I postulati di Einstein

Dove la relatività di Galileo non basta

Alla fine dell’Ottocento la meccanica di Newton e il principio di relatività di Galileo avevano alle spalle due secoli di successi. I problemi arrivarono dall’elettromagnetismo.

Il primo problema è quello da cui partì Einstein nel 1905. Una spira conduttrice e un magnete si muovono l’uno rispetto all’altro. Per chi vede fermo il magnete, sugli elettroni della spira, che si muovono con lei, agisce la forza di Lorentz, e nella spira circola corrente. Per chi vede ferma la spira, il magnete in moto fa variare il flusso magnetico concatenato, e per la legge di Faraday nasce un campo elettrico che spinge gli elettroni. La corrente misurata è la stessa; le spiegazioni sono due, e quale usare dipende da quale dei due corpi si considera fermo. Einstein la chiamò un’asimmetria che nei fenomeni non c’è.

Il secondo riguarda la luce. Le equazioni di Maxwell prevedono onde elettromagnetiche che nel vuoto si propagano con velocità $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} \approx 3{,}00 \times 10^8$ m/s, senza indicare rispetto a quale sistema di riferimento. Con le trasformazioni di Galileo la velocità della luce dovrebbe cambiare da un osservatore all’altro, come cambia quella di un passeggero sul treno. L’esperimento di Michelson e Morley del 1887 cercò una differenza tra le velocità della luce in direzioni diverse, mentre la Terra si muove attorno al Sole, e non la trovò. E le equazioni di Maxwell non mantengono la loro forma con le trasformazioni di Galileo: la mantengono con altre trasformazioni, trovate da Lorentz, che però allora non avevano una giustificazione fisica.

I due postulati

La risposta di Einstein fu di mettere alla base della teoria due affermazioni.

Il primo estende a tutta la fisica il principio di Galileo, ed è quello che l’esperimento della spira suggerisce. Il secondo viene dagli esperimenti: oltre a quello di Michelson e Morley, nel 1964 al CERN si misurò la velocità dei fotoni emessi da pioni neutri che viaggiavano quasi alla velocità della luce, e risultò ancora $c$. Il modo di procedere è nuovo: fino ad allora dalle leggi fisiche si ricavavano, quasi come una curiosità, le loro simmetrie; qui si parte dalla simmetria per ricavare le leggi.

I due postulati insieme sono incompatibili con le trasformazioni di Galileo. Se la luce ha velocità $c$ per $K'$, la composizione $v = v' + V$ darebbe $c + V$ per $K$. Nell’articolo precedente le trasformazioni di Galileo erano state dimostrate a partire da sei ipotesi; una va abbandonata, ed è quella del tempo assoluto. Il resto di questo articolo mostra perché, usando soltanto i due postulati, l’omogeneità e l’isotropia dello spazio e alcuni esperimenti ideali.

Per gli esperimenti ogni osservatore ha lo stesso strumento: un regolo di lunghezza $L_0$ e un orologio a luce, due specchi paralleli alla distanza $L_0$ tra i quali rimbalza un impulso. Per chi tiene fermo l’orologio, l’intervallo tra due arrivi successivi dell’impulso sullo stesso specchio è

$$T_0 = \frac{2L_0}{c}.$$

Per il principio di relatività due osservatori inerziali in moto relativo, ciascuno con una copia dello strumento, trovano sulla propria copia gli stessi $L_0$ e $T_0$.

Orologi sincronizzati

Per misurare la velocità di un oggetto che passa da un punto $A$ a un punto $B$ servono gli istanti dei due passaggi. Un orologio in $A$ registra senza problemi il passaggio in $A$. Per il passaggio in $B$ si potrebbe mandare un segnale da $B$ ad $A$ e sottrarre il suo tempo di viaggio, ma per conoscerlo bisognerebbe conoscere la velocità del segnale, cioè saper già misurare una velocità. L’unica via d’uscita è mettere un secondo orologio in $B$, e questo richiede di dire che cosa significa che i due orologi segnano «lo stesso tempo».

Due impulsi emessi insieme da uno stesso punto non pongono problemi: la simultaneità nello stesso punto è un fatto su cui tutti gli osservatori concordano. La definizione usa il secondo postulato, perché presuppone che la luce percorra $MA$ e $MB$ con la stessa velocità. Einstein la formulò in un modo equivalente: un impulso parte da $A$ all’istante $t_A$, arriva in $B$ all’istante $t_B$ e torna in $A$ all’istante $t_A'$; gli orologi sono sincronizzati se $t_B = (t_A + t_A')/2$. Gli orologi vanno sincronizzati dopo averli messi al loro posto, perché, come si vedrà, spostarli cambia il loro ritmo.

Da qui in avanti ogni osservatore inerziale dispone di un orologio fermo in ogni punto del suo sistema, tutti sincronizzati in questo modo: il tempo di un evento, per lui, è quello che segna l’orologio che si trova nel punto dell’evento.

Le lunghezze perpendicolari al moto

Si comincia da ciò che non cambia. Due regoli identici $R$ e $R'$, fermi rispettivamente in $K$ e in $K'$, sono disposti perpendicolarmente all’asse $x$ lungo cui avviene il moto relativo, con le estremità inferiori sulla stessa retta parallela a $x$. A ciascuna estremità di ciascun regolo è fissato un pennino, che lascia un segno sull’altro regolo quando i due si incrociano.

Qui non c’è nessuna sottigliezza sulla simultaneità: ogni segno nasce nel punto e nell’istante in cui due pennini si incontrano, e un incontro nello stesso punto è lo stesso evento per tutti. Con la lunghezza lungo la direzione del moto le cose andranno diversamente.

La dilatazione dei tempi

L’orologio a luce di $K'$ è disposto con gli specchi paralleli all’asse $x$, cioè con la distanza $L_0$ perpendicolare al moto. Per $K'$ l’impulso va su e giù in verticale, e il periodo è $T_0 = 2L_0/c$. Per $K$ l’orologio si muove con velocità $V$, e il tempo tra due arrivi successivi dell’impulso sullo specchio inferiore lo misurano due dei suoi orologi sincronizzati, perché lo specchio nel frattempo si è spostato.

Il numero $\gamma$ si chiama fattore di Lorentz, e il rapporto $V/c$ si indica spesso con $\beta$, così che $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$. Poiché $\gamma > 1$ per ogni $V \neq 0$, un orologio in moto batte più lentamente di come batte per chi lo tiene fermo. Per le velocità di tutti i giorni l’effetto è minuscolo: per un aereo a $300$ m/s, $\beta = 10^{-6}$ e $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 5 \times 10^{-13}$.

Il risultato non riguarda solo gli orologi a luce. Un altro orologio fermo in $K'$, di qualunque tipo, che batte insieme all’orologio a luce quando sono vicini, deve continuare a farlo per $K$: due orologi che scattano nello stesso punto e nello stesso istante lo fanno per tutti gli osservatori. Se il suo ritmo cambiasse in un altro modo, confrontando i due orologi $K'$ potrebbe accorgersi del proprio moto, contro il principio di relatività. Rallenta tutto: le oscillazioni di un quarzo, un decadimento radioattivo, il battito di un cuore.

L’effetto è reciproco. Per $K'$ sono gli orologi di $K$ a rallentare, e le due affermazioni non si contraddicono, perché le misure non sono fatte nello stesso modo. Ciascun osservatore misura il tempo proprio del proprio orologio con un solo orologio, fermo accanto a lui, e il periodo dell’orologio dell’altro con due orologi, nei due punti in cui si trova l’orologio in moto all’inizio e alla fine del periodo. Sono procedure diverse, e non devono dare lo stesso risultato. Il principio di relatività chiede solo che la stessa procedura, eseguita da $K$ o da $K'$, dia lo stesso risultato, ed è così.

La contrazione delle lunghezze

Ora l’orologio a luce di $K'$ è girato di un angolo retto: gli specchi sono perpendicolari all’asse $x$ e la loro distanza propria $L_0$ è lungo la direzione del moto. Per $K$ quella distanza vale $L$, e a priori non si può escludere che sia diversa da $L_0$.

Un oggetto in moto è più corto nella direzione del moto, e solo in quella. È la contrazione di Lorentz. Anche questo effetto è reciproco, e per la stessa ragione della dilatazione: misurare la lunghezza di un oggetto in moto vuol dire segnare dove si trovano le sue due estremità nello stesso istante, e, come si vede tra poco, «nello stesso istante» dipende dall’osservatore.

La simultaneità dipende dall’osservatore

Nel mezzo di un vagone, nel punto $M$, una sorgente emette due impulsi di luce, uno verso la coda $A$ e uno verso la testa $B$. Il vagone, fermo in $K'$, ha lunghezza propria $L_0$ e si muove rispetto ai binari, il sistema $K$, con velocità $V$ nel verso che va da $A$ a $B$. «Arrivo dell’impulso in $A$» e «arrivo dell’impulso in $B$» sono due eventi, per esempio due lampadine che si accendono, e quali siano gli eventi non dipende dall’osservatore.

Due eventi che avvengono in punti diversi possono essere simultanei per un osservatore e non per un altro. Invertendo il verso del moto, per $K$ arriverebbe prima l’impulso in $B$: l’ordine dei due eventi dipende dall’osservatore. Questo non mette in crisi il rapporto tra cause ed effetti. Nessun segnale può andare da $A$ a $B$ in tempo per far accendere una lampadina mentre si accende l’altra, e l’articolo sull’intervallo dimostra che l’ordine temporale di due eventi può cambiare solo quando tra loro non c’è nessun legame causale possibile.

Con due proiettili sparati da $M$ la conclusione sarebbe diversa, secondo la meccanica classica: per chi è a terra le velocità dei proiettili si sommano a quella del treno, uno va più veloce e uno più lento, e arrivano insieme. Due suoni, invece, arriverebbero in tempi diversi anche per la fisica classica, ma per un’altra ragione: il suono si propaga rispetto all’aria, e l’aria ferma rispetto ai binari distingue un sistema di riferimento dagli altri. La luce non ha un mezzo del genere, e ha la stessa velocità per tutti.

La velocità della luce come limite

Nella formula della dilatazione dei tempi il fattore $\gamma$ è un numero reale solo per $V < c$, e tende all’infinito quando $V$ si avvicina a $c$: un orologio che viaggiasse alla velocità della luce, per chi lo vede passare, sarebbe fermo. La cinematica suggerisce che $c$ sia un limite. La dimostrazione che nessun corpo dotato di massa può raggiungerla viene dalla dinamica, perché l’energia necessaria per accelerarlo cresce senza limite, e si trova nell’articolo sull’energia e sulla quantità di moto relativistiche. Solo le particelle prive di massa, come i fotoni, viaggiano a $c$. Particelle più veloci della luce, i tachioni, sono state ipotizzate ma mai osservate.

Anche la gravità si propaga alla velocità della luce: nel 2017 le onde gravitazionali emesse dalla fusione di due stelle di neutroni e i raggi gamma prodotti nello stesso evento sono arrivati sulla Terra a meno di due secondi di distanza, dopo un viaggio di circa 130 milioni di anni, e questo limita la differenza tra le due velocità a qualche parte su $10^{15}$. Nessuna informazione può viaggiare più veloce di $c$: se potesse, per qualche osservatore un effetto precederebbe la sua causa, come si vedrà con i diagrammi di Minkowski.

I muoni atmosferici

Un esempio in cui la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze si vedono entrambe è quello dei muoni atmosferici. I muoni sono particelle elementari che, ferme, decadono in media dopo $\tau_0 = 2{,}2$ milionesimi di secondo in un elettrone e due neutrini. Quelli che si osservano in natura nascono a una quindicina di chilometri di quota, negli urti dei raggi cosmici con i nuclei dell’atmosfera, e viaggiano quasi alla velocità della luce. In $2{,}2$ milionesimi di secondo la luce percorre circa $660$ m, eppure i muoni arrivano al suolo in gran numero.

Per chi sta a terra la spiegazione è la dilatazione dei tempi: la vita media di un muone in moto è $\gamma\tau_0$, decine di volte più lunga, e basta per scendere di molti chilometri. Per chi viaggia con il muone la vita media è $\tau_0$, ma l’atmosfera che gli corre incontro è contratta di un fattore $\gamma$, e i chilometri da attraversare diventano poche centinaia di metri. Le due spiegazioni sono diverse, il numero di muoni che arriva al suolo è lo stesso, come mostra il primo esercizio.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un muone viene prodotto a $h = 15$ km di quota e scende verso il suolo con velocità $v = 0{,}998\,c$. La sua vita media, misurata nel sistema in cui è fermo, è $\tau_0 = 2{,}2\ \mu$s. Calcola quale frazione dei muoni prodotti arriva al suolo, prima senza e poi con la relatività, e ripeti il calcolo nel sistema di riferimento del muone.

Il fattore di Lorentz è

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}998^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}003996}} \approx 15{,}8.$$

Il tempo di volo misurato da terra è $t = h/v = (15\,000\ \text{m})/(2{,}992 \times 10^8\ \text{m/s}) \approx 5{,}01 \times 10^{-5}$ s. La frazione di muoni che sopravvive dopo un tempo $t$ è $e^{-t/\tau}$, dove $\tau$ è la vita media nel sistema in cui si misura $t$.

Senza relatività si userebbe $\tau = \tau_0$: $t/\tau_0 \approx 22{,}8$ e $e^{-22{,}8} \approx 1{,}3 \times 10^{-10}$. In media un muone percorrerebbe $v\tau_0 \approx 658$ m, e al suolo non ne arriverebbe quasi nessuno.

Con la relatività, per chi sta a terra la vita media del muone in moto è $\gamma\tau_0 \approx 34{,}8\ \mu$s, quindi $t/(\gamma\tau_0) \approx 1{,}44$ e arriva al suolo una frazione $e^{-1{,}44} \approx 0{,}24$, circa un muone su quattro.

Nel sistema del muone la vita media è $\tau_0$, ma è l’atmosfera a muoversi: lo spessore da attraversare si contrae a $h/\gamma \approx 948$ m, percorso in $3{,}17\ \mu$s. Il rapporto con $\tau_0$ è di nuovo $1{,}44$, e la frazione è la stessa.

Commento: i due osservatori spiegano lo stesso fatto con due effetti diversi, ma devono contare lo stesso numero di muoni al suolo, perché quel conteggio è un fatto. L’errore frequente è applicare entrambi gli effetti nello stesso sistema di riferimento, contando due volte la correzione.

Esercizio 2. Due orologi a luce identici, con specchi a distanza propria $L_0 = 1{,}5$ m, viaggiano insieme con velocità $V = 0{,}60\,c$ rispetto al laboratorio: uno ha gli specchi paralleli alla direzione del moto, l’altro perpendicolari. Calcola il periodo proprio e i due periodi misurati nel laboratorio. Usa $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s.

Periodo proprio: $T_0 = 2L_0/c = 3{,}0/(3{,}00 \times 10^8)$ s $= 10{,}0$ ns. Il fattore di Lorentz è $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25$.

Orologio con la distanza tra gli specchi perpendicolare al moto: $T = \gamma T_0 = 12{,}5$ ns.

Orologio con la distanza lungo il moto: nel laboratorio gli specchi distano $L = L_0/\gamma = 1{,}20$ m. L’andata dura $L/(c - V) = 1{,}20/(1{,}20 \times 10^8)$ s $= 10{,}0$ ns, il ritorno $L/(c + V) = 1{,}20/(4{,}80 \times 10^8)$ s $= 2{,}5$ ns. Il periodo è $12{,}5$ ns, lo stesso dell’altro orologio.

Commento: l’andata dura quattro volte il ritorno, ma la somma coincide con il periodo dell’orologio perpendicolare. Se nel calcolo si usasse la lunghezza propria $1{,}5$ m invece di quella contratta, si otterrebbe $15{,}6$ ns e i due orologi, che viaggiano insieme e scattano insieme, per il laboratorio andrebbero a ritmi diversi: un risultato impossibile, che segnala l’errore.

Esercizio 3. Un vagone lungo $L_0 = 300$ m viaggia a $V = 0{,}60\,c$. Dal suo centro partono due impulsi di luce verso le estremità. Quando arrivano gli impulsi, per chi è sul vagone e per chi è a terra?

Sul vagone ogni impulso percorre $150$ m, e i due arrivano insieme dopo $150/(3{,}00 \times 10^8)$ s $= 0{,}50\ \mu$s.

A terra il vagone è lungo $L = 300/1{,}25 = 240$ m. L’impulso verso la coda arriva dopo $t_A = L/(2(c + V)) = 120/(4{,}80 \times 10^8)$ s $= 0{,}25\ \mu$s, quello verso la testa dopo $t_B = L/(2(c - V)) = 120/(1{,}20 \times 10^8)$ s $= 1{,}00\ \mu$s. La differenza è $0{,}75\ \mu$s, e la formula $\gamma V L_0/c^2 = 1{,}25 \cdot 0{,}60 \cdot 300/(3{,}00 \times 10^8)$ s $= 0{,}75\ \mu$s dà lo stesso valore.

Commento: per chi è a terra nessuno dei due arrivi avviene a $0{,}50\ \mu$s, e non c’è niente di strano: i tempi di due osservatori diversi non si confrontano uno a uno. L’errore tipico è calcolare i tempi a terra con la lunghezza propria del vagone, che darebbe $t_A \approx 0{,}31\ \mu$s e $t_B = 1{,}25\ \mu$s.

Esercizio 4. Un’astronave parte dalla Terra verso una stella che, nel sistema della Terra, dista $4{,}0$ anni luce, e viaggia a $V = 0{,}80\,c$. Quanto dura il viaggio secondo gli orologi della Terra e secondo l’orologio di bordo? Trascura le fasi di accelerazione e il moto relativo tra Terra e stella.

Il fattore di Lorentz è $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}64} = 1/0{,}60 \approx 1{,}67$.

Nel sistema della Terra il viaggio dura $4{,}0/0{,}80 = 5{,}0$ anni. Partenza e arrivo avvengono in due punti diversi, e il tempo lo misurano due orologi sincronizzati, uno sulla Terra e uno presso la stella.

Per l’orologio di bordo partenza e arrivo avvengono nello stesso punto, l’astronave: il tempo che segna è un tempo proprio, e per la dilatazione dei tempi vale $5{,}0/\gamma = 3{,}0$ anni.

Lo stesso risultato si ottiene ragionando nel sistema dell’astronave. Lì sono la Terra e la stella a muoversi a $0{,}80\,c$, e la loro distanza, lungo la direzione del moto, è contratta a $4{,}0/\gamma = 2{,}4$ anni luce: la stella arriva all’astronave dopo $2{,}4/0{,}80 = 3{,}0$ anni.

Commento: non c’è un orologio «giusto» e uno «sbagliato». I $5{,}0$ anni e i $3{,}0$ anni sono misure di cose diverse, fatte con procedure diverse: la prima con due orologi fermi sulla Terra e sulla stella, la seconda con un orologio solo, che viaggia. L’astronauta invecchia davvero di tre anni.