Transitori nelle reti

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Dopo una manovra

Una rete in regime stazionario resta ferma finché qualcuno non chiude o apre un interruttore. Dopo la manovra la rete ha una configurazione nuova e un nuovo regime da raggiungere, ma non ci arriva di colpo: condensatori e induttori contengono energia, e l’energia si ridistribuisce in un tempo finito. Il passaggio da un regime all’altro è il transitorio. L’articolo generalizza la carica del condensatore e la crescita della corrente nell’induttore trattate nei loro articoli.

Negli schemi un interruttore comandato in chiusura è un circuito aperto prima dell’istante $t_0$ e un cortocircuito dopo; uno comandato in apertura fa il contrario; un commutatore sposta un collegamento da un morsetto a un altro. Si scrive $t_0^-$ per l’istante subito prima della manovra e $t_0^+$ per quello subito dopo.

Variabili di stato e variabili di rete

La tensione di un condensatore e la corrente di un induttore sono le variabili di stato della rete. Da loro dipende l’energia accumulata, $\tfrac12Cv^2$ e $\tfrac12Li^2$ , e gli articoli sul condensatore e sull’induttore hanno dimostrato che, finché correnti e tensioni restano limitate, sono funzioni continue del tempo: in una manovra non saltano. Lo si può dire anche con l’energia: l’energia è una funzione di stato, e per farla cambiare di colpo servirebbe una potenza infinita. Tutte le altre tensioni e correnti sono variabili di rete, e possono saltare.

Proposizione (variabili di rete e variabili di stato)

In una rete lineare, in ogni istante ogni variabile di rete è una combinazione lineare delle variabili di stato e dei valori dei generatori indipendenti, con coefficienti che dipendono solo dalla configurazione della rete in quell’istante.

Dimostrazione.

In un istante fissato si sostituisce ogni condensatore con un generatore ideale di tensione uguale alla sua tensione e ogni induttore con un generatore ideale di corrente uguale alla sua corrente. Per il teorema di sostituzione le altre grandezze non cambiano, e la rete ottenuta contiene solo resistori e generatori. Per la sovrapposizione degli effetti ogni sua grandezza è una combinazione lineare dei valori di tutti i generatori, quelli veri e quelli che hanno preso il posto dei componenti con memoria.

Fine della dimostrazione.

Le variabili di stato sono quindi le sole informazioni che una rete porta con sé attraverso una manovra: tutto il resto si ricalcola da loro.

Le reti del primo ordine

Una rete del primo ordine contiene un solo componente con memoria, un condensatore o un induttore, o più componenti che si possono ridurre a uno.

Teorema (transitorio del primo ordine)

In una rete lineare con un solo condensatore $C$ , o un solo induttore $L$ , e generatori costanti dopo la manovra all’istante $t_0$ , sia $R_{eq} > 0$ la resistenza di Thévenin vista dai morsetti del componente con i generatori spenti. Allora per $t > t_0$ ogni tensione e ogni corrente della rete vale

x(t) = x(\infty) + \big[x(t_0^+) - x(\infty)\big]\,e^{-(t - t_0)/\tau}, \qquad \tau = R_{eq}\,C \quad\text{oppure}\quad \tau = \frac{L}{R_{eq}} .

Dimostrazione.

Si considera il condensatore. Dopo la manovra la rete vista dai suoi morsetti è lineare con generatori costanti, e per il teorema di Thévenin equivale a un generatore $E_{th}$ in serie a $R_{eq}$ . Con la tensione $v$ del condensatore e la corrente $i = C\,dv/dt$ , la legge delle tensioni dà $R_{eq}C\,dv/dt + v = E_{th}$ . Come nella carica del condensatore, la funzione $v(t) = E_{th} + [v(t_0^+) - E_{th}]\,e^{-(t - t_0)/\tau}$ soddisfa l’equazione e il valore iniziale, e per l’unicità della soluzione di un’equazione differenziale lineare del primo ordine è la soluzione; con $R_{eq} > 0$ l’esponenziale si annulla e $v(\infty) = E_{th}$ .

Per la proposizione precedente, dopo la manovra ogni altra grandezza è $x(t) = a\,v(t) + b$ , con $a$ e $b$ costanti, perché la configurazione e i generatori non cambiano più. Allora $x(t_0^+) = a\,v(t_0^+) + b$ , $x(\infty) = a\,E_{th} + b$ , e sostituendo $v(t)$ si ottiene la formula dell’enunciato. Per l’induttore si ragiona allo stesso modo con l’equivalente di Norton, $L\,G_{eq}\,di/dt + i = A_{cc}$ , e $\tau = L\,G_{eq} = L/R_{eq}$ .

Fine della dimostrazione.

Ogni grandezza parte dal suo valore in $t_0^+$ e tende al suo valore di regime con la stessa costante di tempo: nella rete c’è un solo esponenziale. La condizione $R_{eq} > 0$ è la stabilità: con soli resistori e generatori indipendenti è sempre soddisfatta, mentre con i generatori pilotati la resistenza equivalente può essere negativa, e l’esponenziale cresce invece di spegnersi. È quello che succede, per esempio, in un oscillatore che si avvia.

Proposizione (la tangente iniziale)

La retta tangente a $x(t)$ nell’istante $t_0^+$ raggiunge il valore di regime $x(\infty)$ all’istante $t_0 + \tau$ .

Dimostrazione.

La derivata in $t_0^+$ vale $[x(\infty) - x(t_0^+)]/\tau$ , quindi la tangente è $x(t_0^+) + [x(\infty) - x(t_0^+)]\,(t - t_0)/\tau$ , che vale $x(\infty)$ per $t - t_0 = \tau$ .

Fine della dimostrazione.

L’andamento del primo ordine da $x_0 = x(t_0^+)$ a $x_\infty = x(\infty)$ . La tangente iniziale, tratteggiata, arriva al valore di regime dopo una costante di tempo. Dopo $\tau$ la grandezza ha percorso il 63% della distanza, dopo $2\tau$ l’86%, dopo $3\tau$ il 95%, dopo $4\tau$ il 98%, dopo $5\tau$ il 99,3%: in pratica il transitorio è finito. Nell’animazione un punto percorre la curva.

Il metodo per ispezione

Il teorema riduce ogni transitorio del primo ordine a quattro numeri, che si leggono direttamente sulla rete, senza scrivere equazioni differenziali:

La condizione prima della manovra, in $t_0^-$ , è di regime stazionario: si risolve la rete di prima con l’induttore sostituito da un cortocircuito e il condensatore da un circuito aperto, e si trova il valore della variabile di stato.
Il valore in $t_0^+$ della variabile di stato è lo stesso, per continuità. Per una variabile di rete si risolve la rete di dopo la manovra con il condensatore sostituito da un generatore di tensione $v_C(t_0^-)$ , o l’induttore da un generatore di corrente $i_L(t_0^-)$ .
Il valore di regime si trova risolvendo la rete di dopo la manovra con l’induttore in cortocircuito e il condensatore aperto.
La costante di tempo viene dalla resistenza di Thévenin vista dai morsetti del componente con memoria, nella rete di dopo la manovra e con i generatori indipendenti spenti.

I quattro schemi del metodo per ispezione per una rete in cui l’interruttore $S$ collega il generatore $E$ , attraverso $R_1$ , al parallelo di $C$ e $R_2$ . Prima della manovra, con $S$ aperto e il condensatore scarico, $v_C(t_0^-) = 0$ . All’istante $0^+$ il condensatore è un generatore di tensione con il valore di prima; a regime è un ramo aperto; per la costante di tempo si guarda la resistenza ai suoi morsetti con $E$ spento, cioè il parallelo di $R_1$ ed $R_2$ .

Reti di ordine superiore

Con più componenti con memoria le equazioni sono di ordine più alto. A volte la rete si separa: un condensatore in parallelo a un generatore ideale di tensione, o un induttore in serie a un generatore ideale di corrente, fanno parte di pezzi di rete che si risolvono separatamente, come nel disaccoppiamento dell’articolo sui metodi di analisi, e ciascun pezzo è del primo ordine. Quando la separazione non è possibile compare un comportamento nuovo, che il primo ordine non conosce: l’oscillazione.

Proposizione (evoluzione libera del circuito RLC serie)

In un circuito formato da un resistore $R$ , un induttore $L$ e un condensatore $C$ in serie, senza generatori, la tensione del condensatore soddisfa

LC\,\frac{d^2v}{dt^2} + RC\,\frac{dv}{dt} + v = 0 .

Posto $\alpha = R/(2L)$ e $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , se $\alpha < \omega_0$ ogni soluzione è

v(t) = e^{-\alpha t}\,\big(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\big), \qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} ;

se $\alpha = \omega_0$ è $v(t) = (A + Bt)\,e^{-\alpha t}$ ; se $\alpha > \omega_0$ è $v(t) = A\,e^{s_1t} + B\,e^{s_2t}$ con $s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$ . Le costanti $A$ e $B$ si determinano dalle variabili di stato iniziali.

Dimostrazione.

La corrente è la stessa nei tre componenti, $i = C\,dv/dt$ , e la legge delle tensioni dà $L\,di/dt + Ri + v = 0$ , cioè l’equazione dell’enunciato. Una funzione $e^{st}$ la soddisfa se $LCs^2 + RCs + 1 = 0$ , cioè $s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$ , con radici $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$ . Con radici reali distinte, $e^{s_1t}$ ed $e^{s_2t}$ sono soluzioni e lo è ogni loro combinazione. Con radici complesse $-\alpha \pm j\omega_d$ , per la formula di Eulero parte reale e parte immaginaria di $e^{(-\alpha + j\omega_d)t}$ sono le funzioni $e^{-\alpha t}\cos\omega_dt$ ed $e^{-\alpha t}\sin\omega_dt$ , soluzioni anch’esse perché l’equazione ha coefficienti reali. Con la radice doppia $-\alpha$ si verifica sostituendo che anche $t\,e^{-\alpha t}$ è soluzione. In ogni caso le due funzioni hanno in $t = 0$ coppie di valore e derivata indipendenti, quindi una loro combinazione può assumere qualsiasi valore iniziale $v(0)$ e qualsiasi derivata iniziale $dv/dt(0) = i(0)/C$ . Per l’unicità della soluzione di un’equazione lineare del secondo ordine con valore e derivata iniziali assegnati, ogni soluzione è di quella forma.

Fine della dimostrazione.

Con poca resistenza l’energia passa avanti e indietro tra il campo elettrico del condensatore e il campo magnetico dell’induttore, e il resistore ne consuma un po’ a ogni passaggio: la tensione oscilla alla pulsazione $\omega_d$ , poco sotto $\omega_0$ , dentro un inviluppo che si spegne come $e^{-\alpha t}$ . Con molta resistenza l’energia si dissipa prima di poter oscillare. Il caso intermedio, $R = 2\sqrt{L/C}$ , è lo smorzamento critico, il ritorno a zero più rapido senza oscillazioni.

L’evoluzione libera di un circuito RLC serie con il condensatore inizialmente carico e la corrente nulla, per tre valori della resistenza. Sottosmorzato, in blu, con $\alpha = 0{,}15\,\omega_0$ : la tensione oscilla e si smorza lentamente. Critico, in arancione: torna a zero nel modo più rapido senza oscillare. Sovrasmorzato, in grigio, con $\alpha = 3\,\omega_0$ : torna a zero lentamente, senza oscillare. Nell’animazione le curve si disegnano nel tempo.

Reti degeneri

In due casi il metodo non si applica. Un condensatore alimentato da un generatore ideale di corrente, senza resistori in parallelo, ha $R_{eq}$ infinita: la sua tensione non tende a un regime ma cresce a rampa, $v(t) = v(t_0) + (A/C)(t - t_0)$ . Allo stesso modo un induttore collegato direttamente a un generatore ideale di tensione ha una corrente che cresce a rampa. Nel caso opposto, un condensatore collegato di colpo a un generatore ideale di tensione diversa dalla sua, la tensione dovrebbe saltare, e la legge delle tensioni imporrebbe una corrente infinita: il modello ideale non ha soluzione, come nel paradosso dei due condensatori, e per descrivere cosa succede servono la resistenza e l’induttanza dei collegamenti.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Nella rete della figura sul metodo per ispezione $E = 12$ V, $R_1 = 4\ \Omega$ , $R_2 = 12\ \Omega$ e $C = 1$ mF; il condensatore è scarico e l’interruttore si chiude a $t = 0$ . Calcola $v_C(t)$ , la corrente del condensatore e quella di $R_1$ .

Prima della manovra $v_C(0^-) = 0$ , e quindi $v_C(0^+) = 0$ . All’istante $0^+$ il condensatore è un cortocircuito: in $R_1$ passano $12/4 = 3$ A, tutti nel condensatore, perché $R_2$ ha tensione nulla. A regime il condensatore è aperto e il partitore dà $v_C(\infty) = 12\cdot12/16 = 9$ V, con $0{,}75$ A in $R_1$ ed $R_2$ e nessuna corrente nel condensatore. Con $E$ spento il condensatore vede $R_1\|R_2 = 3\ \Omega$ , e $\tau = 3$ ms. Quindi

v_C(t) = 9\,\big(1 - e^{-t/3\ \text{ms}}\big)\ \text V, \quad i_C(t) = 3\,e^{-t/3\ \text{ms}}\ \text A, \quad i_{R_1}(t) = 0{,}75 + 2{,}25\,e^{-t/3\ \text{ms}}\ \text A .

Commento: la corrente di $R_1$ salta da $0$ a $3$ A alla chiusura, perché è una variabile di rete; la tensione del condensatore no. Per controllo, $i_{R_1} = (12 - v_C)/4$ dà la stessa espressione, e la legge delle correnti $i_{R_1} = i_C + v_C/12$ è soddisfatta in ogni istante.

Esercizio 2. La bobina di un relè, $0{,}2$ H con $240\ \Omega$ di resistenza, porta $50$ mA; in parallelo alla bobina c’è un resistore da $1$ kΩ. All’istante zero si apre il transistore che la alimenta. Quanto vale la tensione ai capi del resistore subito dopo? In quanto tempo la corrente si spegne?

La corrente dell’induttore è continua: in $0^+$ i $50$ mA non possono più passare dal transistore e si chiudono nel resistore in parallelo, che ha ai capi $1000\cdot0{,}05 = 50$ V. A regime la corrente è nulla, e l’induttore vede la serie della sua resistenza e del resistore, $1240\ \Omega$ : $\tau = 0{,}2/1240 \approx 0{,}16$ ms, e dopo circa $0{,}8$ ms la corrente è spenta.

Commento: senza il resistore la corrente non avrebbe strada, e la tensione salirebbe fino a far scattare una scintilla o a rompere il transistore, come nell’articolo sull’induttore. Con il resistore la bobina resta a $50$ V, e il transistore aperto ne vede $12 + 50 = 62$ : più piccolo il resistore, più bassa la tensione ma più lento lo spegnimento, e un relè che si spegne lentamente apre i contatti in ritardo.

Esercizio 3. All’oscilloscopio la tensione di un condensatore da $100$ nF, carico attraverso un resistore sconosciuto, sale da $0$ a $5$ V e raggiunge $3{,}16$ V dopo $2$ ms. Quanto vale il resistore?

$3{,}16/5 = 0{,}632 = 1 - e^{-1}$ , quindi $2$ ms è una costante di tempo, e $R = \tau/C = 2\times10^{-3}/10^{-7} = 20$ kΩ.

Commento: in laboratorio la costante di tempo si legge al 63% del salto, oppure tracciando la tangente iniziale. Il secondo metodo è meno preciso, perché la tangente si traccia a occhio proprio dove la curva cambia più in fretta.

Esercizio 4. Un condensatore da $10$ µF scarico viene caricato da un generatore ideale di corrente da $1$ mA. Quanto tempo serve per arrivare a $5$ V?

Senza resistori la tensione cresce a rampa, $v = (I/C)\,t = 100$ V/s $\cdot\,t$ , e raggiunge $5$ V dopo $50$ ms.

Commento: è una rete degenere, e il condensatore non ha un valore di regime: continuerebbe a caricarsi finché il generatore reale non esaurisce la sua tensione disponibile. Una tensione che cresce proporzionalmente al tempo è la base dei generatori di rampa e degli integratori, che il percorso di elettronica costruisce con un amplificatore operazionale.

Esercizio 5. Un circuito RLC serie ha $L = 10$ mH e $C = 1$ µF. Con $R = 20\ \Omega$ , quanto valgono $\omega_0$ , $\alpha$ e la pulsazione dell’oscillazione? Per quale resistenza lo smorzamento è critico?

$\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-6}} = 10^4$ rad/s, cioè circa $1{,}6$ kHz. $\alpha = 20/(2\cdot10^{-2}) = 1000\ \text s^{-1}$ , e $\omega_d = \sqrt{10^8 - 10^6} \approx 9950$ rad/s. Lo smorzamento è critico per $R = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10^4} = 200\ \Omega$ .

Commento: con $\alpha$ dieci volte più piccolo di $\omega_0$ la pulsazione di oscillazione è quasi quella propria, e l’inviluppo si riduce di un fattore $e$ in $1$ ms, cioè in circa un periodo e mezzo. Il rapporto $\omega_0/(2\alpha)$ si chiama fattore di qualità: qui vale $5$ , e dice all’incirca quante oscillazioni si vedono prima che il circuito si fermi.

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