Le trasformazioni di Lorentz

Rotazioni nello spaziotempo

Nell’articolo sulla relatività di Galileo le trasformazioni tra sistemi con gli assi ruotati sono state ricavate imponendo che conservassero la distanza di Pitagora. Qui si fa la stessa cosa con l’intervallo, che per l’articolo precedente è la grandezza che tutti gli osservatori inerziali misurano uguale. Il risultato sono le trasformazioni di Lorentz, che Lorentz aveva trovato cercando le trasformazioni che lasciano invariate le equazioni di Maxwell e che Einstein ricavò dai due postulati.

La situazione è la solita. $K'$ si muove rispetto a $K$ con velocità $V = \beta c$ lungo l’asse $x$, gli assi sono paralleli, le origini coincidono a $t = t' = 0$, e $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$. Le trasformazioni sono lineari, dipendono con continuità da $V$ e per $V = 0$ sono l’identità.

Le coordinate perpendicolari al moto non cambiano: $y' = y$ e $z' = z$, per la proposizione sulle lunghezze trasversali dell’articolo sui postulati di Einstein. E $x'$ e $t'$ non dipendono da $y$ e da $z$. Se fosse, per esempio, $x' = \dots + k\,y$, una rotazione di mezzo giro attorno all’asse $x$, che cambia segno a $y$ e lascia tutto il resto com’è, darebbe $x' = \dots - k\,y$; l’isotropia dello spazio attorno alla direzione del moto impone che le due scritture coincidano, quindi $k = 0$. Restano da trovare le relazioni tra $(ct, x)$ e $(ct', x')$, e l’intervallo si riduce a $c^2t^2 - x^2$.

Servono le funzioni iperboliche, definite per ogni $\varphi$ reale da

$$\cosh\varphi = \frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}, \qquad \sinh\varphi = \frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2}, \qquad \tanh\varphi = \frac{\sinh\varphi}{\cosh\varphi}.$$

Svolgendo i quadrati si verifica che $\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1$: il punto $(\cosh\varphi, \sinh\varphi)$ sta sull’iperbole $u^2 - w^2 = 1$ come $(\cos\theta, \sin\theta)$ sta sulla circonferenza. Valgono anche le formule di addizione

$$\cosh(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \cosh\varphi_1\cosh\varphi_2 \pm \sinh\varphi_1\sinh\varphi_2, \qquad \sinh(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \sinh\varphi_1\cosh\varphi_2 \pm \cosh\varphi_1\sinh\varphi_2,$$

che si verificano sostituendo le definizioni. La funzione $\sinh$ è strettamente crescente e assume tutti i valori reali, e $\tanh$ va da $-1$ a $1$ in modo strettamente crescente.

Le trasformazioni che conservano l’intervallo

Le condizioni $a > 0$ e $d > 0$ escludono le trasformazioni che invertono il verso dell’asse $x$ o quello del tempo. Sono automatiche per le trasformazioni tra osservatori inerziali che dipendono con continuità dalla velocità: dalle prime due condizioni $|a| \ge 1$ e $|d| \ge 1$, quindi $a$ e $d$ non si annullano mai, non cambiano segno e restano uguali al valore $1$ che hanno per $V = 0$.

Il numero $\varphi = \operatorname{artanh}\beta$ si chiama rapidità. Con la rapidità una trasformazione di Lorentz si scrive

$$x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi, \qquad ct' = -x\sinh\varphi + ct\cosh\varphi,$$

e somiglia a una rotazione degli assi, con le funzioni iperboliche al posto di quelle circolari. La differenza di segno è la stessa che c’è tra la distanza di Pitagora, $x^2 + y^2$, e l’intervallo, $c^2t^2 - x^2$. Esistono trasformazioni di Lorentz più generali, con velocità relativa in una direzione qualsiasi e assi ruotati; qui non servono.

Il limite di Galileo

Quando $c$ è molto più grande delle velocità e dei rapporti tra distanze e tempi in gioco, le trasformazioni di Lorentz diventano quelle di Galileo. Formalmente, per $c \to \infty$ con $V$, $x$ e $t$ fissati, $\gamma \to 1$ e $Vx/c^2 \to 0$, e restano $x' = x - Vt$ e $t' = t$.

Conviene pensare a $c \to \infty$ piuttosto che a $V \ll c$. Nella formula del tempo il termine $Vx/c^2$ è piccolo solo se anche $x$ non è troppo grande: con $V = 30$ km/s, la velocità della Terra attorno al Sole, e $x$ pari a un anno luce, $Vx/c^2$ vale $30/300\,000$ anni, cioè quasi un’ora. La relatività della simultaneità non si nota nella vita quotidiana perché le distanze su cui confrontiamo gli orologi sono piccole, non solo perché andiamo piano.

Le conseguenze ritrovate

Nell’articolo sui postulati di Einstein dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze e relatività della simultaneità erano state ricavate con esperimenti ideali. Con le trasformazioni di Lorentz si ritrovano in una riga ciascuna, applicate alle differenze di coordinate $\Delta x$, $\Delta t$ tra due eventi, che si trasformano con le stesse formule perché le trasformazioni sono lineari.

Anche gli assi di $K'$ nel diagramma di Minkowski di $K$ si leggono direttamente: $x' = 0$ dà $x = Vt = \beta\,ct$, e $t' = 0$ dà $ct = \beta x$, le due rette trovate nell’articolo precedente.

La composizione delle velocità

Un corpo si muove rispetto a $K'$ con velocità $\mathbf v' = (v_x', v_y', v_z')$. Con Galileo la velocità rispetto a $K$ sarebbe $\mathbf v' + \mathbf V$. Con Lorentz no.

La seconda parte è il secondo postulato ritrovato: la luce ha velocità $c$ anche per $K$. Vale per ogni direzione, non solo lungo $x$, e lo si vede senza fare conti: un impulso di luce collega eventi separati da un intervallo nullo, e l’intervallo nullo è nullo per tutti.

Con la rapidità la composizione diventa una somma. Se $\beta' = v_x'/c = \tanh\varphi'$ e $\beta = V/c = \tanh\varphi$, la formula di addizione della tangente iperbolica,

$$\tanh(\varphi + \varphi') = \frac{\tanh\varphi + \tanh\varphi'}{1 + \tanh\varphi\tanh\varphi'},$$

che si ottiene dividendo $\sinh(\varphi + \varphi')$ per $\cosh(\varphi + \varphi')$ e poi numeratore e denominatore per $\cosh\varphi\cosh\varphi'$, mostra che $v_x/c = \tanh(\varphi + \varphi')$: le rapidità si sommano come si sommavano le velocità di Galileo. E poiché $\tanh$ non raggiunge mai $1$, nessuna somma di rapidità, per quanto lunga, porta a $c$.

C’è poi una conseguenza che guarda avanti. In fisica classica spostamenti, velocità, accelerazioni e forze cambiano tutti allo stesso modo da un osservatore all’altro, e per questo sono vettori. Qui lo spostamento si trasforma con le formule di Lorentz, la velocità con quelle, diverse, di questo paragrafo, e l’accelerazione con formule più complicate ancora. I vettori ordinari non rispettano le simmetrie dello spaziotempo, e per scrivere leggi uguali per tutti gli osservatori serviranno oggetti a quattro componenti, i quadrivettori. Prima, però, la meccanica va riscritta, e lo strumento adatto è il principio di minima azione.

Il fattore di Lorentz

Per $\beta$ piccolo conviene lo sviluppo $\gamma \approx 1 + \beta^2/2$, che si ottiene dallo sviluppo di $(1 - u)^{-1/2} \approx 1 + u/2$ per $u$ piccolo. Le correzioni relativistiche sono quindi del secondo ordine in $V/c$: per un satellite GPS, che viaggia a circa $3{,}9$ km/s, $\beta^2/2 \approx 8 \times 10^{-11}$, abbastanza piccolo da trascurarlo in quasi tutto e abbastanza grande da contare per un orologio atomico.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. $K'$ si muove rispetto a $K$ con $V = 0{,}60\,c$. Un evento avviene in $K$ nel punto $x = 1{,}5$ km all’istante $t = 4{,}0\ \mu$s. Quali sono le sue coordinate in $K'$? Verifica che l’intervallo con l’origine non cambia. Usa $c = 3{,}00 \times 10^5$ km/s.

Con $\gamma = 1{,}25$ e $ct = 3{,}00 \times 10^5 \cdot 4{,}0 \times 10^{-6}$ km $= 1{,}2$ km:

$$x' = \gamma\,(x - \beta\,ct) = 1{,}25\,(1{,}5 - 0{,}60 \cdot 1{,}2)\ \text{km} = 0{,}975\ \text{km},$$ $$ct' = \gamma\,(ct - \beta x) = 1{,}25\,(1{,}2 - 0{,}60 \cdot 1{,}5)\ \text{km} = 0{,}375\ \text{km},$$

cioè $t' = 1{,}25\ \mu$s. Intervallo in $K$: $1{,}2^2 - 1{,}5^2 = -0{,}81$ km². In $K'$: $0{,}375^2 - 0{,}975^2 = 0{,}140625 - 0{,}950625 = -0{,}81$ km².

Commento: scrivere le trasformazioni con $ct$ e $\beta$ invece che con $t$ e $V$ le rende simmetriche e dimezza le occasioni di sbagliare le potenze di $c$. L’intervallo è negativo, di tipo spazio: nessun segnale collega l’evento all’origine, ed è per questo che l’ordine temporale potrebbe cambiare per un osservatore più veloce.

Esercizio 2. Un’astronave si allontana dalla Terra con velocità $V = 0{,}60\,c$ e lancia in avanti una sonda che, rispetto all’astronave, ha velocità $v' = 0{,}80\,c$. Qual è la velocità della sonda misurata da Terra?

Con la regola di Galileo si otterrebbe $1{,}40\,c$, più della velocità della luce. Con la composizione relativistica:

$$v = \frac{v' + V}{1 + V v'/c^2} = \frac{0{,}80 + 0{,}60}{1 + 0{,}60 \cdot 0{,}80}\,c = \frac{1{,}40}{1{,}48}\,c \approx 0{,}946\,c .$$

Commento: quando le due velocità hanno lo stesso verso il denominatore è maggiore di 1 e riduce il risultato quanto basta a non superare $c$. Per velocità piccole il prodotto $Vv'/c^2$ è trascurabile e si ritrova la somma classica: con $V = v' = 100$ m/s la correzione è di circa una parte su $10^{13}$.

Esercizio 3. Nel sistema $K'$ di un’astronave che si muove con $V = 0{,}60\,c$ lungo $x$, un impulso di luce viene emesso perpendicolarmente al moto, lungo $y'$. Qual è la sua velocità in $K$, e che angolo forma con l’asse $x$?

In $K'$: $v_x' = 0$, $v_y' = c$. Dal teorema, con $1 + Vv_x'/c^2 = 1$:

$$v_x = V = 0{,}60\,c, \qquad v_y = \frac{c}{\gamma} = 0{,}80\,c .$$

Il modulo è $\sqrt{0{,}60^2 + 0{,}80^2}\,c = c$, come deve essere. L’angolo con l’asse $x$ ha tangente $0{,}80/0{,}60$, cioè circa $53°$ invece di $90°$.

Commento: per chi sta in $K$ la luce è inclinata in avanti, nel verso del moto della sorgente. È l’aberrazione relativistica, lo stesso effetto per cui un osservatore in moto vede le stelle spostate verso la direzione in cui viaggia. Con Galileo si troverebbe $v_y = c$ e un modulo maggiore di $c$.

Esercizio 4. Nel sistema $K$ due lampi avvengono nello stesso istante in due punti a distanza $\Delta x = 3{,}0$ km lungo l’asse $x$. Quanto tempo li separa per un osservatore $K'$ che si muove lungo $x$ con $V = 0{,}60\,c$, e a che distanza avvengono per lui?

Per il corollario, $\Delta t' = -\gamma V\Delta x/c^2$, cioè $c\,\Delta t' = -\gamma\beta\,\Delta x = -1{,}25 \cdot 0{,}60 \cdot 3000$ m $= -2250$ m, e $\Delta t' = -7{,}5\ \mu$s: per $K'$ il lampo più avanti lungo $x$ avviene prima. La distanza è $\Delta x' = \gamma(\Delta x - V\Delta t) = 1{,}25 \cdot 3{,}0$ km $= 3{,}75$ km.

Commento: la distanza in $K'$ è più grande di quella in $K$, e non contraddice la contrazione delle lunghezze. I due lampi non sono le estremità di un regolo fermo in $K'$ misurate nello stesso istante di $K'$: sono simultanei in $K$. La contrazione riguarda la lunghezza di un oggetto misurata da chi lo vede muoversi, e va applicata solo a quella situazione.

Esercizio 5. Un’astronave parte da ferma e fa tre accensioni dei motori; ciascuna le dà una velocità $0{,}50\,c$ rispetto al sistema inerziale in cui si trovava prima dell’accensione. Qual è alla fine la velocità rispetto al sistema di partenza?

Con le rapidità: ogni accensione aggiunge $\varphi_1 = \operatorname{artanh} 0{,}50 \approx 0{,}549$, e alla fine $\varphi = 3\varphi_1 \approx 1{,}648$, con $\tanh 1{,}648 \approx 0{,}929$. La velocità finale è circa $0{,}929\,c$.

Verifica componendo due volte: $0{,}50$ e $0{,}50$ danno $1{,}00/1{,}25 = 0{,}80$; $0{,}80$ e $0{,}50$ danno $1{,}30/1{,}40 \approx 0{,}929$.

Commento: con Galileo la velocità finale sarebbe $1{,}50\,c$. Con Lorentz ogni accensione aggiunge la stessa rapidità ma una velocità sempre più piccola, e anche con infinite accensioni la velocità resterebbe sotto $c$.