Il mutuo induttore

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Due avvolgimenti che si parlano

Quando due bobine sono vicine, o avvolte sullo stesso nucleo, parte del flusso prodotto dalla corrente di una si concatena con l’altra. Una corrente variabile nella prima induce allora una tensione nella seconda, anche se tra le due non c’è nessun collegamento elettrico. È la mutua induzione, e il componente con due o più avvolgimenti accoppiati si chiama mutuo induttore. Ci funzionano il trasformatore, i caricatori senza fili, le pinze amperometriche.

Due avvolgimenti sullo stesso nucleo. Il flusso comune, in arancione, percorre il nucleo e si concatena con entrambi; i flussi dispersi, in blu, si chiudono in parte nell’aria e si concatenano con un solo avvolgimento. Più il nucleo è permeabile, più il flusso comune prevale su quelli dispersi.

In un mezzo lineare il flusso concatenato con ciascun avvolgimento è la somma di due contributi, uno per corrente:

\psi_1 = L_1\,i_1 + L_{12}\,i_2, \qquad \psi_2 = L_{21}\,i_1 + L_2\,i_2 .

$L_1$ ed $L_2$ sono le induttanze proprie; $L_{12}$ è il flusso concatenato con il primo avvolgimento per unità di corrente nel secondo, $L_{21}$ il viceversa. Che le due mutue induttanze siano uguali non è evidente, perché i due avvolgimenti possono avere forme e numeri di spire diversissimi. Lo sono, e lo si dimostra con l’energia.

Teorema (reciprocità)

Per due avvolgimenti in un mezzo lineare $L_{12} = L_{21}$ . Il valore comune $M$ è la mutua induttanza, e con le correnti $i_1$ e $i_2$ l’energia magnetica è

w = \frac12\,L_1\,i_1^2 + M\,i_1\,i_2 + \frac12\,L_2\,i_2^2 .

Dimostrazione.

Con la convenzione degli utilizzatori, per la proposizione sulla tensione ai morsetti di una bobina, la potenza assorbita è $p = v_1i_1 + v_2i_2 = i_1\,d\psi_1/dt + i_2\,d\psi_2/dt$ . Si portano le correnti da $(0, 0)$ a $(I_1, I_2)$ in due modi.

Nel primo si porta $i_1$ da $0$ a $I_1$ con $i_2 = 0$ : $d\psi_1 = L_1\,di_1$ , e il lavoro assorbito è $\tfrac12L_1I_1^2$ . Poi si porta $i_2$ da $0$ a $I_2$ tenendo $i_1 = I_1$ : $d\psi_1 = L_{12}\,di_2$ e $d\psi_2 = L_2\,di_2$ , e il lavoro è $\int_0^{I_2}(I_1L_{12} + i_2L_2)\,di_2 = L_{12}I_1I_2 + \tfrac12L_2I_2^2$ . Nel secondo modo si comincia da $i_2$ , e con gli stessi passaggi il lavoro totale è $\tfrac12L_2I_2^2 + L_{21}I_1I_2 + \tfrac12L_1I_1^2$ .

Il sistema non dissipa, e il lavoro assorbito resta tutto nel campo magnetico come energia $\tfrac12\int\mathbf B\cdot\mathbf H\,d\tau$ , che dipende solo dal campo, cioè dalle correnti finali, e non da come ci si è arrivati. I due lavori sono quindi uguali, $L_{12} = L_{21}$ , e il loro valore è l’energia dell’enunciato.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (equazioni del mutuo induttore)

Con la convenzione degli utilizzatori su entrambi gli avvolgimenti,

v_1 = L_1\,\frac{di_1}{dt} \pm M\,\frac{di_2}{dt}, \qquad v_2 = \pm M\,\frac{di_1}{dt} + L_2\,\frac{di_2}{dt} ,

con il segno $+$ se le due correnti, entrando dai morsetti positivi, producono nel nucleo flussi concordi, e $-$ se li producono discordi.

Dimostrazione.

È la proposizione sulla tensione ai morsetti di una bobina applicata a ciascun avvolgimento, con i flussi concatenati scritti come sopra e $M \ge 0$ : se i flussi prodotti dalle due correnti sono discordi, il contributo mutuo al flusso concatenato ha il segno opposto.

Fine della dimostrazione.

I morsetti contrassegnati

Il segno dipende da come sono avvolte le spire, e dallo schema non si vede. Lo si fissa una volta per tutte così:

si segna con un punto un morsetto a scelta del primo avvolgimento;
si immagina di iniettare corrente in quel morsetto e si trova, con la regola della mano destra, il verso del flusso nel nucleo;
si segna il morsetto del secondo avvolgimento in cui bisogna iniettare corrente perché il suo flusso sia concorde con il primo.

Da quel momento la regola è una sola: se le due correnti entrano entrambe dai morsetti contrassegnati, o ne escono entrambe, il termine mutuo ha segno $+$ ; altrimenti $-$ .

Il simbolo del mutuo induttore, con i punti che contrassegnano i morsetti; le due linee tra le bobine indicano il nucleo. A sinistra entrambe le correnti entrano dai morsetti contrassegnati, e nelle equazioni compare $+M$ . A destra la seconda corrente entra dal morsetto non contrassegnato, e compare $-M$ .

Il coefficiente di accoppiamento

Proposizione (avvolgimenti sullo stesso circuito magnetico)

Due avvolgimenti di $N_1$ ed $N_2$ spire sullo stesso circuito magnetico di riluttanza $\mathcal R$ , senza flussi dispersi, hanno

L_1 = \frac{N_1^2}{\mathcal R}, \qquad L_2 = \frac{N_2^2}{\mathcal R}, \qquad M = \frac{N_1N_2}{\mathcal R} ,

e quindi $M^2 = L_1L_2$ .

Dimostrazione.

Con le correnti che producono flussi concordi, la legge delle maglie magnetica dà $\Phi = (N_1i_1 + N_2i_2)/\mathcal R$ . Senza flussi dispersi tutto il flusso si concatena con tutte le spire: $\psi_1 = N_1\Phi = (N_1^2/\mathcal R)\,i_1 + (N_1N_2/\mathcal R)\,i_2$ e $\psi_2 = N_2\Phi = (N_1N_2/\mathcal R)\,i_1 + (N_2^2/\mathcal R)\,i_2$ .

Fine della dimostrazione.

Con i flussi dispersi la mutua induttanza è più piccola, e si definisce il coefficiente di accoppiamento

k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} .

Teorema (il coefficiente di accoppiamento non supera 1)

Per due avvolgimenti qualsiasi in un mezzo lineare $M^2 \le L_1L_2$ , cioè $0 \le k \le 1$ .

Dimostrazione.

L’energia magnetica $\tfrac12\int\mathbf B\cdot\mathbf H\,d\tau = \tfrac12\int\mu H^2\,d\tau$ non è mai negativa, quindi $w(i_1, i_2) = \tfrac12L_1i_1^2 + Mi_1i_2 + \tfrac12L_2i_2^2 \ge 0$ per ogni coppia di correnti. Con $i_2 = 0$ ne segue $L_1 \ge 0$ , e allo stesso modo $L_2 \ge 0$ . Con $i_2 \ne 0$ e $x = i_1/i_2$ , $2w/i_2^2 = L_1x^2 + 2Mx + L_2 \ge 0$ per ogni $x$ reale: un polinomio di secondo grado con $L_1 > 0$ che non è mai negativo ha discriminante non positivo, $4M^2 - 4L_1L_2 \le 0$ .

Fine della dimostrazione.

Nei trasformatori con nucleo di lamierini il coefficiente supera $0{,}99$ . Nelle bobine in aria, e nei caricatori senza fili, dove tra le due bobine c’è qualche millimetro di plastica e di aria, vale pochi decimi.

Induttori accoppiati in serie

Proposizione (serie di due avvolgimenti accoppiati)

Due avvolgimenti accoppiati collegati in serie equivalgono a un induttore di induttanza

L = L_1 + L_2 \pm 2M ,

con il segno $+$ se la corrente entra da entrambi i morsetti contrassegnati, o esce da entrambi, e $-$ altrimenti.

Dimostrazione.

Nella serie la corrente è la stessa, $i_1 = i_2 = i$ , e le tensioni si sommano: $v = v_1 + v_2 = (L_1 \pm M)\,di/dt + (\pm M + L_2)\,di/dt$ .

Fine della dimostrazione.

La proposizione dà il modo più semplice di misurare una mutua induttanza: si misura l’induttanza della serie nei due collegamenti, $L_+$ ed $L_-$ , e $M = (L_+ - L_-)/4$ . La serie con il segno meno ha $L_1 + L_2 - 2M \ge L_1 + L_2 - 2\sqrt{L_1L_2} = (\sqrt{L_1} - \sqrt{L_2})^2 \ge 0$ , come deve per il teorema sul coefficiente di accoppiamento. In regime stazionario, con correnti costanti, entrambi gli avvolgimenti sono cortocircuiti, e l’energia resta quella del teorema di reciprocità.

Verso il trasformatore ideale

Proposizione (trasformatore ideale)

Due avvolgimenti di $N_1$ ed $N_2$ spire su un nucleo senza flussi dispersi e con riluttanza trascurabile, con entrambe le correnti entranti dai morsetti contrassegnati e la convenzione degli utilizzatori, soddisfano

\frac{v_1}{v_2} = \frac{N_1}{N_2}, \qquad \frac{i_1}{i_2} = -\frac{N_2}{N_1}, \qquad v_1i_1 + v_2i_2 = 0 .

Dimostrazione.

Senza flussi dispersi $\psi_1 = N_1\Phi$ e $\psi_2 = N_2\Phi$ , quindi $v_1 = N_1\,d\Phi/dt$ e $v_2 = N_2\,d\Phi/dt$ , e il loro rapporto è $N_1/N_2$ . La legge delle maglie magnetica dà $N_1i_1 + N_2i_2 = \mathcal R\,\Phi$ , che con riluttanza trascurabile e flusso finito diventa $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ . Infine $v_1i_1 = (N_1/N_2)\,v_2\cdot(-N_2/N_1)\,i_2 = -v_2i_2$ .

Fine della dimostrazione.

Il trasformatore ideale cambia tensioni e correnti in proporzione inversa e non assorbe potenza: tutta quella che entra da un avvolgimento esce dall’altro. Se sul secondario c’è un resistore $R$ , dal primario si vede la resistenza $(N_1/N_2)^2R$ , e il trasformatore diventa anche un adattatore di resistenze. Non funziona però in continua. Un trasformatore reale ha induttanze finite, e con una tensione costante sul primario la corrente, per $v_1 = L_1\,di_1/dt$ , crescerebbe senza limite fino a saturare il nucleo. L’articolo sul trasformatore, nel percorso «Sistemi elettrici», parte da qui e aggiunge flussi dispersi, resistenze degli avvolgimenti e perdite nel ferro.

Piccolo trasformatore monofase: un pacco di lamierini con i fori di fissaggio agli angoli e, al centro, un rocchetto giallo con l'avvolgimento di filo di rame. — Un piccolo trasformatore monofase. I due avvolgimenti sono uno sopra l’altro, sul rocchetto al centro del nucleo di lamierini, per ridurre i flussi dispersi; i loro capi escono dal rocchetto in alto.
Raimond Spekking, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Su un nucleo con riluttanza $2\times10^6\ \text H^{-1}$ ci sono due avvolgimenti da $500$ e da $100$ spire, senza flussi dispersi. Calcola le induttanze proprie e la mutua induttanza.

$L_1 = 500^2/(2\times10^6) = 0{,}125$ H, $L_2 = 100^2/(2\times10^6) = 5$ mH, $M = 500\cdot100/(2\times10^6) = 25$ mH. Infatti $M^2 = 6{,}25\times10^{-4} = L_1L_2$ .

Commento: le induttanze proprie stanno nel rapporto $(N_1/N_2)^2 = 25$ , la mutua induttanza è la loro media geometrica. Con i flussi dispersi $M$ sarebbe un po’ più piccola, e dalla misura delle tre induttanze si ricava il coefficiente di accoppiamento.

Esercizio 2. Con i dati dell’esercizio 1, calcola l’energia con $i_1 = 2$ A e $i_2 = 5$ A, prima con entrambe le correnti entranti dai morsetti contrassegnati e poi con la seconda entrante dal morsetto non contrassegnato. Verifica con il flusso.

Nel primo caso $w = \tfrac12\cdot0{,}125\cdot4 + 0{,}025\cdot2\cdot5 + \tfrac12\cdot0{,}005\cdot25 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}0625 = 0{,}5625$ J; nel secondo il termine mutuo cambia segno, e $w = 0{,}0625$ J. Con il flusso: $\Phi = (500\cdot2 \pm 100\cdot5)/(2\times10^6)$ , cioè $7{,}5\times10^{-4}$ o $2{,}5\times10^{-4}$ Wb, e $w = \tfrac12\,\mathcal R\,\Phi^2$ dà $0{,}5625$ J e $0{,}0625$ J.

Commento: con le correnti discordi le forze magnetomotrici si sottraggono, e con $N_1i_1 = N_2i_2$ il flusso e l’energia sarebbero nulli. È esattamente la condizione del trasformatore ideale: le correnti di primario e secondario si compensano, e il nucleo porta solo il flusso che serve a indurre le tensioni.

Esercizio 3. Due bobine collegate in serie misurano $30$ mH in un verso e $10$ mH nell’altro. Da sole misurano $12$ e $8$ mH. Quanto valgono la mutua induttanza e il coefficiente di accoppiamento?

$M = (30 - 10)/4 = 5$ mH, e infatti $12 + 8 \pm 10$ dà $30$ e $10$ . Il coefficiente è $k = 5/\sqrt{12\cdot8} \approx 0{,}51$ .

Commento: la misura è quella che si fa in laboratorio con un misuratore di induttanza, e non richiede di conoscere né la geometria né i morsetti contrassegnati: il collegamento che dà l’induttanza maggiore è quello in cui le correnti entrano dai morsetti contrassegnati.

Esercizio 4. Con i dati dell’esercizio 1, il secondario è aperto e nel primario la corrente sale linearmente da $0$ a $2$ A in $10$ ms. Quanto valgono le tensioni dei due avvolgimenti?

Con il secondario aperto $i_2 = 0$ , e $di_1/dt = 200$ A/s. Allora $v_1 = L_1\,di_1/dt = 25$ V e $v_2 = M\,di_1/dt = 5$ V, con il più dal lato del morsetto contrassegnato.

Commento: il rapporto $25/5 = 5$ è proprio $N_1/N_2$ , come nel trasformatore ideale, perché senza flussi dispersi ogni spira vede lo stesso flusso. Il secondario aperto non assorbe potenza, e la corrente del primario serve solo a magnetizzare il nucleo.

Esercizio 5. Un trasformatore ideale riduce la tensione da $230$ a $12$ V e alimenta sul secondario un resistore da $6\ \Omega$ . Calcola le correnti, le potenze e la resistenza vista dal primario.

Sul secondario la corrente è $12/6 = 2$ A, e la potenza $24$ W. Il rapporto spire è $230/12$ , quindi la corrente del primario è $2\cdot12/230 \approx 0{,}104$ A, e la potenza assorbita dal primario è $230\cdot0{,}104 \approx 24$ W. Dal primario si vede $230/0{,}104 \approx 2200\ \Omega$ , cioè $(230/12)^2\cdot 6\ \Omega$ .

Commento: la tensione di rete è sinusoidale, e $230$ e $12$ V sono valori efficaci, che l’articolo sul regime sinusoidale definisce; il rapporto tra le tensioni vale però istante per istante, e il conto non cambia. Un trasformatore reale ha un rendimento inferiore al 100%, e per le piccole potenze può scendere sotto il 90%.

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