La trasmissione dell'energia elettrica

Quanto conduttore serve

Una linea elettrica deve portare una potenza assegnata a una distanza assegnata con un rendimento accettabile. Costano i sostegni, gli isolatori, i lavori, e costa il metallo dei conduttori, rame o alluminio, il cui volume cresce con la sezione. Questo articolo confronta tre modi di fare la stessa linea, la corrente continua con due conduttori, l’alternata monofase con due e la trifase con tre, e chiede quale usa meno conduttore. È il secondo dei vantaggi del trifase anticipati nell’introduzione al percorso, e la risposta dipende dal fattore di potenza e da quale tensione si sceglie per il confronto.

Tre linee a confronto

Le tre linee hanno la stessa lunghezza $L$, conduttori dello stesso materiale di resistività $\rho$, e alimentano un carico che assorbe la potenza attiva $P$ con la tensione $V$ tra i conduttori: in continua la tensione tra i due conduttori, in monofase il suo valore efficace, in trifase la tensione concatenata. In alternata il carico ha fattore di potenza $\cos\varphi$. Un conduttore di sezione $S$ ha resistenza $\rho L/S$.

A parità di sezione la linea trifase ha metà delle perdite della monofase, pur avendo un conduttore in più: la sua corrente è $\sqrt3$ volte più piccola, e le perdite vanno con il quadrato della corrente.

A parità di potenza, parità di perdite vuol dire parità di rendimento. Con il carico rifasato del tutto, $\cos\varphi = 1$, la trifase usa tre quarti del conduttore delle altre due; con $\cos\varphi = 0{,}9$ usa il $93\%$ di quello della continua. Un fattore di potenza basso penalizza le due linee in alternata allo stesso modo, perché devono portare anche la corrente legata alla potenza reattiva.

La tensione di confronto e l’isolamento

Il confronto precedente dà alle tre linee la stessa tensione $V$: il valore efficace in alternata, il valore costante in continua. L’isolamento però non guarda il valore efficace. Una tensione sinusoidale di valore efficace $V$ tocca due volte per periodo il valore $\sqrt2\,V$, il $41\%$ in più, e sono i picchi a fissare le distanze tra i conduttori, la lunghezza delle catene di isolatori e lo spessore dell’isolante di un cavo.

Per le linee ad altissima tensione, dove l’isolamento è il vincolo più costoso, il confronto giusto è questo, e fa pendere la bilancia verso la continua. Una linea in continua non porta nemmeno potenza reattiva e non ha correnti capacitive. Nei cavi è decisivo: in alternata la capacità di un cavo assorbe una corrente che cresce con la lunghezza, e dopo alcune decine di chilometri si mangia buona parte della corrente che il cavo può portare. Una linea in continua, infine, può collegare due reti che non sono sincronizzate tra loro.

Il prezzo sono le stazioni di conversione alle due estremità, che con l’elettronica di potenza trasformano l’alternata in continua e viceversa e costano molto più di una stazione di trasformazione. La continua conviene quindi solo oltre una certa distanza, qualche centinaio di chilometri per le linee aeree e alcune decine per i cavi sottomarini. Il primo collegamento commerciale in corrente continua ad alta tensione entrò in servizio nel 1954 in Svezia, tra la costa e l’isola di Gotland: un cavo sottomarino di 96 chilometri a 100 kV, per 20 MW, con convertitori a vapori di mercurio. In Italia il collegamento SA.PE.I., in servizio dal 2011, unisce la Sardegna al Lazio con 420 chilometri di cavo sottomarino, posato fino a 1600 metri di profondità, e porta 1000 MW a 500 kV.

La linea come circuito

Per calcolare tensioni, correnti e perdite serve un modello della linea. Ogni conduttore ha una resistenza proporzionale alla lunghezza. La corrente produce un campo magnetico concatenato con il circuito, e la linea ha un’induttanza. I conduttori sono separati dall’aria o da un isolante, e tra loro e verso terra c’è una capacità. Resistenza, induttanza e capacità sono distribuite lungo tutta la linea, ma finché la linea è corta rispetto alla lunghezza d’onda, $6000$ km a $50$ Hz, si possono concentrare in pochi componenti.

Per le linee aeree a $50$ Hz la sola impedenza in serie $R + jX$ basta fino a qualche decina di chilometri, il modello a π fino a un paio di centinaia, e oltre si usano le equazioni della linea a costanti distribuite. La reattanza di una linea aerea vale circa $0{,}4\ \Omega$ al chilometro, e nelle linee ad alta tensione, con conduttori di sezione grande, supera di molto la resistenza. Con l’impedenza in serie valgono i risultati dell’articolo sui sistemi trifase: la caduta di tensione $\Delta V \approx (PR + QX)/V$, le perdite relative $\Delta P/P = RP/(V^2\cos^2\varphi)$ e il rendimento

$$\eta = \frac{P}{P + \Delta P} = \frac{1}{1 + RP/(V^2\cos^2\varphi)} .$$

Le perdite relative diminuiscono con il quadrato della tensione, ed è la ragione quantitativa delle tensioni alte della trasmissione. La reattanza non dissipa, ma attraverso la potenza reattiva pesa sulla caduta di tensione quanto la resistenza attraverso la potenza attiva; rifasare i carichi riduce sia le perdite sia la caduta.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un carico da $50$ kW, con $\cos\varphi = 0{,}9$ nel caso delle linee in alternata, va alimentato a $400$ V con una linea in rame lunga $500$ m, con perdite pari al $3\%$ della potenza. Con $\rho = 0{,}0175\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$ e una densità del rame di $8960$ kg/m³, calcola la sezione dei conduttori e la massa di rame di una linea in continua, di una monofase e di una trifase.

Le perdite ammesse sono $1500$ W. In continua $I_C = 125$ A e $S_C = 2\rho LI_C^2/\Delta P = 2 \cdot 0{,}0175 \cdot 500 \cdot 125^2/1500 = 182$ mm². In monofase $I_1 = 138{,}9$ A e $S_1 = 2\rho LI_1^2/\Delta P = 225$ mm². In trifase $I_3 = 80{,}2$ A e $S_3 = 3\rho LI_3^2/\Delta P = 113$ mm². I volumi sono $2S_CL = 0{,}182$ m³, $2S_1L = 0{,}225$ m³ e $3S_3L = 0{,}169$ m³, e le masse di rame $1630$, $2020$ e $1510$ kg.

Commento: la trifase usa il $75\%$ del rame della monofase e il $93\%$ di quello della continua, come dice il teorema con $\cos\varphi = 0{,}9$. Le sezioni commerciali più vicine per eccesso sono $185$, $240$ e $120$ mm², e con conduttori un po’ più grossi le perdite scendono sotto il $3\%$.

Esercizio 2. Una linea trifase lunga $200$ km, con una resistenza di $0{,}03\ \Omega/\text{km}$ per fase, trasporta $1000$ MW con $\cos\varphi = 0{,}95$. Calcola la corrente e le perdite con una tensione concatenata di $380$ kV e con una di $132$ kV.

$R = 6\ \Omega$. A $380$ kV la corrente è $I = 10^9/(\sqrt3 \cdot 380\,000 \cdot 0{,}95) = 1600$ A, e

$$\frac{\Delta P}{P} = \frac{RP}{V^2\cos^2\varphi} = \frac{6 \cdot 10^9}{380\,000^2 \cdot 0{,}9025} = 4{,}6\% ,$$

cioè $46$ MW. A $132$ kV la corrente è $4600$ A e le perdite il $38\%$, $382$ MW.

Commento: a $132$ kV più di un terzo della potenza si perderebbe per strada, e una corrente di $4600$ A richiederebbe conduttori enormi. Il rapporto tra le perdite è $(380/132)^2 = 8{,}3$. Nelle linee reali a $380$ kV ogni fase è fatta di due o tre conduttori in parallelo, tenuti a qualche decina di centimetri l’uno dall’altro, per aumentare la sezione e per limitare l’effetto corona, le scariche nell’aria attorno ai conduttori.

Esercizio 3. Una linea trifase a $20$ kV lunga $10$ km, con $R = 0{,}2\ \Omega/\text{km}$ e $X = 0{,}4\ \Omega/\text{km}$ per fase, alimenta un carico da $4$ MW con $\cos\varphi = 0{,}9$ e tensione concatenata di $20$ kV all’arrivo. Calcola la caduta di tensione, le perdite e il rendimento della linea.

$R = 2\ \Omega$, $X = 4\ \Omega$ e $Q = P\tan\varphi = 1{,}94$ MVAr. La caduta di tensione è

$$\Delta V \approx \frac{PR + QX}{V} = \frac{4 \cdot 10^6 \cdot 2 + 1{,}94 \cdot 10^6 \cdot 4}{20\,000}\ \text{V} = (400 + 387)\ \text{V} = 787\ \text{V} ,$$

il $3{,}9\%$. Le perdite sono $\Delta P = RP^2/(V^2\cos^2\varphi) = 2 \cdot 16 \cdot 10^{12}/(4 \cdot 10^8 \cdot 0{,}81)$ W $= 98{,}8$ kW, il $2{,}5\%$, e il rendimento è $4000/4098{,}8 = 97{,}6\%$.

Commento: resistenza e reattanza pesano quasi allo stesso modo sulla caduta di tensione, ma sulle perdite pesa solo la resistenza. Il calcolo esatto con il monofase equivalente dà una tensione alla partenza di $20{,}80$ kV, cioè una caduta di $796$ V: la formula approssimata sbaglia di circa l’$1\%$.