Il filtro ottimo

Il problema

In molte misure la forma del segnale è nota e ciò che si vuole è un suo parametro: l’ampiezza dell’impulso di un rivelatore, che dice quanta energia ha depositato una particella; l’ampiezza dell’eco di un sonar; la carica raccolta da un sensore. Il segnale è $A\,x(t)$, con la forma $x(t)$ conosciuta e l’ampiezza $A$ da misurare, e arriva insieme a un rumore. Negli articoli precedenti si è scelto un filtro — il filtro RC, la finestra, il boxcar — e se ne sono ottimizzati i parametri. Qui la domanda è più radicale: tra tutte le funzioni peso possibili, qual è quella che dà il rapporto segnale-rumore più alto? La risposta si chiama filtro ottimo, e la sua dimostrazione è ancora la disuguaglianza di Cauchy e Schwarz, già usata per la media uniforme.

Il caso discreto

Si comincia dai campioni, dove il conto è più trasparente. Si prendono $N$ campioni $A\,x_k + n_k$, con il rumore incorrelato da un campione all’altro e con varianza $\sigma^2$, e si combina $y = \sum_k w_k(A\,x_k + n_k)$.

Il risultato è quello che ci si aspetta. Ogni campione ha lo stesso rumore, ma non la stessa informazione: dove il segnale è grande il campione dice molto su $A$, dove è piccolo quasi niente. Il peso di ogni campione è proporzionale a quanto il segnale è grande lì. Per un segnale costante si ritrova la media uniforme.

Il filtro adattato

Nel continuo il ragionamento è lo stesso. La funzione peso $w(t, \tau)$ dà all’uscita il segnale $A\int x(\tau)\,w(t, \tau)\,d\tau$, e da un rumore bianco di densità unilatera $S$ un rumore con varianza $(S/2)\int w^2(t, \tau)\,d\tau$, come dimostrato per i filtri tempo-varianti.

Il massimo non dipende dalla forma del segnale ma solo dalla sua energia $E$, l’energia in senso lato dell’articolo sui segnali: due impulsi con la stessa energia si misurano con la stessa precisione, qualunque sia la loro forma, purché il filtro sia adattato a ciascuno. Per un impulso rettangolare il filtro adattato è l’integratore a finestra lungo quanto l’impulso, e il massimo è $A\sqrt{2T_P/S}$, già trovato; per un impulso esponenziale $A\,e^{-t/\tau}$ è $E = A^2\tau/2$ e il massimo vale $A\sqrt{\tau/S}$. Per il teorema di Parseval lo stesso risultato si scrive in frequenza: con $X(f)$ la trasformata di $A\,x(t)$, il massimo è $(4/S)\int_0^\infty|X(f)|^2\,df$, e si raggiunge con una funzione di trasferimento proporzionale a $X(f)$ — il filtro lascia passare ogni frequenza in proporzione a quanto segnale ci si trova.

Quanto si guadagna, rispetto ai filtri semplici? Di solito poco. Un filtro che somiglia grossolanamente alla forma del segnale prende quasi tutto il possibile, perché il massimo del rapporto $\int xw/\sqrt{\int w^2}$ è piatto: sbagliare la forma del peso costa al secondo ordine.

Il filtro adattato ha anche un altro nome. Realizzato come filtro tempo-invariante, deve avere risposta all’impulso $h(t) = G\,x(t_m - t)$, il segnale ribaltato nel tempo e ritardato di un tempo $t_m$, perché la funzione peso all’istante $t_m$ sia proporzionale a $x$. La sua uscita è allora

$$y(t) = AG\int x(u)\,x(u + t_m - t)\,du ,$$

l’autocorrelazione del segnale, che ha il massimo in $t = t_m$: per questo il filtro adattato si chiama anche correlatore. Il tempo $t_m$ non può essere più corto della durata del segnale, se si vuole usare tutta la sua energia. Con segnali lunghi, per esempio esponenziali, si sceglie un tempo di lettura $t_m$ finito e si adatta il peso al segnale solo tra $0$ e $t_m$: si perde l’energia che arriva dopo, e il rapporto segnale-rumore si riduce della radice della frazione di energia raccolta.

Un filtro con una risposta all’impulso qualsiasi non si costruisce con pochi resistori e condensatori, e quasi sempre il filtro ottimo si realizza in forma numerica o tempo-variante, oppure si approssima con un filtro semplice che ci si avvicina. La figura precedente dice che l’approssimazione costa poco: il filtro ottimo serve più come metro di confronto che come circuito.

Rumore non bianco: il filtro sbiancante

Se il rumore non è bianco il ragionamento cambia: i campioni vicini hanno rumori correlati, e il peso migliore deve tenerne conto. In frequenza la risposta è di nuovo intuitiva.

Ogni frequenza pesa in proporzione al proprio rapporto tra segnale e rumore. Il filtro ottimo si legge come la cascata di due filtri: un filtro sbiancante $H_w(f)$, con $|H_w|^2 \propto 1/S_n$, che rende bianco il rumore, e un filtro adattato al segnale come esce dal filtro sbiancante. Il filtro sbiancante agisce anche sul segnale, e il filtro adattato va adattato al segnale deformato, non a quello originale: è l’errore più comune. La separazione nei due filtri è solo un modo di ragionare; nel circuito vero conta la funzione peso complessiva.

Un esempio mostra quanto conta. Un sensore capacitivo raccoglie una carica $Q = 1$ fC su una capacità $C_s = 5$ pF, in parallelo a una resistenza $R_s = 1$ M$\Omega$, ed è letto da un amplificatore con $10$ nV/√Hz e $20$ fA/√Hz. Il segnale è $(Q/C_s)\,e^{-t/\tau_o}$, alto $200$ μV, con $\tau_o = R_sC_s = 5$ μs. Il rumore all’ingresso dell’amplificatore è la somma di $S_V$ e del rumore di corrente, $S_I + 4kT/R_s$, che scorre nell’impedenza $R_s/(1 + j2\pi f\tau_o)$:

$$S_o(f) = S_V + \frac{(S_I + 4kT/R_s)R_s^2}{1 + (f/f_o)^2} = S_V(1 + K)\,\frac{1 + (f/f_z)^2}{1 + (f/f_o)^2} ,$$

con $f_o = 1/2\pi\tau_o = 31{,}8$ kHz, $K = (S_IR_s^2 + 4kTR_s)/S_V = 170$ e $f_z = f_o\sqrt{1 + K} = 416$ kHz. Il filtro sbiancante è quindi $H_w(s) = (1 + s\tau_o)/(1 + s\tau_z)$, con $\tau_z = \tau_o/\sqrt{1 + K} = 383$ ns, una rete RC con un polo e uno zero. Il segnale che ne esce è $(Q/C_s)(\tau_o/\tau_z)\,e^{-t/\tau_z}$, alto $2{,}6$ mV e tredici volte più breve, e il filtro adattato a questo segnale dà

$$\frac{S}{N} = \frac{Q}{C_s}\sqrt{\frac{\tau_z}{S_V}} = 200\ \mu\text{V}\cdot\sqrt{\frac{383\ \text{ns}}{10^{-16}\ \text{V}^2/\text{Hz}}} = 12{,}4 .$$

Un filtro adattato al segnale originale, senza lo sbiancamento, darebbe $4{,}8$: meno della metà.

Rumore bianco non stazionario

Resta un caso utile: un rumore bianco la cui densità cambia nel tempo, con autocorrelazione $\lambda(t_1)\,\delta(t_2 - t_1)$. Il rumore all’uscita diventa $\int\lambda(\tau)\,w^2(t, \tau)\,d\tau$, e con lo stesso passaggio della dimostrazione del filtro adattato, applicato alle funzioni $x/\sqrt\lambda$ e $w\sqrt\lambda$, il peso ottimo risulta

$$w(t, \tau) \propto \frac{x(\tau)}{\lambda(\tau)} :$$

si dà più peso agli istanti in cui il segnale è grande e il rumore piccolo. Il caso più interessante è quello in cui il rumore è il rumore shot del segnale stesso: una corrente $I(t) = A\,x(t)$ con densità bilatera $qI(t)$, proporzionale al segnale. Allora il peso ottimo è costante, e il filtro migliore è l’integratore a finestra che conta tutta la carica, senza privilegiare nessun istante. È il caso di chi conta fotoni: ogni fotone porta la stessa informazione, e non c’è modo di pesarli meglio che contandoli tutti.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Per l’impulso a rampa, che sale da $0$ ad $A$ in $T_P$ e si annulla di colpo, e per la semisinusoide di durata $T_P$, quanto vale il rapporto segnale-rumore del filtro adattato con rumore bianco? Quanto migliora rispetto alla finestra migliore?

Soluzione. Per la rampa $\int x^2 = \int_0^{T_P}(t/T_P)^2dt = T_P/3$, e $S/N = A\sqrt{2T_P/3S} = 0{,}816\,A\sqrt{T_P/S}$; la finestra migliore, lunga $2T_P/3$, dava $(4/3\sqrt3)A\sqrt{T_P/S} = 0{,}770\,A\sqrt{T_P/S}$. Il rapporto è $3\sqrt2/4 = 1{,}06$. Per la semisinusoide $\int\sin^2 = T_P/2$, e $S/N = A\sqrt{T_P/S}$; la finestra migliore dava $0{,}961\,A\sqrt{T_P/S}$, cioè il $4\%$ in meno.

Commento. Pochi per cento: è il motivo per cui nella pratica si usano spesso filtri semplici. Il filtro adattato serve a sapere quanto si sta perdendo, e a decidere se vale la pena di complicare il circuito.

Esercizio 2. Un impulso $A\,e^{-t/\tau}$, con $\tau = 1$ μs, arriva in un rumore bianco di $4\times10^{-16}$ V²/Hz. Qual è l’ampiezza minima misurabile con il filtro adattato? Quanto si perde leggendo dopo $0{,}5\tau$, $\tau$, $2\tau$?

Soluzione. $S/N = A\sqrt{\tau/S} = A\cdot5\times10^4\ \text{V}^{-1}$, quindi $A_{min} = 20$ μV. Con un tempo di lettura $t_m$ l’energia raccolta è la frazione $1 - e^{-2t_m/\tau}$ del totale, e il rapporto segnale-rumore si riduce della sua radice: $0{,}80$, $0{,}93$ e $0{,}99$.

Commento. Sono gli stessi $20$ μV trovati nell’articolo precedente con i pesi ottimi su campioni presi ogni tempo di correlazione del rumore: con un rumore quasi bianco, campionare a quel passo non perde informazione. Per l’esponenziale due costanti di tempo bastano: l’ultimo punto percentuale richiederebbe di aspettare il doppio.

Esercizio 3. Un impulso bipolare vale $+A$ per un tempo $T$ e poi $-A$ per un altro tempo $T$, in un rumore bianco di densità $S$. Quanto dà un filtro RC con $T_F = T$ letto alla fine della parte positiva? E il filtro adattato?

Soluzione. Il filtro RC arriva a $A(1 - e^{-1}) = 0{,}632\,A$ con un rumore $\sqrt{S/4T}$: $S/N = 1{,}26\,A\sqrt{T/S}$. Il filtro adattato ha peso $+G$ nella prima metà e $-G$ nella seconda, raccoglie l’energia $E = 2A^2T$ e dà $\sqrt{2E/S} = 2A\sqrt{T/S}$, il $58\%$ in più.

Commento. Il filtro RC non sa usare la parte negativa: la media esponenziale la sottrae al segnale già raccolto. Il filtro adattato la usa con peso negativo, e la trasforma in segnale utile. È un peso che solo un filtro tempo-variante o numerico può dare, ed è la stessa idea della differenza di due campioni: sottrarre la seconda parte toglie anche i disturbi lenti, comuni alle due metà.

Esercizio 4. Nel sensore capacitivo dell’esempio, quanto varrebbe il rapporto segnale-rumore se ci fosse solo il rumore di tensione dell’amplificatore? Da dove viene la differenza con $12{,}4$?

Soluzione. Con il solo $S_V$ il rumore è bianco, il filtro adattato è adattato all’esponenziale di $5$ μs e $S/N = (Q/C_s)\sqrt{\tau_o/S_V} = 200\ \mu\text{V}\cdot\sqrt{5\times10^{10}} = 44{,}7$. Il rumore termico di $R_s$ e il rumore di corrente, $170$ volte più grandi di $S_V$ a bassa frequenza, costringono il filtro a scartare la parte lenta del segnale: la costante di tempo utile scende da $\tau_o$ a $\tau_z$, e il rapporto segnale-rumore di $\sqrt{\tau_o/\tau_z} = 3{,}6$ volte.

Commento. Per $K \gg 1$ il risultato si riscrive come $S/N \simeq Q/\big[\sqrt{C_s}\,(S_VS_{In})^{1/4}\big]$, con $S_{In} = S_I + 4kT/R_s$: conta il prodotto tra il rumore di tensione e quello di corrente, come per la resistenza ottima della sorgente, e conta la capacità del sensore, che conviene piccola. Con $R_s = 100$ M$\Omega$ e un amplificatore a JFET con $2$ fA/√Hz, $S_{In}$ scende di cento volte e il rapporto segnale-rumore sale a $39$.

Esercizio 5. Un fotorivelatore raccoglie in un impulso una carica di $1$ fC, e l’unico rumore è il rumore shot della corrente del segnale. Qual è il filtro ottimo e quale rapporto segnale-rumore dà?

Soluzione. Il rumore shot ha densità proporzionale alla corrente, e il peso ottimo $x/\lambda$ è costante: un integratore a finestra su tutto l’impulso. L’uscita è proporzionale alla carica $Q$, e il rumore ha varianza $\int qI\,dt = qQ$ nella stessa scala: $S/N = Q/\sqrt{qQ} = \sqrt{Q/q} = \sqrt{6242} = 79$.

Commento. È la statistica di Poisson: $N$ elettroni hanno un’incertezza di $\sqrt N$, e nessun filtro può fare meglio. Se all’uscita c’è anche il rumore bianco di un amplificatore, la densità diventa $qI(t) + \lambda_a$, e il peso ottimo torna a seguire il segnale dove il rumore dell’amplificatore domina, cioè dove la corrente è piccola.