I generatori

Da dove viene l’energia

L’articolo sul resistore ha mostrato che con le sole forze elettriche una corrente stazionaria non può circolare: il campo elettrostatico non dà a una carica che percorre un giro chiuso nessuna energia netta, mentre gli urti nei conduttori ne dissipano sempre. Per mantenere una corrente serve una spinta di altra natura, che si descrive con un campo elettromotore. In una pila la spinta viene dalle reazioni chimiche agli elettrodi, in una dinamo dalla forza di Lorentz sulle cariche di un conduttore che si muove in un campo magnetico, in una cella fotovoltaica dalla luce assorbita vicino a una giunzione tra semiconduttori, in una termocoppia da una differenza di temperatura.

Il nome è rimasto dall’Ottocento: la forza elettromotrice non è una forza, è un lavoro per unità di carica, come la tensione.

A circuito aperto $i = 0$ e $v_{AB} = e$: la forza elettromotrice è la tensione a vuoto. Dentro il generatore aperto le cariche non sono ferme per mancanza di spinta: si sono accumulate sui morsetti finché il campo elettrico che producono ha bilanciato il campo elettromotore. Quando il circuito si chiude parte la corrente, e la tensione ai morsetti scende della caduta sulla resistenza interna.

I generatori ideali

La teoria dei circuiti separa le due parti del generatore reale: la forza elettromotrice diventa un bipolo a sé, il generatore ideale, e la resistenza interna un resistore.

Con la convenzione dei generatori la potenza erogata è $e\,i$ nel primo caso e $v\,a$ nel secondo, e può avere tutti e due i segni: un generatore di tensione in cui la corrente entra dal morsetto $+$ assorbe potenza, come una batteria sotto carica. Per questo i generatori sono bipoli attivi, a differenza di resistori, condensatori e induttori. Nel bilancio energetico dell’introduzione al percorso rappresentano la potenza scambiata, in un senso o nell’altro, con un sistema fisico di altra natura.

Un generatore di tensione con $e = 0$ impone tensione nulla e lascia passare qualsiasi corrente: è un cortocircuito. Un generatore di corrente con $a = 0$ è un circuito aperto. Si dice che il generatore è spento, e il teorema di sovrapposizione degli effetti userà proprio questo. I generatori ideali permettono anche di disegnare circuiti impossibili: un generatore di tensione chiuso in cortocircuito dovrebbe erogare una corrente infinita, uno di corrente lasciato aperto una tensione infinita. Nei circuiti reali la resistenza interna evita l’assurdo; quando un modello porta a situazioni del genere, è il modello a essere troppo povero.

Il generatore reale

La proposizione sulla tensione ai morsetti dice che un generatore reale è un generatore ideale di tensione con un resistore in serie. Collegato a un carico $R_L$, per il partitore di tensione eroga

$$i = \frac{e}{r + R_L}, \qquad v = e\,\frac{R_L}{r + R_L} .$$

La tensione ai morsetti è minore di $e$, e la corrente non supera mai la corrente di cortocircuito $e/r$. Un buon generatore di tensione ha una resistenza interna molto più piccola dei carichi a cui si collega. Lo stesso generatore si può però descrivere al contrario, con un generatore ideale di corrente e un resistore in parallelo.

L’equivalenza vale solo ai morsetti. A circuito aperto il primo modello non dissipa niente, perché nel resistore in serie non passa corrente; nel secondo tutta la corrente $a$ passa nel resistore e dissipa $e^2/r$. Se interessa il riscaldamento del generatore bisogna sapere quale modello descrive quello che c’è davvero dentro. I generatori ideali, invece, non hanno un equivalente dell’altro tipo, perché con $r = 0$ o con $r$ infinita la formula perde senso. Un generatore reale di corrente è buono quando $r$ è molto più grande del carico.

Il massimo trasferimento di potenza

Con un carico molto grande il generatore dà poca corrente, con un carico molto piccolo poca tensione. In mezzo c’è un carico che riceve la potenza più alta.

Il teorema divide l’elettrotecnica in due. Chi trasporta energia vuole un rendimento alto e lavora lontanissimo da questa condizione, con carichi molto più grandi della resistenza interna: una rete elettrica che desse ai carichi la potenza massima ne sprecherebbe altrettanta in calore. Chi tratta segnali deboli, come quello di un’antenna, vuole invece estrarre tutta la potenza possibile e adatta il carico alla sorgente. Il teorema di Thévenin estenderà il risultato a qualsiasi rete lineare vista da due morsetti.

Generatori in serie e in parallelo

I generatori di tensione in serie si sommano. $N$ generatori reali in serie equivalgono a un generatore con forza elettromotrice uguale alla somma algebrica delle $e_k$, con il segno dato dal verso del loro $+$, e con resistenza uguale alla somma delle $r_k$; lo si dimostra come per la serie dei resistori, con la legge delle tensioni. Allo stesso modo i generatori di corrente in parallelo sommano algebricamente le correnti, e le loro resistenze interne si compongono in parallelo.

Due collegamenti non si possono fare. Due generatori ideali di tensione diversi in parallelo violano la legge delle tensioni; se sono uguali, le loro correnti restano indeterminate, perché qualsiasi corrente che giri tra i due soddisfa tutte le equazioni. Lo stesso vale, scambiando tensioni e correnti, per due generatori ideali di corrente in serie. Con i generatori reali il parallelo è lecito, e l’equivalenza tra i due tipi dà subito il risultato.

La forza elettromotrice equivalente è una media delle $e_k$ pesata con le conduttanze interne: il generatore con la resistenza più bassa pesa di più. È la formula di Millman, che l’articolo sui metodi di analisi ritrova per altra via.

I generatori pilotati

I generatori visti finora sono indipendenti: la loro tensione o corrente è assegnata. In un generatore pilotato, o dipendente, la grandezza impressa è proporzionale a una tensione o a una corrente di un altro ramo del circuito. Le combinazioni sono quattro: generatore di tensione pilotato in tensione, $v_2 = \mu\,v_1$; di corrente pilotato in tensione, $i_2 = g\,v_1$; di tensione pilotato in corrente, $v_2 = r\,i_1$; di corrente pilotato in corrente, $i_2 = \beta\,i_1$. Le costanti $\mu$ e $\beta$ sono numeri puri, $g$ è una conduttanza e $r$ una resistenza.

Nessun oggetto che si compra è un generatore pilotato, ma i modelli dei dispositivi elettronici ne sono pieni. Per piccole variazioni attorno al punto di lavoro un transistore MOSFET è un generatore di corrente pilotato dalla tensione tra gate e source, e un amplificatore operazionale un generatore di tensione pilotato dalla tensione tra i suoi ingressi: il percorso «Fondamenti di elettronica» li usa in quasi ogni articolo. Un generatore pilotato non si spegne come uno indipendente, perché la sua grandezza dipende dal resto del circuito, e il teorema di sovrapposizione ne terrà conto.

Pile, batterie e alimentatori

Una pila trasforma energia chimica in energia elettrica, e una batteria ricaricabile fa anche il contrario. La forza elettromotrice dipende dalla chimica degli elettrodi: circa $1{,}5$ V per una pila alcalina; $2$ V per un elemento al piombo, per cui una batteria d’auto da $12$ V ha sei elementi in serie; $3{,}7$ V come valore nominale per un elemento al litio, che carico arriva a $4{,}2$ V. La tensione a vuoto cala man mano che la batteria si scarica, e la resistenza interna cresce con la scarica e con il freddo. La carica che la batteria può erogare si indica in amperora, o in milliamperora per le batterie piccole, e moltiplicata per la tensione nominale dà l’energia immagazzinata.

Un alimentatore da banco di laboratorio si comporta come un generatore ideale di tensione, regolata con una manopola, finché la corrente resta sotto un limite fissato con una seconda manopola. Se il carico chiede di più, l’alimentatore diventa un generatore di corrente: tiene la corrente al limite e lascia scendere la tensione. La sua caratteristica ha due tratti, uno orizzontale e uno verticale, e il limite di corrente è la prima protezione dei circuiti che si provano sul banco.

La cella fotovoltaica

La cella fotovoltaica si usa spesso come esempio di generatore di corrente. Il suo modello fisico spiega perché, e fino a dove l’approssimazione regge. La luce assorbita vicino alla giunzione tra un semiconduttore di tipo p e uno di tipo n crea coppie di elettroni e lacune, che il campo elettrico della giunzione separa: nasce una corrente $I_{ph}$ proporzionale alla luce assorbita. A questa si oppone la corrente della giunzione, che cresce in modo esponenziale con la tensione, come in un diodo. Con la convenzione dei generatori la corrente erogata è

$$I = I_{ph} - I_s\left(e^{V/V_T} - 1\right) ,$$

dove $I_s$ è la corrente di saturazione della giunzione e $V_T = kT/q$ la tensione termica, circa $25{,}7$ mV a temperatura ambiente. Con la convenzione del diodo, usata in elettronica, la stessa relazione ha i segni opposti. Il modello trascura la resistenza dei contatti e altri effetti, ma basta a capire la forma della curva.

In una cella illuminata $I_s$ è trascurabile rispetto a $I_{ph}$: in quella della figura è circa $10^{-10}$ A contro $9$ A. Fino a meno di un decimo di volt dalla tensione a vuoto, dunque, la cella è un generatore di corrente quasi ideale; vicino a $V_{oc}$ la corrente crolla. In mezzo, nel ginocchio della curva, c’è il punto in cui il prodotto $VI$ è massimo.

Il punto di massima potenza cambia con la luce e con la temperatura, e gli inverter degli impianti fotovoltaici lo inseguono di continuo, regolando il carico che presentano ai pannelli. Anche con il carico giusto, però, una cella al silicio converte in energia elettrica solo una parte della luce. Le perdite principali sono due: i fotoni con energia minore della banda proibita del silicio, con lunghezza d’onda oltre circa $1{,}1$ μm, attraversano la cella senza creare coppie; quelli con energia maggiore ne creano comunque una sola, e l’energia in eccesso diventa calore.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una pila alcalina stilo misura $1{,}55$ V a vuoto e $1{,}52$ V quando alimenta un resistore da $10\ \Omega$. Stima la forza elettromotrice e la resistenza interna. Che corrente darebbe il modello in cortocircuito?

La tensione a vuoto è la forza elettromotrice, $e = 1{,}55$ V. Con il carico la corrente è $1{,}52/10 = 0{,}152$ A, e dalla caratteristica $r = (e - v)/i = 0{,}03/0{,}152 \approx 0{,}2\ \Omega$. In cortocircuito il modello darebbe $e/r \approx 7{,}8$ A.

Commento: è il modo più semplice di misurare una resistenza interna, con un voltmetro e un resistore. La corrente di cortocircuito del modello è una stima per eccesso, perché con correnti così grandi la pila si scalda, le reazioni chimiche non tengono il passo e la resistenza interna cresce. Il principio però resta: una pila in cortocircuito si scalda molto, e con le batterie al litio è pericoloso.

Esercizio 2. Una batteria d’auto ha forza elettromotrice $12{,}6$ V e resistenza interna $8$ mΩ. All’avviamento il motorino assorbe $150$ A. Quanto vale la tensione ai morsetti? E quando la batteria alimenta solo i fari, che assorbono $10$ A?

All’avviamento $v = 12{,}6 - 0{,}008\cdot 150 = 11{,}4$ V; con i soli fari $v = 12{,}6 - 0{,}08 \approx 12{,}5$ V.

Commento: la caduta di oltre un volt è il motivo per cui le luci del cruscotto si abbassano mentre si gira la chiave. Con il freddo la resistenza interna aumenta e la caduta cresce: d’inverno una batteria vecchia non riesce più a far girare il motorino, anche se a vuoto segna ancora più di $12$ V.

Esercizio 3. Un generatore reale ha $e = 10$ V e $r = 2\ \Omega$. Scrivi il generatore di corrente equivalente. Con un carico da $3\ \Omega$ calcola tensione e corrente del carico con entrambi i modelli, e la potenza dissipata nella resistenza interna.

L’equivalente ha $a = e/r = 5$ A con $2\ \Omega$ in parallelo. Con il modello di tensione $i = 10/5 = 2$ A e $v = 6$ V. Con quello di corrente, per il partitore di corrente, il carico riceve $5\cdot 2/(2 + 3) = 2$ A e ha ai capi $6$ V. Le grandezze esterne coincidono; la resistenza interna dissipa invece $r\,i^2 = 8$ W nel primo modello e $v^2/r = 18$ W nel secondo.

Commento: l’equivalenza riguarda solo quello che si vede dai morsetti. Si usa liberamente per risolvere un circuito, ma non per calcolare il calore prodotto dentro il generatore.

Esercizio 4. Un generatore con $e = 12$ V e $r = 4\ \Omega$ alimenta un carico. Calcola la potenza nel carico e il rendimento con $R_L = 4\ \Omega$, $R_L = 1\ \Omega$ e $R_L = 16\ \Omega$.

Con $R_L = 4\ \Omega$ la potenza è quella massima, $12^2/16 = 9$ W, con rendimento $1/2$. Con $R_L = 1\ \Omega$ si ha $P = 144\cdot 1/25 = 5{,}76$ W con rendimento $1/5$; con $R_L = 16\ \Omega$, $P = 144\cdot 16/400 = 5{,}76$ W con rendimento $4/5$.

Commento: i carichi da $1$ e da $16\ \Omega$ ricevono la stessa potenza con rendimenti opposti. Non è un caso: sostituendo $R_L$ con $r^2/R_L$ nella formula della potenza si ritrova la stessa espressione, quindi i carichi che ricevono la stessa potenza vanno a coppie con prodotto $r^2$. Tra i due, chi deve risparmiare energia sceglie sempre quello grande.

Esercizio 5. Due batterie al piombo, una con $e_1 = 12{,}6$ V e una più scarica con $e_2 = 12{,}0$ V, entrambe con resistenza interna $10$ mΩ, vengono collegate in parallelo senza carico. Quanta corrente circola? A quale generatore equivalgono?

Senza carico la corrente gira nell’anello delle due batterie, dalla più carica alla più scarica: $i = (e_1 - e_2)/(r_1 + r_2) = 0{,}6/0{,}02 = 30$ A. Per la proposizione sul parallelo $e = (12{,}6 + 12{,}0)/2 = 12{,}3$ V, perché le resistenze sono uguali, e $r = 5$ mΩ.

Commento: trenta ampere che non fanno niente di utile, se non ricaricare la seconda batteria a spese della prima, con una corrente limitata solo dalle resistenze interne. Con gli elementi al litio, che hanno resistenze interne ancora più basse e non tollerano correnti di carica non controllate, mettere in parallelo elementi a tensioni diverse è una causa nota di guasti: prima si portano alla stessa tensione.

Esercizio 6. Un pannello fotovoltaico ha $60$ celle in serie uguali a quella della figura. Quanto valgono tensione a vuoto, corrente di cortocircuito e potenza massima? Che cosa succede se una cella resta in ombra?

In serie le tensioni si sommano e la corrente è la stessa: $V_{oc} = 60\cdot 0{,}64 = 38{,}4$ V, $I_{sc} = 9$ A, e al punto di massima potenza circa $60\cdot 0{,}56 \approx 34$ V con $8{,}6$ A, cioè circa $290$ W. Se una cella resta in ombra la sua fotocorrente diminuisce, e la cella non riesce più a portare la corrente delle altre. Le altre la costringono a lavorare con tensione inversa: invece di erogare potenza la dissipa, e si scalda. Per limitare il danno i pannelli hanno diodi di bypass, di solito tre in un pannello da 60 celle, che escludono il gruppo in cui si trova la cella in ombra.

Commento: il modello ideale non descrive bene la cella con tensione inversa, ma basta a capire perché l’ombra su una sola cella fa perdere molto più di un sessantesimo della potenza. In una serie la corrente è quella dell’elemento più debole.

Esercizio 7. Un alimentatore da banco è regolato a $12$ V con un limite di corrente di $1$ A. Che cosa succede con un carico da $20\ \Omega$? E con uno da $5\ \Omega$?

Con $20\ \Omega$ la corrente sarebbe $0{,}6$ A, sotto il limite: l’alimentatore resta un generatore di tensione e dà $12$ V. Con $5\ \Omega$ servirebbero $2{,}4$ A: l’alimentatore si porta al limite, dà $1$ A, e la tensione scende a $5$ V.

Commento: quando l’alimentatore lavora al limite di corrente sul pannello si accende di solito una spia, spesso indicata con CC, ed è il primo indizio di un cortocircuito o di un componente montato al contrario. Impostare il limite poco sopra la corrente attesa è l’abitudine che salva più circuiti sul banco.