tratto vale la prima formula, e la somma dei tempi segnati tende all’integrale.

Fine della dimostrazione.

Poiché $d\tau \le dt$ , si ritrova la dilatazione dei tempi. L’ipotesi sul ritmo degli orologi accelerati, detta ipotesi dell’orologio, non segue dai postulati: è un fatto sperimentale, verificato con i muoni che girano in un anello di accumulazione, come nell’esercizio 4, dove l’accelerazione è enorme e la vita media è comunque quella prevista dalla sola velocità.

Il paradosso dei gemelli

Un gemello resta sulla Terra, l’altro parte su un’astronave velocissima e poi torna. Per chi resta a terra l’orologio del viaggiatore rallenta, e al ritorno il viaggiatore è più giovane. Ma dal punto di vista del viaggiatore è la Terra a muoversi, e dovrebbe essere il gemello rimasto a casa a invecchiare meno. I due non possono avere ragione entrambi: quando si incontrano, i loro orologi segnano due numeri precisi. Einstein lo formulò con due orologi, Langevin nel 1911 con due gemelli.

Teorema (il moto uniforme massimizza il tempo proprio)

Siano $A$ e $B$ due eventi con $B$ nel futuro assoluto di $A$ . Tra tutte le linee di universo che vanno da $A$ a $B$ con velocità minore di $c$ , la retta, cioè il moto uniforme, ha il tempo proprio massimo, uguale a $s_{AB}/c$ . Ogni altra linea di universo ha tempo proprio strettamente minore.

Dimostrazione.

Per la proposizione sui sistemi di quiete esiste un sistema inerziale $K_0$ in cui $A$ e $B$ avvengono nello stesso punto, e lì $t_B - t_A = s_{AB}/c$ . Il tempo proprio è invariante, quindi basta confrontare le linee di universo in $K_0$ .

In $K_0$ il moto uniforme da $A$ a $B$ è la quiete, e il suo tempo proprio è $t_B - t_A = s_{AB}/c$ . Per un’altra linea di universo, con velocità $\mathbf v(t)$ in $K_0$ ,

\tau = \int_{t_A}^{t_B} \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\;dt \;\le\; \int_{t_A}^{t_B} dt = t_B - t_A,

perché la funzione integranda non supera $1$ . Se la linea di universo non è la quiete, esiste un istante in cui $v \neq 0$ ; per la continuità della velocità in un intervallo di tempo attorno a quell’istante l’integranda è minore di $1$ di una quantità positiva, e la disuguaglianza è stretta.

Fine della dimostrazione.

Il paradosso si scioglie qui. Il gemello rimasto a terra segue, a meno di effetti piccolissimi, un moto uniforme tra la partenza e il ritorno. Il viaggiatore no: per tornare deve invertire la velocità, e la sua linea di universo è una spezzata. Il suo tempo proprio è minore, e al ritorno è davvero più giovane. La situazione non è simmetrica. Chi resta a terra usa per tutto il tempo un solo sistema inerziale; il viaggiatore ne usa due, uno per l’andata e uno per il ritorno, e l’accelerazione nel mezzo, per quanto breve, è ciò che distingue i due gemelli. Nel ragionamento non serve la relatività generale: basta la ristretta.

Il viaggio dell’esercizio 3 nel diagramma della Terra, con le distanze in anni luce. La linea blu è la Terra, ferma, dalla partenza $O$ al ritorno $R$ : 10 anni di tempo proprio. La spezzata arancione è l’astronave, che raggiunge la stella in $I$ e torna: 3 anni per tratto. Tra i due eventi $O$ e $R$ la retta ha il tempo proprio più lungo.

L’effetto è stato misurato. Nel 1971 Hafele e Keating fecero volare orologi atomici intorno al mondo su aerei di linea e, al ritorno, li confrontarono con orologi rimasti a terra: le differenze, di qualche decina o centinaio di miliardesimi di secondo, erano quelle previste. In quel caso contava anche la gravità, trattata dalla relatività generale, perché gli aerei volavano più in alto degli orologi a terra.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Nel sistema $K$ l’evento $E_1$ è nell’origine e l’evento $E_2$ avviene in $x = 600$ km, $y = z = 0$ , all’istante $t = 3{,}0$ ms. Di che tipo è l’intervallo? Esiste un osservatore per cui i due eventi avvengono nello stesso punto, e quanto tempo passa per lui? Usa $c = 3{,}00 \times 10^5$ km/s.

$c\,t = 3{,}00 \times 10^5 \cdot 3{,}0 \times 10^{-3}$ km $= 900$ km, quindi $s^2 = 900^2 - 600^2 = 4{,}5 \times 10^5\ \text{km}^2 > 0$ : l’intervallo è di tipo tempo.

L’osservatore cercato si muove da $E_1$ a $E_2$ con velocità $v = 600/(3{,}0 \times 10^{-3})$ km/s $= 2{,}0 \times 10^5$ km/s, cioè $v = \tfrac23\,c$ . Per lui passa il tempo $s/c = \sqrt{4{,}5 \times 10^5}\ \text{km}/(3{,}00 \times 10^5\ \text{km/s}) \approx 2{,}24$ ms.

Verifica con la dilatazione dei tempi: $\gamma = 1/\sqrt{1 - 4/9} \approx 1{,}342$ e $3{,}0/1{,}342 \approx 2{,}24$ ms.

Commento: conviene lavorare con $ct$ in chilometri, così intervallo, tempi e distanze hanno la stessa unità e non si perdono potenze di dieci. Il tempo di $2{,}24$ ms è il più lungo che un orologio possa segnare tra i due eventi: un orologio che non vada in moto uniforme da $E_1$ a $E_2$ segna di meno.

Esercizio 2. Stessa domanda per $E_2$ in $x = 900$ km all’istante $t = 2{,}0$ ms.

Ora $c\,t = 600$ km e $s^2 = 600^2 - 900^2 = -4{,}5 \times 10^5\ \text{km}^2 < 0$ : l’intervallo è di tipo spazio, e nessun osservatore vede i due eventi nello stesso punto. Esiste invece un osservatore per cui sono simultanei: quello che si muove lungo $x$ con $\beta = c\,t/x = 600/900 = \tfrac23$ . Per lui i due eventi distano $\sqrt{4{,}5 \times 10^5}$ km $\approx 671$ km.

Commento: con questi numeri la luce partita da $E_1$ arriva in $x = 900$ km dopo $3{,}0$ ms, un millisecondo dopo $E_2$ : nessun segnale collega i due eventi. Per un osservatore con $\beta$ compreso tra $\tfrac23$ e $1$ , $E_2$ sta sotto la retta di simultaneità che passa per $E_1$ e avviene prima; per uno con $\beta < \tfrac23$ avviene dopo. L’ordine dipende dall’osservatore proprio perché l’intervallo è di tipo spazio.

Esercizio 3. Un gemello parte verso una stella che, nel sistema della Terra, dista $4{,}0$ anni luce, viaggiando a $0{,}80\,c$ ; arrivato, torna indietro alla stessa velocità. Trascurando le fasi di accelerazione, quanti anni passano per il gemello rimasto a terra e per il viaggiatore?

Nel sistema della Terra ogni tratto dura $4{,}0/0{,}80 = 5{,}0$ anni: il gemello a terra invecchia di $10{,}0$ anni. Il viaggiatore ha velocità costante in modulo, $0{,}80\,c$ , e il suo tempo proprio è

\tau = \int_0^{10\ \text{anni}} \sqrt{1 - 0{,}80^2}\;dt = 0{,}60 \cdot 10{,}0\ \text{anni} = 6{,}0\ \text{anni}.

Commento: il ragionamento del viaggiatore «per me è la Terra a muoversi, quindi è lei a invecchiare meno» varrebbe se il viaggiatore fosse inerziale per tutto il viaggio. Non lo è: all’inversione cambia sistema di riferimento. La formula del tempo proprio va applicata in un sistema inerziale, e la Terra lo è, a meno di effetti trascurabili qui.

Esercizio 4. In un anello di accumulazione di raggio $7{,}0$ m circolano muoni con $\gamma = 29{,}3$ . La vita media dei muoni fermi è $\tau_0 = 2{,}197\ \mu$ s. Quanto vale la vita media misurata nel laboratorio, e quanti giri compie in media un muone prima di decadere?

La velocità ha modulo costante, e per la proposizione sul tempo proprio la vita media nel laboratorio è $\gamma\tau_0 = 29{,}3 \cdot 2{,}197\ \mu$ s $\approx 64{,}4\ \mu$ s. La velocità è $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} \approx 0{,}9994\,c$ , e in $64{,}4\ \mu$ s il muone percorre circa $19{,}3$ km. Una circonferenza dell’anello è lunga $2\pi \cdot 7{,}0$ m $\approx 44$ m: i giri sono circa $440$ .

Commento: su un’orbita di $7$ m di raggio a quasi la velocità della luce l’accelerazione centripeta supera $10^{16}$ m/s². Se il ritmo dell’orologio interno del muone ne risentisse, la vita media misurata sarebbe diversa da $\gamma\tau_0$ . Esperimenti di questo tipo, svolti al CERN negli anni Settanta, hanno trovato la vita media prevista dalla sola velocità, entro circa una parte su mille: è la verifica dell’ipotesi dell’orologio.

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