Le onde gravitazionali

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

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Prima di questo, potrebbe interessarti: Le equazioni di Einstein , L'elettromagnetismo in forma covariante

Indice

Increspature dello spaziotempo

In relatività generale il tensore metrico è un campo, e come il campo elettromagnetico può avere perturbazioni che si propagano: le onde gravitazionali. Einstein le previde nel 1916, e nel 1918 ricavò la formula della potenza emessa. Per decenni si discusse se fossero reali o un effetto delle coordinate; il primo segno indiretto venne nel 1974 dalla pulsar binaria scoperta da Russell Hulse e Joseph Taylor, la cui orbita si stringe esattamente come previsto per l’energia persa in onde. Il 14 settembre 2015 i due rivelatori LIGO, negli Stati Uniti, le registrarono direttamente, e l’annuncio arrivò l’11 febbraio 2016, cento anni dopo la previsione. Dal 2017 lavora con loro Virgo, a Cascina, vicino a Pisa.

Questo articolo ricava l’equazione delle onde dalle equazioni di Einstein nel limite di campo debole, mostra che le onde viaggiano alla velocità della luce e hanno due polarizzazioni, e mantiene la promessa degli articoli precedenti: il tensore metrico completo di un campo debole e statico.

Le equazioni linearizzate

In una regione dove il campo è debole si scrive il tensore metrico come quello di Minkowski più una piccola perturbazione:

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1 ,

e si trascura tutto quello che è del secondo ordine in $h$ . Gli indici di $h$ si alzano e si abbassano con $\eta$ , e $h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ è la traccia. Si usa l’operatore di d’Alembert $\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu = c^{-2}\partial_t^2 - \nabla^2$ dell’articolo sui quadrivettori.

Proposizione (tensore di Ricci al primo ordine)

Al primo ordine in $h$ ,

R_{\nu\sigma} = \frac12\left(\partial_\mu\partial_\nu h^\mu{}_\sigma + \partial_\mu\partial_\sigma h^\mu{}_\nu - \Box h_{\nu\sigma} - \partial_\nu\partial_\sigma h\right).

Dimostrazione.

Le derivate di $g$ sono quelle di $h$ , e nella formula dei simboli di Christoffel $g^{\mu\rho}$ si può sostituire con $\eta^{\mu\rho}$ : $\Gamma^\mu_{\nu\lambda} = \tfrac12\eta^{\mu\rho}(\partial_\nu h_{\rho\lambda} + \partial_\lambda h_{\rho\nu} - \partial_\rho h_{\nu\lambda})$ . Nel tensore di Ricci i prodotti di simboli sono del secondo ordine, e resta $R_{\nu\sigma} = \partial_\mu\Gamma^\mu_{\nu\sigma} - \partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\mu}$ . Il primo termine è $\tfrac12(\partial_\mu\partial_\nu h^\mu{}_\sigma + \partial_\mu\partial_\sigma h^\mu{}_\nu - \Box h_{\nu\sigma})$ . Nel secondo, $\Gamma^\mu_{\nu\mu} = \tfrac12(\partial_\nu h + \partial_\mu h^\mu{}_\nu - \partial^\rho h_{\nu\rho})$ , e gli ultimi due addendi sono uguali per la simmetria di $h$ : resta $\partial_\sigma\Gamma^\mu_{\nu\mu} = \tfrac12\partial_\sigma\partial_\nu h$ .

Fine della dimostrazione.

La formula è complicata perché le coordinate sono ancora libere. Un piccolo cambio di coordinate $x'^\mu = x^\mu + \xi^\mu(x)$ , con $\xi$ dello stesso ordine di $h$ , lascia il tensore metrico nella forma $\eta + h$ , con $h$ cambiato.

Proposizione (trasformazioni di gauge)

Con il cambio di coordinate $x'^\mu = x^\mu + \xi^\mu(x)$ la perturbazione diventa, al primo ordine,

h'_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \partial_\mu\xi_\nu - \partial_\nu\xi_\mu .

Dimostrazione.

Per la legge di trasformazione del tensore metrico, $g'_{\mu\nu}(x') = (\partial x^\alpha/\partial x'^\mu)(\partial x^\beta/\partial x'^\nu)\,g_{\alpha\beta}(x)$ , con $\partial x^\alpha/\partial x'^\mu = \delta^\alpha_\mu - \partial_\mu\xi^\alpha$ al primo ordine. Allora $g'_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} - \eta_{\alpha\nu}\partial_\mu\xi^\alpha - \eta_{\mu\beta}\partial_\nu\xi^\beta = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} - \partial_\mu\xi_\nu - \partial_\nu\xi_\mu$ . La differenza tra $h(x)$ e $h(x')$ è del secondo ordine.

Fine della dimostrazione.

È la stessa libertà dei potenziali elettromagnetici, dove $A_\mu$ e $A_\mu - \partial_\mu\chi$ descrivono lo stesso campo. E come là, conviene una condizione che semplifichi le equazioni. Si definisce la perturbazione a traccia invertita $\bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \tfrac12\eta_{\mu\nu}h$ , che ha traccia $\bar h = -h$ , e si impone la condizione di gauge di Lorenz, detta anche di De Donder o armonica:

\partial^\mu\bar h_{\mu\nu} = 0 .

Si può sempre imporre: se non vale, il cambio di gauge con $\Box\xi_\nu = \partial^\mu\bar h_{\mu\nu}$ la rende vera, perché $\partial^\mu\bar h'_{\mu\nu} = \partial^\mu\bar h_{\mu\nu} - \Box\xi_\nu$ , e l’equazione delle onde per $\xi_\nu$ ha sempre soluzioni.

Teorema (equazioni di Einstein linearizzate)

Nella gauge di Lorenz, al primo ordine,

\Box\bar h_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} .

Dimostrazione.

La condizione di gauge dà $\partial_\mu h^\mu{}_\nu = \tfrac12\partial_\nu h$ . Quindi nella proposizione sul tensore di Ricci $\partial_\mu\partial_\nu h^\mu{}_\sigma = \tfrac12\partial_\nu\partial_\sigma h$ , e lo stesso per l’altro termine: i tre termini con $h$ si elidono e resta $R_{\nu\sigma} = -\tfrac12\Box h_{\nu\sigma}$ . Le equazioni di Einstein nella forma con la traccia, $R_{\nu\sigma} = \kappa(T_{\nu\sigma} - \tfrac12\eta_{\nu\sigma}T)$ , diventano $\Box h_{\nu\sigma} = -2\kappa(T_{\nu\sigma} - \tfrac12\eta_{\nu\sigma}T)$ . Invertendo la traccia di entrambi i membri, operazione lineare che commuta con $\Box$ e che applicata a $T_{\nu\sigma} - \tfrac12\eta_{\nu\sigma}T$ ridà $T_{\nu\sigma}$ perché $\eta^{\nu\sigma}\eta_{\nu\sigma} = 4$ , si ottiene $\Box\bar h_{\nu\sigma} = -2\kappa T_{\nu\sigma}$ , con $2\kappa = 16\pi G/c^4$ .

Fine della dimostrazione.

È la stessa struttura delle equazioni di Maxwell nella gauge di Lorenz, $\Box A^\mu = 4\pi J^\mu/c$ in unità gaussiane: la sorgente è il tensore energia-impulso invece della quadricorrente. Il segno del secondo membro dipende dalla convenzione per $\Box$ , e con questa il limite statico torna.

Corollario (campo debole e statico)

Per una materia lenta con densità $\rho$ e pressione trascurabile, in un campo statico,

g_{00} = 1 + \frac{2\Phi}{c^2}, \qquad g_{0i} = 0, \qquad g_{ij} = -\left(1 - \frac{2\Phi}{c^2}\right)\delta_{ij},

con $\Phi$ il potenziale newtoniano, $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$ .

Dimostrazione.

L’unica componente non trascurabile del tensore energia-impulso è $T_{00} = \rho c^2$ . Nel caso statico $\Box = -\nabla^2$ , quindi $\nabla^2\bar h_{00} = 16\pi G\rho/c^2$ e le altre componenti di $\bar h$ soddisfano $\nabla^2\bar h = 0$ e, nulle all’infinito, sono nulle. Confrontando con l’equazione di Poisson, $\bar h_{00} = 4\Phi/c^2$ . La traccia è $\bar h = \eta^{00}\bar h_{00} = 4\Phi/c^2$ , quindi $h = -4\Phi/c^2$ , e $h_{\mu\nu} = \bar h_{\mu\nu} - \tfrac12\eta_{\mu\nu}\bar h$ dà $h_{00} = 4\Phi/c^2 - 2\Phi/c^2 = 2\Phi/c^2$ e $h_{ij} = \tfrac12\delta_{ij}\cdot 4\Phi/c^2 = 2\Phi\,\delta_{ij}/c^2$ .

Fine della dimostrazione.

La componente $g_{00}$ è quella ricavata con il principio di equivalenza. Le componenti spaziali sono l’altra metà della storia: per la luce contano quanto $g_{00}$ , e sono loro a raddoppiare la deflessione rispetto al calcolo newtoniano, da $0{,}88''$ a $1{,}75''$ per un raggio che sfiora il Sole.

Le onde nel vuoto

Lontano dalle sorgenti $T_{\mu\nu} = 0$ e le equazioni linearizzate diventano $\Box\bar h_{\mu\nu} = 0$ : dieci equazioni delle onde.

Proposizione (onde piane)

$\bar h_{\mu\nu} = A_{\mu\nu}\cos(k_\alpha x^\alpha)$ , con $A_{\mu\nu}$ costanti simmetriche e $k^\alpha = (\omega/c, \mathbf k)$ , è soluzione di $\Box\bar h_{\mu\nu} = 0$ se e solo se $k_\alpha k^\alpha = 0$ , cioè $\omega = c\,|\mathbf k|$ . La gauge di Lorenz richiede in più $k^\mu A_{\mu\nu} = 0$ .

Dimostrazione.

$\partial_\mu\partial_\nu\cos(k_\alpha x^\alpha) = -k_\mu k_\nu\cos(k_\alpha x^\alpha)$ , quindi $\Box\bar h_{\mu\nu} = -\eta^{\rho\sigma}k_\rho k_\sigma\,A_{\mu\nu}\cos(k_\alpha x^\alpha)$ , nullo per ogni $x$ se e solo se $k_\alpha k^\alpha = \omega^2/c^2 - |\mathbf k|^2 = 0$ . Allo stesso modo $\partial^\mu\bar h_{\mu\nu} = -k^\mu A_{\mu\nu}\sin(k_\alpha x^\alpha)$ .

Fine della dimostrazione.

Le onde gravitazionali viaggiano alla velocità della luce. Nel 2017 le onde della fusione di due stelle di neutroni, GW170817, e il lampo di raggi gamma prodotto nello stesso evento arrivarono a meno di due secondi l’una dall’altro, dopo un viaggio di 130 milioni di anni.

Le costanti $A_{\mu\nu}$ sono dieci; la gauge di Lorenz impone quattro condizioni. Restano i cambi di gauge con $\Box\xi_\nu = 0$ , che non la guastano, e con questi si possono annullare altre quattro combinazioni: si arriva alla gauge trasversa a traccia nulla, o gauge TT, in cui $A_{0\nu} = 0$ , $A^\mu{}_\mu = 0$ e $k^iA_{ij} = 0$ . La costruzione esplicita delle $\xi$ si trova, per esempio, nel capitolo 9 di B. Schutz, A First Course in General Relativity. Per un’onda che si propaga lungo $z$ restano due numeri:

A_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

le ampiezze delle due polarizzazioni, $+$ e $\times$ . In gauge TT la traccia è nulla, e $\bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu}$ .

Proposizione (effetto su due particelle libere)

In gauge TT, per un’onda con la sola polarizzazione $+$ che si propaga lungo $z$ , particelle libere inizialmente ferme restano ferme nelle coordinate. La distanza propria tra due di esse, a distanza di coordinata $L$ lungo $x$ , è al primo ordine

D_x = L\left(1 - \frac{h_+}{2}\cos\omega t\right),

e lungo $y$ è $D_y = L\left(1 + \tfrac12 h_+\cos\omega t\right)$ , se $L$ è molto minore della lunghezza d’onda.

Dimostrazione.

Per una particella ferma, all’inizio $dx^\mu/ds = (1, 0, 0, 0)$ , e l’equazione delle geodetiche dà $d^2x^i/ds^2 = -\Gamma^i_{00}$ . In gauge TT $h_{00} = h_{0i} = 0$ , quindi $\Gamma^i_{00} = \tfrac12\eta^{ii}(2\partial_0h_{i0} - \partial_ih_{00}) = 0$ : la particella non accelera nelle coordinate, e resta ferma. Tra le due particelle lungo $x$ , a $t$ fissato, $dD = \sqrt{-g_{xx}}\,dx$ con $g_{xx} = -1 + h_+\cos\omega t$ (a $z = 0$ ), quindi $D_x = L\sqrt{1 - h_+\cos\omega t} = L(1 - \tfrac12h_+\cos\omega t)$ al primo ordine; lungo $y$ , $g_{yy} = -1 - h_+\cos\omega t$ .

Fine della dimostrazione.

Non è un paradosso che le particelle stiano ferme e le loro distanze cambino: le coordinate TT si deformano con l’onda, e le distanze vere le dà il tensore metrico. Un’onda $+$ allunga lo spazio in una direzione trasversale mentre lo accorcia in quella perpendicolare, e mezzo periodo dopo fa il contrario; un’onda $\times$ fa lo stesso lungo le diagonali. Nella direzione di propagazione non succede niente: le onde sono trasversali.

Un anello di particelle libere attraversato da un’onda gravitazionale che viaggia perpendicolarmente al disegno. A sinistra la polarizzazione $+$ : l’anello si allunga in verticale mentre si accorcia in orizzontale, poi il contrario. A destra la polarizzazione $\times$ , la stessa deformazione ruotata di 45°. La circonferenza tratteggiata è la posizione di riposo. L’ampiezza è esagerata di circa venti ordini di grandezza.

Le sorgenti e i rivelatori

Le onde gravitazionali nascono dalla variazione nel tempo della distribuzione di massa ed energia, come le onde elettromagnetiche dalle cariche accelerate. C’è però una differenza. Per le onde elettromagnetiche la sorgente principale è la variazione del momento di dipolo elettrico. L’analogo gravitazionale, il momento di dipolo della massa, è la massa totale per la posizione del centro di massa, e la sua derivata seconda è nulla per la conservazione della quantità di moto; la massa stessa si conserva. Il primo termine che irraggia è il quadrupolo. Per due corpi di masse $m_1$ e $m_2$ in orbita circolare di raggio relativo $a$ , la potenza emessa è

P = \frac{32}{5}\,\frac{G^4}{c^5}\,\frac{(m_1m_2)^2(m_1 + m_2)}{a^5},

a frequenza doppia di quella orbitale. La formula viene dalle equazioni linearizzate con una sorgente lenta, e la sua derivazione, lunga, va oltre questo articolo: si trova per esempio nel paragrafo 110 del volume 2 del corso di fisica teorica di L. D. Landau ed E. M. Lifšic.

Il fattore $G^4/c^5$ rende l’effetto minuscolo per qualunque sistema ordinario. La Terra, girando attorno al Sole, emette circa $200$ W. Servono masse enormi a distanze piccole e velocità vicine a quella della luce: stelle di neutroni o buchi neri che spiraleggiano l’uno verso l’altro fino a fondersi. Il primo segnale, GW150914, veniva da due buchi neri di circa $36$ e $29$ masse solari, a più di un miliardo di anni luce: nell’ultima frazione di secondo irraggiarono l’equivalente di circa tre masse solari.

Arrivato sulla Terra, un segnale così ha un’ampiezza $h$ dell’ordine di $10^{-21}$ . Per misurarlo si usa un interferometro di Michelson con i bracci perpendicolari: un’onda con la polarizzazione giusta allunga un braccio e accorcia l’altro, e la differenza di lunghezza, $hL$ , cambia la figura di interferenza. Con bracci di $4$ km, come in LIGO, la differenza è di circa $4 \times 10^{-18}$ m, meno di un centesimo del raggio di un protone.

Schema di un interferometro per onde gravitazionali. Il fascio del laser è diviso in due al vertice, percorre i due bracci perpendicolari, torna indietro dopo gli specchi e si ricombina sul fotorivelatore. Nell’animazione un’onda con polarizzazione $+$ allineata ai bracci allunga il braccio orizzontale mentre accorcia il verticale, e poi il contrario; la luce che arriva al rivelatore cambia con la differenza dei due percorsi. Lo spostamento degli specchi è esagerato di circa venti ordini di grandezza.

Nei rivelatori a terra le vibrazioni sismiche limitano la sensibilità sotto la decina di hertz. Per le frequenze più basse, emesse da buchi neri di milioni di masse solari, l’Agenzia spaziale europea prepara LISA: tre satelliti a due milioni e mezzo di chilometri l’uno dall’altro, con il lancio previsto verso il 2035. A frequenze ancora più basse, di nanohertz, nel 2023 le reti di pulsar usate come orologi hanno trovato indizi di un fondo di onde gravitazionali. Se il campo gravitazionale è quantizzato come quello elettromagnetico, le sue eccitazioni sono i gravitoni: senza massa, perché le onde viaggiano a $c$ , e con spin $2$ , perché la sorgente è un tensore di rango due. Non se ne è mai osservato uno, e con i rivelatori immaginabili non sarà possibile.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Calcola la potenza emessa in onde gravitazionali dal sistema Terra-Sole. Usa $M_\odot = 1{,}989 \times 10^{30}$ kg, $M_T = 5{,}972 \times 10^{24}$ kg, $a = 1{,}496 \times 10^{11}$ m.

$(m_1m_2)^2 = (1{,}188 \times 10^{55})^2$ kg⁴ $\approx 1{,}411 \times 10^{110}$ kg⁴, $m_1 + m_2 \approx 1{,}989 \times 10^{30}$ kg, $G^4 \approx 1{,}984 \times 10^{-41}$ , $c^5 \approx 2{,}422 \times 10^{42}$ , $a^5 \approx 7{,}50 \times 10^{55}$ m⁵. Allora

P = 6{,}4 \cdot \frac{1{,}984 \times 10^{-41} \cdot 1{,}411 \times 10^{110} \cdot 1{,}989 \times 10^{30}}{2{,}422 \times 10^{42} \cdot 7{,}50 \times 10^{55}}\ \text{W} \approx 196\ \text{W}.

Commento: la potenza di un paio di lampadine, su un’energia orbitale di circa $2{,}6 \times 10^{33}$ J. A questo ritmo l’orbita terrestre si restringerebbe in modo apprezzabile in un tempo enormemente più lungo dell’età dell’universo. Per le pulsar binarie, con masse stellari a distanze di qualche milione di chilometri, l’effetto si misura in pochi anni.

Esercizio 2. Un’onda con $h = 1{,}0 \times 10^{-21}$ attraversa un interferometro con bracci di $4{,}0$ km, con la polarizzazione allineata ai bracci. Di quanto cambia ciascun braccio, e di quanto la loro differenza?

Per la proposizione sulle particelle libere ciascun braccio cambia di $\tfrac12hL = 0{,}5 \cdot 10^{-21} \cdot 4{,}0 \times 10^3$ m $= 2{,}0 \times 10^{-18}$ m, uno allungandosi e l’altro accorciandosi. La differenza tra i due è $hL = 4{,}0 \times 10^{-18}$ m.

Commento: il raggio del protone è circa $8{,}4 \times 10^{-16}$ m, duecento volte di più. Nei rivelatori reali la luce rimbalza molte volte negli specchi dei bracci, che si comportano come cavità ottiche, e allunga il percorso efficace; il resto lo fanno laser stabilissimi, specchi sospesi a pendoli multipli e il vuoto spinto nei tubi.

Esercizio 3. Nell’evento GW170817 il lampo di raggi gamma arrivò circa $1{,}7$ s dopo le onde gravitazionali, da una distanza di circa $130$ milioni di anni luce. Che limite dà sulla differenza tra la velocità delle onde gravitazionali e quella della luce?

Il tempo di viaggio è circa $1{,}3 \times 10^8 \cdot 3{,}156 \times 10^7$ s $\approx 4{,}1 \times 10^{15}$ s. Se il ritardo fosse dovuto tutto a una differenza di velocità, sarebbe $|\Delta v|/c \approx 1{,}7/4{,}1 \times 10^{15} \approx 4 \times 10^{-16}$ .

Commento: il ritardo può anche dipendere da quando il lampo è stato emesso rispetto alla fusione, e per questo il limite pubblicato dalle collaborazioni tiene conto di un possibile anticipo o ritardo di emissione. Resta una delle misure più precise della fisica: le onde gravitazionali viaggiano alla velocità della luce entro qualche parte su $10^{15}$ , e molte teorie alternative alla relatività generale che prevedevano velocità diverse sono state escluse in un giorno.

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