Segnali e rumore

Che cosa si può sapere del rumore

Un segnale è una grandezza che varia nel tempo e porta un’informazione: la tensione di un sensore, la corrente di un fotodiodo. Tutto quello che vi si sovrappone in modo imprevedibile è rumore. Il rumore non si può prevedere istante per istante, ma si possono prevedere le sue proprietà statistiche: quanto è grande in media, quanto velocemente cambia, come si distribuisce tra le frequenze. Queste proprietà sono quelle che servono per progettare un circuito che lo riduca senza distruggere il segnale.

Il linguaggio per farlo mette insieme due strumenti: la trasformata di Fourier, che descrive un segnale in frequenza, e la teoria dei processi casuali, che descrive una grandezza aleatoria nel tempo. Il punto d’incontro è la densità spettrale di potenza, e il teorema di Wiener e Khinchin, che la lega all’autocorrelazione.

La trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier di un segnale $x(t)$ e la sua inversa sono

$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,e^{-j2\pi ft}\,dt , \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\,e^{j2\pi ft}\,df .$$

Per i segnali che hanno sia la trasformata di Laplace sia quella di Fourier, la seconda è la prima calcolata in $s = j2\pi f$, la stessa sostituzione dei diagrammi di Bode. Scritta con la frequenza $f$ invece della pulsazione $\omega$, la coppia è simmetrica, senza fattori $2\pi$.

Un impulso rettangolare alto $1$ e lungo $T$, centrato nell’origine, ha trasformata $\int_{-T/2}^{T/2}e^{-j2\pi ft}\,dt = \sin(\pi fT)/\pi f = T\,\text{sinc}(fT)$, con $\text{sinc}(u) = \sin(\pi u)/\pi u$. Dimezzando la durata la trasformata si allarga del doppio. È un fatto generale, che la prima proprietà rende quantitativo: se si chiamano durata equivalente $T = \int x\,dt/x(0)$ e banda equivalente $B = \int X\,df/X(0)$, allora $X(0) = x(0)T$ e $x(0) = X(0)B$, e quindi

$$TB = 1 .$$

Un segnale che dura un millisecondo occupa una banda di circa un kilohertz: per seguirlo, un amplificatore deve avere almeno quella banda.

Correlazione ed energia

Un segnale con $\int x^2(t)\,dt$ finito si chiama segnale di energia, e l’integrale è la sua energia $E$: un’energia in senso lato, perché per ottenere joule servirebbe una resistenza. Per due segnali di energia reali la correlazione mutua e l’autocorrelazione sono

$$k_{xy}(\tau) = \int x(t)\,y(t + \tau)\,dt , \qquad k_{xx}(\tau) = \int x(t)\,x(t + \tau)\,dt .$$

La correlazione mutua misura quanto due segnali si somigliano quando uno è spostato di $\tau$ rispetto all’altro; l’autocorrelazione quanto un segnale somiglia a sé stesso spostato, cioè quanto il suo valore in un istante permette di prevedere quello un po’ dopo.

L’autocorrelazione dell’impulso rettangolare alto $A$ e lungo $T$ è il triangolo $A^2(T - |\tau|)$, per $|\tau| < T$: l’area della sovrapposizione tra l’impulso e la sua copia spostata. La sua trasformata è $A^2T^2\,\text{sinc}^2(fT)$, il quadrato della trasformata dell’impulso, come dice la proposizione.

Una sinusoide, o il rumore di un amplificatore acceso da un’ora, non ha energia finita: è un segnale di potenza. Si tronca il segnale all’intervallo $[-T, T]$, se ne calcola la trasformata $X_T(f)$, e si divide per la durata prima di far tendere $T$ all’infinito. L’autocorrelazione diventa

$$K_{xx}(\tau) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)\,x(t + \tau)\,dt ,$$

la potenza è $P = K_{xx}(0)$, la media di $x^2$, e il ruolo di $|X|^2$ lo prende la densità spettrale di potenza $S(f) = \lim_{T\to\infty}|X_T(f)|^2/2T$, con $P = \int S(f)\,df$. Per una sinusoide $B\cos(2\pi f_rt)$ l’autocorrelazione è $(B^2/2)\cos(2\pi f_r\tau)$, e la densità spettrale è fatta di due impulsi, $(B^2/4)[\delta(f - f_r) + \delta(f + f_r)]$: la potenza $B^2/2$ è tutta concentrata alla frequenza della sinusoide.

Processi casuali

Il rumore di un amplificatore non è un segnale preciso, ma uno tra i tanti che lo stesso amplificatore avrebbe potuto produrre. Lo si descrive come un processo casuale: una famiglia di funzioni del tempo, le realizzazioni, con una distribuzione di probabilità. A un istante fissato $t$ il processo è una variabile aleatoria, con densità di probabilità $p(x; t)$; fissata la realizzazione, è una funzione del tempo come le altre. Le grandezze che lo caratterizzano sono le medie sull’insieme delle realizzazioni:

$$\begin{gathered} \bar x(t) = \int x\,p(x; t)\,dx , \qquad \sigma_x^2(t) = \overline{x^2}(t) - \bar x^2(t) , \\[0.5em] R_{xx}(t_1, t_2) = \overline{x(t_1)\,x(t_2)} , \end{gathered}$$

la media, la varianza e l’autocorrelazione, dove la barra indica la media sull’insieme, calcolata con la densità di probabilità congiunta dei valori ai due istanti.

Un processo è stazionario se le sue proprietà statistiche non cambiano spostando l’origine dei tempi: la densità $p(x; t)$ non dipende da $t$, e quella congiunta di due istanti dipende solo dalla loro distanza $\tau = t_2 - t_1$. La media e la varianza sono costanti, e l’autocorrelazione è una funzione del solo ritardo, $R_{xx}(\tau)$, con $R_{xx}(0) = \overline{x^2}$. Qui si considerano processi a media nulla, per cui $R_{xx}(0) = \sigma_x^2$.

In laboratorio, però, si ha quasi sempre un solo amplificatore, e le medie si fanno nel tempo. Un processo è ergodico se le medie temporali di una realizzazione coincidono con le medie sull’insieme: $\langle x\rangle = \bar x$ e $K_{xx}(\tau) = R_{xx}(\tau)$. Un processo ergodico è stazionario; il contrario non vale. Il processo $x(t) = A$, con $A$ un numero casuale scelto una volta per tutte, è stazionario, perché nessun istante è diverso dagli altri, ma la media temporale di ogni realizzazione è il suo valore di $A$, non la media di $A$ sull’insieme. I rumori elettronici di un circuito in condizioni stabili sono considerati ergodici, e le loro proprietà si misurano su un solo esemplare.

Molti rumori nascono dalla somma di un gran numero di contributi indipendenti, gli urti di moltissimi elettroni o i passaggi di moltissime cariche. Per il teorema del limite centrale la loro distribuzione è gaussiana, con densità $e^{-x^2/2\sigma^2}/\sqrt{2\pi}\sigma$: il valore sta entro $\pm\sigma$ il 68% del tempo, entro $\pm3\sigma$ il 99,7%. Per questo il valore da picco a picco di un rumore visto su un oscilloscopio è circa sei volte il suo valore efficace $\sigma$.

La densità spettrale di potenza

Ogni realizzazione di un processo stazionario è un segnale di potenza, con la sua densità spettrale, che però cambia da una realizzazione all’altra. La densità spettrale di potenza del processo è la sua media sull’insieme:

$$S(f) = \lim_{T\to\infty}\frac{\overline{|X_T(f)|^2}}{2T} .$$

Dal teorema seguono le proprietà che si usano sempre. $S(f)$ è reale e pari, perché lo è l’autocorrelazione, e non negativa, perché è il limite di quantità non negative. La varianza del rumore è l’area della densità spettrale, $\sigma^2 = R_{xx}(0) = \int S(f)\,df$. Nei circuiti interessano solo le frequenze positive, e si usa la densità spettrale unilatera $S_u(f) = 2S(f)$ per $f \ge 0$, con la stessa area: da qui in avanti, salvo avviso, le densità spettrali sono unilatere. Una tensione di rumore ha densità in V²/Hz, e la sua radice, in V/√Hz, è la grandezza che si trova nei datasheet: un operazionale con $10$ nV/√Hz, in una banda piatta di $10$ kHz, ha un rumore efficace di $10\ \text{nV}\cdot\sqrt{10^4} = 1$ μV.

La non negatività ha una conseguenza curiosa: non ogni funzione pari può essere un’autocorrelazione. Un rettangolo, per esempio, no, perché la sua trasformata è un seno cardinale, che ha lobi negativi.

È la regola con cui si combinano i rumori: due sorgenti indipendenti da $3$ e $4$ μV efficaci danno $5$ μV, non $7$. Ed è la ragione, vista nell’introduzione, per cui la media di $N$ misure riduce il rumore di $\sqrt N$: a patto che le misure siano davvero incorrelate, cioè più distanti nel tempo di quanto dura l’autocorrelazione del rumore.

Il rumore bianco

Un rumore la cui autocorrelazione è un impulso,

$$R_{nn}(\tau) = \lambda\,\delta(\tau) ,$$

si chiama rumore bianco: il valore in un istante non dice nulla di quello in qualsiasi altro istante, e per il teorema di Wiener e Khinchin la densità spettrale bilatera è costante, $S(f) = \lambda$, come la luce bianca contiene tutti i colori. La sua varianza, l’area di una costante su tutte le frequenze, è infinita: nessun rumore fisico è bianco. I rumori reali hanno autocorrelazione nulla solo oltre un certo tempo di correlazione $\tau_0$, e per il legame tra durata e banda la loro densità spettrale è costante fino a frequenze dell’ordine di $1/\tau_0$. Per i circuiti che lavorano a frequenze molto più basse sono bianchi, e il modello funziona.

Per esempio, con l’autocorrelazione triangolare $R(\tau) = \overline{n^2}(1 - |\tau|/\tau_0)$, la densità spettrale bilatera è $\overline{n^2}\tau_0\,\text{sinc}^2(f\tau_0)$, come per il triangolo dell’impulso rettangolare. Il suo valore a frequenza zero, per l’area totale, dà la varianza: una densità costante $S(0)$ fino alla frequenza $f_n$, bilatera tra $-f_n$ e $f_n$, ha la stessa area se $2f_nS(0) = \overline{n^2}$, cioè

$$f_n = \frac{1}{2\tau_0} .$$

È la banda equivalente di rumore, un’idea che tornerà per i filtri.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un impulso rettangolare di ampiezza $1$ V e durata $T = 1$ ms: quanto vale la sua energia? Che frazione dell’energia cade tra $-1/T$ e $1/T$?

Soluzione. L’energia è $\int x^2\,dt = 1\ \text{V}^2\cdot1\ \text{ms} = 10^{-3}$ V²·s. La densità spettrale di energia è $T^2\text{sinc}^2(fT)$, e la frazione cercata è $\int_{-1/T}^{1/T}T^2\text{sinc}^2(fT)\,df/T = \int_{-1}^{1}\text{sinc}^2(u)\,du$, che calcolata numericamente vale $0{,}903$: il 90% dell’energia sta nel lobo centrale, largo $\pm1$ kHz.

Commento. Un amplificatore con $1$ kHz di banda trasmette il 90% dell’energia dell’impulso, e ne arrotonda i fronti. Per conservare la forma dei fronti servono bande dieci volte maggiori; per misurare solo l’area dell’impulso bastano bande minori.

Esercizio 2. Il processo $x(t) = B\cos(2\pi f_rt + \varphi)$ ha fase $\varphi$ distribuita uniformemente tra $-\pi$ e $\pi$. Calcolare media, autocorrelazione e densità spettrale. È ergodico nella media?

Soluzione. La media sull’insieme è $\int_{-\pi}^{\pi}B\cos(2\pi f_rt + \varphi)\,d\varphi/2\pi = 0$. L’autocorrelazione è $\overline{B^2\cos(\alpha)\cos(\alpha + 2\pi f_r\tau)}$ con $\alpha = 2\pi f_rt + \varphi$; con $\cos a\cos b = [\cos(a - b) + \cos(a + b)]/2$ il secondo termine ha media nulla, e resta $(B^2/2)\cos(2\pi f_r\tau)$, che non dipende da $t$: il processo è stazionario. La densità spettrale bilatera è $(B^2/4)[\delta(f - f_r) + \delta(f + f_r)]$, e quella unilatera un solo impulso di area $B^2/2$ a $f_r$. La media temporale di ogni realizzazione è zero, come quella d’insieme.

Commento. È il modello di un disturbo sinusoidale di fase ignota, come la tensione di rete che si accoppia a un circuito. La sua potenza non si distribuisce in frequenza: un filtro stretto intorno a $f_r$ la cattura tutta, uno che la esclude la toglie tutta.

Esercizio 3. Un operazionale ha un rumore di tensione di $10$ nV/√Hz e la sorgente all’ingresso ne aggiunge $20$ nV/√Hz, indipendenti e bianchi. Quanto vale il rumore totale in una banda di $10$ kHz? Quale ampiezza da picco a picco ci si aspetta sull’oscilloscopio?

Soluzione. Le densità di potenza si sommano: $10^2 + 20^2 = 500$ nV²/Hz, cioè $22{,}4$ nV/√Hz. In $10$ kHz il rumore efficace è $22{,}4\ \text{nV}\cdot100 = 2{,}24$ μV. Se è gaussiano, l’ampiezza da picco a picco che si vede quasi sempre è circa $6\sigma$, $13$ μV.

Commento. Il contributo più grande domina: dimezzare il rumore dell’operazionale porterebbe il totale da $22{,}4$ a $20{,}6$ nV/√Hz, un miglioramento dell’8%. Prima di cercare l’amplificatore più silenzioso conviene sapere quanto rumore porta la sorgente.

Esercizio 4. Un rumore stazionario ha autocorrelazione $R(\tau) = \sigma^2e^{-|\tau|/\tau_c}$. Trovare la densità spettrale unilatera e la banda equivalente $f_n$ per cui $S_u(0)f_n = \sigma^2$.

Soluzione. La densità bilatera è

$$\begin{aligned} S(f) &= \sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|\tau|/\tau_c}\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau = 2\sigma^2\,\text{Re}\int_0^{\infty}e^{-\tau(1/\tau_c + j2\pi f)}\,d\tau \\[0.5em] &= \frac{2\sigma^2\tau_c}{1 + (2\pi f\tau_c)^2} , \end{aligned}$$

e quella unilatera il doppio, $4\sigma^2\tau_c/[1 + (2\pi f\tau_c)^2]$. Con $S_u(0) = 4\sigma^2\tau_c$, la banda equivalente è $f_n = 1/4\tau_c$.

Commento. È lo spettro di un rumore bianco passato attraverso un filtro RC con $\tau_c = RC$: piatto fino a $1/2\pi RC$, poi in calo di $20$ dB per decade. La banda equivalente, $1/4RC$, è più grande della banda a $-3$ dB, $1/2\pi RC$, di un fattore $\pi/2$. Il prossimo articolo userà questo risultato per il rumore termico.

Esercizio 5. Un sistema misura una tensione ogni millisecondo, con un rumore di $1$ mV efficace. Quante misure servono per ridurre il rumore della media a $10$ μV, e quanto tempo? E se il rumore ha tempo di correlazione di $10$ ms?

Soluzione. Con misure incorrelate, $\sigma/\sqrt N = 10$ μV richiede $N = 10^4$ misure, $10$ s. Se il tempo di correlazione è $10$ ms, misure a un millisecondo di distanza sono quasi uguali tra loro, e contano come una sola misura ogni qualche decina di millisecondi: per avere $10^4$ misure indipendenti servono alcuni minuti.

Commento. Mediare campioni troppo fitti non riduce il rumore, perché il rumore non ha avuto il tempo di cambiare. Il modo giusto di contare è in frequenza: la media su un tempo $T$ è un filtro, e ciò che conta è quanta densità spettrale del rumore cade nella sua banda. È il tema degli articoli sul recupero dei segnali.