Il condensatore

Due conduttori e un isolante

Un condensatore è fatto di due conduttori, le armature, separati da un isolante. Collegato a un generatore, sull’armatura dal lato del morsetto positivo si accumula una carica $q$ e sull’altra una carica $-q$; tra le due nasce un campo elettrico, e nel campo resta immagazzinata energia. Nel bilancio energetico dell’introduzione al percorso è il componente che accumula energia nel campo elettrico, come l’induttore la accumula nel campo magnetico.

Le notizie sui condensatori commerciali vengono dai cataloghi dei costruttori. Nell’articolo sulle leggi di Kirchhoff il condensatore era l’esempio in cui la legge delle correnti non vale per una superficie che racchiude una sola armatura. Qui si guarda il condensatore intero, che quella legge la rispetta.

Il campo dielettrico

Tre campi hanno la stessa struttura matematica: il campo di conduzione, il campo magnetico e il campo dielettrico, quello che si stabilisce in un isolante. In un isolante le cariche non sono libere di muoversi, ma sotto l’azione del campo atomi e molecole si deformano o si orientano, e il materiale si polarizza. Per quasi tutti gli isolanti dei condensatori, a campi non troppo intensi, la polarizzazione è proporzionale al campo, e lo è anche il vettore spostamento elettrico:

$$\mathbf D = \varepsilon\,\mathbf E, \qquad \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r ,$$

con $\varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}$ F/m la permittività del vuoto ed $\varepsilon_r \ge 1$ la permittività relativa del materiale. La legge di Gauss lega $\mathbf D$ alle cariche libere: il flusso di $\mathbf D$ uscente da una superficie chiusa è la carica libera racchiusa. Per il campo dielettrico ha il ruolo che la legge delle correnti ha per il campo di conduzione.

La permittività relativa vale praticamente $1$ per l’aria, $2{,}2$ per il polipropilene dei condensatori a film, circa $9$ per l’ossido di alluminio dei condensatori elettrolitici, circa $27$ per l’ossido di tantalio, $80$ per l’acqua, e supera $1000$ per le ceramiche a base di titanato di bario. Ogni isolante sopporta però un campo massimo, la rigidità dielettrica: oltre, l’isolante si perfora e il condensatore va in cortocircuito, spesso per sempre. Per l’aria secca è circa $3$ kV/mm, il campo a cui scocca la scintilla.

La capacità

Che $q$ e $v$ siano proporzionali discende dalla linearità delle equazioni dell’elettrostatica: raddoppiando le cariche raddoppia il campo in ogni punto, e con lui il suo integrale tra le armature.

Un farad è una capacità enorme. Basta un conto: con due armature separate da $10$ nm di aria, per avere $1$ F servono $A = Cd/\varepsilon_0 \approx 1130$ m². I condensatori dell’elettronica vanno dal picofarad a qualche decina di millifarad per i grandi elettrolitici, e dentro i circuiti integrati, dove lo spazio è poco, dal femtofarad a qualche picofarad.

Tra resistenza e capacità c’è poi un legame che non dipende dalla forma degli elettrodi.

Con la resistenza dell’isolante di un cavo coassiale, calcolata negli esercizi dell’articolo sul resistore, $R = \rho\ln(b/a)/(2\pi L)$, la proposizione dà subito la capacità del cavo, $C = 2\pi\varepsilon L/\ln(b/a)$. Il prodotto $\rho\varepsilon$ ha le dimensioni di un tempo, e uno degli esercizi ne mostra il significato.

Tensione e corrente

La seconda forma dice che il condensatore ha memoria: la sua tensione dipende da tutta la corrente passata, riassunta nel valore iniziale $v(t_0)$. La prima dice che se la tensione non cambia la corrente è nulla. In regime stazionario, con tensioni e correnti costanti, il condensatore è un circuito aperto, a qualunque tensione sia carico.

Per far saltare di colpo la tensione di un condensatore servirebbe una corrente infinita. Nei circuiti reali qualche resistenza limita sempre la corrente, e la tensione del condensatore insegue quella imposta con un ritardo. Lo si può dire così: per variazioni velocissime il condensatore si comporta all’inizio come un cortocircuito, perché la sua tensione non ha ancora avuto il tempo di cambiare, e a transitorio esaurito come un circuito aperto. È anche il motivo per cui un condensatore rallenta un circuito.

La carica attraverso un resistore

La grandezza $\tau = RC$ è la costante di tempo. Dopo un tempo $\tau$ la tensione ha percorso il 63% della strada, perché $1 - e^{-1} \approx 0{,}632$; dopo $5\tau$ il 99,3%, e in pratica il transitorio è finito. All’istante zero la corrente è $E/R$, come se il condensatore fosse un cortocircuito, e alla fine è nulla, come in un circuito aperto. L’articolo sui transitori estende il risultato a qualsiasi rete con un solo condensatore o un solo induttore.

Energia

L’energia sta nel dielettrico, distribuita con densità $\tfrac12\varepsilon E^2$ per unità di volume. Nel condensatore piano il campo è $E = v/d$ in un volume $Ad$, e $\tfrac12\varepsilon(v/d)^2\,Ad = \tfrac12(\varepsilon A/d)\,v^2$: i due modi di contare danno lo stesso risultato. Il condensatore è un bipolo passivo. Può restituire energia, e la potenza che assorbe cambia segno, ma il lavoro assorbito a partire da scarico, $\tfrac12Cv^2$, non è mai negativo: non restituisce mai più di quello che ha ricevuto.

Serie e parallelo

Le regole sono quelle dei resistori scambiate, come vuole la dualità: la capacità si comporta come una conduttanza. Se i condensatori in serie partono scarichi portano tutti la stessa carica $q$, e ciascuno ha la tensione $v_k = q/C_k = v\,C/C_k$: nel partitore capacitivo la tensione più alta spetta al condensatore più piccolo.

I condensatori reali

I condensatori ceramici multistrato sono i più diffusi: decine di strati di ceramica e di metallo alternati in un parallelepipedo di pochi millimetri, da frazioni di picofarad a qualche decina di microfarad. Quelli di classe 1, come i C0G, sono stabili e precisi. Quelli di classe 2, come gli X7R, hanno capacità molto più alte nello stesso volume, ma la capacità cambia con la temperatura e soprattutto con la tensione continua applicata: in un componente piccolo, alla tensione nominale, può scendere sotto la metà del valore scritto. I condensatori a film plastico, di polipropilene o di poliestere, hanno perdite basse e si usano nei circuiti audio e di potenza. Sui condensatori piccoli il valore è scritto in picofarad con due cifre e un esponente, come sui resistori a montaggio superficiale: 104 vuol dire $10\times10^4$ pF, cioè $100$ nF.

Per le capacità grandi si usano i condensatori elettrolitici. In quelli all’alluminio il dielettrico è uno strato sottilissimo di ossido formato sull’armatura positiva, e l’altra armatura è un elettrolita liquido o polimerico. Lo spessore minimo dà capacità alte, ma rende il condensatore polarizzato: montato al contrario l’ossido si degrada, il componente si scalda e può aprirsi, e i modelli più grandi hanno sulla testa incisioni che fanno da valvola di sicurezza. Gli elettrolitici invecchiano, perché l’elettrolita si asciuga tanto più in fretta quanto più sono caldi; la durata a catalogo, per esempio duemila ore a 105 °C, si allunga di circa il doppio per ogni dieci gradi in meno. I condensatori al tantalio sono più piccoli a parità di capacità, e i supercondensatori arrivano a migliaia di farad con tensioni di pochi volt per elemento.

Nessun condensatore reale è solo una capacità. I reofori, le armature e l’elettrolita hanno una resistenza, riassunta nella resistenza serie equivalente (ESR), e un’induttanza, l’induttanza serie equivalente (ESL); l’isolante lascia passare una piccola corrente, rappresentata da una resistenza in parallelo. L’induttanza in serie conta alle frequenze alte: oltre la frequenza $1/(2\pi\sqrt{L_sC})$ il componente si comporta più come un induttore che come un condensatore, come mostrerà l’articolo sul regime sinusoidale. Per un ceramico da $100$ nF con un nanohenry di induttanza la frequenza è circa $16$ MHz. È lo stesso condensatore che si monta accanto a ogni circuito integrato digitale, tra alimentazione e massa, per fornire le correnti impulsive delle commutazioni senza che debbano arrivare dall’alimentatore attraverso piste lunghe e induttive.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un condensatore piano ha armature da $1$ cm² a $0{,}1$ mm di distanza, in aria. Quanto vale la capacità? E con una ceramica di permittività relativa $1000$? Che campo c’è tra le armature a $50$ V?

In aria $C = 8{,}85\times10^{-12}\cdot 10^{-4}/10^{-4}$ F $= 8{,}85$ pF; con la ceramica $8{,}85$ nF. A $50$ V il campo è $50/10^{-4} = 5\times10^5$ V/m, cioè $0{,}5$ kV/mm.

Commento: l’aria reggerebbe, perché la sua rigidità dielettrica è circa sei volte più alta. Per aumentare la capacità si può ridurre $d$, ma a parità di tensione il campo cresce nella stessa proporzione, e prima o poi l’isolante cede. Per questo la tensione nominale e la capacità vanno scelte insieme, e un condensatore con lo stesso dielettrico ma tensione nominale più alta è più grande.

Esercizio 2. La tensione ai capi di un condensatore da $100$ nF sale di $5$ V in $1$ ms. Quanta corrente assorbe? E se sale di $5$ V in $1$ µs?

Con variazione lineare $i = C\,\Delta v/\Delta t = 10^{-7}\cdot 5/10^{-3} = 0{,}5$ mA nel primo caso e $500$ mA nel secondo.

Commento: la stessa capacità assorbe correnti mille volte diverse a seconda della velocità. I fronti di commutazione dei circuiti digitali durano nanosecondi, e le capacità dei loro ingressi, anche se piccole, richiedono impulsi di corrente importanti. È il lavoro del condensatore di disaccoppiamento.

Esercizio 3. Un condensatore $C$ carico alla tensione $V_0$ viene collegato, attraverso un conduttore, a un condensatore uguale scarico. Quanto valgono alla fine le tensioni? E l’energia?

La carica totale $CV_0$ si conserva e alla fine si divide in parti uguali, perché i due condensatori hanno la stessa tensione: ciascuno ha $V_0/2$. L’energia iniziale è $\tfrac12CV_0^2$; quella finale $2\cdot\tfrac12C(V_0/2)^2 = \tfrac14CV_0^2$. Metà dell’energia è sparita.

Commento: è il paradosso dei due condensatori. L’energia mancante è dissipata nella resistenza del conduttore, e il conto non dipende dal suo valore: con una resistenza più piccola la corrente è più intensa ma dura meno, e il calore prodotto è lo stesso. Con una resistenza davvero trascurabile entrano in gioco l’induttanza del collegamento e l’irraggiamento, ma l’energia persa resta la metà. Il modello ideale, con due condensatori collegati da un filo perfetto, non ha soluzione: la tensione dovrebbe saltare, e la continuità della tensione lo vieta.

Esercizio 4. Un generatore da $12$ V carica attraverso un resistore da $10$ kΩ un condensatore da $100$ µF inizialmente scarico. Calcola la costante di tempo, la corrente iniziale, la tensione dopo $1$ s e dopo $5$ s. Quanta energia finisce nel condensatore e quanta nel resistore?

$\tau = 10^4\cdot10^{-4} = 1$ s. La corrente iniziale è $12/10^4 = 1{,}2$ mA. Dopo $1$ s $v = 12\,(1 - e^{-1}) \approx 7{,}6$ V, dopo $5$ s $v \approx 11{,}92$ V. Alla fine il condensatore contiene $\tfrac12\cdot10^{-4}\cdot 144 = 7{,}2$ mJ. Il resistore dissipa

$$\int_0^\infty R\,i^2\,dt = R\,\frac{E^2}{R^2}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{E^2}{R}\cdot\frac\tau2 = \frac12\,C E^2 = 7{,}2\ \text{mJ} .$$

Commento: il generatore eroga $CE\cdot E = 14{,}4$ mJ, e metà si perde nel resistore qualunque sia $R$, come nel paradosso dei due condensatori. Caricare un condensatore da una tensione costante attraverso una resistenza costa sempre il doppio dell’energia che ci resta dentro. Per fare meglio bisogna far salire la tensione del generatore insieme a quella del condensatore, ed è quello che fanno i caricatori efficienti.

Esercizio 5. Per ottenere un condensatore da $40$ V si mettono in serie due elettrolitici da $100$ µF e $25$ V. Quanto vale la capacità? Come si ripartisce la tensione?

La capacità è $50$ µF. All’accensione, con i condensatori scarichi, la carica è la stessa e la tensione si divide a metà, $20$ V ciascuno. In regime stazionario, però, nei condensatori reali scorre la corrente di dispersione, e la tensione si ripartisce come in un partitore resistivo tra le due resistenze d’isolamento, che negli elettrolitici possono differire anche di un fattore due o tre: uno dei due può superare i $25$ V.

Commento: la soluzione pratica è mettere in parallelo a ciascun condensatore un resistore di bilanciamento, per esempio da $10$ kΩ, che porta una corrente molto più grande delle dispersioni e impone la divisione a metà. Il partitore capacitivo vale per le variazioni rapide, quello resistivo per i tempi lunghi.

Esercizio 6. Un condensatore ha un dielettrico con resistività $10^{14}\ \Omega$ m e permittività relativa $2{,}2$. Caricato e lasciato aperto, in quanto tempo la sua tensione scende al 37% del valore iniziale?

Il condensatore si scarica attraverso la propria resistenza d’isolamento, con costante di tempo $RC = \rho\varepsilon = 10^{14}\cdot 2{,}2\cdot 8{,}85\times10^{-12}$ s $\approx 1950$ s, circa mezz’ora. Dopo un tempo $RC$ la tensione è scesa di un fattore $e$, al 37%.

Commento: il risultato non dipende dalle dimensioni del condensatore: un nanofarad e un microfarad con lo stesso dielettrico si scaricano nello stesso tempo. Per questo i cataloghi danno la resistenza d’isolamento dei condensatori a film anche come prodotto $R\cdot C$, in secondi o in megaohm per microfarad. La scarica di un condensatore reale dipende anche da altri fenomeni del dielettrico, e il conto dà solo l’ordine di grandezza.