Energia e quantità di moto relativistiche

Una lagrangiana per la relatività

Gli articoli precedenti hanno preparato due strumenti: le trasformazioni di Lorentz, che dicono come cambiano le coordinate tra osservatori inerziali, e la meccanica lagrangiana con il teorema di Noether, che ricava le grandezze conservate dalle simmetrie. Qui si mettono insieme per trovare la quantità di moto e l’energia di una particella in relatività.

La lagrangiana classica della particella libera, $\tfrac m2 v^2$, è costruita con distanze e intervalli di tempo, che in meccanica classica sono gli stessi per tutti gli osservatori. In relatività non lo sono più, e la lagrangiana classica non va bene. Serve una grandezza differenziale invariante per le trasformazioni di Lorentz, e ce n’è una: l’intervallo $ds$, cioè, a meno del fattore $c$, il tempo proprio $d\tau = ds/c$.

C’è anche un secondo indizio. Nell’articolo sull’intervallo si è dimostrato che, tra due eventi, la linea di universo di tempo proprio massimo è la retta, cioè il moto uniforme. Il moto di una particella libera è proprio quello uniforme, e il principio di minima azione chiede che il moto reale renda stazionaria l’azione. Il tempo proprio lungo la linea di universo ha quindi la proprietà giusta per fare da azione.

Nessuno di questi argomenti è una dimostrazione: la dinamica relativistica non si deduce da principi più generali, e la sua forma si giustifica, alla fine, con l’accordo tra previsioni ed esperimenti. Gli argomenti dicono però quale sia la scelta più semplice compatibile con le simmetrie, ed è quella che la natura segue.

La lagrangiana della particella libera

Si assume che l’azione di una particella libera tra due eventi $A$ e $B$ sia proporzionale al cammino lungo la sua linea di universo:

$$S = -\alpha\int_A^B ds = -\alpha c\int_{\tau_A}^{\tau_B} d\tau,$$

con $\alpha$ costante. L’azione è invariante per costruzione, perché lo è $ds$, e le equazioni del moto che se ne ricavano hanno la stessa forma per tutti gli osservatori inerziali.

Il segno meno nell’azione ha una ragione. Poiché $\alpha = mc > 0$, sulla retta, dove il tempo proprio è massimo, l’azione $-mc^2\int d\tau$ è minima. L’equazione di Eulero-Lagrange conferma che il moto è uniforme: $L$ non dipende dalla posizione, quindi $\partial L/\partial\mathbf v$ è costante, e si vedrà subito che questa grandezza è $\gamma m\mathbf v$, che determina $\mathbf v$ in modo univoco.

La massa $m$ è la stessa della meccanica classica, una proprietà della particella che non dipende dall’osservatore. Si trova ancora il nome «massa a riposo», e con esso l’idea di una «massa relativistica» $\gamma m$ che crescerebbe con la velocità. È un modo di dire che nasce dal fatto che molte formule relativistiche si ottengono da quelle classiche mettendo $\gamma m$ al posto di $m$; ma a cambiare con la velocità sono le misure di spazio e di tempo, non la massa. In questo percorso massa vuol dire sempre $m$.

Quantità di moto ed energia

Lo spazio e il tempo della relatività ristretta sono omogenei e lo spazio è isotropo, come in meccanica classica. Il teorema di Noether vale per ogni lagrangiana, e dice quali grandezze si conservano: per l’omogeneità dello spazio la quantità coniugata alla posizione, per l’omogeneità del tempo la funzione $E$ dell’articolo sul teorema di Noether.

Per velocità piccole $\gamma \approx 1$ e $\mathbf p \approx m\mathbf v$, la quantità di moto classica. Allo stesso risultato si arriva, in molti testi, imponendo che la quantità di moto si conservi negli urti visti da osservatori diversi, con la composizione relativistica delle velocità.

È la dimostrazione promessa nell’articolo sui postulati di Einstein: la cinematica suggeriva che $c$ fosse un limite, la dinamica lo stabilisce per ogni corpo dotato di massa. Particelle più veloci della luce, i tachioni, avrebbero bisogno di una massa immaginaria per avere energia reale; sono state ipotizzate, ma mai osservate.

E = mc²

Sviluppando $\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} = 1 + \tfrac12\beta^2 + \tfrac38\beta^4 + \dots$ si ottiene

$$E = mc^2 + \frac12 mv^2 + \frac38\,\frac{mv^4}{c^2} + \dots$$

Il secondo termine è l’energia cinetica classica. Il primo non dipende dalla velocità, e resta quando la particella è ferma:

$$E_0 = mc^2 .$$

È l’energia a riposo. In meccanica classica un termine costante nell’energia non avrebbe significato, perché l’energia è definita a meno di una costante. In relatività sì: $E$ e $\mathbf p$ si trasformano insieme passando da un osservatore all’altro, come si vedrà con i quadrivettori, e la costante non si può togliere senza rompere quelle leggi di trasformazione. Un corpo dotato di massa possiede energia per il solo fatto di esistere, e un’energia, ovunque si trovi, contribuisce alla massa. L’energia cinetica relativistica è $E - mc^2 = (\gamma - 1)\,mc^2$.

Un esperimento ideale dello stesso Einstein rende l’idea concreta. Una scatola chiusa di massa $M$ e lunghezza $L$ è ferma nello spazio. Da una parete parte un lampo di luce di energia $E$, che per l’elettromagnetismo classico trasporta quantità di moto $E/c$. La scatola rincula con velocità $v = E/(Mc)$, piccola. Il lampo arriva alla parete opposta dopo circa $L/c$, viene assorbito e la scatola si ferma, dopo essersi spostata di $\ell = vL/c = EL/(Mc^2)$. Nessuna forza esterna ha agito, eppure la scatola si è spostata: il centro di massa di un sistema isolato fermo non si può spostare, come dice il teorema di Noether per le trasformazioni di Galileo. L’unico modo di rimettere le cose a posto è che, insieme all’energia, il lampo abbia portato dall’una all’altra parete una massa $m$, tale che $M\ell = mL$. Mettendo insieme le due relazioni si ha $E = mc^2$. Il ragionamento usa approssimazioni, una scatola perfettamente rigida e la meccanica classica per il rinculo, e non è una dimostrazione; mostra però che l’energia a riposo non è un artificio delle formule.

Il fattore $c^2 \approx 9 \times 10^{16}$ m²/s² è enorme. Un chilogrammo di materia equivale a circa $9 \times 10^{16}$ J, più o meno l’energia che l’umanità consuma in poco più di un’ora. Riscaldare un chilogrammo d’acqua di un kelvin gli fornisce $4186$ J e ne aumenta la massa di $4{,}7 \times 10^{-14}$ kg, una variazione che nessuna bilancia può rivelare.

Per un sistema di particelle vale lo stesso. Nel sistema in cui il suo centro di massa è fermo, la massa del sistema è la sua energia totale divisa per $c^2$: comprende le energie a riposo delle parti, le loro energie cinetiche e l’energia di interazione. Un solido caldo ha massa maggiore della somma delle masse dei suoi atomi; un nucleo ha massa minore della somma delle masse di protoni e neutroni, perché per separarli bisogna fornire energia, come nell’esercizio 2. La massa di un sistema non è additiva; si conserva invece l’energia totale, masse comprese. Protoni e neutroni ne sono l’esempio più evidente: i tre quark che li compongono hanno masse che sommate fanno circa l’uno per cento della loro massa, e il resto è energia cinetica dei quark e energia dell’interazione forte che li tiene insieme.

Per le particelle elementari si usa l’energia a riposo come unità di massa. L’elettrone ha $m_e c^2 = 0{,}511$ MeV, il protone $938{,}3$ MeV. E il fattore di Lorentz si legge direttamente come $\gamma = E/(mc^2)$.

La relazione tra energia e quantità di moto

La differenza $E^2 - p^2c^2$ non dipende dalla velocità: vale $m^2c^4$ per ogni osservatore. Nella meccanica classica la relazione è $E = p^2/(2m)$, una parabola che passa per l’origine; quella relativistica è un ramo di iperbole che per $p = 0$ parte da $mc^2$.

Estraendo la radice si trova $E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$. Per una particella libera la radice negativa sembra da scartare, perché $\gamma mc^2$ è positiva. Ma quando Dirac, nel 1928, cercò un’equazione quantistica compatibile con la relatività, le soluzioni a energia negativa non si potevano eliminare. Dirac le interpretò come stati tutti occupati da elettroni, e le «lacune» in quel mare come particelle uguali all’elettrone ma di carica positiva. Il positrone fu scoperto nel 1932. La teoria quantistica dei campi ha poi sostituito il mare di Dirac con un’interpretazione diversa, trattata nell’articolo sulla meccanica quantistica relativistica.

Particelle senza massa

In meccanica analitica la velocità di una particella si ottiene derivando l’energia, espressa in funzione della quantità di moto, rispetto alla quantità di moto: $v = \partial E/\partial p$. Con $E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ si ritrova $v = pc^2/E$, in accordo con il teorema. Questa forma ha il vantaggio di avere senso anche per $m = 0$.

La relazione $E = pc$ vale per le onde elettromagnetiche già nella teoria di Maxwell, e quindi per i fotoni. Vale in modo approssimato per le particelle ultrarelativistiche, quelle con $pc \gg mc^2$. Una particella senza massa viaggia sempre a $c$, e una particella con massa non la raggiunge mai.

I neutrini sono stati a lungo considerati senza massa. Nel 1957 Bruno Pontecorvo propose che potessero trasformarsi da un tipo all’altro durante il volo, e queste oscillazioni sono state osservate nel 1998. Un neutrino che cambia tipo ha un orologio interno che scorre, e una particella a $v = c$ non ne ha: per ogni osservatore il suo tempo proprio sarebbe fermo. I neutrini hanno quindi una massa, anche se piccolissima.

Per una particella senza massa la lagrangiana $-mc^2\sqrt{1 - v^2/c^2}$ è identicamente nulla, e il principio variazionale non dice niente. Il fotone non è una particella classica: è il quanto del campo elettromagnetico, e la sua descrizione corretta parte dalla lagrangiana del campo.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un elettrone parte da fermo e viene accelerato da una differenza di potenziale di $10$ MV. Sapendo che $m_e c^2 = 0{,}511$ MeV, calcola la sua energia totale, il fattore $\gamma$, la velocità e la quantità di moto.

L’energia cinetica acquistata è $e\,\Delta V = 10{,}0$ MeV, quindi

$$E = 10{,}0\ \text{MeV} + 0{,}511\ \text{MeV} = 10{,}511\ \text{MeV}, \qquad \gamma = \frac{E}{m_e c^2} = \frac{10{,}511}{0{,}511} \approx 20{,}6 .$$

La velocità si ricava da $\gamma$: $v/c = \sqrt{1 - 1/\gamma^2} \approx 0{,}9988$. La quantità di moto viene dalla relazione energia-impulso:

$$pc = \sqrt{E^2 - (m_e c^2)^2} = \sqrt{10{,}511^2 - 0{,}511^2}\ \text{MeV} \approx 10{,}50\ \text{MeV},$$

cioè $p \approx 10{,}50$ MeV/$c$.

Commento: con la formula classica $\tfrac12 m_e v^2 = 10$ MeV si troverebbe $v/c = \sqrt{2 \cdot 10{,}0/0{,}511} \approx 6{,}3$, più di sei volte la velocità della luce. Quando l’energia cinetica è confrontabile con l’energia a riposo, o più grande, le formule classiche vanno abbandonate. A energie così alte $pc$ ed $E$ quasi coincidono: l’elettrone è ultrarelativistico.

Esercizio 2. Il deutone, nucleo del deuterio, è formato da un protone e un neutrone. Le masse sono $m_p = 1{,}007276$ u, $m_n = 1{,}008665$ u e $m_d = 2{,}013553$ u, con $1$ u $= 931{,}494$ MeV/$c^2$. Quanta energia serve per separare il protone dal neutrone?

La massa del deutone è minore della somma delle masse dei costituenti:

$$\Delta m = m_p + m_n - m_d = 2{,}015941\ \text{u} - 2{,}013553\ \text{u} = 0{,}002388\ \text{u}.$$

Per separare le due particelle, ferme, bisogna fornire l’energia corrispondente a questa differenza, l’energia di legame:

$$E_\ell = \Delta m\,c^2 = 0{,}002388 \cdot 931{,}494\ \text{MeV} \approx 2{,}22\ \text{MeV}.$$

Commento: quando protone e neutrone si legano cedono all’esterno $2{,}22$ MeV, di solito sotto forma di un fotone gamma, e con quell’energia se ne va la massa $\Delta m$, circa lo $0{,}12\%$ della massa del deutone. Nelle reazioni chimiche le energie in gioco sono di qualche elettronvolt per molecola, circa un milione di volte meno: la differenza di massa c’è anche lì, ma è troppo piccola per misurarla.

Esercizio 3. Nel Large Hadron Collider del CERN i protoni circolano con energia $E = 6{,}8$ TeV. Quanto valgono $\gamma$ e la differenza $1 - v/c$? Usa $m_p c^2 = 938{,}3$ MeV.

$\gamma = E/(m_p c^2) = 6800\ \text{GeV}/0{,}9383\ \text{GeV} \approx 7{,}25 \times 10^3$. Per $\gamma$ grande, $1 - v/c = 1 - \sqrt{1 - 1/\gamma^2} \approx 1/(2\gamma^2) \approx 9{,}5 \times 10^{-9}$.

Commento: i protoni vanno a una velocità che differisce da $c$ di una parte su cento milioni, e la loro quantità di moto è praticamente $E/c$. Aumentare l’energia non li rende apprezzabilmente più veloci: raddoppiandola, $1 - v/c$ diventa quattro volte più piccolo, e la velocità cambia di meno di un centesimo di milionesimo. Per questo nei grandi acceleratori si parla di energie e non di velocità.

Esercizio 4. Di quanto sbaglia la formula classica dell’energia cinetica per una particella con $v = 0{,}10\,c$?

L’energia cinetica relativistica è $(\gamma - 1)\,mc^2$, quella classica $\tfrac12 mv^2 = \tfrac12\beta^2 mc^2$. Con $\beta = 0{,}10$, $\gamma = 1/\sqrt{0{,}99} \approx 1{,}0050378$, quindi $(\gamma - 1)\,mc^2 \approx 0{,}0050378\,mc^2$ contro $0{,}0050000\,mc^2$. La formula classica sottostima l’energia cinetica dello $0{,}76\%$.

Commento: dallo sviluppo $\gamma - 1 = \tfrac12\beta^2 + \tfrac38\beta^4 + \dots$ il rapporto tra le due energie è $1 + \tfrac34\beta^2 + \dots$, e $\tfrac34 \cdot 0{,}01 = 0{,}0075$: l’errore relativo cresce come il quadrato della velocità. A un decimo della velocità della luce la meccanica classica sbaglia ancora di meno dell’un per cento, a metà sbaglia di circa il $24\%$.