Quadrivettori e tensore metrico

Perché i vettori ordinari non bastano

In meccanica classica spostamento, velocità, accelerazione, quantità di moto e forza cambiano tutti allo stesso modo quando si ruota il sistema di riferimento, e cambiano poco o niente quando si passa a un sistema in moto uniforme. Per questo sono vettori, e le leggi scritte con loro, come $\mathbf F = m\mathbf a$, hanno la stessa forma per tutti gli osservatori.

In relatività questa proprietà si perde. Le coordinate spaziali si trasformano con Lorentz mescolandosi con il tempo, la velocità si trasforma con la composizione relativistica, la forza con una legge ancora diversa, e il campo magnetico compare per alcuni osservatori e non per altri. I vettori a tre componenti non portano con sé la simmetria dello spaziotempo, che è l’invarianza dell’intervallo. Servono oggetti a quattro componenti che si trasformino tutti come le coordinate $(ct, x, y, z)$: i quadrivettori. Questo articolo li costruisce e riscrive con loro la dinamica degli articoli precedenti.

Notazione e trasformazioni di Lorentz

Le coordinate di un evento si scrivono $x^\mu$, con l’indice greco $\mu$ che va da $0$ a $3$: $x^0 = ct$, $x^1 = x$, $x^2 = y$, $x^3 = z$. Gli indici latini $i, j, k$ vanno da $1$ a $3$ e indicano solo le coordinate spaziali. Si adotta la convenzione di Einstein: quando in un prodotto uno stesso indice compare due volte, una in alto e una in basso, è sottintesa la somma su tutti i suoi valori. Per esempio $a_\mu b^\mu$ vuol dire $a_0b^0 + a_1b^1 + a_2b^2 + a_3b^3$.

Il tensore metrico di Minkowski è la matrice

$$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},$$

e con esso l’intervallo tra due eventi vicini si scrive $ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu$. La matrice inversa si indica con $g^{\mu\nu}$, e qui ha gli stessi elementi: $g^{\mu\nu}g_{\nu\rho} = \delta^\mu_\rho$, dove $\delta^\mu_\rho$ vale $1$ per $\mu = \rho$ e $0$ altrimenti.

La condizione è la stessa che nell’articolo sulla relatività di Galileo definiva le rotazioni, $R^{\mathsf T}R = I$, con $g$ al posto della matrice identità. Le rotazioni degli assi spaziali sono trasformazioni di Lorentz, e lo sono le trasformazioni di Lorentz lungo $x$ ricavate in un articolo precedente.

Quadrivettori e prodotto scalare

La componente $A^0$ è la componente temporale, le altre tre formano un vettore ordinario $\mathbf A$, e si scrive $A^\mu = (A^0, \mathbf A)$, $A_\mu = (A^0, -\mathbf A)$. Per una rotazione degli assi spaziali $A^0$ non cambia e $\mathbf A$ ruota come un vettore ordinario. Con $g^{\mu\nu}$ si torna dalle componenti covarianti alle controvarianti: $A^\mu = g^{\mu\nu}A_\nu$.

Una grandezza con lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali si chiama scalare di Lorentz, o quadriscalare. L’intervallo è il quadrato del quadrivettore spostamento, e il teorema lo contiene come caso particolare. Come per gli intervalli, un quadrivettore $A$ si dice di tipo tempo, luce o spazio secondo il segno di $A \cdot A$, e il tipo non dipende dall’osservatore.

Per la trasformazione lungo $x$ le componenti controvarianti cambiano come $ct$ e $x$,

$$A'^0 = \gamma\,(A^0 - \beta A^1), \qquad A'^1 = \gamma\,(A^1 - \beta A^0), \qquad A'^2 = A^2, \qquad A'^3 = A^3,$$

mentre in quelle covarianti $-\beta$ diventa $+\beta$, perché l’inversa si ottiene cambiando segno alla velocità.

Il tensore metrico merita il suo nome: è un tensore, e ha le stesse componenti in tutti i sistemi inerziali. Le componenti covarianti di un tensore si trasformano, per la proposizione precedente applicata a ciascun indice, come $T'_{\mu\nu} = (\Lambda^{-1})^\rho{}_\mu(\Lambda^{-1})^\sigma{}_\nu T_{\rho\sigma}$. Moltiplicando $\Lambda^{\mathsf T} g\,\Lambda = g$ a sinistra per $(\Lambda^{-1})^{\mathsf T}$ e a destra per $\Lambda^{-1}$ si ha $g = (\Lambda^{-1})^{\mathsf T} g\,\Lambda^{-1}$, che in componenti è proprio $g_{\mu\nu} = (\Lambda^{-1})^\rho{}_\mu(\Lambda^{-1})^\sigma{}_\nu\,g_{\rho\sigma}$. In relatività generale i suoi elementi dipenderanno dal punto, e da lì verrà la curvatura.

Quadrivelocità e quadriaccelerazione

In meccanica classica il moto è $\mathbf r(t)$, e il tempo $t$ è lo stesso per tutti. In relatività il tempo di un osservatore non va bene come parametro della linea di universo, ma il cammino proprio $s$ lungo la linea, con $ds = c\,d\tau$, è uno scalare di Lorentz: la linea di universo si scrive $x^\mu(s)$.

Sono quadrivettori: $dx^\mu$ lo è, e dividerlo o derivarlo rispetto a uno scalare non cambia la legge di trasformazione, perché $\Lambda$ è costante. Con questa definizione $u^\mu$ è adimensionale; alcuni testi derivano rispetto a $\tau$, e ottengono una quadrivelocità $c$ volte più grande.

Il quadrato della quadrivelocità è lo stesso per ogni particella e in ogni istante, anche per una particella ferma, che «avanza nel tempo» con $u^\mu = (1, 0, 0, 0)$. Le quattro componenti non sono indipendenti: ne bastano tre. E la quadriaccelerazione è sempre ortogonale alla quadrivelocità, nel senso del prodotto scalare di Minkowski. Nel sistema in cui la particella è istantaneamente ferma $u^\mu = (1, \mathbf 0)$, e l’ortogonalità dice che lì $w^0 = 0$: la quadriaccelerazione ha solo componenti spaziali, che valgono $\mathbf a/c^2$, con $\mathbf a$ l’accelerazione misurata in quel sistema. Il numero $-c^4\,w \cdot w$ è quindi il quadrato di quella accelerazione, detta accelerazione propria.

Il quadrimpulso

Uguagliando $p \cdot p = E^2/c^2 - |\mathbf p|^2$ a $m^2c^2$ si ritrova la relazione energia-impulso $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$, qui come conseguenza del fatto che il quadrato di un quadrivettore è invariante. La massa è il «modulo» del quadrimpulso, lo stesso per tutti; energia e quantità di moto sono le sue componenti, che cambiano da un osservatore all’altro.

Per una particella senza massa la definizione $mc\,u^\mu$ non si può usare, perché la sua linea di universo ha $ds = 0$. Il quadrimpulso si definisce direttamente con le sue componenti, $p^\mu = (E/c, \mathbf p)$ con $E = |\mathbf p|c$: è un quadrivettore di tipo luce, con $p \cdot p = 0$. Che si trasformi davvero come un quadrivettore è un fatto dell’elettromagnetismo, e da lì viene l’effetto Doppler relativistico dell’esercizio 2.

La quadriforza

L’equazione $F^\mu = dp^\mu/ds$, detta equazione di Minkowski, ha la stessa forma in tutti i sistemi inerziali: è il secondo principio della dinamica in forma covariante.

La legge di trasformazione della forza ordinaria, complicata se ricavata direttamente, si ottiene ora trasformando $F^\mu$ come un quadrivettore e dividendo per il fattore $\gamma/c$ del nuovo sistema. Resta però il problema segnalato nell’articolo precedente: le forze della meccanica classica presuppongono interazioni istantanee, e una quadriforza relativistica coerente si ottiene solo includendo il campo che trasmette l’interazione.

La conservazione del quadrimpulso

Energia e quantità di moto di un sistema isolato si conservano, e per particelle libere lo si è dimostrato con il teorema di Noether. In relatività si assume che valga in generale, e gli esperimenti lo confermano senza eccezioni, a patto di usare le espressioni relativistiche e di includere nell’energia le energie a riposo.

La somma di quadrivettori è un quadrivettore, e la conservazione non dipende dall’osservatore: se $P^\mu_{\text{dopo}} - P^\mu_{\text{prima}} = 0$ in un sistema, lo stesso vale in ogni altro, perché $\Lambda$ applicata al vettore nullo dà il vettore nullo. La conservazione dell’energia e quella della quantità di moto non sono più due leggi separate: sono le quattro componenti di una sola.

Il sistema in cui $\mathbf P = 0$ è il sistema del centro di massa, e $M$ è la massa invariante del sistema: la stessa grandezza dell’articolo sull’energia, dove la massa di un sistema era la sua energia a riposo divisa per $c^2$, qui calcolabile in qualunque sistema di riferimento. La disuguaglianza $M \ge \sum_a m_a$ riguarda particelle libere: in un sistema legato l’energia di interazione, negativa, abbassa la massa sotto la somma delle masse delle parti, come nel deutone. Negli urti la massa invariante di prima e quella di dopo sono uguali, perché lo è il quadrimpulso totale, e questo è lo strumento principale dell’articolo successivo.

Campi e operatori nello spaziotempo

Un campo scalare $\Phi(x)$ assegna un numero a ogni evento, lo stesso per tutti gli osservatori: $\Phi'(x') = \Phi(x)$. Un campo quadrivettoriale $V^\mu(x)$ assegna un quadrivettore a ogni evento. Le derivate rispetto alle coordinate si indicano con

$$\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\ \nabla\right), \qquad \partial^\mu = g^{\mu\nu}\partial_\nu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\ -\nabla\right).$$

Il dalembertiano è l’operatore dell’equazione delle onde: $\Box\Phi = 0$ descrive onde che viaggiano a velocità $c$, e la sua invarianza dice che per tutti gli osservatori viaggiano a $c$. Il rotore invece non ha un analogo quadrivettoriale. Il suo posto è preso dal tensore antisimmetrico $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, con sei componenti indipendenti invece di tre; nell’articolo sull’elettromagnetismo, costruito sul quadripotenziale, conterrà insieme il campo elettrico e il campo magnetico.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un protone, con $m_pc^2 = 938{,}3$ MeV, si muove lungo $x$ con $p = 1{,}000$ GeV/$c$. Calcola energia e quantità di moto per un osservatore che si muove lungo $x$ con $V = 0{,}50\,c$, e verifica che la massa non cambia.

Nel sistema di partenza $E = \sqrt{(pc)^2 + (m_pc^2)^2} = \sqrt{1000^2 + 938{,}3^2}$ MeV $\approx 1371{,}3$ MeV. Con $\gamma = 1/\sqrt{0{,}75} \approx 1{,}1547$:

$$E' = \gamma\,(E - \beta\,pc) \approx 1{,}1547\,(1371{,}3 - 500{,}0)\ \text{MeV} \approx 1006{,}1\ \text{MeV},$$ $$p'c = \gamma\,(pc - \beta E) \approx 1{,}1547\,(1000{,}0 - 685{,}6)\ \text{MeV} \approx 363{,}0\ \text{MeV}.$$

Verifica: $\sqrt{1006{,}1^2 - 363{,}0^2}$ MeV $\approx 938{,}3$ MeV.

Commento: scrivendo energie e quantità di moto nelle stesse unità, MeV e MeV/$c$, le formule di trasformazione sono quelle delle coordinate con $E$ al posto di $ct$ e $pc$ al posto di $x$. La verifica finale è il modo più rapido di scoprire un errore di segno: se la massa cambia, qualcosa è sbagliato.

Esercizio 2. Una stella si allontana dalla Terra a $0{,}20\,c$ ed emette, nel proprio sistema, luce di lunghezza d’onda $500$ nm lungo la congiungente. Che lunghezza d’onda si misura sulla Terra?

Per un fotone $E = hc/\lambda$ e, lungo la direzione del moto, $p_x = \pm E/c$. Nel sistema della stella il fotone va verso la Terra, cioè in verso opposto al moto della stella rispetto alla Terra. Con l’asse $x$ orientato come la velocità della Terra rispetto alla stella, $V = 0{,}20\,c$ e il fotone ha $p_x = +E/c$ nel sistema della stella: va nello stesso verso in cui la Terra si allontana. Allora

$$E' = \gamma\,(E - Vp_x) = \gamma E\,(1 - \beta) = E\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}},$$

e $\lambda' = \lambda\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)} = 500\ \text{nm} \cdot \sqrt{1{,}20/0{,}80} \approx 612$ nm.

Commento: è l’effetto Doppler relativistico, ricavato in una riga dalla trasformazione del quadrimpulso. La luce di una sorgente che si allontana arriva spostata verso il rosso. A differenza del Doppler del suono, qui conta solo la velocità relativa tra sorgente e osservatore, perché non c’è un mezzo che distingua un sistema dall’altro.

Esercizio 3. Verifica che il moto iperbolico dell’articolo sulla forza relativistica, $u^1 = \gamma\beta = at/c$, ha accelerazione propria costante e uguale ad $a$.

Da $u^1 = at/c$ e $u \cdot u = 1$ si ha $u^0 = \gamma = \sqrt{1 + (at/c)^2}$. Con $d/ds = (\gamma/c)\,d/dt$:

$$w^1 = \frac{\gamma}{c}\,\frac{a}{c} = \frac{\gamma a}{c^2}, \qquad w^0 = \frac{\gamma}{c}\,\frac{a^2t/c^2}{\gamma} = \frac{a^2t}{c^3}.$$

Allora

$$w \cdot w = \frac{a^4t^2}{c^6} - \frac{\gamma^2a^2}{c^4} = \frac{a^2}{c^4}\left(\frac{a^2t^2}{c^2} - \gamma^2\right) = -\frac{a^2}{c^4},$$

perché $\gamma^2 = 1 + a^2t^2/c^2$. L’accelerazione propria $\sqrt{-c^4\,w \cdot w}$ vale $a$ in ogni istante.

Commento: nel laboratorio l’accelerazione ordinaria diminuisce nel tempo, come $a/\gamma^3$, e la particella non supera mai $c$. Ma un accelerometro a bordo segnerebbe sempre lo stesso valore $a$. Il moto con accelerazione propria costante è quello di un’astronave che mantiene sempre la stessa spinta sentita dall’equipaggio.

Esercizio 4. Due fotoni di energia $1{,}0$ GeV ciascuno viaggiano in direzioni che formano un angolo $\theta$. Calcola la massa invariante della coppia per $\theta = 0$, $90°$ e $180°$.

$P \cdot P = p_1 \cdot p_1 + p_2 \cdot p_2 + 2\,p_1 \cdot p_2 = 2\,p_1 \cdot p_2$, perché i fotoni hanno quadrato nullo. Con $p_1 \cdot p_2 = E_1E_2/c^2 - \mathbf p_1\cdot\mathbf p_2 = (E_1E_2/c^2)(1 - \cos\theta)$:

$$M^2c^4 = 2E_1E_2\,(1 - \cos\theta).$$

Per $\theta = 0$, $M = 0$. Per $\theta = 90°$, $Mc^2 = \sqrt{2}$ GeV $\approx 1{,}41$ GeV. Per $\theta = 180°$, $Mc^2 = 2{,}0$ GeV.

Commento: la massa di un sistema non è la somma delle masse, qui nulle, delle sue parti. Due fotoni che viaggiano insieme non hanno massa invariante; due fotoni che si scontrano frontalmente hanno tutta la loro energia disponibile, e con $2$ GeV possono produrre, per esempio, una coppia protone-antiprotone, la cui massa invariante minima è circa $1{,}88$ GeV.