Il condensatore MOS

Un campo al posto di una corrente

Il transistore bipolare si comanda con una corrente. Per tenerlo in conduzione serve una corrente di base, e con lei una potenza $V_{BE}I_B$ spesa di continuo: poca per un transistore, troppa per il miliardo di transistori di un processore. C’è un altro modo di cambiare quanti portatori ha un semiconduttore: avvicinargli una carica. Un elettrodo separato dal silicio da un isolante attira o respinge i portatori della superficie, e se l’isolante è buono il circuito di comando non fornisce corrente, se non quella che serve a caricare l’elettrodo.

L’idea è più vecchia del transistore bipolare. Julius Lilienfeld la brevettò nel 1925, ma nessuno riuscì a farla funzionare. Negli anni Quaranta, ai Bell Labs, gli esperimenti del gruppo di Shockley diedero effetti molto più deboli del previsto, e John Bardeen ne trovò la causa: la superficie di un cristallo ha stati elettronici propri, che catturano la carica indotta e schermano il campo prima che arrivi all’interno. La soluzione arrivò dieci anni dopo, sempre ai Bell Labs. Mohamed Atalla mostrò che uno strato di biossido di silicio cresciuto scaldando il silicio in atmosfera ossidante lascia all’interfaccia pochissimi stati, e nel 1959 lui e Dawon Kahng costruirono il primo transistore a effetto di campo con un ossido, il MOSFET del prossimo articolo.

Questo articolo studia la struttura che sta al centro del MOSFET: che cosa succede nel silicio sotto l’ossido quando cambia la tensione dell’elettrodo, e quale tensione serve perché lì compaia uno strato di elettroni.

La struttura

Un condensatore MOS, da metallo, ossido, semiconduttore, è un pezzo di silicio coperto da uno strato di biossido di silicio SiO₂ spesso $t_{ox}$, sul quale è depositato un conduttore, il gate. Il silicio si chiama substrato o body e ha un contatto metallico sul retro. In tutto l’articolo il silicio è di tipo $p$, con drogaggio $N_A$ uniforme, e la tensione $V_G$ è il potenziale del gate meno quello del body.

Il gate dei primi dispositivi era di alluminio. Dalla fine degli anni Sessanta, con la tecnologia a gate di silicio sviluppata da Federico Faggin alla Fairchild, si usò il silicio policristallino, o polisilicio, molto drogato: sopporta le alte temperature dei passi di fabbricazione successivi e forma con l’ossido un’interfaccia pulita. I processi più avanzati, dal 2007, sono tornati a gate metallici, insieme a isolanti con una costante dielettrica più alta di quella dell’ossido. Nel polisilicio di tipo $n^+$ il drogaggio è così alto che il livello di Fermi arriva al fondo della banda di conduzione, e il materiale conduce come un metallo.

L’ossido è un condensatore piano. La sua capacità per unità di area è

$$C_{ox} = \frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}} ,$$

con $\varepsilon_{ox} = 3{,}9\,\varepsilon_0 = 3{,}45\times10^{-13}$ F/cm, circa un terzo della permittività del silicio $\varepsilon_{Si} = 1{,}04\times10^{-12}$ F/cm. Gli esempi e le figure usano una struttura di riferimento: gate di polisilicio $n^+$, ossido spesso $10$ nm, silicio con $N_A = 10^{17}\ \text{cm}^{-3}$, a 300 K. Per questa struttura $C_{ox} = 3{,}45\times10^{-7}$ F/cm², cioè $345$ nF per centimetro quadrato.

Funzione lavoro e affinità elettronica

Per mettere nello stesso diagramma a bande tre materiali diversi serve un riferimento comune. È il livello di vuoto $E_0$, l’energia di un elettrone fermo appena fuori dal materiale, dove non sente più le forze del cristallo.

In un metallo la funzione lavoro è l’energia minima per estrarre un elettrone, quella dell’effetto fotoelettrico. In un semiconduttore il livello di Fermi cade nella banda proibita, dove non ci sono elettroni, e la funzione lavoro dipende dal drogaggio; l’affinità elettronica, invece, è una proprietà del materiale. Per il silicio $q\chi = 4{,}05$ eV, e la funzione lavoro è

$$\Phi_{Si} = \chi + \frac{E_C - E_F}{q} .$$

Nel silicio di riferimento, di tipo $p$, $E_F - E_V = kT\ln(N_v/N_A) = 0{,}148$ eV, quindi $E_C - E_F = 1{,}124 - 0{,}148 = 0{,}976$ eV e $q\Phi_{Si} = 5{,}03$ eV. Alcuni valori per i gate:

• alluminio, circa $4{,}1$ eV; oro, circa $5{,}1$ eV;
• polisilicio $n^+$, $4{,}05$ eV, uguale all’affinità del silicio, perché il livello di Fermi sta su $E_C$;
• polisilicio $p^+$, $5{,}17$ eV, cioè $\chi + E_g/q$, perché il livello di Fermi sta su $E_V$.

Le funzioni lavoro dei metalli misurate davvero cambiano di qualche decimo di elettronvolt con lo stato della superficie e con la faccia del cristallo; nei conti vanno prese come indicative. Il biossido di silicio ha una banda proibita di circa $9$ eV e un’affinità elettronica di circa $0{,}95$ eV. Un elettrone della banda di conduzione del silicio, per entrare nella banda di conduzione dell’ossido, deve salire di $4{,}05 - 0{,}95 = 3{,}1$ eV, e per le lacune la barriera è ancora più alta: per questo l’ossido è un ottimo isolante.

La tensione di banda piatta

Se si collegano gate e body con un filo, gli elettroni passano dal materiale con il livello di Fermi più alto a quello con il livello più basso, finché i due livelli si allineano, come nella giunzione pn. Con un gate $n^+$ su silicio $p$ gli elettroni vanno dal gate al silicio: il gate si carica positivamente, il silicio negativamente, e nella struttura compare un campo. Un generatore collegato tra gate e body può impedirlo.

Serve una proprietà già usata nella giunzione pn. In un conduttore all’equilibrio il livello di Fermi è $E_F = C - qV$, con $C$ costante; attraverso un contatto tra due materiali all’equilibrio il livello di Fermi è continuo. Un generatore di tensione $V_G$ con i morsetti dello stesso metallo impone quindi tra i due morsetti, e tra i materiali collegati a ciascuno, una differenza di livelli di Fermi $-qV_G$. L’ossido non lascia passare corrente: a regime il gate è all’equilibrio con il suo morsetto, il silicio con il body, e

$$E_{F,G} - E_{F,B} = -qV_G .$$

Il livello di vuoto, invece, segue il potenziale elettrico: $E_0 = \text{costante} - qV$, ed è continuo attraverso le interfacce se si trascurano i sottili strati di dipoli che vi si formano.

Quando nella struttura non c’è campo da nessuna parte, $V_{ox}$ e $\varphi_S$ sono nulli e le bande sono orizzontali. La tensione che serve è la tensione di banda piatta

$$V_{FB} = \Phi_G - \Phi_{Si} ,$$

e la proposizione si riscrive

$$V_G - V_{FB} = V_{ox} + \varphi_S :$$

la tensione di gate oltre la banda piatta si divide tra l’ossido e il silicio. Per la struttura di riferimento $V_{FB} = 4{,}05 - 5{,}03 = -0{,}98$ V, cioè $-(E_C - E_F)/q$ del silicio. Con un gate di alluminio sullo stesso silicio sarebbe $4{,}1 - 5{,}03 = -0{,}93$ V. Con il gate collegato al body, $V_G = 0$, le bande non sono piatte: $0{,}98$ V si ripartiscono tra ossido e silicio.

L’ossido lega $V_{ox}$ alla carica del silicio.

Mettendo insieme le due proposizioni si ottiene la relazione che governa tutto il resto dell’articolo:

$$V_G - V_{FB} = \varphi_S - \frac{Q_S}{C_{ox}} .$$

Accumulazione, svuotamento, inversione

A regime il silicio scambia portatori solo con il contatto del body, ed è all’equilibrio: il livello di Fermi è uniforme. Il potenziale $\varphi(x)$, preso nullo lontano dall’ossido, sposta le bande di $-q\varphi(x)$, e poiché $n = N_c\,e^{-(E_C - E_F)/kT}$ e $p = N_v\,e^{-(E_F - E_V)/kT}$,

$$n(x) = n_0\,e^{\varphi(x)/V_T} , \qquad p(x) = p_0\,e^{-\varphi(x)/V_T} ,$$

dove $n_0 = n_i^2/N_A$ e $p_0 = N_A$ sono le densità lontano dall’ossido e $V_T = kT/q$. Conviene misurare il drogaggio con il potenziale di Fermi, la distanza tra il livello intrinseco e il livello di Fermi nel silicio lontano divisa per $q$:

$$\varphi_F = \frac{E_i - E_F}{q} = V_T\ln\frac{N_A}{n_i} .$$

Per la struttura di riferimento $\varphi_F = 0{,}417$ V. Al crescere di $V_G$ la struttura passa per quattro situazioni.

• Accumulazione, $V_G < V_{FB}$. Il gate è negativo rispetto alla banda piatta, $\varphi_S < 0$, le bande si piegano verso l’alto e sotto l’ossido si accumulano lacune.
• Svuotamento, $V_G$ poco sopra $V_{FB}$. Ora $\varphi_S > 0$: il gate respinge le lacune e lascia sotto l’ossido una zona svuotata, con la carica negativa degli ioni accettori.
• Inversione debole, $\varphi_F < \varphi_S < 2\varphi_F$. Alla superficie il livello intrinseco è sceso sotto il livello di Fermi, e gli elettroni sono più delle lacune: il silicio sotto l’ossido è diventato di tipo $n$, ma con pochi elettroni rispetto agli ioni.
• Inversione forte, $\varphi_S > 2\varphi_F$. Alla superficie gli elettroni superano $N_A$, e sotto l’ossido c’è uno strato di elettroni mobili.

La carica nel silicio

Nella giunzione pn la zona svuotata si trattava con l’approssimazione di svuotamento. Nel condensatore MOS l’equazione di Poisson si risolve anche senza, e la soluzione descrive in una volta tutte e quattro le situazioni.

Il teorema contiene i tre regimi come casi limite.

• In accumulazione, con $-\varphi_S$ di qualche $V_T$, domina il termine $p_0e^{-u}$ e $Q_S \approx \sqrt{2\varepsilon_{Si}kTN_A}\;e^{-\varphi_S/2V_T}$: la carica cresce in modo esponenziale, di un fattore dieci ogni $2V_T\ln10 \approx 0{,}12$ V.
• In svuotamento, con $\varphi_S$ di qualche $V_T$ e pochi elettroni, $F \approx N_A(u - 1)$, e $Q_S \approx -\sqrt{2q\varepsilon_{Si}N_A(\varphi_S - V_T)}$. A meno del $V_T$, che viene dalla coda delle lacune ai bordi, è la carica di una zona svuotata di ioni larga

$$x_d = \sqrt{\frac{2\varepsilon_{Si}\varphi_S}{qN_A}} ,$$

come nella giunzione pn con un lato molto drogato.

• In inversione domina $n_0e^u$, e $Q_S \approx -\sqrt{2\varepsilon_{Si}kTn_0}\;e^{\varphi_S/2V_T}$. Poiché $n_0/p_0 = e^{-2\varphi_F/V_T}$, in $F$ il termine degli elettroni supera quello degli ioni, circa $p_0u$, quando $e^{u - 2\varphi_F/V_T} > u$, cioè per $\varphi_S$ oltre $2\varphi_F + V_T\ln(2\varphi_F/V_T)$: circa $0{,}92$ V nella struttura di riferimento.

Nello svuotamento, sostituendo $Q_S = -\sqrt{2q\varepsilon_{Si}N_A\varphi_S}$ nella relazione tra $V_G$ e $\varphi_S$,

$$V_G - V_{FB} = \varphi_S + \gamma\sqrt{\varphi_S} , \qquad \gamma = \frac{\sqrt{2q\varepsilon_{Si}N_A}}{C_{ox}} .$$

Il coefficiente $\gamma$ si misura in $\text{V}^{1/2}$, e per la struttura di riferimento vale $0{,}53\ \text{V}^{1/2}$. Il secondo membro cresce con $\varphi_S$, e l’equazione, di secondo grado in $\sqrt{\varphi_S}$, ha una sola soluzione positiva. Più in generale $\varphi_S - Q_S/C_{ox}$ è una funzione crescente di $\varphi_S$, perché $-Q_S$ lo è: a ogni tensione di gate corrisponde un solo potenziale di superficie, e in particolare le bande sono piatte solo per $V_G = V_{FB}$.

La tensione di soglia

La densità degli elettroni alla superficie è $n_0e^{\varphi_S/V_T} = (n_i^2/N_A)\,e^{\varphi_S/V_T}$, e vale $N_A$ quando $e^{\varphi_S/V_T} = (N_A/n_i)^2$, cioè quando

$$\varphi_S = 2\varphi_F .$$

Sul diagramma a bande: alla superficie il livello di Fermi sta sopra il livello intrinseco di quanto, nel silicio lontano, gli sta sotto.

La formula è la stessa che si ottiene con l’approssimazione di svuotamento, ma qui è esatta: alla soglia gli elettroni, che l’approssimazione trascura, compensano esattamente la coda delle lacune. Gli elettroni sono ancora pochi, circa l’1,6% della carica nel silicio, perché occupano uno strato molto più sottile della zona svuotata.

Per la struttura di riferimento $2\varphi_F = 0{,}833$ V, $\gamma\sqrt{2\varphi_F} = 0{,}483$ V e

$$V_{TH} = -0{,}976 + 0{,}833 + 0{,}483 = 0{,}34\ \text{V} .$$

La zona svuotata, alla soglia, è larga $x_{d,max} = \sqrt{2\varepsilon_{Si}\cdot2\varphi_F/qN_A} = 104$ nm. La formula dice da che cosa dipende la soglia. Un ossido più sottile aumenta $C_{ox}$ e riduce $\gamma$: il gate controlla meglio il silicio, e la soglia scende. Un drogaggio più alto la alza, perché ci sono più lacune da allontanare e più ioni da scoprire. Una funzione lavoro del gate più bassa la abbassa, attraverso $V_{FB}$: passare da un gate $n^+$ a un gate $p^+$ sposta la soglia di $1{,}12$ V.

Oltre la soglia

Oltre la soglia la carica richiamata dal gate nel silicio è fatta di elettroni. La densità degli elettroni cresce come $e^{\varphi_S/V_T}$, mentre la carica della zona svuotata cresce come $\sqrt{\varphi_S}$: un piccolo aumento del potenziale di superficie basta a portare molti elettroni, e la zona svuotata resta quasi quella della soglia.

Sopra la soglia il condensatore MOS torna a comportarsi come un condensatore piano con l’ossido per dielettrico, e la tensione che carica il condensatore è quella in più rispetto alla soglia. È il risultato su cui poggia la corrente del MOSFET.

L’ipotesi della proposizione non è esatta: $\varphi_S$ continua a crescere, anche se lentamente. Per il teorema, in inversione forte raddoppiare la carica costa $2V_T\ln 2 = 36$ mV di potenziale di superficie. Nella struttura di riferimento, a $V_G = 2$ V, $\varphi_S$ è salito a $0{,}99$ V, sedici centesimi sopra $2\varphi_F$; gli elettroni sono $3{,}1\times10^{12}$ per centimetro quadrato, contro i $3{,}6\times10^{12}$ della proposizione. Un paio di volt sopra la soglia la curva esatta è quasi parallela alla retta della proposizione, spostata di circa due decimi di volt. La soglia definita con $2\varphi_F$ è una convenzione: la carica di inversione non nasce di colpo, cresce in modo esponenziale prima della soglia e quasi lineare dopo, e la retta che segue la parte lineare taglia l’asse un po’ più a destra.

Lo strato di elettroni è sottilissimo. Nel modello di queste pagine la sua profondità media è di un nanometro circa, e alla superficie la densità degli elettroni supera $10^{19}\ \text{cm}^{-3}$: a queste scale le densità di Boltzmann non bastano più, e la meccanica quantistica, che confina gli elettroni in una buca stretta, sposta lo strato un poco più lontano dall’interfaccia. La carica totale, che è quella che conta per i circuiti, resta quella della proposizione.

Da dove vengono gli elettroni? Nel silicio $p$ sono minoritari, e il body non ne fornisce. In un condensatore MOS isolato li produce solo la generazione termica, nella zona svuotata e ai suoi bordi, e in un silicio di buona qualità ci vogliono secondi perché lo strato si formi. Nel MOSFET, invece, accanto al gate ci sono due zone $n^+$ piene di elettroni, che riempiono lo strato in tempi brevissimi.

Le cariche nell’ossido

Un ossido reale contiene cariche. Durante la crescita, vicino all’interfaccia con il silicio restano atomi di silicio non del tutto ossidati, che danno una carica fissa positiva di $10^{10}$ o $10^{11}$ cariche elementari per centimetro quadrato. È più bassa sulle fette di silicio tagliate lungo i piani cristallini (100), e per questo i circuiti MOS si fanno su quelle.

Una carica positiva sposta la banda piatta, e con lei la soglia, verso tensioni più negative: richiama nel silicio elettroni che il gate non deve più attirare. L’effetto è massimo per una carica all’interfaccia con il silicio, $y = t_{ox}$, e nullo per una carica attaccata al gate. Per una carica distribuita nello spessore gli spostamenti si sommano, ognuno pesato con la sua distanza dal gate. Per $10^{11}$ cariche elementari per centimetro quadrato all’interfaccia, nella struttura di riferimento, lo spostamento è $-1{,}6\times10^{-8}/3{,}45\times10^{-7} = -46$ mV.

Non tutte le cariche sono fisse. Nei primi anni Sessanta le soglie dei dispositivi MOS cambiavano nel tempo, soprattutto a caldo, e a metà del decennio si capì che la colpa era degli ioni sodio, che si muovono nell’ossido sotto l’azione del campo; ci vollero processi di fabbricazione molto più puliti. All’interfaccia restano poi stati elettronici che si caricano o si scaricano a seconda di $\varphi_S$, e una radiazione ionizzante lascia nell’ossido lacune intrappolate: i sensori di dose per la radioterapia e per i satelliti misurano proprio lo spostamento della soglia di un MOS.

La capacità del condensatore MOS

Un condensatore MOS non ha una capacità fissa: la carica non sta su due armature a distanza fissa, ma si sposta nel silicio a seconda della tensione. Per un piccolo segnale sovrapposto a $V_G$ conta la capacità differenziale per unità di area $C = dQ_G/dV_G$.

Dal teorema sulla carica si legge $C_S$ in ogni regime. In accumulazione la carica cresce in modo esponenziale con $|\varphi_S|$, $C_S$ è molto grande e $C \approx C_{ox}$. In svuotamento $C_S = d\sqrt{2q\varepsilon_{Si}N_A\varphi_S}/d\varphi_S = \varepsilon_{Si}/x_d$: è la capacità di una lastra di silicio spessa quanto la zona svuotata, e $C$ scende man mano che la zona si allarga. In banda piatta, per $|u|$ piccolo, $F \approx N_Au^2/2$ e $|Q_S| \approx \varepsilon_{Si}|\varphi_S|/L_D$, con la lunghezza di Debye

$$L_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_{Si}kT}{q^2N_A}} ,$$

13 nm nella struttura di riferimento: la capacità in banda piatta non è $C_{ox}$, ma quella di un ossido in serie a $L_D$ di silicio, $C_{FB} = 0{,}70\,C_{ox}$.

In inversione la risposta dipende dalla frequenza. Se il segnale è lento, gli elettroni dello strato di inversione fanno in tempo a formarsi e a sparire, $C_S$ torna grande e $C$ risale a $C_{ox}$. Se il segnale è veloce, per esempio a 1 MHz, la generazione termica non riesce a seguirlo: la carica dello strato resta ferma, e il segnale sposta solo il bordo della zona svuotata, dove le lacune arrivano dal body in tempi brevissimi. La capacità resta allora al minimo

$$C_{min} \approx \frac{1}{1/C_{ox} + x_{d,max}/\varepsilon_{Si}} ,$$

$0{,}22\,C_{ox}$ nella struttura di riferimento.

La curva ad alta frequenza è uno degli strumenti di controllo più usati nella fabbricazione dei circuiti integrati. La capacità in accumulazione dà lo spessore dell’ossido, la capacità minima il drogaggio, e la posizione della curva lungo l’asse delle tensioni, confrontata con quella calcolata, la carica nell’ossido. Se poi la tensione di gate sale più in fretta di quanto la generazione termica riesca a formare lo strato di inversione, la zona svuotata si allarga oltre $x_{d,max}$ e resta così finché gli elettroni non arrivano. In questo svuotamento profondo una buca di potenziale vuota può raccogliere gli elettroni prodotti dalla luce: è il principio dei sensori d’immagine CCD, inventati nel 1969 da Willard Boyle e George Smith.

Nel MOSFET le zone $n^+$ forniscono gli elettroni in tempi brevissimi, e la capacità del gate in inversione torna $C_{ox}$ anche ad alta frequenza.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Calcolare la tensione di banda piatta di un condensatore MOS su silicio di tipo $n$ con $N_D = 5\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$, con gate di alluminio e con gate di polisilicio $p^+$.

Soluzione. Nel silicio di tipo $n$ la distanza tra il fondo della banda di conduzione e il livello di Fermi è

$$E_C - E_F = kT\ln\frac{N_c}{N_D} = 0{,}02585\cdot\ln\frac{2{,}8\times10^{19}}{5\times10^{15}} = 0{,}223\ \text{eV} ,$$

quindi $\Phi_{Si} = 4{,}05 + 0{,}22 = 4{,}27$ V. Con l’alluminio $V_{FB} = 4{,}1 - 4{,}27 = -0{,}17$ V; con il polisilicio $p^+$ $V_{FB} = 5{,}17 - 4{,}27 = +0{,}90$ V.

Commento. Un silicio poco drogato di tipo $n$ ha il livello di Fermi vicino alla banda di conduzione e una funzione lavoro vicina all’affinità: con l’alluminio la banda piatta è quasi a zero. Il valore con l’alluminio risente dell’incertezza sulla sua funzione lavoro, di qualche decimo di volt; quello con il polisilicio no, perché dipende solo dalle bande del silicio.

Esercizio 2. Nella struttura di riferimento, con il gate collegato al body, calcolare con l’approssimazione di svuotamento il potenziale di superficie, la tensione ai capi dell’ossido, la larghezza della zona svuotata e le densità di elettroni e lacune alla superficie. In che regime è la struttura?

Soluzione. Con $V_G = 0$ la relazione dello svuotamento è $0{,}976 = \varphi_S + 0{,}529\sqrt{\varphi_S}$. Come equazione di secondo grado in $\sqrt{\varphi_S}$,

$$\sqrt{\varphi_S} = \frac{-0{,}529 + \sqrt{0{,}529^2 + 4\cdot0{,}976}}{2} = 0{,}758 ,$$

quindi $\varphi_S = 0{,}575$ V e $V_{ox} = 0{,}976 - 0{,}575 = 0{,}40$ V. La zona svuotata è larga

$$x_d = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}04\times10^{-12}\cdot0{,}575}{1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{17}}} = 8{,}6\times10^{-6}\ \text{cm} = 86\ \text{nm} .$$

Alla superficie $e^{\varphi_S/V_T} = e^{22{,}2} = 4{,}5\times10^9$, quindi $n_s = 10^3\cdot4{,}5\times10^9 = 4{,}5\times10^{12}\ \text{cm}^{-3}$ e $p_s = 10^{17}/4{,}5\times10^9 = 2\times10^7\ \text{cm}^{-3}$.

Commento. Il potenziale di superficie sta tra $\varphi_F = 0{,}42$ V e $2\varphi_F = 0{,}83$ V: la struttura è in inversione debole. Alla superficie gli elettroni superano le lacune di cinque ordini di grandezza, ma sono ventimila volte meno degli ioni accettori, e l’approssimazione di svuotamento regge: la soluzione esatta dà $\varphi_S = 0{,}581$ V.

Esercizio 3. Calcolare la tensione di soglia della struttura di riferimento con un ossido di 2 nm, e poi con lo stesso ossido e un drogaggio $N_A = 10^{18}\ \text{cm}^{-3}$.

Soluzione. Con $t_{ox} = 2$ nm la capacità è cinque volte più grande, $C_{ox} = 1{,}73\times10^{-6}$ F/cm², e $\gamma = 0{,}106\ \text{V}^{1/2}$. La soglia è

$$V_{TH} = -0{,}976 + 0{,}833 + 0{,}106\cdot\sqrt{0{,}833} = -0{,}05\ \text{V} .$$

Con $N_A = 10^{18}\ \text{cm}^{-3}$ il livello di Fermi scende verso la banda di valenza: $E_F - E_V = kT\ln(3{,}1\times10^{19}/10^{18}) = 0{,}089$ eV, $V_{FB} = -(1{,}124 - 0{,}089) = -1{,}035$ V, $\varphi_F = 0{,}02585\cdot\ln10^8 = 0{,}476$ V, $\gamma = 0{,}335\ \text{V}^{1/2}$ e

$$V_{TH} = -1{,}035 + 0{,}952 + 0{,}335\cdot\sqrt{0{,}952} = 0{,}24\ \text{V} .$$

Commento. Assottigliando l’ossido la soglia della struttura di riferimento diventa negativa: il silicio è già in inversione con il gate a zero, e un transistore costruito così non si spegnerebbe. Per rimediare con il solo drogaggio lo si deve moltiplicare per dieci. Con drogaggi così alti e dimensioni così piccole i droganti diventano pochi: in un volume di $20\times20\times10$ nm³ con $10^{18}\ \text{cm}^{-3}$ ce ne sono in media quattro, e la soglia cambia da un transistore all’altro. Per questo i processi più recenti regolano la soglia soprattutto con la funzione lavoro del gate.

Esercizio 4. Una radiazione ionizzante lascia nell’ossido lacune intrappolate per $10^{11}$ cariche elementari per centimetro quadrato, distribuite uniformemente nello spessore. Di quanto si sposta la soglia con un ossido di 10 nm e con uno di 100 nm?

Soluzione. Una carica distribuita con densità $\rho_{ox}(y)$ sposta la banda piatta della somma dei contributi degli strati sottili:

$$\Delta V_{FB} = -\frac{1}{C_{ox}}\int_0^{t_{ox}}\frac{y}{t_{ox}}\,\rho_{ox}(y)\,dy .$$

Con $\rho_{ox} = Q_{ox}/t_{ox}$ uniforme l’integrale vale $Q_{ox}/2$, e $\Delta V_{FB} = -Q_{ox}/2C_{ox}$. Con $Q_{ox} = 1{,}6\times10^{-8}$ C/cm²: per 10 nm, $\Delta V_{FB} = -1{,}6\times10^{-8}/(2\cdot3{,}45\times10^{-7}) = -23$ mV; per 100 nm, con $C_{ox} = 3{,}45\times10^{-8}$ F/cm², $\Delta V_{FB} = -0{,}23$ V. Gli altri termini della soglia non dipendono dalle cariche nell’ossido, e la soglia si sposta come la banda piatta.

Commento. A parità di carica intrappolata l’effetto cresce con lo spessore. Ma anche la carica, a parità di dose, cresce con lo spessore, perché la radiazione crea coppie in tutto il volume dell’ossido: lo spostamento va come $t_{ox}^2$. I sensori di dose usano ossidi spessi; gli ossidi di pochi nanometri dei circuiti moderni sono, da questo punto di vista, molto meno sensibili.

Esercizio 5. Un condensatore MOS quadrato di lato $100\ \mu$m, misurato ad alta frequenza, ha capacità $34{,}5$ pF in accumulazione e $7{,}75$ pF in inversione. Ricavare lo spessore dell’ossido e il drogaggio del silicio.

Soluzione. L’area è $A = 10^{-4}$ cm². In accumulazione $C = C_{ox}A$, quindi

$$t_{ox} = \frac{\varepsilon_{ox}A}{C} = \frac{3{,}45\times10^{-13}\cdot10^{-4}}{34{,}5\times10^{-12}} = 10^{-6}\ \text{cm} = 10\ \text{nm} .$$

In inversione, dalla serie di ossido e zona svuotata,

$$\begin{aligned} x_{d,max} &= \varepsilon_{Si}A\left(\frac{1}{C_{min}} - \frac{1}{C_{max}}\right) \\ &= 1{,}04\times10^{-16}\cdot\left(1{,}290 - 0{,}290\right)\times10^{11} = 104\ \text{nm} . \end{aligned}$$

Il drogaggio si ottiene da $x_{d,max}^2 = 4\varepsilon_{Si}\varphi_F/qN_A$, cioè $N_A = 4\varepsilon_{Si}\varphi_F/qx_{d,max}^2$, che contiene $N_A$ anche in $\varphi_F$. Si procede per tentativi: con $\varphi_F = 0{,}40$ V si trova $N_A = 9{,}6\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}$, che dà $\varphi_F = 0{,}416$ V, poi $N_A = 1{,}0\times10^{17}\ \text{cm}^{-3}$, e il valore non cambia più.

Commento. È la struttura di riferimento. Le iterazioni convergono in fretta perché $\varphi_F$ dipende da $N_A$ solo attraverso un logaritmo. In una misura vera la capacità in accumulazione resta qualche per cento sotto $C_{ox}$, come si vede nella figura della capacità, e lo spessore ricavato così risulta un po’ abbondante. La misura dà il drogaggio vicino alla superficie, fino a una profondità di circa $x_{d,max}$, che è quello che conta per la soglia.

Esercizio 6. Nella struttura di riferimento con $V_G = 2$ V, stimare con la proposizione sulla carica di inversione quanti elettroni ci sono per centimetro quadrato e a che distanza media l’uno dall’altro, e il campo nell’ossido.

Soluzione. La carica è $|Q_n| = C_{ox}(V_G - V_{TH}) = 3{,}45\times10^{-7}\cdot1{,}66 = 5{,}7\times10^{-7}$ C/cm², cioè $5{,}7\times10^{-7}/1{,}602\times10^{-19} = 3{,}6\times10^{12}$ elettroni per centimetro quadrato. Un elettrone occupa in media un quadrato di area $1/3{,}6\times10^{12}\ \text{cm}^2$, di lato $5{,}3\times10^{-7}$ cm: la distanza media è circa 5 nm. Con $\varphi_S \approx 2\varphi_F$ la tensione sull’ossido è $V_{ox} = V_G - V_{FB} - \varphi_S = 2 + 0{,}98 - 0{,}83 = 2{,}1$ V, e il campo è $2{,}1/10^{-6} = 2{,}1\times10^6$ V/cm.

Commento. La soluzione esatta dà $3{,}1\times10^{12}$ elettroni e un campo di $2{,}0\times10^6$ V/cm: la stima è buona per il campo e un po’ abbondante per la carica, come si è visto. Lo strato di inversione è un foglio di elettroni spesso un nanometro, con un elettrone ogni 5 nm circa. Il campo nell’ossido è alto: il biossido di silicio si rompe intorno a $10^7$ V/cm, e per non consumarlo nel corso degli anni i campi di lavoro restano ben sotto. Per questo, quando l’ossido si assottiglia, deve scendere anche la tensione di alimentazione dei circuiti.