Meccanica quantistica relativistica

Fisica · Relatività ristretta Fisica · Meccanica quantistica Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Due rivoluzioni da mettere d’accordo

La relatività ristretta del 1905 costrinse a riscrivere la meccanica di Newton e mostrò che l’elettromagnetismo era già a posto. Vent’anni dopo arrivò la seconda rivoluzione del Novecento, la meccanica quantistica, costruita sulla meccanica classica per spiegare gli atomi. Fu subito chiaro che andava resa compatibile con la relatività. Con la relatività ristretta ci si è riusciti, e il risultato è la teoria quantistica dei campi, alla base del modello standard delle particelle. Con la relatività generale no, e il problema è ancora aperto.

Questo articolo racconta i primi passi di quel lavoro: perché l’equazione di Schrödinger non basta, che cosa non funziona nell’equazione di Klein-Gordon e perché l’equazione di Dirac fu un successo. Presuppone qualche nozione di meccanica quantistica, che il primo paragrafo richiama.

La meccanica quantistica in breve

In meccanica classica posizione e velocità di una particella si possono conoscere insieme con precisione arbitraria. In meccanica quantistica no: per il principio di indeterminazione di Heisenberg le incertezze sulla posizione e sulla quantità di moto lungo una stessa direzione soddisfano $\Delta x\,\Delta p_x \ge \hbar/2$ , con $\hbar = h/2\pi$ la costante di Planck ridotta. Per gli oggetti di tutti i giorni il limite è irrilevante; per un elettrone in un atomo è decisivo.

Lo stato di una particella è descritto da una funzione d’onda complessa $\psi(\mathbf r, t)$ , e $|\psi|^2$ è la densità di probabilità di trovarla in un punto: $\int|\psi|^2\,dV = 1$ in ogni istante. Le grandezze fisiche diventano operatori che agiscono sulla funzione d’onda; per energia e quantità di moto

E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \qquad \mathbf p \to -i\hbar\nabla .

Sostituendoli nella relazione classica $E = p^2/(2m)$ di una particella libera si ottiene l’equazione di Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi .

Proposizione (onde piane)

La funzione $\psi = e^{i(\mathbf p\cdot\mathbf r - Et)/\hbar}$ , con $\mathbf p$ ed $E$ costanti, è soluzione dell’equazione di Schrödinger se e solo se $E = p^2/(2m)$ .

Dimostrazione.

Derivando, $i\hbar\,\partial_t\psi = i\hbar\,(-iE/\hbar)\,\psi = E\psi$ e $\nabla^2\psi = (i\mathbf p/\hbar)\cdot(i\mathbf p/\hbar)\,\psi = -(p^2/\hbar^2)\,\psi$ , quindi $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi = \tfrac{p^2}{2m}\psi$ . L’equazione diventa $E\psi = \tfrac{p^2}{2m}\psi$ , e poiché $\psi$ non si annulla mai, equivale a $E = p^2/(2m)$ .

Fine della dimostrazione.

L’onda piana ha vettore d’onda $\mathbf k = \mathbf p/\hbar$ e pulsazione $\omega = E/\hbar$ : sono le relazioni di de Broglie, $\mathbf p = \hbar\mathbf k$ ed $E = \hbar\omega$ , valide per ogni particella. Un’onda piana ha quantità di moto esattamente definita e posizione del tutto indeterminata: $|\psi|^2$ è la stessa ovunque, e infatti non si può normalizzare. Una particella localizzata si descrive sovrapponendo onde piane con quantità di moto diverse.

Le relazioni di de Broglie hanno una forma relativistica. La fase dell’onda piana si scrive

\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r - Et}{\hbar} = -\frac{p_\mu x^\mu}{\hbar},

con $p^\mu = (E/c, \mathbf p)$ : è un prodotto scalare di quadrivettori, e quindi ha lo stesso valore per tutti gli osservatori. Il quadrivettore d’onda $k^\mu = (\omega/c, \mathbf k)$ è $p^\mu/\hbar$ , e l’effetto Doppler relativistico dell’articolo sui quadrivettori è la sua trasformazione.

Perché l’equazione di Schrödinger non basta

L’equazione di Schrödinger, pubblicata nel 1926, ha tre limiti che furono chiari da subito. Nasce dalla relazione classica $E = p^2/(2m)$ , e contiene una derivata prima nel tempo e derivate seconde nello spazio: tempo e spazio non vi compaiono in modo simmetrico, e le trasformazioni di Lorentz, che li mescolano, non la lasciano invariata. Descrive un numero fisso di particelle, mentre per l’equivalenza tra massa ed energia le particelle si creano e si distruggono. E non contiene lo spin dell’elettrone, scoperto nel 1925. Pauli lo aggiunse nel 1927 descrivendo l’elettrone con due funzioni d’onda e introducendo le matrici di Pauli

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},

ma lo spin restava un’ipotesi aggiunta dall’esterno, senza spiegazione.

L’equazione di Klein-Gordon

Il tentativo più diretto è ripetere la sostituzione degli operatori nella relazione relativistica $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ . Lo fece Schrödinger stesso nel 1926, e l’equazione prende il nome da Oskar Klein e Walter Gordon, che la pubblicarono nello stesso periodo:

\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \nabla^2\psi + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\,\psi = 0, \qquad \text{cioè} \qquad \left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 .

Proposizione (invarianza e onde piane)

Se $\psi$ è un campo scalare, l’equazione di Klein-Gordon ha la stessa forma in tutti i sistemi inerziali.
L’onda piana $\psi = e^{-ip_\mu x^\mu/\hbar}$ è soluzione se e solo se $p \cdot p = m^2c^2$ , cioè $E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ .

Dimostrazione.

Il dalembertiano è un operatore invariante, per la proposizione sugli operatori covarianti dell’articolo sui quadrivettori, e $m$ , $c$ , $\hbar$ sono costanti uguali per tutti. Se $\psi'(x') = \psi(x)$ , allora $\Box'\psi' = \Box\psi$ e l’equazione in $K'$ coincide con quella in $K$ .
$\partial_\mu\psi = -(i p_\mu/\hbar)\,\psi$ , quindi $\Box\psi = \partial_\mu\partial^\mu\psi = -(p_\mu p^\mu/\hbar^2)\,\psi$ . L’equazione diventa $(-p \cdot p + m^2c^2)\,\psi/\hbar^2 = 0$ , e poiché $\psi$ non si annulla equivale a $p \cdot p = m^2c^2$ , cioè $E^2/c^2 - p^2 = m^2c^2$ .

Fine della dimostrazione.

L’equazione è relativistica, ma contiene la derivata seconda nel tempo, e ammette soluzioni con energia negativa quanto quelle con energia positiva. Non si possono semplicemente scartare: una soluzione generale le contiene entrambe, e togliendo la radice si otterrebbe un’equazione con la radice quadrata di un operatore, non invariante. Il problema più grave però riguarda la probabilità.

Teorema (la densità di Klein-Gordon non è positiva)

Per ogni soluzione dell’equazione di Klein-Gordon il quadrivettore

j^\mu = \frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\,\partial^\mu\psi^*\right)

soddisfa $\partial_\mu j^\mu = 0$ . La densità conservata corrispondente, $\rho = j^0/c$ , per l’onda piana $A\,e^{-ip_\mu x^\mu/\hbar}$ vale $\rho = \dfrac{E}{mc^2}\,|A|^2$ , ed è negativa per le soluzioni con $E < 0$ .

Dimostrazione.

Per la regola del prodotto,

\partial_\mu j^\mu = \frac{i\hbar}{2m}\left(\partial_\mu\psi^*\,\partial^\mu\psi + \psi^*\,\Box\psi - \partial_\mu\psi\,\partial^\mu\psi^* - \psi\,\Box\psi^*\right).

Il primo e il terzo termine sono uguali, perché $\partial_\mu a\,\partial^\mu b = \partial^\mu a\,\partial_\mu b$ per il modo in cui si alzano e abbassano gli indici, e si cancellano. Per l’equazione, $\Box\psi = -(m^2c^2/\hbar^2)\,\psi$ , e poiché il coefficiente è reale anche $\Box\psi^* = -(m^2c^2/\hbar^2)\,\psi^*$ . Allora $\psi^*\Box\psi - \psi\Box\psi^* = -(m^2c^2/\hbar^2)(\psi^*\psi - \psi\psi^*) = 0$ .

Per l’onda piana $\partial^0\psi = \tfrac1c\partial_t\psi = -(iE/\hbar c)\,\psi$ e $\partial^0\psi^* = +(iE/\hbar c)\,\psi^*$ , quindi

\rho = \frac{j^0}{c} = \frac{i\hbar}{2mc}\left(-\frac{iE}{\hbar c} - \frac{iE}{\hbar c}\right)|A|^2 = \frac{E}{mc^2}\,|A|^2 .

Fine della dimostrazione.

Nell’equazione di Schrödinger la densità conservata è $|\psi|^2$ , sempre positiva, e si interpreta come probabilità. In quella di Klein-Gordon la densità conservata contiene le derivate nel tempo, e poiché l’equazione è del secondo ordine $\psi$ e $\partial_t\psi$ si possono assegnare indipendentemente all’istante iniziale: $\rho$ può essere negativa in una regione anche per soluzioni ragionevoli, e non è una probabilità. Per le soluzioni lente, $\psi \approx e^{-imc^2t/\hbar}\varphi$ con $\varphi$ che varia poco, si ha $E \approx mc^2$ e $\rho \approx |\varphi|^2$ , il risultato di Schrödinger. Per queste ragioni l’equazione fu abbandonata come descrizione dell’elettrone. Nel 1934 Pauli e Weisskopf ne diedero un’interpretazione diversa: $j^\mu$ non è una corrente di probabilità ma una corrente di carica, che può avere entrambi i segni, e $\psi$ è il campo di particelle cariche di spin nullo.

L’equazione di Dirac

Dirac, nel 1928, cercò un’equazione del primo ordine nel tempo, come quella di Schrödinger, e quindi del primo ordine anche nello spazio, per trattare le coordinate allo stesso modo. L’idea fu scrivere l’energia come combinazione lineare delle componenti della quantità di moto e dell’energia a riposo,

H = c\,(\alpha_1p_x + \alpha_2p_y + \alpha_3p_z) + \beta\,mc^2,

con coefficienti $\alpha_i$ e $\beta$ da determinare, e chiedere che il suo quadrato sia la relazione energia-impulso.

Teorema (condizioni di Dirac)

Siano $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$ matrici quadrate dello stesso ordine e $p_x, p_y, p_z$ numeri. L’uguaglianza $H^2 = (p^2c^2 + m^2c^4)\,I$ vale per ogni $\mathbf p$ se e solo se

\alpha_i^2 = \beta^2 = I, \qquad \alpha_i\alpha_k + \alpha_k\alpha_i = 0 \ \ (i \neq k), \qquad \alpha_i\beta + \beta\alpha_i = 0 .

Dimostrazione.

Poiché le $p_i$ sono numeri, commutano con le matrici. Sviluppando il quadrato senza supporre che le matrici commutino tra loro,

H^2 = c^2\sum_i \alpha_i^2\,p_i^2 + c^2\sum_{i<k}\left(\alpha_i\alpha_k + \alpha_k\alpha_i\right)p_ip_k + mc^3\sum_i\left(\alpha_i\beta + \beta\alpha_i\right)p_i + \beta^2\,m^2c^4 .

Se valgono le condizioni, restano $c^2\sum_i p_i^2\,I + m^2c^4\,I$ . Viceversa, se $H^2 = (p^2c^2 + m^2c^4)\,I$ per ogni $\mathbf p$ : con $\mathbf p = 0$ si ha $\beta^2 = I$ ; con $\mathbf p = (\lambda, 0, 0)$ l’uguaglianza diventa $c^2\lambda^2(\alpha_1^2 - I) + mc^3\lambda(\alpha_1\beta + \beta\alpha_1) = 0$ per ogni $\lambda$ , e un polinomio in $\lambda$ identicamente nullo ha coefficienti nulli, quindi $\alpha_1^2 = I$ e $\alpha_1\beta + \beta\alpha_1 = 0$ , e lo stesso per le altre componenti; con $\mathbf p = (\lambda, \lambda, 0)$ , usando quanto già trovato, resta $c^2\lambda^2(\alpha_1\alpha_2 + \alpha_2\alpha_1) = 0$ , e così per le altre coppie.

Fine della dimostrazione.

Nessun numero soddisfa le condizioni: due numeri $a, b$ con $ab + ba = 2ab = 0$ non possono avere entrambi quadrato $1$ . Dirac capì che $\alpha_i$ e $\beta$ dovevano essere matrici, e il teorema seguente dice di quale ordine.

Teorema (le matrici di Dirac sono almeno 4 × 4)

Quattro matrici $n \times n$ che soddisfano le condizioni di Dirac hanno traccia nulla, $n$ è pari e $n \ge 4$ .

Dimostrazione.

Traccia nulla. Da $\alpha_i\beta = -\beta\alpha_i$ e $\beta^2 = I$ si ha $\alpha_i = -\beta\alpha_i\beta$ . Poiché la traccia di un prodotto non cambia permutando ciclicamente i fattori, $\operatorname{tr}\alpha_i = -\operatorname{tr}(\beta\alpha_i\beta) = -\operatorname{tr}(\alpha_i\beta^2) = -\operatorname{tr}\alpha_i$ , quindi $\operatorname{tr}\alpha_i = 0$ . Scambiando i ruoli, usando $\alpha_1^2 = I$ , anche $\operatorname{tr}\beta = 0$ .

$n$ pari. Una matrice $M$ con $M^2 = I$ annulla il polinomio $x^2 - 1$ , che ha radici distinte, quindi è diagonalizzabile con autovalori $\pm 1$ . La traccia è la somma degli autovalori; se è nulla, $+1$ e $-1$ compaiono lo stesso numero di volte, e $n$ è pari.

$n \ge 4$ . Le quattro matrici sono linearmente indipendenti. Indicandole con $M_1, \dots, M_4$ , le condizioni dicono che $M_aM_b + M_bM_a = 2\delta_{ab}\,I$ . Se $\sum_a c_aM_a = 0$ con coefficienti complessi, moltiplicando a destra e a sinistra per $M_b$ e sommando si ottiene $\sum_a c_a(M_aM_b + M_bM_a) = 2c_b\,I = 0$ , quindi ogni $c_b$ è nullo. Ma le matrici $2 \times 2$ a traccia nulla formano uno spazio di dimensione $3$ , generato per esempio dalle matrici di Pauli, e non contengono quattro matrici indipendenti. Quindi $n \neq 2$ , ed essendo pari $n \ge 4$ .

Fine della dimostrazione.

Proposizione (una scelta delle matrici)

Le matrici, scritte a blocchi $2 \times 2$ ,

\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},

con $\sigma_1 = \sigma_x$ , $\sigma_2 = \sigma_y$ , $\sigma_3 = \sigma_z$ , soddisfano le condizioni di Dirac.

Dimostrazione.

Le matrici di Pauli hanno quadrato $I$ e anticommutano a due a due. Moltiplicando righe per colonne, $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = I$ , e

\sigma_x\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = i\sigma_z, \qquad \sigma_y\sigma_x = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} = -i\sigma_z ;

allo stesso modo $\sigma_y\sigma_z = i\sigma_x = -\sigma_z\sigma_y$ e $\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y = -\sigma_x\sigma_z$ . In breve $\sigma_i\sigma_k + \sigma_k\sigma_i = 2\delta_{ik}\,I$ .

Con il prodotto a blocchi, $\alpha_i\alpha_k = \begin{pmatrix} \sigma_i\sigma_k & 0 \\ 0 & \sigma_i\sigma_k \end{pmatrix}$ , quindi $\alpha_i\alpha_k + \alpha_k\alpha_i$ ha sulla diagonale $\sigma_i\sigma_k + \sigma_k\sigma_i = 2\delta_{ik}\,I$ . Poi $\alpha_i\beta = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}$ e $\beta\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix}$ , la cui somma è nulla. Infine $\beta^2 = I$ .

Fine della dimostrazione.

Con queste matrici la funzione d’onda ha quattro componenti, uno spinore di Dirac, e l’equazione di Dirac per la particella libera è

i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left(-i\hbar c\,\boldsymbol\alpha\cdot\nabla + \beta\,mc^2\right)\psi .

Moltiplicandola a sinistra per $\beta/c$ e ponendo $\gamma^0 = \beta$ e $\gamma^i = \beta\alpha_i$ , con $\beta^2 = I$ , si ottiene la forma in cui è di solito scritta,

\left(i\hbar\,\gamma^\mu\partial_\mu - mc\right)\psi = 0,

che nelle unità naturali, con $\hbar = c = 1$ , diventa $(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\,\psi = 0$ . Le matrici $\gamma^\mu$ sono fisse e non si trasformano come un quadrivettore: la covarianza dell’equazione si ottiene assegnando allo spinore $\psi$ una sua legge di trasformazione, diversa da quella dei quadrivettori.

Proposizione (energie dell'equazione di Dirac)

Ogni componente di una soluzione dell’equazione di Dirac è soluzione dell’equazione di Klein-Gordon.
Per ogni $\mathbf p$ fissato, la matrice $H(\mathbf p) = c\,\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf p + \beta\,mc^2$ ha autovalori $+E_p$ e $-E_p$ , con $E_p = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ , ciascuno con molteplicità due.

Dimostrazione.

Indicando con $H$ l’operatore $-i\hbar c\,\boldsymbol\alpha\cdot\nabla + \beta mc^2$ , l’equazione è $i\hbar\,\partial_t\psi = H\psi$ . Applicandola due volte, poiché $H$ non dipende dal tempo, $-\hbar^2\partial_t^2\psi = H^2\psi$ . Le derivate spaziali commutano tra loro come i numeri $p_i$ , quindi il teorema sulle condizioni di Dirac vale anche con $\mathbf p = -i\hbar\nabla$ , e $H^2 = (-\hbar^2c^2\nabla^2 + m^2c^4)\,I$ . Si ottiene $-\hbar^2\partial_t^2\psi = -\hbar^2c^2\nabla^2\psi + m^2c^4\psi$ , che è l’equazione di Klein-Gordon per ciascuna componente.
Le matrici di Pauli sono hermitiane, cioè uguali alla loro trasposta coniugata, e quindi lo sono $\alpha_i$ , $\beta$ e $H(\mathbf p)$ . Una matrice hermitiana è diagonalizzabile con autovalori reali. Poiché $H(\mathbf p)^2 = E_p^2\,I$ , ogni autovalore $\lambda$ soddisfa $\lambda^2 = E_p^2$ , cioè $\lambda = \pm E_p$ . Per il teorema precedente $\operatorname{tr}H(\mathbf p) = c\sum_i p_i\operatorname{tr}\alpha_i + mc^2\operatorname{tr}\beta = 0$ , e la traccia è la somma dei quattro autovalori: $+E_p$ e $-E_p$ compaiono due volte ciascuno.

Fine della dimostrazione.

Per una particella ferma $H = \beta mc^2$ , e i quattro stati sono i vettori della base: due con energia $+mc^2$ e due con energia $-mc^2$ . Due stati con la stessa energia positiva sono gli stati dell’elettrone con le due orientazioni dello spin. Lo spin non è stato inserito a mano: le matrici di Pauli, che Pauli aveva introdotto per descriverlo, compaiono da sole dentro le $\alpha_i$ . Si dimostra inoltre che, per velocità piccole rispetto a $c$ e in presenza di un campo elettromagnetico, l’equazione di Dirac si riduce a quella di Pauli, e fornisce il valore corretto del momento magnetico dell’elettrone.

Restano le energie negative. Dirac propose nel 1930 che tutti gli stati a energia negativa fossero già occupati da elettroni, un «mare» invisibile in cui, per il principio di esclusione di Pauli, nessun altro elettrone può cadere. Un elettrone del mare che riceve abbastanza energia sale a energia positiva e lascia una lacuna, che si comporta come una particella con la massa dell’elettrone e carica opposta. Nel 1932 Carl Anderson osservò il positrone nei raggi cosmici.

Dai campi alle particelle

L’equazione di Dirac descrive benissimo un elettrone, spin compreso. Ma, come quella di Schrödinger, tratta un numero fisso di particelle, mentre un elettrone e un positrone possono annichilarsi in fotoni e un fotone vicino a un nucleo può creare una coppia. Il mare di Dirac, pieno di infinite cariche negative, è poi un’immagine difficile da prendere alla lettera.

La soluzione è la teoria quantistica dei campi. Già il campo elettromagnetico aveva mostrato la strada: nel 1900 Planck, per ottenere la formula della radiazione di corpo nero, dovette assumere che l’energia degli oscillatori del campo fosse scambiata a pacchetti $\hbar\omega$ , e nel 1905 Einstein prese sul serio l’ipotesi per spiegare l’effetto fotoelettrico. I fotoni sono i quanti del campo elettromagnetico, con $E = \hbar\omega$ e $\mathbf p = \hbar\mathbf k$ . La teoria quantistica dei campi estende l’idea a tutte le particelle elementari: l’elettrone è il quanto di un campo elettronico presente in tutto l’universo, e così ogni quark e ogni neutrino. Due fatti che la meccanica quantistica di una particella non spiega diventano naturali: tutti gli elettroni sono identici, perché sono eccitazioni dello stesso campo, e le particelle si creano e si distruggono, perché le eccitazioni di un campo possono nascere e sparire.

Le equazioni di questo articolo sopravvivono come equazioni dei campi. L’equazione di Klein-Gordon descrive i campi di spin zero, e l’unica particella elementare di questo tipo nota è il bosone di Higgs. L’equazione di Dirac descrive i campi di spin un mezzo, come l’elettrone e i quark. I campi di spin uno senza massa sono descritti dalle equazioni di Maxwell, per il fotone, e dalla loro generalizzazione, la teoria di Yang e Mills, per i gluoni dell’interazione forte. I campi di spin uno con massa, come quelli dei bosoni $W$ e $Z$ dell’interazione debole, dall’equazione di Proca, che per massa nulla si riduce a quelle di Maxwell.

Resta la domanda sull’origine della massa. Nella relazione energia-impulso la massa è l’energia che resta per quantità di moto nulla: la curva $E(p)$ di una particella con massa non passa per l’origine. Qualcosa di simile succede in una catena di atomi di due tipi alternati: le sue vibrazioni hanno un ramo «acustico», con frequenza che si annulla per lunghezze d’onda grandi, e un ramo «ottico», con una frequenza minima diversa da zero, nato dall’interazione tra i due sottoinsiemi di atomi. Nel modello standard le particelle elementari acquistano la massa, allo stesso modo, interagendo con un altro campo, il campo di Higgs; per protoni e neutroni invece quasi tutta la massa viene dall’energia dei quark e dell’interazione forte, come si è visto nell’articolo sull’energia relativistica. La gravità resta fuori dal modello standard: è descritta dalla relatività generale, che finora nessuno è riuscito a unire alla meccanica quantistica.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un elettrone libero ha quantità di moto $p = 1{,}00$ MeV/ $c$ . Calcola le energie delle due onde piane di Klein-Gordon corrispondenti, la loro pulsazione e la lunghezza d’onda di de Broglie. Usa $m_ec^2 = 0{,}511$ MeV, $\hbar = 6{,}582 \times 10^{-22}$ MeV·s e $hc = 1239{,}8$ MeV·fm.

$E = \pm\sqrt{1{,}00^2 + 0{,}511^2}$ MeV $= \pm 1{,}123$ MeV. La pulsazione è $|E|/\hbar = 1{,}123/(6{,}582 \times 10^{-22})$ s $^{-1}$ $\approx 1{,}71 \times 10^{21}$ s $^{-1}$ . La lunghezza d’onda è $\lambda = h/p = hc/(pc) = 1239{,}8$ fm $\approx 1{,}24$ pm.

Commento: la lunghezza d’onda è circa la metà della lunghezza d’onda Compton dell’elettrone, $2{,}43$ pm, e l’energia cinetica, $0{,}61$ MeV, è più grande dell’energia a riposo: siamo nel regime in cui effetti quantistici e relativistici contano insieme, e un elettrone confinato su distanze di questo ordine potrebbe creare coppie. L’onda a energia negativa ha la stessa lunghezza d’onda e la stessa pulsazione: si distingue solo per il verso in cui ruota la fase nel tempo.

Esercizio 2. Per quale velocità la lunghezza d’onda di de Broglie di una particella è uguale alla sua lunghezza d’onda Compton? Quanto vale l’energia cinetica corrispondente per un elettrone?

$h/p = h/(mc)$ richiede $p = mc$ , cioè $\gamma\beta = 1$ . Da $\gamma^2\beta^2 = \beta^2/(1 - \beta^2) = 1$ si ha $\beta^2 = 1/2$ , $\beta = 1/\sqrt2 \approx 0{,}707$ e $\gamma = \sqrt2$ . L’energia cinetica è $(\gamma - 1)\,mc^2 = (\sqrt2 - 1) \cdot 0{,}511$ MeV $\approx 0{,}212$ MeV.

Commento: la condizione $p = mc$ è il confine naturale tra il regime non relativistico, $p \ll mc$ , e quello ultrarelativistico, $p \gg mc$ . Non a caso è anche il punto in cui i due termini della relazione energia-impulso, $p^2c^2$ e $m^2c^4$ , sono uguali.

Esercizio 3. Verifica direttamente che $\sigma_x$ e $\sigma_z$ anticommutano e che $\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y$ .

\sigma_z\sigma_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_x\sigma_z = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

La somma è nulla. E $i\sigma_y = i\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \sigma_z\sigma_x$ .

Commento: l’ordine dei fattori conta, e scambiandolo cambia il segno. Le relazioni $\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z$ con permutazioni cicliche di $x$ , $y$ , $z$ sono le stesse del prodotto vettoriale, e non per caso: le matrici di Pauli divise per due sono gli operatori di spin, e soddisfano le stesse regole di commutazione dei momenti angolari.

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