Numeri complessi

Matematica · Algebra Articolo 11 settembre 2026

Indice

Un numero il cui quadrato è −1

Prendi un’equazione che sembra tra le più semplici: $x^2 + 1 = 0$ . Cerchi un numero che, moltiplicato per se stesso, dia $-1$ . Tra i numeri reali non esiste: il quadrato di un numero reale, positivo o negativo che sia, non è mai negativo, e l’equazione non ha soluzione.

Si può però decidere di non fermarsi lì e chiedersi che cosa succederebbe se un numero con quella proprietà esistesse. È la scelta che porta ai numeri complessi: allargare l’insieme dei numeri per rispondere a una domanda che prima non aveva risposta, e controllare che le regole di calcolo continuino a funzionare.

Definizione (numero complesso)

Un numero complesso è un’espressione della forma

z = a + ib, \qquad a, b \in \mathbb{R},

dove $i$ è l’unità immaginaria, il simbolo per cui vale $i^2 = -1$ . Il numero reale $a = \operatorname{Re}(z)$ è la parte reale di $z$ , il numero reale $b = \operatorname{Im}(z)$ è la parte immaginaria. Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. L’insieme dei numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$ .

Chi diffida di un simbolo introdotto «per decreto» può leggere $a + ib$ come la coppia ordinata $(a, b)$ di numeri reali. Con le operazioni definite nel prossimo paragrafo, $i$ è la coppia $(0, 1)$ e la regola $i^2 = -1$ smette di essere un’ipotesi: diventa una conseguenza della definizione del prodotto. I numeri reali restano dentro $\mathbb{C}$ come i complessi con parte immaginaria nulla, $a = a + i\,0$ .

Le operazioni in forma algebrica

Le regole di calcolo si ottengono trattando $a + ib$ come un binomio, applicando la proprietà distributiva e sostituendo $i^2 = -1$ dove compare. Messe per iscritto diventano la definizione delle operazioni.

Definizione (somma, prodotto, coniugato, modulo)

Siano $z_1 = a_1 + ib_1$ e $z_2 = a_2 + ib_2$ . Si definiscono la somma e il prodotto

z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2), \qquad z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + b_1 a_2).

Il coniugato di $z = a + ib$ è $\bar z = a - ib$ , il modulo è il numero reale non negativo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Con $a_1 = a_2 = 0$ e $b_1 = b_2 = 1$ la formula del prodotto dà $i \cdot i = (0 - 1) + i(0 + 0) = -1$ : la proprietà da cui si era partiti è rispettata. La differenza si definisce come $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)$ , con $-z_2 = -a_2 - ib_2$ .

Proposizione

Per ogni $z \in \mathbb{C}$ vale $z \bar z = |z|^2$ . In particolare $z \bar z$ è un numero reale non negativo, nullo solo per $z = 0$ .

Dimostrazione.

Con $z = a + ib$ e $\bar z = a - ib$ , la definizione del prodotto dà $z \bar z = \big(a \cdot a - b(-b)\big) + i\big(a(-b) + b\,a\big) = a^2 + b^2 + i\,0 = |z|^2$ . Una somma di quadrati di numeri reali è nulla solo se lo sono entrambi, cioè per $a = b = 0$ .

Fine della dimostrazione.

Somma e prodotto conservano le proprietà che si usano ogni giorno con i numeri reali. Non è scontato, e conviene verificarlo una volta per tutte, perché ogni calcolo successivo lo usa.

Proposizione (proprietà delle operazioni)

Per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ :

somma e prodotto sono commutativi e associativi;
il prodotto è distributivo rispetto alla somma: $z_1(z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$ ;
$0$ e $1$ sono gli elementi neutri di somma e prodotto, e ogni $z$ ha l’opposto $-z$ ;
ogni $z \neq 0$ ha un inverso, cioè un numero $z^{-1}$ con $z z^{-1} = 1$ , dato da $z^{-1} = \bar z / |z|^2$ .

Dimostrazione.

Si scrive $z_k = a_k + ib_k$ per $k = 1, 2, 3$ e si confrontano parti reali e parti immaginarie, che sono espressioni in numeri reali.

Somma. Le componenti di $z_1 + z_2$ sono $a_1 + a_2$ e $b_1 + b_2$ : commutatività e associatività discendono da quelle della somma di numeri reali, componente per componente. Si ha $z + 0 = z$ e $z + (-z) = 0$ direttamente dalla definizione.

Commutatività del prodotto. Scambiando gli indici $1$ e $2$ la parte reale $a_1 a_2 - b_1 b_2$ e la parte immaginaria $a_1 b_2 + b_1 a_2$ restano le stesse, perché il prodotto e la somma di numeri reali sono commutativi.

Associatività del prodotto. Si calcola $(z_1 z_2) z_3$ usando per $z_1 z_2$ le componenti $a_1 a_2 - b_1 b_2$ e $a_1 b_2 + b_1 a_2$ :

\begin{aligned} \operatorname{Re}\big[(z_1 z_2) z_3\big] &= (a_1 a_2 - b_1 b_2)\,a_3 - (a_1 b_2 + b_1 a_2)\,b_3 = a_1 a_2 a_3 - b_1 b_2 a_3 - a_1 b_2 b_3 - b_1 a_2 b_3, \\ \operatorname{Im}\big[(z_1 z_2) z_3\big] &= (a_1 a_2 - b_1 b_2)\,b_3 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)\,a_3 = a_1 a_2 b_3 - b_1 b_2 b_3 + a_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 a_3. \end{aligned}

Allo stesso modo, con $z_2 z_3$ di componenti $a_2 a_3 - b_2 b_3$ e $a_2 b_3 + b_2 a_3$ :

\begin{aligned} \operatorname{Re}\big[z_1 (z_2 z_3)\big] &= a_1 (a_2 a_3 - b_2 b_3) - b_1 (a_2 b_3 + b_2 a_3) = a_1 a_2 a_3 - a_1 b_2 b_3 - b_1 a_2 b_3 - b_1 b_2 a_3, \\ \operatorname{Im}\big[z_1 (z_2 z_3)\big] &= a_1 (a_2 b_3 + b_2 a_3) + b_1 (a_2 a_3 - b_2 b_3) = a_1 a_2 b_3 + a_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 a_3 - b_1 b_2 b_3. \end{aligned}

I quattro termini di ciascuna riga sono gli stessi, in un altro ordine: le parti reali coincidono, e così le parti immaginarie.

Distributività. $z_2 + z_3$ ha componenti $a_2 + a_3$ e $b_2 + b_3$ , quindi

z_1 (z_2 + z_3) = \big[a_1(a_2 + a_3) - b_1(b_2 + b_3)\big] + i\big[a_1(b_2 + b_3) + b_1(a_2 + a_3)\big].

Raccogliendo i termini con indice $2$ e quelli con indice $3$ si ottiene $\big[(a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 a_3 - b_1 b_3)\big] + i\big[(a_1 b_2 + b_1 a_2) + (a_1 b_3 + b_1 a_3)\big]$ , che è la somma di $z_1 z_2$ e $z_1 z_3$ .

Elemento neutro del prodotto. Con $z_2 = 1 = 1 + i\,0$ la definizione dà $z_1 \cdot 1 = (a_1 - 0) + i(0 + b_1) = z_1$ .

Inverso. Se $z \neq 0$ , per la proposizione precedente $|z|^2$ è un numero reale positivo e $\bar z / |z|^2$ è il complesso di componenti $a/|z|^2$ e $-b/|z|^2$ . Moltiplicare un complesso per un numero reale $\lambda = \lambda + i\,0$ moltiplica per $\lambda$ entrambe le componenti, quindi $z \cdot \bar z / |z|^2 = (z \bar z) / |z|^2 = |z|^2 / |z|^2 = 1$ .

Fine della dimostrazione.

La divisione per $z_2 \neq 0$ è la moltiplicazione per l’inverso. Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore si ottiene un denominatore reale:

\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1} = \frac{z_1 \bar z_2}{|z_2|^2} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + i(b_1 a_2 - a_1 b_2)}{a_2^2 + b_2^2}.

Il piano di Gauss

Un numero complesso ha due componenti reali, e due numeri reali individuano un punto del piano. Si fissa un asse orizzontale per la parte reale e uno verticale per la parte immaginaria: $z = a + ib$ è il punto di coordinate $(a, b)$ , oppure la freccia che parte dall’origine e arriva lì. Questo piano si chiama piano di Gauss.

Il numero complesso $z = a + ib$ , qui $4 + 3i$ , nel piano di Gauss: in orizzontale la parte reale, in verticale la parte immaginaria. La lunghezza del segmento dall’origine a $z$ è il modulo $r$ ; l’angolo che il segmento forma con l’asse reale positivo è l’argomento $\theta$ , definito più avanti.

Il modulo ha qui il suo significato: per il teorema di Pitagora, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ è la distanza del punto $(a, b)$ dall’origine. Il coniugato $\bar z = a - ib$ è il simmetrico di $z$ rispetto all’asse reale.

La somma, definita componente per componente, è la stessa operazione che si fa con i vettori del piano: la freccia di $z_1 + z_2$ si ottiene mettendo la coda di $z_2$ sulla punta di $z_1$ , o costruendo il parallelogramma sulle due frecce.

La somma di $z_1 = 4 + i$ e $z_2 = 1 + 3i$ . Le linee tratteggiate completano il parallelogramma: $z_2$ riportato con la coda sulla punta di $z_1$ , e $z_1$ riportato sulla punta di $z_2$ . La diagonale arancione è $z_1 + z_2 = 5 + 4i$ .

Per il prodotto, invece, l’algebra dei vettori del piano non ha niente di simile. Per capire che cosa fa geometricamente conviene descrivere $z$ con una lunghezza e un angolo invece che con due coordinate.

Forma trigonometrica e argomento

Definizione (argomento)

Sia $z = a + ib \neq 0$ e $r = |z|$ . Un argomento di $z$ è un numero reale $\theta$ tale che

a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta.

Con un argomento $\theta$ , $z$ si scrive in forma trigonometrica: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ .

Un argomento esiste sempre. Il punto $(a/r,\ b/r)$ ha distanza $1$ dall’origine, perché $(a/r)^2 + (b/r)^2 = (a^2 + b^2)/r^2 = 1$ , quindi sta sulla circonferenza unitaria, e ogni punto di quella circonferenza è della forma $(\cos\theta, \sin\theta)$ per un opportuno angolo $\theta$ . Geometricamente $\theta$ è l’angolo tra l’asse reale positivo e la freccia di $z$ .

Un argomento però non è unico: seno e coseno hanno periodo $2\pi$ , e se $\theta$ è un argomento di $z$ lo è anche $\theta + 2k\pi$ per ogni intero $k$ . Quando serve un valore solo si sceglie l’argomento principale, quello compreso in $(-\pi, \pi]$ . Il numero $0$ non ha argomento: $r = 0$ e qualunque $\theta$ andrebbe bene. La proposizione seguente dice che questa è l’unica ambiguità.

Proposizione (uguaglianza in forma trigonometrica)

Siano $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ e $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ con $r_1, r_2 > 0$ . Allora $z_1 = z_2$ se e solo se $r_1 = r_2$ e $\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$ per qualche intero $k$ .

Dimostrazione.

Se $r_1 = r_2$ e $\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$ , la periodicità di seno e coseno dà $\cos\theta_1 = \cos\theta_2$ e $\sin\theta_1 = \sin\theta_2$ , quindi $z_1 = z_2$ .

Viceversa, sia $z_1 = z_2$ . Il modulo di $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ è $\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = r$ , dunque $r_1 = |z_1| = |z_2| = r_2$ . Uguagliando parti reali e parti immaginarie e dividendo per $r_1 = r_2 > 0$ si ha $\cos\theta_1 = \cos\theta_2$ e $\sin\theta_1 = \sin\theta_2$ . Per la formula di sottrazione del coseno,

\cos(\theta_1 - \theta_2) = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos^2\theta_2 + \sin^2\theta_2 = 1,

e il coseno vale $1$ esattamente nei multipli interi di $2\pi$ . Quindi $\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$ .

Fine della dimostrazione.

Il prodotto: moduli che si moltiplicano, argomenti che si sommano

Teorema (prodotto in forma trigonometrica)

Se $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ e $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ , allora

z_1 z_2 = r_1 r_2\big[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\big].

Dimostrazione.

Per la definizione del prodotto, con $a_k = r_k\cos\theta_k$ e $b_k = r_k\sin\theta_k$ ,

z_1 z_2 = r_1 r_2\big[(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2)\big].

Le formule di addizione dicono che $\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)$ e $\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2 = \sin(\theta_1 + \theta_2)$ . Sostituendo si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

Il prodotto ha modulo $r_1 r_2$ e argomento $\theta_1 + \theta_2$ . Letto nel piano di Gauss: moltiplicare $z_1$ per $z_2$ ruota la freccia di $z_1$ dell’angolo $\theta_2$ e ne moltiplica la lunghezza per $r_2$ . Rotazione e dilatazione insieme, in una sola operazione. In particolare moltiplicare per $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$ è una rotazione di un angolo retto, e due rotazioni di un angolo retto portano $1$ in $-1$ : ecco perché $i^2 = -1$ .

z_1 = 1 + i, \qquad z_2 = \sqrt{3} + i

z_1 z_2 = (1 + i)(\sqrt{3} + i)

\phantom{z_1 z_2} = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2

\phantom{z_1 z_2} = (\sqrt{3} - 1) + i\,(\sqrt{3} + 1)

|z_1| = \sqrt{2}, \quad |z_2| = 2, \quad |z_1 z_2| = 2\sqrt{2}

\theta_1 = \tfrac{\pi}{4}, \quad \theta_2 = \tfrac{\pi}{6}, \quad \arg(z_1 z_2) = \tfrac{5\pi}{12}

Lo stesso prodotto calcolato in due modi. A sinistra in forma algebrica: $z_1 = 1 + i$ e $z_2 = \sqrt3 + i$ moltiplicati termine a termine. A destra nel piano di Gauss: $z_1$ ha modulo $\sqrt2$ e argomento $\pi/4$ , $z_2$ ha modulo $2$ e argomento $\pi/6$ ; il prodotto, in arancione, ha modulo $2\sqrt2$ e argomento $5\pi/12$ . La linea tratteggiata ruota $z_1$ di $\theta_2$ e poi lo allunga di un fattore $2$ .

Corollario (quoziente in forma trigonometrica)

Con $z_1$ e $z_2$ come nel teorema e $r_2 > 0$ ,

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\big].

Dimostrazione.

Sia $w$ il secondo membro. Per il teorema, $z_2 w = r_2 \cdot \frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_2 + \theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_2 + \theta_1 - \theta_2)\big] = z_1$ . Moltiplicando entrambi i membri di $z_2 w = z_1$ per $z_2^{-1}$ , che esiste perché $z_2 \neq 0$ , si ottiene $w = z_1 z_2^{-1} = z_1/z_2$ .

Fine della dimostrazione.

Potenze: la formula di De Moivre

Applicando più volte il teorema del prodotto allo stesso numero, gli argomenti si sommano sempre uguali a se stessi.

Teorema (formula di De Moivre)

Se $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , per ogni intero $n \ge 1$

z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta).

Dimostrazione.

Per induzione su $n$ . Per $n = 1$ l’uguaglianza è la forma trigonometrica di $z$ .

Si supponga la formula vera per un certo $n \ge 1$ . Allora $z^{n+1} = z^n \cdot z$ , e per l’ipotesi induttiva $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ . Il teorema del prodotto applicato a $z^n$ e a $z$ dà

z^{n+1} = r^n r\big[\cos(n\theta + \theta) + i\sin(n\theta + \theta)\big] = r^{n+1}\big[\cos(n+1)\theta + i\sin(n+1)\theta\big],

che è la formula per $n + 1$ . Per il principio di induzione la formula vale per ogni $n \ge 1$ .

Fine della dimostrazione.

Le radici n-esime

Un numero reale positivo ha una sola radice quarta positiva, e un numero negativo non ne ha nessuna. Nei complessi le cose vanno diversamente, e la ragione è la non unicità dell’argomento.

Teorema (radici n-esime)

Sia $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ con $r > 0$ e sia $n \ge 1$ intero. Le soluzioni $w \in \mathbb{C}$ dell’equazione $w^n = z$ sono esattamente $n$ , distinte, e sono

w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1,

dove $\sqrt[n]{r}$ è la radice $n$ -esima reale positiva di $r$ .

Dimostrazione.

Ogni soluzione è uno dei $w_k$ . Sia $w$ con $w^n = z$ . Allora $w \neq 0$ , perché $0^n = 0 \neq z$ , e $w$ ha una forma trigonometrica $w = \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ con $\rho > 0$ . Per De Moivre $w^n = \rho^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ . Per la proposizione sull’uguaglianza in forma trigonometrica, $w^n = z$ equivale a

\rho^n = r \qquad \text{e} \qquad n\varphi = \theta + 2k\pi \ \text{per qualche intero } k.

Poiché $\rho$ è reale positivo, $\rho = \sqrt[n]{r}$ , e $\varphi = (\theta + 2k\pi)/n$ . Si divide $k$ per $n$ con resto: $k = qn + k'$ con $q$ intero e $0 \le k' \le n - 1$ . Allora

\varphi = \frac{\theta + 2k'\pi}{n} + 2q\pi,

e un argomento che differisce di $2q\pi$ dà lo stesso numero complesso: $w = w_{k'}$ .

Ogni $w_k$ è una soluzione. Per De Moivre $w_k^n = r\big[\cos(\theta + 2k\pi) + i\sin(\theta + 2k\pi)\big] = r(\cos\theta + i\sin\theta) = z$ .

I $w_k$ sono distinti. Per $0 \le k' < k \le n - 1$ gli argomenti di $w_k$ e $w_{k'}$ differiscono di $2\pi(k - k')/n$ . Poiché $0 < k - k' < n$ , questa differenza è compresa strettamente tra $0$ e $2\pi$ e non è un multiplo intero di $2\pi$ . Per la proposizione sull’uguaglianza, $w_k \neq w_{k'}$ .

Fine della dimostrazione.

Tutte le radici hanno lo stesso modulo $\sqrt[n]{r}$ , quindi stanno sulla stessa circonferenza, e due radici consecutive distano un angolo $2\pi/n$ : sono i vertici di un poligono regolare con $n$ lati.

Le radici quarte di $-16$ , calcolate nell’esercizio 4. Hanno modulo $\sqrt[4]{16} = 2$ e argomenti $\pi/4$ , $3\pi/4$ , $5\pi/4$ e $7\pi/4$ : stanno sulla circonferenza di raggio $2$ , ai vertici di un quadrato, e due radici consecutive sono separate da un angolo $2\pi/4 = \pi/2$ .

La formula di Eulero e la forma esponenziale

Resta da capire che cosa voglia dire elevare un numero a una potenza complessa. Per esponenti reali la funzione esponenziale ha lo sviluppo in serie $e^x = \sum_{k \ge 0} x^k/k!$ , valido per ogni $x$ reale. La stessa serie ha senso quando al posto di $x$ si mette un numero complesso, e la si prende come definizione.

Definizione (esponenziale complesso)

Per $z \in \mathbb{C}$ si pone

e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!} = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^{N} \frac{z^k}{k!}.

La definizione è ben posta. La serie dei moduli, $\sum_k |z|^k/k!$ , è la serie esponenziale reale calcolata in $|z|$ , che converge per ogni valore (con il criterio del rapporto: il rapporto tra due termini consecutivi è $|z|/(k+1)$ , che tende a $0$ ). Una serie di numeri complessi che converge assolutamente converge: è lo stesso teorema dell’analisi reale, applicato alle parti reali e immaginarie, che sono maggiorate in modulo dai moduli dei termini. Quando $z$ è reale, $e^z$ è l’esponenziale di sempre.

Teorema (formula di Eulero)

Per ogni $\theta \in \mathbb{R}$

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

Dimostrazione.

Si usano gli sviluppi in serie di Maclaurin di coseno e seno, validi per ogni $\theta$ reale:

\cos\theta = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin\theta = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m+1}}{(2m+1)!}.

Le potenze di $i$ si ripetono ogni quattro passi: $i^2 = -1$ , quindi $i^{2m} = (i^2)^m = (-1)^m$ e $i^{2m+1} = i\,(-1)^m$ . Per $z = i\theta$ i termini della serie esponenziale sono dunque

\frac{(i\theta)^{2m}}{(2m)!} = \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}, \qquad \frac{(i\theta)^{2m+1}}{(2m+1)!} = i\,\frac{(-1)^m \theta^{2m+1}}{(2m+1)!}.

Sia $S_N$ la somma dei termini con indice da $0$ a $N$ . La somma $S_{2M+1}$ contiene i termini pari con $m = 0, \dots, M$ e i termini dispari con $m = 0, \dots, M$ , quindi

S_{2M+1} = \sum_{m=0}^{M} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{M} \frac{(-1)^m \theta^{2m+1}}{(2m+1)!}.

Per $M \to \infty$ la prima somma tende a $\cos\theta$ e la seconda a $\sin\theta$ , quindi $S_{2M+1} \to \cos\theta + i\sin\theta$ . D’altra parte $S_N$ converge a $e^{i\theta}$ , e ogni sua sottosuccessione, come $S_{2M+1}$ , ha lo stesso limite. Per l’unicità del limite, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

Fine della dimostrazione.

Il punto $e^{i\theta}$ ha modulo $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ per ogni $\theta$ . Al variare di $\theta$ percorre la circonferenza unitaria senza mai allontanarsi dall’origine: l’esponenziale di un numero reale fa crescere, quello di un numero immaginario fa ruotare.

Il punto $e^{i\theta}$ sulla circonferenza di raggio $1$ . Nell’animazione $\theta$ cresce: il raggio blu ruota in senso antiorario e il modulo resta $1$ . Le due guide tratteggiate seguono il punto e ne segnano sugli assi le coordinate, $\cos\theta$ sull’asse reale e $\sin\theta$ su quello immaginario.

Con la formula di Eulero la forma trigonometrica diventa la forma esponenziale $z = re^{i\theta}$ . Il teorema del prodotto si legge come $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ e la formula di De Moivre come $\big(e^{i\theta}\big)^n = e^{in\theta}$ : le regole delle potenze che valgono per gli esponenti reali, qui ottenute dal teorema del prodotto e non date per scontate.

Algebrica, trigonometrica ed esponenziale sono tre scritture dello stesso numero. Per somme e sottrazioni conviene la prima, che lavora componente per componente; per prodotti, quozienti, potenze e radici le altre due, dove i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Dati $z_1 = 2 + 3i$ e $z_2 = 1 - i$ , calcola $z_1 + z_2$ , $z_1 z_2$ , $\bar z_1$ , $|z_1|$ e $z_1/z_2$ .

Somma: $z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 - 1) = 3 + 2i$ .

Prodotto: $z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 5 + i$ .

Coniugato: $\bar z_1 = 2 - 3i$ .

Modulo: $|z_1| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ .

Divisione: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 + 1} = \dfrac{-1 + 5i}{2} = -\dfrac12 + \dfrac52 i$ .

Commento: gli errori più comuni sono lasciare $i^2$ senza sostituirlo con $-1$ nel prodotto, e nella divisione moltiplicare per il coniugato solo il numeratore. Conviene scrivere sempre il passaggio $i^2 = -1$ , anche quando sembra di poterlo fare a mente.

Esercizio 2. Scrivi $z = 1 + i$ in forma trigonometrica ed esponenziale.

Modulo: $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2$ .

Argomento: $\cos\theta = 1/\sqrt2$ e $\sin\theta = 1/\sqrt2$ , quindi $\theta = \pi/4$ .

Forma trigonometrica: $z = \sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ . Forma esponenziale: $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

Verifica: $\sqrt2\cos(\pi/4) = \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 1$ e $\sqrt2\sin(\pi/4) = 1$ , che ridà $1 + i$ .

Commento: l’errore tipico è ricavare $\theta$ da $\tan\theta = b/a$ con l’arcotangente e fermarsi lì. $\tan\theta$ vale $1$ sia per $1 + i$ sia per $-1 - i$ , che hanno argomenti diversi ( $\pi/4$ il primo, $5\pi/4$ il secondo). La definizione di argomento chiede coseno e seno, non solo la tangente: guardare i segni di parte reale e parte immaginaria prima di fissare l’angolo evita l’errore.

Esercizio 3. Calcola $(1 + i)^8$ con De Moivre, poi verifica il risultato svolgendo le potenze in forma algebrica.

Con $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ dall’esercizio precedente:

z^8 = (\sqrt2)^8\, e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4} = 16\, e^{i2\pi} = 16(\cos2\pi + i\sin2\pi) = 16.

In forma algebrica: $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ ; $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$ ; $(1 + i)^8 = (-4)^2 = 16$ . Coincide.

Commento: il calcolo diretto è comodo solo perché l’esponente è una potenza di due e si arriva con quadrati successivi. Con un esponente come 7, o con un numero meno comodo di $1 + i$ , diventa lungo e facile da sbagliare nei segni. Con De Moivre restano una moltiplicazione dell’angolo e una potenza del modulo, qualunque sia l’esponente.

Esercizio 4. Trova le radici quarte di $z = -16$ .

$-16$ sta sul semiasse reale negativo: modulo $r = 16$ , argomento $\theta = \pi$ . Con $n = 4$ il teorema sulle radici dà modulo $\sqrt[4]{16} = 2$ e argomenti $\varphi_k = (\pi + 2k\pi)/4$ per $k = 0, 1, 2, 3$ .

$k = 0$ : $\varphi = \pi/4$ , $w_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt2 + i\sqrt2$ .
$k = 1$ : $\varphi = 3\pi/4$ , $w_1 = -\sqrt2 + i\sqrt2$ .
$k = 2$ : $\varphi = 5\pi/4$ , $w_2 = -\sqrt2 - i\sqrt2$ .
$k = 3$ : $\varphi = 7\pi/4$ , $w_3 = \sqrt2 - i\sqrt2$ .

Nel piano di Gauss sono i vertici del quadrato della figura 4.

Commento: l’errore tipico è fermarsi alla prima radice, come si fa con un numero reale positivo. Con i complessi $k$ va fatto scorrere da $0$ a $n - 1$ : qui le soluzioni sono quattro, per la ragione vista nella dimostrazione, cioè l’argomento definito solo a meno di multipli di $2\pi$ .

Esercizio 5. Risolvi $z^3 = 1$ nel campo complesso e confronta il risultato con l’equazione $x^2 + 1 = 0$ da cui è partito l’articolo.

$1$ ha modulo $r = 1$ e argomento $\theta = 0$ . Con $n = 3$ : modulo $1$ e argomenti $\varphi_k = 2k\pi/3$ per $k = 0, 1, 2$ .

$k = 0$ : $w_0 = 1$ .
$k = 1$ : $w_1 = \cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$k = 2$ : $w_2 = \cos\dfrac{4\pi}{3} + i\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Commento: tra i reali $z^3 = 1$ ha la sola soluzione $z = 1$ , tra i complessi ne ha tre. Succede lo stesso con $x^2 + 1 = 0$ , che nei reali non ha soluzioni e nei complessi ne ha due, $i$ e $-i$ . Per ogni equazione $z^n = c$ con $c \neq 0$ i complessi danno esattamente $n$ soluzioni distinte. Questo non vuol dire che ogni equazione polinomiale di grado $n$ abbia $n$ soluzioni distinte: $(z - 1)^2 = 0$ ne ha una sola, contata due volte, un caso che questo articolo non tratta.

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