L'amplificatore operazionale reale

Un modello più vicino al vero

Nell’articolo sulla retroazione l’operazionale era ideale in tutto, tranne il guadagno finito e il polo dominante. Un operazionale vero si discosta dal modello in altri modi, e per ognuno si aggiunge all’operazionale ideale un elemento esterno che lo rappresenta. Il circuito che ne risulta si analizza con i soliti strumenti: cortocircuito virtuale, guadagno d’anello, sovrapposizione degli effetti.

• Impedenze di ingresso. Tra i due ingressi c’è una resistenza differenziale $R_D$, da qualche megaohm per gli ingressi a transistori bipolari a centinaia di gigaohm per quelli a MOSFET; verso massa ci sono resistenze di modo comune, di solito sopra i $100$ M$\Omega$, e capacità di qualche picofarad.
• Resistenza di uscita. In serie all’uscita c’è una resistenza $r_o$, da qualche decina di ohm a qualche kiloohm.
• Tensione di offset. Con gli ingressi in cortocircuito l’uscita non è a zero: le asimmetrie interne equivalgono a un generatore $V_{OS}$ in serie a un ingresso, da decine di microvolt a qualche millivolt. Il segno cambia da un esemplare all’altro, e il costruttore dà solo il valore massimo.
• Correnti di polarizzazione. Dagli ingressi entra o esce una corrente continua $I_B$, dal picoampere degli ingressi a MOSFET alle decine di nanoampere di quelli bipolari; la differenza tra le due, la corrente di offset $I_{OS}$, è di solito dieci volte più piccola.
• Limiti di grande segnale. L’uscita non supera le tensioni di saturazione, non eroga più di una certa corrente, e non varia più in fretta di una certa pendenza, lo slew rate.

Per l’LM358 dell’articolo precedente i valori tipici sono $V_{OS} = 2$ mV, $I_B = 20$ nA, uscenti dagli ingressi perché lo stadio di ingresso ha transistori bipolari $pnp$, $I_{OS} = 2$ nA e uno slew rate di $0{,}3$ V/μs. Esistono operazionali con offset di pochi microvolt, correnti di femtoampere o slew rate di migliaia di volt al microsecondo, ma non tutto insieme.

Offset e correnti di polarizzazione

Offset e correnti di polarizzazione sono generatori costanti, e per la sovrapposizione il loro effetto si somma a quello del segnale. Lo si calcola con il segnale spento e i condensatori aperti. Con il generatore di segnale spento, l’amplificatore invertente e il non invertente diventano lo stesso circuito: $R_1$ dall’ingresso invertente a massa, $R_2$ dall’ingresso invertente all’uscita, e una resistenza $R_P$, eventualmente nulla, dall’ingresso non invertente a massa.

Il fattore $1 + R_2/R_1$ che moltiplica l’offset è l’inverso di $\beta$, e vale anche per l’amplificatore invertente, che per il segnale ha guadagno $-R_2/R_1$. Con $R_1 = 10$ k$\Omega$, $R_2 = 100$ k$\Omega$ e i valori dell’LM358, l’offset sposta l’uscita di $\pm22$ mV e le correnti di $2$ mV; con $R_P = 9{,}1$ k$\Omega$ le correnti contano solo per $0{,}2$ mV. Per un segnale di $100$ mV amplificato a $1$ V, un errore di $22$ mV è il 2%, di segno ignoto, e cambia con la temperatura. Quando il segnale non ha componente continua, un condensatore in serie all’ingresso o in serie a $R_1$ risolve il problema; altrimenti servono operazionali con offset piccolo, o una taratura.

Limiti di grande segnale

La tensione di uscita resta tra le due tensioni di saturazione, vicine alle alimentazioni: gli operazionali rail-to-rail arrivano a pochi millivolt, altri, come l’LM358, restano a più di un volt dall’alimentazione positiva. Quando l’uscita satura il guadagno dell’operazionale si annulla e la retroazione smette di agire. Lo stesso succede se il carico chiede più corrente di quella che l’uscita può dare, qualche decina di milliampere per un operazionale comune.

Il terzo limite riguarda la velocità. Dentro quasi tutti gli operazionali il polo dominante viene da un condensatore, caricato da una corrente che non può superare quella di polarizzazione dello stadio che lo pilota. La tensione del condensatore, e con lei l’uscita, non può quindi cambiare più in fretta di un valore massimo, lo slew rate $SR$, indipendente dal guadagno del circuito.

Con lo slew rate dell’LM358 e un’uscita di $10$ V di picco, $f_{max} = 4{,}8$ kHz, contro una banda per piccoli segnali che con guadagno unitario arriva a $0{,}7$ MHz. Oltre $f_{max}$ l’uscita insegue la sinusoide con la pendenza massima e diventa un’onda triangolare. È un limite non lineare: dipende dall’ampiezza, e per segnali piccoli non si vede.

Circuiti lineari

Con il cortocircuito virtuale e la terra virtuale si costruiscono molte operazioni.

L’inseguitore di tensione, o buffer, collega l’uscita direttamente all’ingresso invertente e porta il segnale sul non invertente. Il guadagno ideale è $1$, il guadagno d’anello è $-A$ e la banda arriva al prodotto guadagno-banda, il massimo per un solo operazionale. Per la formula di Blackman l’impedenza di ingresso è moltiplicata per $1 + A$ e quella di uscita divisa per lo stesso fattore: separa due stadi senza caricare il primo.

Il sommatore porta più tensioni $V_k$, attraverso resistenze $R_k$, alla terra virtuale di un amplificatore invertente con $R_F$ in retroazione. Ogni ingresso inietta la corrente $V_k/R_k$, indipendentemente dagli altri perché il nodo resta a zero, e la somma scorre in $R_F$:

$$V_u = -R_F\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \dots\right) .$$

Ogni ingresso aggiunto abbassa però $\beta$, che è il partitore tra $R_F$ e il parallelo di tutte le $R_k$, e con lui il guadagno d’anello e la banda.

Con resistori all’1% e guadagno $1$ il CMRR è $50$, appena $34$ dB: un disturbo comune ai due ingressi passa ridotto solo di cinquanta volte. Gli amplificatori per strumentazione, con tre operazionali e resistori integrati tarati, fanno molto meglio.

L’integratore mette un condensatore $C$ al posto di $R_2$ nell’amplificatore invertente. La corrente $V_{in}/R$ entra nella terra virtuale e carica il condensatore: $G_{id}(s) = -1/sRC$, cioè

$$v_u(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t v_{in}(t')\,dt' ,$$

con il condensatore scarico all’inizio. Il guadagno ideale è infinito in continua, e qui l’operazionale reale conta molto.

Con $R = 100$ k$\Omega$, $C = 10$ nF e $A_0 = 10^5$ il circuito integra da $1{,}6$ mHz a $1$ MHz. Il problema pratico è un altro: l’offset e la corrente di polarizzazione sono ingressi continui, e vengono integrati. Con $V_{OS} = 2$ mV la corrente $V_{OS}/R = 20$ nA carica il condensatore e l’uscita sale di $2$ V al secondo, fino alla saturazione in pochi secondi. La soluzione più semplice è una resistenza $R_F$ in parallelo al condensatore: il guadagno in continua diventa $-R_F/R$ e l’errore è quello della proposizione sull’errore in continua, con $R_F$ al posto di $R_2$. Il prezzo è che il circuito integra solo sopra $1/2\pi R_FC$. Con $R_F = 10$ M$\Omega$ l’integrazione parte da $1{,}6$ Hz, e l’errore in continua resta sotto $0{,}4$ V.

Stabilità

Il guadagno reale è $G = G_{id}\,(-G_{loop})/(1 - G_{loop})$. Se $G_{id}$ e $G_{loop}$ non hanno poli a parte reale positiva, i poli nuovi che la retroazione può creare sono le soluzioni di $1 - G_{loop}(s) = 0$, e stanno dove $|G_{loop}|$ è circa $1$. Si chiama $\omega^*$ la pulsazione a cui $|G_{loop}(j\omega^*)| = 1$. Tre casi mostrano che cosa conta.

Ogni polo del guadagno d’anello dopo quello dominante toglie fino a $90°$ di fase. Con un polo solo all’attraversamento il segnale che percorre l’anello torna sfasato di $90°$ rispetto al caso ideale, e il circuito è stabile. Con due poli torna in fase con sé stesso con guadagno $1$, e si mantiene da solo: è la condizione di Barkhausen, $G_{loop}(j\omega^*) = 1$, su cui si progettano gli oscillatori sinusoidali. Con tre poli torna più grande di come è partito, e l’uscita diverge. Il caso reale sta di solito tra questi, e si misura con un numero.

Con $\varphi_m = 90°$ il fattore è $1/\sqrt2$, il $-3$ dB di un polo semplice. Con $60°$ vale $1$, con $45°$ $1{,}31$, con $30°$ $1{,}93$, con $10°$ $5{,}7$: meno margine, più il circuito esalta le frequenze vicine a $f^*$. Per guadagni d’anello stabili il cui modulo scende attraversando $1$ una sola volta, il circuito è stabile se il margine di fase è positivo. È una conseguenza del criterio di stabilità di Nyquist, del 1932, che qui non si dimostra; nella pratica si chiedono almeno $45°$-$60°$, perché tolleranze e capacità parassite spostano i poli.

Il modello vale quando l’operazionale ha il polo dominante molto sotto $\omega^*$ e un secondo polo $\omega_1$ lungo l’anello, e $\omega_u$ è la pulsazione a cui il guadagno d’anello scenderebbe a $1$ senza il secondo polo. Con $\omega_1 = 4\omega_u$, $Q = 0{,}5$ e il margine è $76°$: poli reali coincidenti, nessuna sovraelongazione. Con $\omega_1 = 2\omega_u$, $Q = 0{,}71$, margine $66°$ e sovraelongazione del 4%. Con $\omega_1 = \omega_u$, $Q = 1$, margine $52°$ e 16%.

Un caso comune è l’inseguitore che pilota un carico capacitivo. La resistenza di uscita $r_o$ e la capacità $C_L$ formano un polo lungo l’anello: con $r_o = 100\ \Omega$ e $C_L = 10$ nF è a $159$ kHz, e con un prodotto guadagno-banda di $1$ MHz il guadagno d’anello attraversa $0$ dB a $383$ kHz con un margine di $22{,}5°$. Il guadagno reale ha un picco di $2{,}56$, cioè $8{,}2$ dB, e la risposta al gradino supera il valore finale del 53%. Una resistenza da $100\ \Omega$ in serie al carico, con la retroazione presa prima di essa, aggiunge uno zero a $159$ kHz e riporta il margine a $82°$.

Comparatore e trigger di Schmitt

Senza retroazione un operazionale è un comparatore: con una tensione di riferimento su un ingresso e il segnale sull’altro, l’uscita va a una saturazione o all’altra secondo il segno della differenza. Serve ogni volta che bisogna decidere se una grandezza ha superato una soglia, ed è il punto in cui un segnale analogico diventa digitale. Il comparatore semplice ha due difetti. Per differenze di ingresso entro $V_{sat}/A$ l’uscita sta a metà strada. E se il segnale è rumoroso e passa lentamente per la soglia, il rumore lo fa attraversare più volte, e l’uscita scatta avanti e indietro: un contatore conterebbe dieci passaggi invece di uno. Esistono circuiti integrati fatti apposta, i comparatori, più veloci degli operazionali e con uscite adatte alle porte logiche, ma i due difetti restano.

Il trigger di Schmitt, inventato da Otto Schmitt negli anni Trenta per imitare la propagazione degli impulsi nervosi, risolve tutti e due i difetti con la retroazione positiva. Nella versione invertente il segnale va all’ingresso invertente, e un partitore $R_1$ verso massa e $R_2$ verso l’uscita riporta all’ingresso non invertente la frazione $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ dell’uscita.

La differenza tra le due soglie, $2\beta V_{sat}$, è l’isteresi: se supera l’ampiezza picco-picco del rumore, un solo attraversamento lento produce una sola commutazione. Con $R_1 = 10$ k$\Omega$, $R_2 = 100$ k$\Omega$ e $V_{sat} = 12$ V le soglie sono a $\pm1{,}09$ V. Il circuito è un bistabile: dentro l’isteresi l’uscita dipende da dove l’ingresso è stato prima. Collegando $R_1$ a una tensione di riferimento invece che a massa, le due soglie si spostano intorno a quel valore.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un amplificatore non invertente con $R_1 = 1$ k$\Omega$ e $R_2 = 100$ k$\Omega$ usa un operazionale con $V_{OS} = 2$ mV, $I_B = 20$ nA e $I_{OS} = 2$ nA. Quanto vale l’errore in uscita, senza e con la resistenza di compensazione sull’ingresso non invertente? Che peso ha per un segnale di $10$ mV?

Soluzione. Il fattore $1 + R_2/R_1$ vale $101$: l’offset dà $\pm202$ mV. Senza resistenza sul non invertente le correnti danno $I_BR_2 = 2$ mV. Con $R_P = R_1\parallel R_2 = 990\ \Omega$ danno $I_{OS}R_2 = \pm0{,}2$ mV. Il segnale di $10$ mV diventa $1{,}01$ V, e l’errore dovuto all’offset è il 20%.

Commento. Qui la resistenza di compensazione non serve a molto: domina l’offset. Un operazionale di precisione, con offset di qualche decina di microvolt, porta l’errore sotto lo $0{,}5\%$; se il segnale non ha componente continua, un condensatore in serie a $R_1$ porta a $1$ il guadagno in continua dell’offset, e l’errore a pochi millivolt.

Esercizio 2. Un amplificatore invertente con $R_1 = 1$ k$\Omega$ e $R_2 = 10$ k$\Omega$ pilota un carico di $500\ \Omega$ con una sinusoide a $20$ kHz. L’operazionale satura a $\pm12$ V, eroga al massimo $20$ mA e ha slew rate $0{,}5$ V/μs. Qual è l’ampiezza massima dell’ingresso?

Soluzione. Per la saturazione l’uscita deve stare sotto $12$ V: ingresso sotto $1{,}2$ V. L’uscita fornisce la corrente del carico e quella di $R_2$, che va dall’uscita alla terra virtuale: $V_u(1/500\ \Omega + 1/10\ \text{k}\Omega) = V_u\cdot2{,}1$ mS $\le 20$ mA, cioè $V_u \le 9{,}5$ V e ingresso sotto $0{,}95$ V. Per lo slew rate $2\pi\cdot20\ \text{kHz}\cdot V_u \le 0{,}5$ V/μs, cioè $V_u \le 4{,}0$ V e ingresso sotto $0{,}40$ V. Il limite è lo slew rate: $0{,}40$ V.

Commento. A frequenza più bassa il limite dello slew rate si allarga, e sotto circa $8{,}4$ kHz comanda la corrente. I tre limiti vanno controllati tutti, perché quale conta dipende da frequenza, carico e guadagno.

Esercizio 3. Un amplificatore delle differenze con guadagno $10$ legge la tensione ai capi di un resistore di misura il cui lato basso sta a $2{,}5$ V. Quanto può valere l’errore dovuto al modo comune con resistori all’1%? E allo $0{,}1\%$?

Soluzione. Il guadagno di modo comune nel caso peggiore è $4tG/(1 + G) = 4\cdot0{,}01\cdot10/11 = 0{,}036$, e i $2{,}5$ V comuni danno in uscita fino a $91$ mV, come un segnale differenziale di $9{,}1$ mV. Con lo $0{,}1\%$ il guadagno di modo comune scende a $0{,}0036$ e l’errore a $9{,}1$ mV in uscita. Il CMRR passa da $275$, cioè $49$ dB, a $2750$, $69$ dB.

Commento. Se la tensione da misurare è di pochi millivolt, anche lo $0{,}1\%$ può non bastare. Per questo si usano reti di resistori integrate e tarate insieme, che hanno un rapporto preciso anche quando i valori assoluti non lo sono.

Esercizio 4. Un integratore con $R = 100$ k$\Omega$, $C = 10$ nF e $R_F = 10$ M$\Omega$ riceve un’onda quadra di $\pm1$ V a $1$ kHz. Che forma ha l’uscita? Quanto può valere lo spostamento in continua con $V_{OS} = 2$ mV e $I_B = 20$ nA?

Soluzione. Frequenza e periodo sono molto sopra $1/2\pi R_FC = 1{,}6$ Hz, e il circuito integra. In ogni semiperiodo di $0{,}5$ ms l’uscita varia con pendenza $1\ \text{V}/RC = 1000$ V/s, cioè di $0{,}5$ V: un’onda triangolare di $\pm0{,}25$ V. In continua il circuito è un invertente con guadagno $-R_F/R = -100$: l’offset sposta l’uscita di $2\ \text{mV}\cdot101 = 202$ mV, la corrente di $I_BR_F = 200$ mV, fino a circa $0{,}4$ V in tutto.

Commento. Senza $R_F$ lo spostamento non si fermerebbe: l’uscita salirebbe di $2$ V al secondo fino alla saturazione. La scelta di $R_F$ è un compromesso tra l’errore in continua, che cresce con $R_F$, e la frequenza più bassa integrata, che cala con $R_F$.

Esercizio 5. Un sensore dà un segnale lento con un rumore di $0{,}2$ V picco-picco, da confrontare con zero. Progettare un trigger di Schmitt invertente con soglie a circa $\pm0{,}5$ V e $V_{sat} = \pm12$ V, e stimare la velocità della commutazione con $A_0 = 10^5$ e polo a $10$ Hz.

Soluzione. Serve $\beta = 0{,}5/12 = 1/24$, cioè $R_2 = 23R_1$: con $R_1 = 10$ k$\Omega$ e il valore commerciale $R_2 = 220$ k$\Omega$, $\beta = 1/23$ e le soglie sono a $\pm0{,}52$ V. L’isteresi di $1{,}04$ V supera di cinque volte il rumore. Il guadagno d’anello è $10^5/23$, e l’esponenziale crescente ha costante di tempo $\tau_0/(A_0\beta - 1) = 15{,}9\ \text{ms}/4347 = 3{,}7\ \mu$s.

Commento. In pratica la commutazione è limitata dallo slew rate: con $0{,}3$ V/μs, $24$ V di escursione richiedono $80\ \mu$s. Per commutazioni veloci si usa un comparatore integrato con lo stesso partitore di retroazione positiva.