Il rumore nei circuiti lineari

Elettronica · Strumentazione elettronica Articolo 17 settembre 2026

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Prima di questo, potrebbe interessarti: Rumore termico, shot e flicker , Guadagno e impedenze ad anello chiuso

Indice

Dalle sorgenti al circuito

L’articolo precedente ha dato gli spettri delle sorgenti: $4kTR$ per un resistore, $2qI$ per una corrente che attraversa una barriera, $K/f$ per il rumore flicker. In un circuito ogni sorgente arriva all’uscita attraverso la propria funzione di trasferimento, che ne filtra lo spettro, e all’uscita i contributi si sommano. Servono quindi tre cose: una regola per calcolare come un circuito lineare trasforma lo spettro di un rumore; un modo di riassumere il rumore di un amplificatore con pochi numeri, da confrontare con quello della sorgente che deve leggere; e capire che cosa fa la retroazione, che cambia tutte le funzioni di trasferimento del circuito.

Sistemi lineari e risposta all’impulso

Un sistema è lineare se a una combinazione lineare di ingressi risponde con la stessa combinazione delle risposte, anche quando la combinazione è un integrale, cioè una somma di infiniti ingressi. È tempo-invariante se ritardare l’ingresso ritarda l’uscita della stessa quantità, senza cambiarla. La risposta all’impulso $\delta(t)$ si chiama risposta all’impulso e si indica con $h(t)$ . Per un filtro RC passa-basso, per esempio, è $h(t) = e^{-t/RC}/RC$ per $t \ge 0$ , e zero prima.

Proposizione (risposta di un sistema lineare e tempo-invariante)

Un sistema lineare e tempo-invariante con risposta all’impulso $h(t)$ risponde all’ingresso $x(t)$ con

y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(u)\,h(t - u)\,du = x * h(t) ,

e nel dominio delle frequenze con $Y(f) = H(f)\,X(f)$ , dove la funzione di trasferimento $H(f)$ è la trasformata di Fourier di $h(t)$ .

Dimostrazione.

Un ingresso qualsiasi si scrive come somma di impulsi, $x(t) = \int x(u)\,\delta(t - u)\,du$ . L’impulso $\delta(t - u)$ , ritardato di $u$ , produce per l’invarianza nel tempo la risposta ritardata $h(t - u)$ ; per la linearità la somma degli impulsi pesati con $x(u)$ produce la somma delle risposte con gli stessi pesi, che è l’integrale dell’enunciato. È la convoluzione di $x$ e $h$ , e la sua trasformata è il prodotto delle trasformate per le proprietà della trasformata di Fourier viste nell’articolo sui segnali.

Fine della dimostrazione.

L’integrale si può leggere anche a $t$ fissato: l’uscita all’istante $t$ è una somma dei valori dell’ingresso, pesati con la funzione $w(u) = h(t - u)$ , la risposta all’impulso ribaltata nel tempo e spostata in modo da finire in $t$ . È la funzione peso del filtro. In un sistema causale, con $h(t) = 0$ per $t < 0$ , i pesi dopo l’istante $t$ sono nulli, e contano solo i valori passati. Il filtro RC fa una media con pesi che decrescono esponenzialmente andando indietro nel tempo: ricorda gli ultimi $RC$ secondi e dimentica quello che è successo molto prima. I prossimi articoli useranno proprio questa lettura, per costruire filtri a partire dalla media che si vuole ottenere.

Il rumore attraverso un sistema lineare

Un rumore non ha una trasformata di Fourier da moltiplicare per $H(f)$ , ma ha autocorrelazione e densità spettrale, e sono queste che il sistema trasforma.

Teorema (rumore in un sistema lineare)

Se l’ingresso di un sistema lineare, tempo-invariante e stabile è un processo stazionario a media nulla, con autocorrelazione $R_{xx}(\tau)$ e densità spettrale $S_x(f)$ , l’uscita è un processo stazionario con

R_{yy}(\tau) = R_{xx} * k_{hh}(\tau) , \qquad S_y(f) = S_x(f)\,|H(f)|^2 ,

dove $k_{hh}(\tau) = \int h(t)\,h(t + \tau)\,dt$ è l’autocorrelazione della risposta all’impulso. La varianza dell’uscita è

\sigma_y^2 = \int R_{xx}(\tau)\,k_{hh}(\tau)\,d\tau = \int S_x(f)\,|H(f)|^2\,df .

Dimostrazione.

Si scrive l’uscita come convoluzione e si porta la media sull’insieme dentro gli integrali:

\begin{aligned} \overline{y(t)\,y(t + \tau)} &= \int\!\!\int \overline{x(u)\,x(v)}\;h(t - u)\,h(t + \tau - v)\,du\,dv \\[0.5em] &= \int\!\!\int R_{xx}(v - u)\,h(t - u)\,h(t + \tau - v)\,du\,dv . \end{aligned}

Con le variabili $a = t - u$ e $b = t + \tau - v$ la differenza diventa $v - u = \tau + a - b$ , e l’istante $t$ scompare:

\overline{y(t)\,y(t + \tau)} = \int\!\!\int R_{xx}(\tau + a - b)\,h(a)\,h(b)\,da\,db .

L’uscita è quindi stazionaria. Ponendo $b = a + \gamma$ , l’integrale in $a$ a $\gamma$ fissato è $\int h(a)\,h(a + \gamma)\,da = k_{hh}(\gamma)$ , e resta $R_{yy}(\tau) = \int R_{xx}(\tau - \gamma)\,k_{hh}(\gamma)\,d\gamma$ , la convoluzione dell’enunciato. Per il teorema di Wiener e Khinchin la densità spettrale è la trasformata dell’autocorrelazione; la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate, e quella di $k_{hh}$ è $|H(f)|^2$ , come per ogni segnale di energia. La varianza è $R_{yy}(0) = \int R_{xx}(-\gamma)\,k_{hh}(\gamma)\,d\gamma$ , con $R_{xx}$ pari, oppure l’area di $S_y$ .

Fine della dimostrazione.

Poiché $|H(f)|^2$ è pari, la relazione $S_y = S_x|H|^2$ vale anche per le densità unilatere, che sono quelle usate da qui in avanti. Per un rumore bianco la formula nel tempo è ancora più semplice. L’autocorrelazione è $\lambda\,\delta(\tau)$ , con $\lambda$ la densità bilatera, metà di quella unilatera $S$ , e

\sigma_y^2 = \lambda\,k_{hh}(0) = \frac{S}{2}\int h^2(t)\,dt :

la varianza è proporzionale all’energia della risposta all’impulso. Per il filtro RC $\int h^2\,dt = 1/2RC$ , e il rumore termico del suo resistore, $S = 4kTR$ , dà $\sigma^2 = kT/C$ , lo stesso risultato ricavato nell’articolo precedente per altra via. Un filtro che fa la media su un tempo lungo ha una risposta all’impulso bassa e distesa, con poca energia, e lascia passare poco rumore bianco.

La banda equivalente di rumore

Definizione (banda equivalente di rumore)

La banda equivalente di rumore di un filtro con guadagno massimo $G = \max|H(f)|$ è

B_n = \frac{1}{G^2}\int_0^{\infty}|H(f)|^2\,df .

Un rumore bianco con densità unilatera $S$ esce dal filtro con varianza $G^2SB_n$ , la stessa che avrebbe attraversando un filtro ideale, con guadagno $G$ in una banda larga $B_n$ e nullo fuori.

Proposizione (banda equivalente di un polo)

Un filtro passa-basso con un solo polo, a $f_p$ , ha $B_n = (\pi/2)\,f_p$ .

Dimostrazione.

Con $x = f/f_p$ ,

\int_0^{\infty}\frac{df}{1 + (f/f_p)^2} = f_p\int_0^{\infty}\frac{dx}{1 + x^2} = f_p\,\Big[\arctan x\Big]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2}\,f_p .

Fine della dimostrazione.

Il quadrato del modulo della funzione di trasferimento di un filtro a un polo, in scala lineare, e il rettangolo con la stessa area, largo $(\pi/2)f_p$ . La banda equivalente supera la banda a $-3$ dB del 57%, per la coda della curva che scende lentamente.

Il $57\%$ in più viene dalla coda: $|H|^2$ oltre il polo scende solo come $1/f^2$ , e l’area oltre $f_p$ è uguale a quella tra $0$ e $f_p$ , perché $\arctan 1 = \pi/4$ . Un operazionale con $10$ nV/√Hz in un circuito con banda di $100$ kHz a un polo raccoglie un rumore di $10\ \text{nV}\cdot\sqrt{157\ \text{kHz}} = 3{,}96$ μV efficaci, non i $3{,}16$ μV che si otterrebbero con la banda a $-3$ dB. Con filtri più ripidi la coda pesa meno, e la banda equivalente si avvicina a quella a $-3$ dB: con due poli coincidenti è $(\pi/4)f_p$ , come si vede nel primo esercizio.

Molti circuiti hanno anche un polo in basso, per esempio un condensatore di accoppiamento. Il passa-banda con due poli reali ha una formula chiusa sia per il rumore bianco sia per il rumore $1/f$ .

Proposizione (rumore attraverso un passa-banda)

Il filtro passa-banda

H(s) = \frac{s\tau_1}{(1 + s\tau_1)(1 + s\tau_2)} , \qquad \tau_1 > \tau_2 ,

con poli a $f_1 = 1/2\pi\tau_1$ e $f_2 = 1/2\pi\tau_2$ , lascia passare un rumore bianco di densità unilatera $S$ con varianza

\sigma^2 = \frac{S}{4}\,\frac{\tau_1}{\tau_2(\tau_1 + \tau_2)} \simeq S\,\frac{\pi}{2}\,(f_2 - f_1) ,

e un rumore $1/f$ di densità unilatera $K/f$ con varianza

\sigma^2 = K\,\frac{\tau_1^2}{\tau_1^2 - \tau_2^2}\,\ln\frac{\tau_1}{\tau_2} \simeq K\ln\frac{f_2}{f_1} ,

dove le approssimazioni valgono per $f_2 \gg f_1$ .

Dimostrazione.

Con $\omega = 2\pi f$ il quadrato del modulo si spezza in fratti semplici:

\begin{aligned} |H|^2 &= \frac{\omega^2\tau_1^2}{(1 + \omega^2\tau_1^2)(1 + \omega^2\tau_2^2)} \\[0.5em] &= \frac{\tau_1^2}{\tau_1^2 - \tau_2^2}\left[\frac{1}{1 + \omega^2\tau_2^2} - \frac{1}{1 + \omega^2\tau_1^2}\right] , \end{aligned}

come si verifica riducendo la parentesi allo stesso denominatore: il numeratore è $\omega^2(\tau_1^2 - \tau_2^2)$ . Per il rumore bianco, con $df = d\omega/2\pi$ e $\int_0^\infty d\omega/(1 + \omega^2\tau^2) = \pi/2\tau$ ,

\sigma^2 = \frac{S}{2\pi}\,\frac{\tau_1^2}{\tau_1^2 - \tau_2^2}\,\frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{\tau_2} - \frac{1}{\tau_1}\right) = \frac{S}{4}\,\frac{\tau_1}{\tau_2(\tau_1 + \tau_2)} .

Per $\tau_2 \ll \tau_1$ l’ultimo fattore è circa $1/\tau_2 - 1/\tau_1$ , e $1/4\tau = (\pi/2)f$ . Per il rumore $1/f$ si ha $df/f = d\omega/\omega$ , e una primitiva di $1/[\omega(1 + \omega^2\tau^2)] = 1/\omega - \omega\tau^2/(1 + \omega^2\tau^2)$ è $\tfrac12\ln[\omega^2/(1 + \omega^2\tau^2)]$ . La differenza delle primitive con $\tau_2$ e $\tau_1$ è $\tfrac12\ln[(1 + \omega^2\tau_1^2)/(1 + \omega^2\tau_2^2)]$ , che vale $0$ in $\omega = 0$ e tende a $\ln(\tau_1/\tau_2)$ per $\omega \to \infty$ . Moltiplicando per $K\,\tau_1^2/(\tau_1^2 - \tau_2^2)$ si ha la seconda formula.

Fine della dimostrazione.

Le due formule dicono cose diverse. Il rumore bianco conta i hertz della banda, e quindi lo decide quasi solo il polo alto. Il rumore $1/f$ conta le decadi: ognuna aggiunge $K\ln10$ , che siano quella tra $1$ e $10$ Hz o quella tra $1$ e $10$ kHz. Senza il polo basso il rumore $1/f$ divergerebbe, e il limite lo mette la durata della misura, come visto nell’articolo precedente. Senza il polo alto divergerebbe il rumore bianco, ma nessun circuito reale ha una banda infinita.

I generatori equivalenti di rumore

Un amplificatore contiene molte sorgenti di rumore: i suoi resistori, i suoi transistori. All’uscita i loro contributi si sommano in un rumore che dipende anche da ciò che è collegato all’ingresso. Per confrontare amplificatori diversi, e per scegliere quello giusto per un sensore, tutto il rumore interno si riporta all’ingresso: l’amplificatore diventa privo di rumore, e al suo ingresso si mettono un generatore di tensione $e_n$ in serie e un generatore di corrente $i_n$ in parallelo. Le loro densità spettrali si scrivono $e_n^2$ , in V²/Hz, e $i_n^2$ , in A²/Hz, e i datasheet danno le radici, in nV/√Hz e pA/√Hz.

Di generatori ne servono due perché il rumore all’uscita cambia con la sorgente. Con l’ingresso in cortocircuito il generatore di corrente è cortocircuitato e agisce solo $e_n$ ; con una sorgente di resistenza molto grande conta soprattutto $i_n$ , che scorre in quella resistenza. Un generatore solo non potrebbe dare il rumore giusto in tutti e due i casi. Le due misure danno anche il modo di ricavarli: $e_n$ con l’ingresso in cortocircuito, $i_n$ con una resistenza grande e nota all’ingresso, sottraendo il suo rumore termico. In generale $e_n$ e $i_n$ sono in parte correlati, perché vengono in parte dagli stessi dispositivi; nei datasheet, e qui, si considerano incorrelati.

Il modello di rumore di un amplificatore collegato a una sorgente. Il rumore termico della resistenza $R_S$ della sorgente è il generatore $e_R$ ; il rumore dell’amplificatore, dentro il riquadro, è riportato all’ingresso con $e_n$ in serie e $i_n$ in parallelo, e l’amplificatore di guadagno $A$ è senza rumore.

Proposizione (rumore totale all'ingresso)

Una sorgente con resistenza $R_S$ , alla temperatura $T$ , collegata a un amplificatore con generatori equivalenti $e_n$ e $i_n$ incorrelati, dà all’uscita lo stesso segnale e lo stesso rumore del generatore $V_S$ in serie a un resistore $R_S$ senza rumore e a un solo generatore di rumore, con densità

e_{tot}^2 = 4kTR_S + e_n^2 + i_n^2R_S^2 .

Dimostrazione.

Visto dai morsetti di ingresso dell’amplificatore, il ramo che contiene $V_S$ , $e_R$ , $R_S$ ed $e_n$ è un generatore di tensione $V_S + e_R + e_n$ con resistenza interna $R_S$ . Il suo equivalente di Norton è una corrente $(V_S + e_R + e_n)/R_S$ in parallelo a $R_S$ ; sommando la corrente $i_n$ , che è in parallelo, e tornando all’equivalente di Thévenin, si ha il generatore $V_S + e_R + e_n + i_nR_S$ con la stessa resistenza $R_S$ . L’amplificatore vede quindi un solo generatore di tensione. Il rumore che contiene è la somma di tre processi incorrelati, con densità $4kTR_S$ , $e_n^2$ e $i_n^2R_S^2$ , e le densità si sommano. Il segno di $i_n$ non conta, perché cambia il segno di un processo a media nulla, non la sua densità spettrale.

Fine della dimostrazione.

Rapporto segnale-rumore e fattore di rumore

Il rapporto segnale-rumore $S/N$ è il rapporto tra il valore efficace del segnale e quello del rumore. Per una sinusoide di valore efficace $V_S$ , guardando il rumore in una banda stretta $\Delta f$ attorno alla sua frequenza, all’ingresso c’è solo il rumore della sorgente, e $(S/N)_{in}^2 = V_S^2/(4kTR_S\,\Delta f)$ . All’uscita segnale e rumore passano per la stessa funzione di trasferimento, che si semplifica nel rapporto, e $(S/N)_{out}^2 = V_S^2/(e_{tot}^2\,\Delta f)$ . Il rapporto può solo peggiorare: un amplificatore non toglie il rumore che la sorgente ha già.

Definizione (fattore e cifra di rumore)

Il fattore di rumore di un amplificatore collegato a una sorgente con resistenza $R_S$ è il rapporto tra i quadrati dei rapporti segnale-rumore all’ingresso e all’uscita, in una banda stretta attorno alla frequenza $f$ :

F = \frac{(S/N)_{in}^2}{(S/N)_{out}^2} = 1 + \frac{e_n^2 + i_n^2R_S^2}{4kTR_S} .

La cifra di rumore è $NF = 10\log_{10}F$ , in decibel.

L’uguaglianza viene dalla proposizione precedente. Un amplificatore senza rumore ha $F = 1$ , cioè $0$ dB; con $F = 2$ , cioè $3$ dB, la potenza del rumore all’uscita è il doppio di quella dovuta alla sola sorgente, e il suo valore efficace $\sqrt2$ volte. Poiché $e_n$ e $i_n$ dipendono dalla frequenza, anche $F$ ne dipende. Il fattore di rumore è molto usato nei circuiti a radiofrequenza, dove le resistenze delle sorgenti sono fissate, di solito a $50\ \Omega$ .

Proposizione (resistenza ottima della sorgente)

A $e_n$ e $i_n$ fissati, il fattore di rumore è minimo per

R_{S,opt} = \frac{e_n}{i_n} , \qquad F_{min} = 1 + \frac{e_n\,i_n}{2kT} .

Dimostrazione.

$F - 1 = (e_n^2/R_S + i_n^2R_S)/4kT$ . Per la disuguaglianza tra la media aritmetica e quella geometrica, $e_n^2/R_S + i_n^2R_S \ge 2\sqrt{e_n^2\,i_n^2} = 2e_ni_n$ , con l’uguaglianza quando i due termini sono uguali, cioè per $R_S^2 = e_n^2/i_n^2$ . Il minimo è $1 + 2e_ni_n/4kT$ .

Fine della dimostrazione.

Nella resistenza ottima i due contributi dell’amplificatore sono uguali. Un operazionale bipolare con $e_n = 3$ nV/√Hz e $i_n = 1$ pA/√Hz ha $R_{S,opt} = 3$ k $\Omega$ e $F_{min} = 1{,}36$ , cioè $1{,}3$ dB. Uno a JFET con $e_n = 10$ nV/√Hz e $i_n = 2$ fA/√Hz ha la resistenza ottima a $5$ M $\Omega$ , e lì $F_{min} = 1{,}002$ . Il prodotto $e_ni_n$ misura la qualità dell’amplificatore, il rapporto $e_n/i_n$ dice per quali sorgenti è fatto: i bipolari per le sorgenti di bassa impedenza, come le termocoppie, gli estensimetri e le bobine; i JFET e i CMOS per quelle di alta impedenza, come i sensori piezoelettrici, gli elettrodi e i fotodiodi.

Il rumore totale riportato all’ingresso, $\sqrt{4kTR_S + e_n^2 + i_n^2R_S^2}$ , in funzione della resistenza della sorgente, per un operazionale bipolare e uno a JFET a $300$ K. Tratteggiato il rumore della sola sorgente. Il punto segna la resistenza ottima $e_n/i_n$ , dove la curva si avvicina di più, in proporzione, alla retta della sorgente.

C’è un errore da evitare. Il fattore di rumore è un rapporto, e si abbassa anche aumentando il denominatore: aggiungere un resistore in serie a una sorgente da $100\ \Omega$ per portarla a $3$ k $\Omega$ riduce $F$ , ma aggiunge il rumore del resistore e peggiora il rapporto segnale-rumore, che è la grandezza che conta. Data la sorgente, si sceglie l’amplificatore con il rumore $e_n^2 + i_n^2R_S^2$ più piccolo per quella resistenza. L’unico modo di avvicinare la sorgente alla resistenza ottima senza aggiungere rumore è un trasformatore: con rapporto spire $1:n$ la sorgente diventa un generatore $nV_S$ con resistenza $n^2R_S$ , e anche il suo rumore termico si moltiplica per $n$ , così il rapporto segnale-rumore della sorgente resta lo stesso mentre l’amplificatore vede la resistenza che preferisce. Da $100\ \Omega$ a $3$ k $\Omega$ serve $n = \sqrt{30} \simeq 5{,}5$ . I trasformatori reali hanno la resistenza degli avvolgimenti, che fa rumore, e non trasmettono la continua: si usano per sorgenti a bassissima impedenza in alternata, come certi microfoni e sensori magnetici.

Il rumore degli operazionali

Un operazionale si descrive con lo stesso modello, adattato ai due ingressi: un operazionale senza rumore, un generatore di tensione $e_n$ in serie a uno degli ingressi, e due generatori di corrente $i_{n+}$ e $i_{n-}$ tra ciascun ingresso e massa, di solito con la stessa densità e incorrelati. Non importa a quale ingresso si metta $e_n$ : una tensione in serie all’ingresso non invertente equivale a una tensione opposta in serie a quello invertente, e il segno di un rumore non conta. Ogni densità ha una parte bianca e una parte $1/f$ , con la sua frequenza d’angolo. I valori tipici del livello bianco dipendono dalla tecnologia dello stadio di ingresso:

negli operazionali bipolari $e_n$ va da circa $1$ a $10$ - $20$ nV/√Hz, e $i_n$ da qualche decimo di pA/√Hz a qualche pA/√Hz: è il rumore shot della corrente di base, $\sqrt{2qI_B}$ , a cui si aggiunge, negli operazionali con compensazione della corrente di polarizzazione, quello delle correnti che la compensano, perché la corrente netta è piccola ma i rumori delle due correnti si sommano;
negli operazionali a JFET e CMOS $e_n$ è di solito più alto, tra $5$ e $30$ nV/√Hz, e $i_n$ è di pochi fA/√Hz o meno, il rumore shot della corrente di perdita del gate, che cresce con la temperatura insieme a quella corrente;
la frequenza d’angolo del rumore di tensione va da $1$ a $100$ Hz per bipolari e JFET, ed è di qualche kilohertz per molti CMOS, anche se i migliori scendono a qualche decina di hertz.

In un circuito con resistori il rumore di tensione dell’operazionale non viene amplificato dal guadagno del segnale, ma da quello che vede un generatore in serie all’ingresso non invertente.

Proposizione (guadagno di rumore)

In un circuito con un operazionale e una rete di retroazione fatta dall’impedenza $Z_1$ , tra l’ingresso invertente e massa o un generatore spento, e dall’impedenza $Z_2$ , tra l’uscita e l’ingresso invertente, il rumore di tensione $e_n$ arriva all’uscita moltiplicato per il guadagno di rumore

G_n = 1 + \frac{Z_2}{Z_1} ,

qualunque sia l’ingresso a cui arriva il segnale. Se l’operazionale ha un solo polo, con prodotto guadagno-banda $GBW$ , e la rete è resistiva, il guadagno reale ha un polo a $f^* \simeq GBW/G_n$ , e lo stesso polo compare nella funzione di trasferimento di ogni generatore di rumore del circuito.

Dimostrazione.

Con i generatori di segnale spenti, un generatore in serie all’ingresso non invertente vede un amplificatore non invertente, con guadagno ideale $1 + Z_2/Z_1$ . Il guadagno reale di un generatore qualsiasi del circuito è $G_{id}(-G_{loop})/(1 - G_{loop}) + G_0/(1 - G_{loop})$ , come dimostrato nell’articolo sulla retroazione, e il guadagno d’anello, che si calcola con tutti i generatori indipendenti spenti, è lo stesso per tutti: trascurando la resistenza di uscita, $G_{loop} = -AZ_1/(Z_1 + Z_2) = -A/G_n$ . Con $A = A_0/(1 + jf/f_0)$ e $G_n$ reale,

\frac{-G_{loop}}{1 - G_{loop}} = \frac{A_0}{G_n + A_0 + jf\,G_n/f_0} ,

che ha un polo a $f_0(1 + A_0/G_n) \simeq A_0f_0/G_n = GBW/G_n$ . I guadagni diretti $G_0$ sono trascurabili, come nell’articolo sul guadagno ad anello chiuso.

Fine della dimostrazione.

In un amplificatore invertente il guadagno di rumore, $1 + R_2/R_1$ , è quasi uguale al modulo del guadagno del segnale, $R_2/R_1$ , finché il guadagno è grande. In un sommatore con dieci ingressi da $10$ k $\Omega$ e $R_2 = 10$ k $\Omega$ ogni segnale ha guadagno $1$ , ma $Z_1$ è il parallelo dei dieci resistori, e il guadagno di rumore è $11$ . In un amplificatore a transimpedenza $Z_1$ è la capacità $C_D$ del fotodiodo, e il guadagno di rumore sale con la frequenza fino a $(C_D + C_F)/C_F$ : è lo stesso $1/\beta$ usato per la compensazione.

Per esempio, un amplificatore invertente con $R_1 = 1$ k $\Omega$ e $R_2 = 100$ k $\Omega$ , e un operazionale con $GBW = 10$ MHz, $e_n = 10$ nV/√Hz e $i_n = 10$ pA/√Hz, a $300$ K, trascurando il rumore $1/f$ . Il guadagno di rumore è $101$ , e tutti i contributi hanno il polo a $f^* = 10\ \text{MHz}/101 = 99$ kHz, con banda equivalente $(\pi/2)f^* = 155{,}5$ kHz. Con il generatore del segnale spento, i contributi all’uscita sono:

$e_n$ per il guadagno di rumore: $1{,}01$ μV/√Hz;
$i_{n-}$ , che entra nella massa virtuale e scorre tutta in $R_2$ : $i_nR_2 = 1{,}00$ μV/√Hz; $i_{n+}$ è in parallelo a un generatore di tensione e non ha effetto;
il rumore di $R_1$ , $\sqrt{4kTR_1} = 4{,}07$ nV/√Hz, amplificato come un segnale di ingresso, per $R_2/R_1$ : $407$ nV/√Hz;
il rumore di $R_2$ : con l’ingresso invertente a massa virtuale in $R_1$ non scorre corrente, e l’uscita è proprio la tensione del generatore in serie a $R_2$ , con guadagno $1$ : $40{,}7$ nV/√Hz.

I generatori di rumore di un amplificatore invertente, con il generatore del segnale spento: il rumore termico dei due resistori, $e_1$ ed $e_2$ , e quello dell’operazionale, $e_n$ e $i_n$ .

La densità totale è la radice della somma dei quadrati, $1{,}48$ μV/√Hz, e il rumore efficace è $1{,}48\ \mu\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}\cdot\sqrt{155{,}5\ \text{kHz}} = 583$ μV. Riportato all’ingresso, dividendo per il guadagno del segnale, è $5{,}83$ μV. I tre generatori che stanno sul nodo invertente si possono anche raccogliere in una sola corrente: il rumore di un resistore si rappresenta sia come tensione $4kTR$ in serie sia come corrente $4kT/R$ in parallelo, e con l’ingresso invertente a massa virtuale le correnti $4kT/R_1$ , $4kT/R_2$ e $i_n^2$ arrivano tutte all’uscita moltiplicate per $R_2^2$ .

Le densità di rumore all’uscita dell’amplificatore invertente dell’esempio. Tutti i contributi hanno lo stesso polo, a $99$ kHz. Il rumore di $R_1$ , benché la resistenza sia cento volte più piccola, conta dieci volte più di quello di $R_2$ perché è amplificato; qui però dominano il rumore di tensione e quello di corrente dell’operazionale.

Per abbassare il rumore si possono dividere per dieci i due resistori: $i_nR_2$ scende a $100$ nV/√Hz e il contributo di $R_1$ a $129$ nV/√Hz, ma l’impedenza di ingresso scende a $100\ \Omega$ e l’operazionale deve pilotare un carico dieci volte più pesante. Il contributo di $e_n$ resta lo stesso: per ridurlo serve un operazionale con $e_n$ più basso, che di solito è bipolare e ha un $i_n$ più alto.

Retroazione e rapporto segnale-rumore

Proposizione (retroazione e fattore di rumore)

In un circuito con un operazionale e guadagni diretti trascurabili, chiudere l’anello divide per $1 - G_{loop}$ le funzioni di trasferimento verso l’uscita del segnale e di tutti i generatori di rumore. Il rapporto segnale-rumore a ogni frequenza, e quindi il fattore di rumore, è lo stesso del circuito ad anello aperto.

Dimostrazione.

Per ogni generatore indipendente, di segnale o di rumore, la funzione di trasferimento verso l’uscita è $(G_{ol} + G_0)/(1 - G_{loop})$ , come dimostrato nell’articolo sul guadagno ad anello chiuso, dove $G_{ol}$ è la funzione di trasferimento con l’anello tagliato. Il guadagno d’anello si calcola con tutti i generatori indipendenti spenti ed è lo stesso per tutti. Con $G_0$ trascurabile ogni densità spettrale all’uscita è quella ad anello aperto divisa per $|1 - G_{loop}|^2$ , e il rapporto tra due densità qualsiasi non cambia.

Fine della dimostrazione.

A ogni frequenza, quindi, la retroazione non migliora né peggiora il rumore. Ma allarga la banda, e il rumore efficace si raccoglie su tutta la banda. Si prenda un circuito ad anello aperto con un polo a $f_0$ , rumore bianco con densità $S_{ol}$ all’uscita e un segnale lento, che arriva all’uscita con ampiezza $V_{ol}$ . Chiuso l’anello, con $G_{loop}(f) = G_{loop}(0)/(1 + jf/f_0)$ , ogni funzione di trasferimento si divide per $1 - G_{loop}(0)$ e il polo sale a $f_0[1 - G_{loop}(0)]$ . Il segnale si divide per $1 - G_{loop}(0)$ , la varianza del rumore per $[1 - G_{loop}(0)]^2$ e si moltiplica per lo stesso fattore per la banda più larga:

\left(\frac{S}{N}\right)_{cl} = \frac{V_{ol}/[1 - G_{loop}(0)]}{\sqrt{S_{ol}\,(\pi/2)\,f_0\,/\,[1 - G_{loop}(0)]}} = \left(\frac{S}{N}\right)_{ol}\sqrt{\frac{B_{ol}}{B_{cl}}} .

Il rapporto segnale-rumore peggiora con la radice del rapporto tra le bande. La retroazione dà precisione nel guadagno e banda, e la banda in più raccoglie rumore: per questo non conviene mai lasciare a un circuito più banda di quella che serve al segnale. Se la banda la fissa un filtro indipendente dalla retroazione, la retroazione non cambia il rumore. Quale sia il filtro migliore, per un segnale dato, è l’argomento dei prossimi articoli.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un rumore bianco di $10$ nV/√Hz passa per due filtri RC passa-basso separati da un buffer, con poli a $f_a$ e $f_b$ . Quanto vale la banda equivalente di rumore? E il rumore efficace, con i due poli a $1$ kHz?

Soluzione. Con i fratti semplici

\frac{1}{(1 + f^2/f_a^2)(1 + f^2/f_b^2)} = \frac{1}{f_b^2 - f_a^2}\left[\frac{f_b^2}{1 + f^2/f_a^2} - \frac{f_a^2}{1 + f^2/f_b^2}\right] ,

e ogni termine si integra come un polo solo:

B_n = \frac{\pi}{2}\,\frac{f_b^2f_a - f_a^2f_b}{f_b^2 - f_a^2} = \frac{\pi}{2}\,\frac{f_af_b}{f_a + f_b} .

Con $f_a = f_b = f_p$ la formula dà $(\pi/4)f_p$ , che si ottiene anche direttamente, con $x = \tan\theta$ : $\int_0^\infty dx/(1 + x^2)^2 = \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \pi/4$ . Con i poli a $1$ kHz $B_n = 785$ Hz e il rumore è $10\ \text{nV}\cdot\sqrt{785} = 280$ nV; con un filtro solo sarebbe $396$ nV.

Commento. La banda equivalente di due poli è quella di un polo solo a $f_af_b/(f_a + f_b)$ , che si calcola come il parallelo di due resistenze e sta sotto il polo più basso. Il secondo filtro taglia la coda: due poli coincidenti a $1$ kHz hanno la banda a $-3$ dB a $0{,}64$ kHz, e la banda equivalente la supera solo del $22\%$ , contro il $57\%$ di un polo solo.

Esercizio 2. Un amplificatore ha rumore di tensione $e_n^2 = e_w^2(1 + f_c/f)$ , con $e_w = 10$ nV/√Hz e $f_c = 100$ Hz, ed è seguito da un passa-banda con poli a $1$ Hz e $10$ kHz. Quanto vale il rumore efficace?

Soluzione. La parte bianca, con la formula esatta, dà $e_w^2\,(\pi/2)\,f_2^2/(f_1 + f_2) = 10^{-16}\cdot15\,706 = 1{,}571\times10^{-12}$ V²; la parte $1/f$ , con $K = e_w^2f_c = 10^{-14}$ V², dà $K\ln(10^4) = 9{,}21\times10^{-14}$ V². In tutto $1{,}663\times10^{-12}$ V², cioè $1{,}29$ μV efficaci.

Commento. La forma $f_2^2/(f_1 + f_2)$ viene da $\tau_1/[4\tau_2(\tau_1 + \tau_2)]$ con $\tau = 1/2\pi f$ . Il rumore $1/f$ pesa per il $5{,}5\%$ della varianza, e abbassare il polo inferiore a $0{,}01$ Hz aggiungerebbe solo $K\ln100 = 4{,}6\times10^{-14}$ V². In una banda così larga domina il rumore bianco, e lo decide il polo alto.

Esercizio 3. Un sensore ha resistenza $100\ \Omega$ , a $300$ K. Quale fattore di rumore danno l’operazionale bipolare ( $3$ nV/√Hz, $1$ pA/√Hz) e quello a JFET ( $10$ nV/√Hz, $2$ fA/√Hz)? E con un sensore da $1$ M $\Omega$ ? Quale trasformatore porterebbe il sensore da $100\ \Omega$ alla resistenza ottima del bipolare?

Soluzione. Con $100\ \Omega$ il rumore della sorgente è $4kTR_S = 1{,}66\times10^{-18}$ V²/Hz. Il bipolare dà $F = 1 + (9\times10^{-18} + 10^{-20})/1{,}66\times10^{-18} = 6{,}44$ , cioè $8{,}1$ dB; il JFET $F = 1 + 10^{-16}/1{,}66\times10^{-18} = 61{,}4$ , cioè $17{,}9$ dB. Con $1$ M $\Omega$ , $4kTR_S = 1{,}66\times10^{-14}$ V²/Hz: il bipolare ha $F = 1 + (10^{-12} + 9\times10^{-18})/1{,}66\times10^{-14} = 61{,}4$ , il JFET $F = 1 + (10^{-16} + 4\times10^{-18})/1{,}66\times10^{-14} = 1{,}006$ . Il trasformatore deve moltiplicare la resistenza per $3000/100 = 30$ , con rapporto spire $1:\sqrt{30} \simeq 1:5{,}5$ , e allora $F = F_{min} = 1{,}36$ .

Commento. I due $61{,}4$ coincidono per i valori scelti, perché $(10\ \text{nV})^2/100\ \Omega$ e $(1\ \text{pA})^2\cdot1$ M $\Omega$ valgono tutti e due $10^{-18}$ : in ciascun caso conta un solo termine. Ciascun operazionale è eccellente con la sorgente giusta e pessimo con quella sbagliata, e la differenza è di un fattore sessanta nella potenza del rumore.

Esercizio 4. Un integratore invertente ha $R = 1$ k $\Omega$ all’ingresso e, in retroazione, $C = 160$ nF in parallelo a $R_C = 1$ M $\Omega$ , che limita il guadagno in continua. L’operazionale ha $GBW = 2$ MHz, $e_n = 10$ nV/√Hz e $i_n = 10$ pA/√Hz. Quanto vale il rumore efficace all’uscita, a $300$ K?

Soluzione. Le correnti sul nodo invertente hanno densità $4kT/R + 4kT/R_C + i_n^2 = 1{,}17\times10^{-22}$ A²/Hz, e arrivano all’uscita attraverso l’impedenza di retroazione $R_C/(1 + sCR_C)$ , con polo a $f_{p1} = 1/2\pi R_CC = 0{,}995$ Hz. La varianza è $1{,}17\times10^{-22}\cdot R_C^2\,(\pi/2)f_{p1} = 1{,}82\times10^{-10}$ V². Il guadagno di rumore è

G_n = 1 + \frac{R_C/R}{1 + sCR_C} = \frac{R + R_C}{R}\,\frac{1 + sC(R\parallel R_C)}{1 + sCR_C} :

vale $1001$ fino a $f_{p1}$ , scende, e torna a $1$ sopra lo zero a $f_z = 1/2\pi C(R\parallel R_C) = 996$ Hz, fino al polo dell’operazionale a $GBW/1 = 2$ MHz. Con i fratti semplici, come per il passa-banda, $|G_n|^2$ si scrive come un polo a $f_{p1}$ con guadagno $1001$ più un polo a $2$ MHz con guadagno $1$ , a meno di correzioni piccole:

\begin{aligned} \int_0^\infty |G_n|^2\,df &\simeq 1001^2\,\frac{\pi}{2}\,f_{p1} + \frac{\pi}{2}\cdot2\ \text{MHz} \\[0.5em] &= 1{,}57\times10^6 + 3{,}14\times10^6\ \text{Hz} . \end{aligned}

Il rumore di tensione dà $10^{-16}\cdot4{,}71\times10^6 = 4{,}71\times10^{-10}$ V², e il totale è $6{,}53\times10^{-10}$ V², $25{,}6$ μV efficaci. Il calcolo numerico esatto dà $25{,}5$ μV.

Commento. Due terzi del rumore di tensione vengono dalla banda tra $1$ kHz e $2$ MHz, dove il guadagno di rumore è $1$ e il circuito non integra più niente di utile. Che il secondo termine abbia guadagno $1$ non è un caso: nei fratti semplici il suo coefficiente è circa $1001^2(\tau_z/\tau_{p1})^2$ , e $1001\cdot\tau_z/\tau_{p1} = [(R + R_C)/R]\cdot[R/(R + R_C)] = 1$ , il guadagno di rumore ad alta frequenza. Un filtro passa-basso dopo l’integratore, o un operazionale più lento, taglierebbe quella banda. Un condensatore in parallelo a $R$ , invece, la peggiorerebbe: abbassa $Z_1$ ad alta frequenza, e il guadagno di rumore sale.

Esercizio 5. All’amplificatore invertente dell’esempio si aggiunge, dopo un buffer, un filtro RC a $1$ kHz, di cui si trascura il rumore. Quanto diventa il rumore efficace all’uscita?

Soluzione. La densità all’uscita dell’amplificatore, $1{,}48$ μV/√Hz, passa ora per due poli, a $99$ kHz e a $1$ kHz. Per il primo esercizio la banda equivalente è $(\pi/2)\cdot1\cdot99/(1 + 99)$ kHz $= 1555$ Hz, e il rumore è $1{,}48\ \mu\text{V}\cdot\sqrt{1555} = 58{,}3$ μV, dieci volte meno dei $583$ μV senza filtro.

Commento. Il filtro non cambia né la densità di rumore né il segnale a bassa frequenza: toglie solo la banda che il segnale non usa. Se il segnale sta sotto il kilohertz, i $99$ kHz di banda dell’amplificatore servivano solo a raccogliere rumore, come dice l’ultimo paragrafo dell’articolo.

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