Vettori e tensori in coordinate arbitrarie

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

Prima di questo, potrebbe interessarti: Gli spazi curvi e la curvatura gaussiana , Coordinate e tensore metrico

Indice

Leggi che valgono in ogni sistema di coordinate

Su una superficie curva non ci sono coordinate cartesiane che la coprano tutta, e in relatività generale lo stesso vale per lo spaziotempo. Le leggi fisiche vanno quindi scritte in una forma che resti vera qualunque siano le coordinate. Lo strumento sono i tensori: grandezze le cui componenti cambiano con le coordinate secondo regole fissate, così che un’uguaglianza tra tensori vera in un sistema di coordinate lo sia in tutti. Questo articolo li definisce a partire dai vettori, controlla che le definizioni coincidano con quelle geometriche dell’articolo sulle coordinate e mostra dove la derivazione crea un problema.

Da qui in avanti gli indici sono greci e vanno su tutte le $n$ coordinate; nello spaziotempo vanno da $0$ a $3$ . Resta la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti.

Leggi di trasformazione

In una regione dello spazio si usano due sistemi di coordinate, $x^\mu$ e $x'^\mu$ , legati da funzioni derivabili e invertibili $x^\mu = x^\mu(x')$ , con le inverse $x'^\mu = x'^\mu(x)$ . I differenziali delle coordinate si trasformano secondo

dx^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}\,dx'^\nu .

Le leggi di trasformazione dicono quali cambi di coordinate sono ammessi e contengono le simmetrie dello spazio: rotazioni e traslazioni nello spazio euclideo, se si vogliono conservare le coordinate cartesiane, trasformazioni di Lorentz tra i sistemi inerziali della relatività ristretta, trasformazioni qualsiasi in relatività generale.

Lemma (le due matrici jacobiane sono l'una l'inversa dell'altra)

\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}\,\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\rho} = \delta^\mu_\rho, \qquad \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\,\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\rho} = \delta^\mu_\rho .

Dimostrazione.

La composizione $x^\mu(x'(x))$ è l’identità: vale $x^\mu$ . Derivando rispetto a $x^\rho$ con la regola delle funzioni composte si ha $(\partial x^\mu/\partial x'^\nu)(\partial x'^\nu/\partial x^\rho) = \partial x^\mu/\partial x^\rho = \delta^\mu_\rho$ . La seconda uguaglianza si ottiene allo stesso modo da $x'^\mu(x(x')) = x'^\mu$ .

Fine della dimostrazione.

Definizione (vettori controvarianti e covarianti)

Un vettore controvariante in un punto assegna a ogni sistema di coordinate $n$ numeri $A^\mu$ , le sue componenti, in modo che passando da un sistema all’altro

A^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}\,A'^\nu ,

con le derivate calcolate in quel punto. Un vettore covariante ha componenti $A_\mu$ che si trasformano secondo

A_\mu = \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\mu}\,A'_\nu .

I differenziali $dx^\mu$ sono il modello dei vettori controvarianti, e lo è la velocità $dx^\mu/d\tau$ lungo una curva, se il parametro $\tau$ non dipende dalle coordinate. Il modello dei vettori covarianti sono le derivate.

Proposizione (il gradiente è covariante)

Se $\Phi$ è un campo scalare, cioè una funzione dei punti che ha lo stesso valore in ogni sistema di coordinate, le derivate $\partial\Phi/\partial x^\mu$ sono le componenti di un vettore covariante.

Dimostrazione.

$\Phi$ espresso nelle coordinate $x$ è la funzione composta $\Phi(x'(x))$ . Per la regola delle funzioni composte $\partial\Phi/\partial x^\mu = (\partial x'^\nu/\partial x^\mu)\,\partial\Phi/\partial x'^\nu$ , che è la legge dei vettori covarianti.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (contrazione di un vettore covariante con uno controvariante)

Se $A_\mu$ è covariante e $B^\mu$ controvariante, $A_\mu B^\mu$ ha lo stesso valore in tutti i sistemi di coordinate.

Dimostrazione.

A_\mu B^\mu = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}\,A'_\alpha\;\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\beta}\,B'^\beta = \delta^\alpha_\beta\,A'_\alpha B'^\beta = A'_\alpha B'^\alpha ,

per la seconda uguaglianza del lemma.

Fine della dimostrazione.

Un esempio è il differenziale $d\Phi = (\partial\Phi/\partial x^\mu)\,dx^\mu$ : la variazione di $\Phi$ tra due punti vicini non dipende dalle coordinate con cui la si calcola.

Nell’articolo sulle coordinate le due specie di componenti erano state definite in un altro modo, con la base locale $\mathbf e_\mu = \partial\mathbf r/\partial x^\mu$ e la base reciproca. Le due definizioni coincidono.

Proposizione (accordo con la definizione geometrica)

Nello spazio euclideo, con la base locale $\mathbf e_\mu = \partial\mathbf r/\partial x^\mu$ , le componenti $A^\mu$ di un vettore $\mathbf A = A^\mu\mathbf e_\mu$ si trasformano come un vettore controvariante, e le componenti $A_\mu = \mathbf A\cdot\mathbf e_\mu$ come un vettore covariante.

Dimostrazione.

Per la regola delle funzioni composte $\mathbf e'_\nu = \partial\mathbf r/\partial x'^\nu = (\partial x^\mu/\partial x'^\nu)\,\mathbf e_\mu$ . Allora $A'_\nu = \mathbf A\cdot\mathbf e'_\nu = (\partial x^\mu/\partial x'^\nu)\,A_\mu$ ; moltiplicando per $\partial x'^\nu/\partial x^\rho$ e usando il lemma si ha $A_\rho = (\partial x'^\nu/\partial x^\rho)\,A'_\nu$ , la legge covariante. Per l’altra specie, $\mathbf A = A'^\nu\mathbf e'_\nu = A'^\nu(\partial x^\mu/\partial x'^\nu)\,\mathbf e_\mu$ , e poiché le componenti rispetto a una base sono uniche, $A^\mu = (\partial x^\mu/\partial x'^\nu)\,A'^\nu$ .

Fine della dimostrazione.

Vettori su una superficie curva

Su un piano un vettore si disegna come una freccia, il prototipo è lo spostamento da un punto a un altro. Su una superficie curva non ci sono rette su cui tracciare la freccia. Uno spostamento infinitesimo $d\mathbf r$ ci sta, perché in una regione abbastanza piccola la superficie si confonde con un piano; ma una velocità $\mathbf v = d\mathbf r/dt$ ha un modulo finito e non si può disegnare sulla superficie.

La soluzione è appoggiare in ogni punto $P$ un piano tangente, come una lastra di vetro su un globo, e considerare i vettori riferiti a $P$ come oggetti di quel piano, non della superficie. Per una superficie dello spazio, con coordinate $x^1$ e $x^2$ , il piano tangente in $P$ è quello dei vettori $\mathbf e_1$ ed $\mathbf e_2$ calcolati in $P$ . Il piano tangente è piatto, e tutto quello che si sa dei vettori nel piano si applica lì, comprese le coordinate cartesiane. Un campo vettoriale sulla superficie assegna a ogni punto un vettore del suo piano tangente; l’insieme dei piani tangenti si chiama fibrato tangente.

Il piano tangente a una sfera in un punto $P$ . I vettori della base locale, in blu, sono $\mathbf e_\theta = \partial\mathbf r/\partial\theta$ , lungo il parallelo verso est, ed $\mathbf e_\Phi = \partial\mathbf r/\partial\Phi$ , lungo il meridiano verso sud, con $\Phi$ la colatitudine; il vettore $\mathbf A$ , in arancione, è una loro combinazione. Tutti stanno nel piano tangente in $P$ , non sulla sfera; in un altro punto il piano tangente è un altro.

La definizione con le leggi di trasformazione non ha bisogno dello spazio esterno. Un abitante della superficie che conosce solo le sue coordinate sa riconoscere un vettore dal modo in cui le componenti cambiano, ed è questa la forma che si usa per lo spaziotempo, che non è immerso in niente.

Componenti cartesiane e polari

Nel piano con coordinate cartesiane la base $\mathbf u_x$ , $\mathbf u_y$ è la stessa ovunque, e un vettore costante ha componenti costanti. Con le coordinate polari no: in ogni punto la base è diversa. Si usano i versori $\mathbf u_r = (\cos\theta,\ \sin\theta)$ , lungo il raggio, e $\mathbf u_\theta = (-\sin\theta,\ \cos\theta)$ , tangente alla circonferenza, e le componenti di $\mathbf A$ lungo di essi si indicano con $A_{(r)}$ e $A_{(\theta)}$ , dette componenti fisiche.

Proposizione (componenti polari di un vettore del piano)

Nel punto di coordinate polari $(r, \theta)$ un vettore di componenti cartesiane $A_x$ , $A_y$ ha componenti fisiche

A_{(r)} = A_x\cos\theta + A_y\sin\theta, \qquad A_{(\theta)} = -A_x\sin\theta + A_y\cos\theta ,

componenti controvarianti $A^r = A_{(r)}$ , $A^\theta = A_{(\theta)}/r$ , e componenti covarianti $A_r = A_{(r)}$ , $A_\theta = r\,A_{(\theta)}$ .

Dimostrazione.

$\mathbf u_r$ e $\mathbf u_\theta$ sono ortonormali, quindi le componenti fisiche sono i prodotti scalari $\mathbf A\cdot\mathbf u_r$ e $\mathbf A\cdot\mathbf u_\theta$ , cioè le formule scritte. Dall’articolo sulle coordinate la base locale è $\mathbf e_r = \mathbf u_r$ ed $\mathbf e_\theta = r\,\mathbf u_\theta$ , perciò $\mathbf A = A_{(r)}\mathbf u_r + A_{(\theta)}\mathbf u_\theta = A_{(r)}\,\mathbf e_r + (A_{(\theta)}/r)\,\mathbf e_\theta$ , che dà le componenti controvarianti, e $A_r = \mathbf A\cdot\mathbf e_r = A_{(r)}$ , $A_\theta = \mathbf A\cdot\mathbf e_\theta = r\,A_{(\theta)}$ .

Fine della dimostrazione.

Lo stesso risultato viene dalla legge di trasformazione. Da $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \operatorname{atan2}(y, x)$ si ha $\partial r/\partial x = \cos\theta$ , $\partial r/\partial y = \sin\theta$ , $\partial\theta/\partial x = -\sin\theta/r$ , $\partial\theta/\partial y = \cos\theta/r$ , e $A^r = (\partial r/\partial x)A^x + (\partial r/\partial y)A^y = A_x\cos\theta + A_y\sin\theta$ , $A^\theta = (-A_x\sin\theta + A_y\cos\theta)/r$ .

Se $\mathbf A$ è un campo costante, $A_x$ e $A_y$ non cambiano da un punto all’altro, ma $A^r$ e $A^\theta$ dipendono da $\theta$ . Le derivate delle componenti non dicono più se il vettore cambia: $\partial A^r/\partial\theta = -A_x\sin\theta + A_y\cos\theta$ non è nulla, eppure il campo è costante. Una parte della variazione delle componenti viene dalla base che gira. Da qui nasce la derivata covariante, argomento del prossimo articolo.

Un campo vettoriale costante $\mathbf A$ , le cui copie ferme sono disegnate in grigio lungo una circonferenza di centro $O$ , e la base locale delle coordinate polari. Nell’animazione un punto percorre la circonferenza portando con sé i versori $\mathbf u_r$ e $\mathbf u_\theta$ , in blu, che girano con lui. Il vettore $\mathbf A$ , in arancione, resta parallelo a sé stesso: le sue componenti cartesiane non cambiano, mentre $A_{(r)}$ e $A_{(\theta)}$ , le proiezioni sui versori, cambiano durante il giro. In un giro completo ciascuna delle due passa per il valore massimo $|\mathbf A|$ e per il minimo $-|\mathbf A|$ .

I tensori

Definizione (tensore)

Un tensore di rango $r$ in uno spazio a $n$ dimensioni è un insieme di $n^r$ componenti, con $r$ indici, che si trasformano come i prodotti delle componenti di $r$ vettori: con un fattore $\partial x^\mu/\partial x'^\alpha$ per ogni indice controvariante, in alto, e un fattore $\partial x'^\alpha/\partial x^\mu$ per ogni indice covariante, in basso. Per il rango due:

T^{\mu\nu} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\beta}\,T'^{\alpha\beta}, \qquad T_{\mu\nu} = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,T'_{\alpha\beta}, \qquad T^\mu{}_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,T'^\alpha{}_\beta .

Gli scalari sono tensori di rango zero, i vettori tensori di rango uno.

Il prodotto $A^\mu B^\nu$ delle componenti di due vettori controvarianti è il primo esempio di tensore controvariante di rango due; con componenti covarianti, o miste, si hanno tensori covarianti o misti. L’ordine degli indici conta: in generale $T^{\mu\nu} \ne T^{\nu\mu}$ e $T^\mu{}_\nu$ è diverso da $T_\nu{}^\mu$ . Un tensore di rango due si scrive come una matrice $n \times n$ , ma il rango del tensore, cioè il numero di indici, non va confuso con il rango della matrice, che è il numero di righe indipendenti.

Proposizione (un tensore nullo è nullo in ogni sistema)

Se tutte le componenti di un tensore in un punto sono nulle in un sistema di coordinate, sono nulle in ogni altro.

Dimostrazione.

La legge di trasformazione vale anche scambiando i ruoli di $x$ e $x'$ , perché il cambio di coordinate inverso è ammesso come quello diretto. Ogni componente nel sistema $x'$ è quindi una combinazione lineare delle componenti nel sistema $x$ , con coefficienti dati dalle derivate: se queste sono tutte nulle, lo è anche la combinazione.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (il tensore metrico è un tensore)

$g_{\mu\nu}$ è un tensore covariante di rango due, $g^{\mu\nu}$ un tensore controvariante di rango due, e $\delta^\mu_\nu$ un tensore misto che ha le stesse componenti in ogni sistema di coordinate.

Dimostrazione.

Per $g_{\mu\nu}$ è la legge di trasformazione del tensore metrico dimostrata nell’articolo sulle coordinate, con i ruoli dei due sistemi scambiati. Per $\delta^\mu_\nu$ , applicando la legge dei tensori misti alle componenti $\delta'^\alpha_\beta$ del secondo sistema,

\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\,\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,\delta'^\alpha_\beta = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\,\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\nu} = \delta^\mu_\nu

per il lemma: le componenti che la legge assegna al primo sistema sono di nuovo quelle della delta. Per $g^{\mu\nu}$ si usano le matrici $J^\alpha{}_\mu = \partial x'^\alpha/\partial x^\mu$ e $K^\mu{}_\alpha = \partial x^\mu/\partial x'^\alpha$ , inverse l’una dell’altra per il lemma. La legge di $g_{\mu\nu}$ in forma matriciale è $G = J^{\mathsf T}G'J$ ; invertendo, $G^{-1} = J^{-1}G'^{-1}(J^{\mathsf T})^{-1} = K\,G'^{-1}K^{\mathsf T}$ , cioè $g^{\mu\nu} = K^\mu{}_\alpha K^\nu{}_\beta\,g'^{\alpha\beta}$ , la legge controvariante.

Fine della dimostrazione.

Operazioni con i tensori

Per sapere se un insieme di numeri è un tensore bisogna in principio verificarne la legge di trasformazione, un calcolo spesso lungo. Quasi sempre si evita: le operazioni tensoriali producono tensori, e basta riconoscere che una grandezza viene da una di esse.

Proposizione (operazioni tensoriali)

La somma di due tensori con gli stessi indici, e il prodotto di un tensore per un numero, sono tensori con quegli indici.
Il prodotto di due tensori, per esempio $T^{\mu\nu}S_\rho$ , è un tensore che ha gli indici di entrambi.
La contrazione, cioè porre uguali un indice in alto e uno in basso e sommare, dà un tensore con due indici in meno.
Alzare o abbassare un indice con il tensore metrico, per esempio $T^\mu{}_\nu = g^{\mu\rho}\,T_{\rho\nu}$ , dà un tensore.

Dimostrazione.

Le leggi di trasformazione sono lineari nelle componenti.
Moltiplicando le leggi dei due fattori si ha un fattore di trasformazione per ciascun indice del prodotto.
Per un tensore $T^\mu{}_{\nu\rho}$ la contrazione degli indici $\mu$ e $\nu$ dà

T^\mu{}_{\mu\rho} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\,\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\mu}\,\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\rho}\,T'^\alpha{}_{\beta\gamma} = \delta^\beta_\alpha\,\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\rho}\,T'^\alpha{}_{\beta\gamma} = \frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\rho}\,T'^\alpha{}_{\alpha\gamma},

per il lemma: resta la legge di un vettore covariante. Con più indici il calcolo è lo stesso, perché i fattori degli indici non contratti passano invariati.

È il prodotto del tensore metrico per un tensore, seguito da una contrazione.

Fine della dimostrazione.

La contrazione di un tensore misto di rango due, $T^\mu{}_\mu$ , è uno scalare, la traccia; il prodotto scalare $A_\mu B^\mu = g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu$ è la contrazione del prodotto $A_\mu B^\nu$ . Contrarre due indici entrambi in alto, sommando $T^{\mu\mu}$ , non dà invece un tensore: i due fattori $\partial x^\mu/\partial x'^\alpha$ non si semplificano. Il carattere tensoriale del tensore metrico si può giustificare così: agendo su un vettore dà un vettore. È un caso della legge del quoziente.

Proposizione (legge del quoziente, rango due)

Se per ogni vettore controvariante $A^\nu$ i numeri $T_{\mu\nu}A^\nu$ sono le componenti di un vettore covariante, allora $T_{\mu\nu}$ è un tensore covariante di rango due.

Dimostrazione.

Per ipotesi e per la legge di $A$ ,

T_{\mu\nu}A^\nu = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}\,T'_{\alpha\beta}A'^\beta = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}\,T'_{\alpha\beta}\,\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu}\,A^\nu ,

dove si è usata la legge inversa $A'^\beta = (\partial x'^\beta/\partial x^\nu)A^\nu$ . L’uguaglianza vale per ogni scelta delle $A^\nu$ ; prendendo una sola componente non nulla, uguale a $1$ , si ottiene $T_{\mu\nu} = (\partial x'^\alpha/\partial x^\mu)(\partial x'^\beta/\partial x^\nu)\,T'_{\alpha\beta}$ .

Fine della dimostrazione.

La covarianza delle leggi fisiche

La legge $\mathbf F = m\mathbf a$ si scrive senza dire in quale sistema di assi sono espresse le grandezze: se si ruotano gli assi, le componenti dei due membri cambiano con la stessa legge, e l’uguaglianza resta vera. Leggi di questo tipo si dicono covarianti, perché i due membri co-variano. Le leggi tra scalari, come quelle che legano temperatura e pressione in un punto, lo sono sempre.

Corollario (covarianza delle equazioni tensoriali)

Se un’uguaglianza tra due tensori con gli stessi indici vale in un sistema di coordinate, vale in tutti.

Dimostrazione.

La differenza dei due membri è un tensore, per la prima operazione tensoriale, e ha tutte le componenti nulle nel sistema dato. Per la proposizione sul tensore nullo le ha nulle in ogni sistema.

Fine della dimostrazione.

Per scrivere una legge fisica valida in ogni sistema di coordinate basta quindi scriverla come uguaglianza tra tensori: scalari, vettori come nella dinamica di Newton, tensori di rango due come nelle equazioni di Einstein. In relatività ristretta i cambi di coordinate sono le trasformazioni di Lorentz, e i tensori sono quelli dell’articolo sui quadrivettori; in relatività generale i cambi di coordinate sono qualsiasi, ed è il principio di covarianza generale. C’è però un ostacolo, già visto con il campo costante in coordinate polari: le derivate delle componenti di un vettore non formano un tensore, e le leggi fisiche contengono derivate. Il prossimo articolo lo dimostra e costruisce la derivata che serve.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Nel punto di coordinate cartesiane $(1, 1)$ è applicato il vettore $\mathbf A = (3, 4)$ . Calcola le sue componenti fisiche, controvarianti e covarianti in coordinate polari, e verifica che $A_\mu A^\mu$ è il quadrato del modulo.

Il punto ha $r = \sqrt2$ e $\theta = \pi/4$ , con $\cos\theta = \sin\theta = 1/\sqrt2$ . Le componenti fisiche sono $A_{(r)} = (3 + 4)/\sqrt2 = 7/\sqrt2 \approx 4{,}95$ e $A_{(\theta)} = (-3 + 4)/\sqrt2 = 1/\sqrt2 \approx 0{,}707$ . Le controvarianti: $A^r = 7/\sqrt2$ , $A^\theta = A_{(\theta)}/r = 1/2$ . Le covarianti: $A_r = 7/\sqrt2$ , $A_\theta = r\,A_{(\theta)} = 1$ . Allora $A_\mu A^\mu = 49/2 + 1\cdot\tfrac12 = 25 = 3^2 + 4^2$ .

Commento: $A^\theta$ e $A_\theta$ hanno dimensioni diverse da quelle di $\mathbf A$ , perché $\theta$ è un angolo e non una lunghezza. Il prodotto $A_\mu A^\mu$ rimette le cose a posto. Sommare i quadrati delle componenti controvarianti, $49/2 + 1/4$ , è l’errore tipico: in coordinate non cartesiane il modulo richiede il tensore metrico.

Esercizio 2. Le derivate seconde di un campo scalare, $\partial^2\Phi/\partial x^\mu\partial x^\nu$ , formano un tensore? Considera $\Phi = x$ nel piano, in coordinate cartesiane e polari.

In coordinate cartesiane $\Phi = x$ ha tutte le derivate seconde nulle. In coordinate polari $\Phi = r\cos\theta$ , e $\partial^2\Phi/\partial\theta^2 = -r\cos\theta$ , che non è nulla fuori dall’asse $y$ . Se le derivate seconde fossero un tensore, per la proposizione sul tensore nullo sarebbero nulle in ogni sistema di coordinate. Non lo sono, quindi non formano un tensore.

Commento: le derivate prime di uno scalare sono un vettore covariante, le seconde non sono un tensore. Derivando la legge di trasformazione del gradiente compare un termine con le derivate seconde di $x'$ rispetto a $x$ , che si annulla per i cambi di coordinate lineari, come le rotazioni e le trasformazioni di Lorentz, ma non in generale. In coordinate polari $\partial^2 r/\partial x^2 = \sin^2\theta/r$ , per esempio, non è nulla. La stessa difficoltà, per le derivate dei vettori, è il punto di partenza della derivata covariante.

Esercizio 3. Dati due vettori controvarianti $A^\mu$ e $B^\mu$ , mostra che $T^{\mu\nu} = A^\mu B^\nu - A^\nu B^\mu$ è un tensore antisimmetrico in ogni sistema di coordinate, conta le sue componenti indipendenti e riconoscile nello spazio ordinario.

$A^\mu B^\nu$ e $A^\nu B^\mu$ sono tensori per la seconda operazione, e la loro differenza lo è per la prima. $T^{\mu\nu} + T^{\nu\mu} = 0$ è un’uguaglianza tra tensori, quindi vale in ogni sistema di coordinate. Gli elementi diagonali sono nulli e quelli sotto la diagonale sono gli opposti di quelli sopra: le componenti indipendenti sono $n(n - 1)/2$ . In tre dimensioni sono tre, e in coordinate cartesiane $T^{23} = A^yB^z - A^zB^y$ , $T^{31} = A^zB^x - A^xB^z$ , $T^{12} = A^xB^y - A^yB^x$ sono le componenti del prodotto vettoriale $\mathbf A \times \mathbf B$ .

Commento: il prodotto vettoriale è un tensore antisimmetrico travestito da vettore, e il travestimento funziona solo in tre dimensioni, dove $n(n - 1)/2 = n$ . Nello spaziotempo le componenti indipendenti sono sei, come nel tensore elettromagnetico $F^{\mu\nu}$ dell’articolo sull’elettromagnetismo covariante, che raccoglie le tre componenti di $\mathbf E$ e le tre di $\mathbf B$ .

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