Circuiti magnetici

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Correnti che producono campi

Il magnetismo delle correnti si scopre con l’esperimento di Hans Christian Ørsted, del 1820: un ago di bussola vicino a un filo percorso da corrente si sposta. Una corrente produce attorno a sé un campo magnetico, descritto dal vettore $\mathbf H$ , che si misura in ampere al metro, e dall’induzione magnetica $\mathbf B$ , che si misura in tesla. Questo articolo prepara quelli sull’induttore e sul mutuo induttore: per sapere quanto vale l’induttanza di una bobina bisogna saper calcolare il campo magnetico prodotto dalla sua corrente, e nei dispositivi reali quel campo è guidato da nuclei di materiale ferromagnetico, che si studiano con le stesse idee delle reti elettriche.

Teorema (legge di Ampère)

In regime stazionario, per ogni linea chiusa $\gamma$ e ogni superficie $\Sigma$ che ha $\gamma$ per bordo,

\oint_\gamma \mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell = \int_\Sigma \mathbf J\cdot\mathbf n\,dS ,

la corrente totale concatenata con $\gamma$ , contata positiva se il suo verso è legato a quello di percorrenza di $\gamma$ dalla regola della mano destra. Se $\gamma$ si concatena $N$ volte con un conduttore percorso dalla corrente $I$ , il secondo membro vale $NI$ , la forza magnetomotrice, che si misura in ampere; nelle macchine elettriche si dice spesso amperspire.

Dimostrazione.

In regime stazionario l’equazione di Ampère-Maxwell si riduce a $\nabla\times\mathbf H = \mathbf J$ , e il teorema di Stokes trasforma la circuitazione di $\mathbf H$ lungo $\gamma$ nel flusso del rotore attraverso $\Sigma$ . Il risultato non dipende dalla superficie scelta, perché in regime stazionario $\nabla\cdot\mathbf J = 0$ e il flusso di $\mathbf J$ attraverso la superficie chiusa formata da due superfici con lo stesso bordo è nullo. Se il conduttore attraversa $\Sigma$ $N$ volte nello stesso verso, il flusso di $\mathbf J$ è $N$ volte la corrente del conduttore.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (campo di un filo rettilineo)

Attorno a un filo rettilineo molto lungo percorso dalla corrente $I$ , le linee del campo $\mathbf H$ sono circonferenze centrate sul filo, orientate con la regola della mano destra, e a distanza $r$ dal filo

H = \frac{I}{2\pi r} .

Dimostrazione.

Il problema non cambia ruotando attorno al filo né spostandosi lungo di esso, quindi l’intensità del campo dipende solo da $r$ ; le linee sono circonferenze attorno al filo, perché una componente radiale darebbe un flusso di $\mathbf B$ non nullo attraverso un cilindro coassiale, contro $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ , e per la legge di Biot e Savart ogni tratto di filo produce un campo perpendicolare al filo stesso. Sulla circonferenza di raggio $r$ il campo è tangente e di intensità costante, e la legge di Ampère dà $H\cdot 2\pi r = I$ .

Fine della dimostrazione.

L’esperimento di Ørsted: otto aghi di bussola attorno a un filo visto in sezione, con la corrente che esce dal foglio. Senza corrente gli aghi indicano il nord. Quando la corrente passa, il campo $\mathbf H$ ha linee circolari percorse in senso antiorario, e gli aghi si dispongono tangenti; spenta la corrente, tornano al nord.

Per concentrare il campo si avvolge il filo in una bobina. La geometria più semplice da calcolare è il toroide, un anello su cui il filo è avvolto uniformemente.

Proposizione (campo in un toroide)

In un avvolgimento toroidale uniforme di $N$ spire percorse dalla corrente $I$ , all’interno dell’anello, a distanza $r$ dall’asse, le linee di $\mathbf H$ sono circonferenze coassiali e

H = \frac{NI}{2\pi r} ;

fuori dall’anello il campo è nullo.

Dimostrazione.

Per la simmetria attorno all’asse, sulle circonferenze coassiali il campo è tangente e di intensità costante. Una circonferenza interna all’anello è attraversata da tutte le spire, ciascuna una volta e nello stesso verso: la corrente concatenata è $NI$ e la legge di Ampère dà $H\cdot 2\pi r = NI$ . Una circonferenza più piccola del foro dell’anello non è attraversata da nessuna spira. Una circonferenza più grande dell’anello, nel suo piano, delimita un disco che ogni spira attraversa due volte, una verso l’alto e una verso il basso: la corrente concatenata è nulla. In entrambi i casi $H = 0$ .

Fine della dimostrazione.

I materiali ferromagnetici

Nel vuoto $\mathbf B = \mu_0\mathbf H$ , con $\mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}$ H/m $\approx 1{,}26\times10^{-6}$ H/m, e nella maggior parte dei materiali il valore è praticamente lo stesso. Il ferro, il nichel, il cobalto e le loro leghe sono diversi. Al loro interno ci sono regioni, i domini di Weiss, in cui i momenti magnetici degli atomi sono già allineati; in assenza di campo i domini sono orientati a caso e i loro effetti si annullano, ma un campo esterno li allinea, e l’induzione diventa centinaia o migliaia di volte più grande di quella nel vuoto. Si scrive $\mathbf B = \mu\mathbf H$ con $\mu = \mu_0\mu_r$ , e per gli acciai al silicio dei trasformatori la permeabilità relativa $\mu_r$ è tra $10^3$ e $10^4$ .

La relazione, però, non è lineare. Quando quasi tutti i domini sono allineati il materiale satura: oltre un ginocchio, per le leghe di ferro tra $1{,}5$ e $2$ T, l’induzione cresce ormai poco, e la permeabilità scende a valori tra $10^2$ e $10^3$ volte quella del vuoto. E non è a un solo valore: l’induzione dipende da come ci si è arrivati. Facendo oscillare il campo tra due valori opposti, il punto $(H, B)$ percorre un ciclo di isteresi. A campo nullo resta un’induzione residua $B_r$ , ed è ciò che fa funzionare i magneti permanenti; per annullarla serve il campo coercitivo $H_c$ . I materiali magneticamente dolci, con un ciclo stretto, servono per trasformatori e induttori; quelli duri, con un ciclo largo, per i magneti. L’area del ciclo è l’energia trasformata in calore, per unità di volume, a ogni giro: sono le perdite per isteresi dei nuclei in corrente alternata.

Il ciclo di isteresi di un materiale ferromagnetico, disegnato con un modello qualitativo. Partendo dal materiale smagnetizzato l’induzione segue la curva di prima magnetizzazione, tratteggiata; poi, con il campo che oscilla, il punto percorre il ciclo in senso antiorario, come nell’animazione. $B_r$ è l’induzione residua, $H_c$ il campo coercitivo; agli estremi il materiale è saturo.

Flusso, tensione magnetica e riluttanza

Definizione (flusso e tensione magnetica)

Il flusso magnetico attraverso una superficie $S$ è $\Phi = \int_S \mathbf B\cdot\mathbf n\,dS$ , e si misura in weber, $1\ \text{Wb} = 1\ \text T\cdot\text m^2$ . La tensione magnetica tra due punti $A$ e $B$ lungo una linea è $U_{AB} = \int_A^B \mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell$ , e si misura in ampere.

Poiché $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ , il flusso uscente da qualsiasi superficie chiusa è nullo. In un tubo di flusso, una superficie tubolare formata da linee di $\mathbf B$ , il flusso è quindi lo stesso attraverso ogni sezione: attraverso la parete laterale non ne passa, perché $\mathbf B$ le è tangente. È l’analogo del conduttore, in cui la corrente è la stessa in ogni sezione, e l’analogia prosegue.

Proposizione (legge di Hopkinson)

Un tronco di tubo di flusso di lunghezza $\ell$ e sezione costante $A$ , in un materiale di permeabilità $\mu$ uniforme, con induzione uniforme su ogni sezione, ha ai capi la tensione magnetica

U = \mathcal R\,\Phi, \qquad \mathcal R = \frac{\ell}{\mu A} .

$\mathcal R$ è la riluttanza del tronco, in $\text H^{-1}$ , e il suo inverso la permeanza.

Dimostrazione.

Su ogni sezione $B = \Phi/A$ , e dentro il materiale $H = B/\mu = \Phi/(\mu A)$ , costante lungo il tronco. Integrando lungo una linea di campo, $U = H\,\ell = \Phi\,\ell/(\mu A)$ .

Fine della dimostrazione.

La formula è quella della resistenza di un filo, $R = \ell/(\sigma A)$ , con la permeabilità al posto della conducibilità; con sezione o permeabilità variabili lungo il tubo, come per il resistore, $\mathcal R = \int d\ell/(\mu A)$ . Si arriva così alla rete magnetica, che ha le sue leggi di Kirchhoff.

Proposizione (leggi di Kirchhoff magnetiche)

In una rete di tubi di flusso, la somma dei flussi uscenti da un nodo è nulla, e lungo ogni maglia la somma delle tensioni magnetiche dei tronchi è uguale alla somma delle forze magnetomotrici $N_kI_k$ degli avvolgimenti concatenati con la maglia:

\sum_k \Phi_k = 0, \qquad \sum_k \mathcal R_k\,\Phi_k = \sum_k N_kI_k .

Dimostrazione.

La prima è la solenoidalità di $\mathbf B$ applicata a una superficie chiusa attorno al nodo, la seconda è la legge di Ampère applicata alla linea media della maglia, con la legge di Hopkinson in ogni tronco.

Fine della dimostrazione.

La tabella riassume la corrispondenza tra le due reti:

campo elettrico $\mathbf E$ e campo magnetico $\mathbf H$ ;
densità di corrente $\mathbf J$ e induzione magnetica $\mathbf B$ ;
conducibilità $\sigma$ e permeabilità $\mu$ ;
tensione $V$ e tensione magnetica $U$ ;
corrente $I$ e flusso $\Phi$ ;
resistenza $R$ e riluttanza $\mathcal R$ ;
forza elettromotrice $e$ e forza magnetomotrice $NI$ .

Per costruire la rete di un dispositivo si procede così: si tracciano le linee medie dei vari tronchi del nucleo, che diventano i lati della rete; ogni lato si divide in tratti omogenei a sezione costante, ciascuno con la sua riluttanza; in ogni lato concatenato con un avvolgimento di $N$ spire percorse da $I$ si mette un generatore di forza magnetomotrice $NI$ , orientato con la regola della mano destra. La rete si risolve poi con i metodi delle reti elettriche.

Un nucleo ferromagnetico con un avvolgimento di $N$ spire e un traferro di spessore $\delta$ , e a destra la sua rete magnetica: un generatore di forza magnetomotrice $NI$ con in serie la riluttanza del ferro $\mathcal R_{Fe}$ e quella del traferro $\mathcal R_0$ . Nell’animazione il flusso $\Phi$ scorre lungo la linea media del nucleo e attraversa il traferro.

Il traferro

Un traferro è un tratto d’aria lungo il percorso del flusso. Negli induttori si fa apposta, nei motori è inevitabile, perché la parte che gira deve essere separata da quella ferma.

Proposizione (nucleo con traferro)

Un nucleo ad anello di sezione $A$ , con un percorso nel ferro di lunghezza $\ell_{Fe}$ e permeabilità $\mu_{Fe}$ e un traferro di spessore $\delta$ , porta con un avvolgimento di $N$ spire e corrente $I$ il flusso

\Phi = \frac{NI}{\mathcal R_{Fe} + \mathcal R_0}, \qquad \mathcal R_{Fe} = \frac{\ell_{Fe}}{\mu_{Fe}A}, \qquad \mathcal R_0 = \frac{\delta}{\mu_0 A},

trascurando il flusso disperso e l’allargamento delle linee nel traferro. Il rapporto tra le due riluttanze è $\mathcal R_0/\mathcal R_{Fe} = \mu_r\,\delta/\ell_{Fe}$ .

Dimostrazione.

La rete ha una sola maglia, con il generatore $NI$ e le due riluttanze in serie, e la legge delle maglie dà $(\mathcal R_{Fe} + \mathcal R_0)\,\Phi = NI$ . Le due riluttanze vengono dalla legge di Hopkinson, e il loro rapporto è $(\delta/\mu_0 A)\cdot(\mu_0\mu_r A/\ell_{Fe}) = \mu_r\,\delta/\ell_{Fe}$ .

Fine della dimostrazione.

Con $\mu_r = 5000$ , un traferro di un millimetro e un metro di ferro, il rapporto vale $5$ : il traferro, mille volte più corto, ha una riluttanza cinque volte più grande di tutto il ferro. Quando il traferro domina, $\Phi \approx \mu_0 A\,NI/\delta$ non dipende più dalla permeabilità del ferro, che cambia con la temperatura, da un esemplare all’altro e con il livello di induzione. Il traferro rende il circuito quasi lineare e lo allontana dalla saturazione, al prezzo di una forza magnetomotrice più grande per lo stesso flusso. Nel traferro le linee di campo si allargano un po’ oltre la sezione del nucleo, e nei calcoli precisi si usa una sezione efficace un po’ più grande di $A$ .

I limiti dell’analogia

Su un punto conviene insistere: l’analogia tra reti elettriche e magnetiche riguarda la forma delle equazioni, non la fisica, e le differenze pesano.

In un conduttore le cariche si muovono e l’energia si dissipa in calore; in un circuito magnetico non si muove niente, il materiale si polarizza, e l’energia resta immagazzinata nel campo e viene restituita quando il campo si annulla, a parte le perdite per isteresi. La relazione tra $\mathbf J$ ed $\mathbf E$ nei conduttori è lineare con ottima approssimazione; quella tra $\mathbf B$ e $\mathbf H$ nel ferro è non lineare e dipende dalla storia, quindi la riluttanza di un tronco di ferro cambia con il flusso che lo attraversa. Infine un buon conduttore conduce da $10^{12}$ a $10^{19}$ volte meglio di un isolante, e la corrente resta dentro i fili; il ferro conduce il flusso solo $10^3$ o $10^4$ volte meglio dell’aria, e parte del flusso si chiude fuori dal nucleo. Il nucleo è un tubo di flusso solo in prima approssimazione, e il flusso disperso va considerato quando conta.

Le reti magnetiche si usano con le correnti degli avvolgimenti assegnate. Quando le correnti variano nel tempo, in regime quasi stazionario le stesse equazioni valgono istante per istante; ma una corrente variabile produce un flusso variabile, e il flusso variabile induce tensioni negli avvolgimenti. Quelle tensioni sono l’argomento dell’articolo sull’induttore.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Quanto vale l’induzione magnetica a $1$ cm da un filo percorso da $10$ A? Si confronti con la componente orizzontale del campo terrestre, in Italia circa $0{,}025$ mT.

$H = 10/(2\pi\cdot 0{,}01) \approx 159$ A/m, e in aria $B = \mu_0 H \approx 2{,}0\times10^{-4}$ T $= 0{,}2$ mT, circa otto volte la componente orizzontale del campo terrestre.

Commento: a quella distanza un ago di bussola segue il campo del filo quasi del tutto. A un metro il campo è cento volte più debole, e il nord torna a prevalere: per questo le bussole dei veicoli si tengono lontane dai cavi che portano correnti forti.

Esercizio 2. Un toroide di ferrite con raggio medio $2$ cm, sezione $0{,}5$ cm² e permeabilità relativa $2000$ ha $200$ spire. Che induzione produce una corrente di $1$ A? E una di $50$ mA?

Sul raggio medio $H = NI/(2\pi r) = 200/(2\pi\cdot 0{,}02) \approx 1590$ A/m, e se il materiale restasse lineare $B = \mu_0\mu_r H \approx 1{,}26\times10^{-6}\cdot 2000\cdot 1590 \approx 4{,}0$ T. Con $50$ mA l’induzione è venti volte più piccola, $0{,}2$ T, e il flusso $0{,}2\cdot 0{,}5\times10^{-4} = 10^{-5}$ Wb.

Commento: $4$ T è impossibile, perché le ferriti saturano attorno a $0{,}3$ - $0{,}5$ T. Il conto lineare con $1$ A è sbagliato non nell’aritmetica ma nell’ipotesi, e il valore della permeabilità si può usare solo dopo aver controllato che l’induzione resti sotto la saturazione. Con $50$ mA il calcolo è attendibile.

Esercizio 3. Un nucleo ha un percorso nel ferro di $60$ cm, sezione $4$ cm², permeabilità relativa $4000$ e un traferro di $1$ mm. L’avvolgimento ha $500$ spire percorse da $2$ A. Calcola il flusso e l’induzione, e ripeti il calcolo con permeabilità del ferro infinita.

Le riluttanze sono $\mathcal R_{Fe} = 0{,}6/(4\pi\times10^{-7}\cdot 4000\cdot 4\times10^{-4}) \approx 2{,}98\times10^5\ \text H^{-1}$ e $\mathcal R_0 = 10^{-3}/(4\pi\times10^{-7}\cdot 4\times10^{-4}) \approx 1{,}99\times10^6\ \text H^{-1}$ . Con $NI = 1000$ A, $\Phi = 1000/(2{,}29\times10^6) \approx 4{,}37\times10^{-4}$ Wb e $B = \Phi/A \approx 1{,}09$ T. Con il ferro ideale resta solo il traferro: $\Phi \approx 5{,}03\times10^{-4}$ Wb e $B \approx 1{,}26$ T.

Commento: il traferro assorbe l’87% della forza magnetomotrice, e l’ipotesi di ferro ideale sbaglia di circa il 13%. Conviene fare sempre i due conti, proprio per vedere quanto pesa il ferro. L’induzione di $1{,}09$ T è sotto il ginocchio dei lamierini al silicio, e il calcolo lineare regge.

Esercizio 4. Un nucleo a tre colonne, tutte di sezione $4$ cm², ha l’avvolgimento sulla colonna centrale, $500$ spire percorse da $1$ A, e un traferro su ciascuna colonna esterna, di $1$ mm a sinistra e di $2$ mm a destra. Con il ferro ideale, quanto flusso passa in ciascuna colonna?

Con il ferro ideale restano le riluttanze dei traferri, $\mathcal R_1 \approx 1{,}99\times10^6\ \text H^{-1}$ ed $\mathcal R_2 \approx 3{,}98\times10^6\ \text H^{-1}$ , in parallelo tra i due nodi della rete, cioè le due estremità della colonna centrale. Entrambe hanno ai capi la tensione magnetica $NI = 500$ A, quindi $\Phi_1 = 500/\mathcal R_1 \approx 2{,}51\times10^{-4}$ Wb e $\Phi_2 \approx 1{,}26\times10^{-4}$ Wb; nella colonna centrale passa la somma, $3{,}77\times10^{-4}$ Wb. Le induzioni sono circa $0{,}63$ T, $0{,}31$ T e $0{,}94$ T.

Commento: è un partitore di flusso, l’analogo del partitore di corrente: il flusso sceglie in proporzione la strada con la permeanza più alta. Nei nuclei a tre colonne veri la colonna centrale ha di solito sezione doppia, proprio perché porta il flusso delle due laterali.

Esercizio 5. Quante amperspire servono per avere $1$ T in un traferro di $2$ mm, con il ferro ideale? Con $400$ spire, che corrente serve? Di quanto cresce, se il ferro ha $\mu_r = 5000$ e il suo percorso è lungo $50$ cm?

Nel traferro $H = B/\mu_0 \approx 7{,}96\times10^5$ A/m, e la tensione magnetica è $H\delta \approx 1590$ A: con $400$ spire servono circa $3{,}98$ A. Nel ferro $H = B/(\mu_0\mu_r) \approx 159$ A/m, che su $0{,}5$ m fa altri $80$ A: la corrente sale del 5%, a circa $4{,}18$ A.

Commento: si può ragionare direttamente in tensioni magnetiche, tratto per tratto, senza passare dalle riluttanze: basta conoscere $B$ in ogni tratto. È il modo in cui si progetta un circuito magnetico reale, perché nel ferro il legame tra $B$ e $H$ si legge sulla curva di magnetizzazione del materiale, non da una permeabilità costante.

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