Il principio di minima azione

Due modi di descrivere il moto

Le trasformazioni di Lorentz obbligano a riscrivere la meccanica. Prima di farlo conviene cambiare il modo in cui la si scrive, e questo articolo è una deviazione dalla relatività verso la meccanica classica, necessaria per tornarci con gli strumenti giusti.

La meccanica di Newton è locale nel tempo. Note le posizioni e le velocità delle particelle in un istante $t$, il secondo principio dice come cambiano nell’istante successivo $t + dt$ sotto l’effetto delle forze, e passo dopo passo si ricostruisce il moto. La meccanica di Lagrange, sviluppata a partire dalla fine del Settecento, guarda il moto tutto intero: fissate le configurazioni del sistema in un istante iniziale e in uno finale, il moto reale è quello che rende stazionaria una certa grandezza calcolata su tutto l’intervallo, l’azione.

Le due formulazioni danno le stesse equazioni del moto, come si vedrà. La seconda però lavora con grandezze scalari, si estende senza fatica ai campi, si adatta a qualsiasi sistema di coordinate e rende visibile il legame tra simmetrie e leggi di conservazione, che è il tema dell’articolo successivo. Quasi tutta la fisica teorica moderna è scritta in forma lagrangiana. Dirac, all’inizio degli anni Trenta, la considerava più fondamentale di quella hamiltoniana e pensava che la meccanica quantistica si potesse formulare a partire da essa; lo fece Feynman, con gli integrali sui cammini.

Coordinate generalizzate

Per una particella puntiforme le coordinate naturali sono le componenti del vettore posizione $\mathbf r(t)$. Ma per un pendolo che oscilla in un piano basta un numero, l’angolo $\theta$ con la verticale, e le coordinate cartesiane della massa sono legate tra loro dal vincolo che la distanza dal punto di sospensione sia la lunghezza del filo.

Si considerano sistemi con vincoli olonomi, cioè vincoli che si possono scrivere come equazioni tra le coordinate, come la lunghezza fissa del filo del pendolo, e che quindi si eliminano scegliendo bene le coordinate. Nel seguito $q$ indica l’insieme $(q_1, \dots, q_s)$ e $\dot q$ l’insieme delle velocità.

L’azione

L’esperienza dice che posizioni e velocità in un istante bastano a prevedere il moto successivo. Nella formulazione di Lagrange questo diventa l’ipotesi che il sistema sia caratterizzato da una funzione delle coordinate, delle velocità e, eventualmente, del tempo.

L’azione non è una funzione di un numero ma di un’intera funzione $q(t)$: a ogni moto possibile associa un numero. Si confrontano moti che partono dalla stessa configurazione $q(t_1)$ e arrivano alla stessa configurazione $q(t_2)$ negli stessi istanti. Le velocità agli estremi, invece, non sono fissate.

Il nome è storico. Il principio non chiede che l’azione sia minima, ma che sia stazionaria: la sua derivata nella direzione di ogni variazione ammessa è nulla, come succede in un minimo, in un massimo o in un punto di sella di una funzione ordinaria. Per tempi abbastanza brevi, nei casi della meccanica, si tratta davvero di un minimo, come nell’esercizio 4.

Le equazioni di Eulero-Lagrange

Il principio è una condizione su infinite variazioni. Il lemma che segue la trasforma in equazioni differenziali.

Le equazioni sono $s$, una per grado di libertà, del secondo ordine nelle coordinate: servono $2s$ condizioni iniziali, le posizioni e le velocità, come nella meccanica di Newton.

Proprietà della lagrangiana

La lagrangiana di un sistema non è unica. Tre operazioni la cambiano senza cambiare le equazioni del moto.

La terza proprietà si chiama invarianza di gauge, e ha un ruolo centrale nelle teorie dei campi. La funzione $f$ deve dipendere solo dalle coordinate e dal tempo. Se dipendesse anche dalle velocità, il termine aggiunto all’azione conterrebbe le velocità agli estremi, che non sono fissate: cambierebbe da un moto all’altro e le equazioni del moto non sarebbero più le stesse. La costante arbitraria dell’energia potenziale è il caso più semplice: $L' = L - C = L + \tfrac{d}{dt}(-Ct)$.

La lagrangiana della particella libera

Quale lagrangiana descrive una particella libera? Non si ricava dalle equazioni di Newton: si ricava dalle simmetrie.

La costante $m$ è la massa della particella. L’equazione di Eulero-Lagrange di $L = \tfrac m2 v^2$ è $\tfrac{d}{dt}(m\mathbf v) = 0$: una particella libera si muove di moto rettilineo uniforme, e il principio d’inerzia è ritrovato. La massa deve essere positiva: con $m < 0$ l’azione del moto uniforme non sarebbe un minimo, e lungo moti con velocità sempre più grandi l’azione scenderebbe senza limite.

La lagrangiana trovata rispetta anche un cambio di sistema con velocità finita $\mathbf V$:

$$\frac m2\,|\mathbf v + \mathbf V|^2 = \frac m2\,v^2 + m\,\mathbf v\cdot\mathbf V + \frac m2\,V^2 = \frac m2\,v^2 + \frac{d}{dt}\left( m\,\mathbf r\cdot\mathbf V + \frac m2\,V^2\,t \right).$$

C’è un’ultima osservazione, che tornerà in relatività. Scritta come $L = \tfrac m2\,(dx^2 + dy^2 + dz^2)/dt^2$, la lagrangiana della particella libera contiene il quadrato della distanza tra due punti vicini: è legata al modo in cui si misurano le distanze, cioè alla geometria dello spazio.

Particelle interagenti

Per un sistema di particelle che non interagiscono la lagrangiana, additiva, è la somma delle energie cinetiche. Le interazioni si descrivono aggiungendo un termine che dipende dalle posizioni:

$$L = \sum_{a=1}^{N} \frac{m_a}{2}\,v_a^2 - U(\mathbf r_1, \dots, \mathbf r_N).$$

Questa forma non si ricava da principi più generali: la giustifica il confronto con gli esperimenti, e $U$ dipende dal sistema.

$U$ è l’energia potenziale, e la lagrangiana è la differenza tra l’energia cinetica e l’energia potenziale. Per l’omogeneità dello spazio $U$ può dipendere solo dalle differenze delle posizioni. E dipende dalle posizioni nello stesso istante: se una particella si sposta, le altre ne risentono subito. In relatività, dove nessuna interazione è istantanea, questa forma non potrà restare.

In coordinate generalizzate le derivate che compaiono nelle equazioni hanno un nome anche quando non sono quantità di moto e forze: $p_i = \partial L/\partial \dot q_i$ è il momento coniugato alla coordinata $q_i$, e $\partial L/\partial q_i$ la forza generalizzata. Per il pendolo, con $q = \theta$, il momento coniugato è il momento angolare.

Perché proprio l’azione

Resta la domanda più naturale: perché la natura dovrebbe rendere stazionaria l’azione? Dentro la meccanica classica non c’è risposta. Una risposta viene dalla meccanica quantistica, e qui la si può solo accennare.

In ottica geometrica un raggio di luce segue il cammino che rende stazionario il tempo di percorrenza, per il principio di Fermat; in termini di onde, lungo il raggio la variazione di fase è stazionaria. Una particella quantistica ha una funzione d’onda e, quando la sua lunghezza d’onda è molto più piccola delle distanze in gioco, una traiettoria quasi classica. Azione e fase soddisfano entrambe un principio di stazionarietà, e sono proporzionali: la fase è l’azione divisa per la costante di Planck ridotta $\hbar$, che ha le dimensioni di un’azione. Feynman costruì su questa idea una formulazione della meccanica quantistica in cui la particella «esplora» tutti i cammini tra due punti, e i contributi dei cammini si cancellano per interferenza tranne vicino a quello di azione stazionaria. Il principio di minima azione è il limite classico di questa interferenza.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Scrivi la lagrangiana di un pendolo semplice di lunghezza $\ell$ e massa $m$, che oscilla in un piano verticale, e ricava l’equazione del moto.

La coordinata generalizzata è l’angolo $\theta$ con la verticale. La massa ha coordinate $x = \ell\sin\theta$, $y = -\ell\cos\theta$, con $y$ verso l’alto e l’origine nel punto di sospensione. La velocità ha componenti $\dot x = \ell\cos\theta\,\dot\theta$ e $\dot y = \ell\sin\theta\,\dot\theta$, quindi $v^2 = \ell^2\dot\theta^2$. L’energia potenziale è $U = mgy = -mg\ell\cos\theta$. La lagrangiana è

$$L = \frac m2\,\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .$$

Le derivate sono $\partial L/\partial\dot\theta = m\ell^2\dot\theta$ e $\partial L/\partial\theta = -mg\ell\sin\theta$, e l’equazione di Eulero-Lagrange è

$$m\ell^2\ddot\theta + mg\ell\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta = -\frac g\ell\sin\theta .$$

Commento: con Newton si deve scomporre la tensione del filo, che non si conosce, e poi eliminarla. Con Lagrange la tensione non compare mai, perché il vincolo è già dentro la scelta della coordinata. L’errore più comune è il segno dell’energia potenziale: con $y$ verso l’alto e la massa sotto il punto di sospensione, $U$ è minima per $\theta = 0$.

Esercizio 2. Una particella di massa $m$ si muove in un piano sotto l’azione di una forza centrale, con energia potenziale $U(r)$. Scrivi la lagrangiana in coordinate polari e le equazioni del moto.

In coordinate polari $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$, e la velocità ha componente radiale $\dot r$ e componente perpendicolare $r\dot\varphi$, quindi $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\varphi^2$:

$$L = \frac m2\left(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2\right) - U(r).$$

Per $r$: $\partial L/\partial \dot r = m\dot r$ e $\partial L/\partial r = mr\dot\varphi^2 - U'(r)$, quindi $m\ddot r - mr\dot\varphi^2 + U'(r) = 0$. Per $\varphi$: $\partial L/\partial\dot\varphi = mr^2\dot\varphi$ e $\partial L/\partial\varphi = 0$, quindi

$$\frac{d}{dt}\left(mr^2\dot\varphi\right) = 0 .$$

Commento: la coordinata $\varphi$ non compare nella lagrangiana, e il suo momento coniugato $mr^2\dot\varphi$, il momento angolare, si conserva. Non è un caso: la lagrangiana non cambia ruotando il sistema attorno all’origine, e a questa simmetria corrisponde la conservazione. È il punto di partenza del teorema di Noether. Nel termine $mr\dot\varphi^2$ si riconosce la forza centrifuga, che in coordinate polari compare da sola.

Esercizio 3. Verifica che le lagrangiane $L = \tfrac m2\dot x^2 - \tfrac k2 x^2$ e $L' = L + \tfrac{d}{dt}(a\,x^2)$, con $a$ costante, danno la stessa equazione del moto.

$L' = \tfrac m2\dot x^2 - \tfrac k2 x^2 + 2a\,x\dot x$. Per $L'$: $\partial L'/\partial\dot x = m\dot x + 2ax$, la cui derivata rispetto al tempo è $m\ddot x + 2a\dot x$; $\partial L'/\partial x = -kx + 2a\dot x$. L’equazione è

$$m\ddot x + 2a\dot x - (-kx + 2a\dot x) = m\ddot x + kx = 0,$$

la stessa che si ottiene da $L$.

Commento: i termini $2a\dot x$ compaiono in entrambe le derivate e si cancellano. Il momento coniugato però è cambiato, da $m\dot x$ a $m\dot x + 2ax$: le equazioni del moto non dipendono dalla scelta tra lagrangiane equivalenti, ma il momento coniugato sì. È un fatto che conta quando si passa dalle lagrangiane alla meccanica quantistica e ai campi elettromagnetici.

Esercizio 4. Una particella libera di massa $m$ va da $x = 0$ all’istante $0$ a $x = D$ all’istante $T$. Confronta l’azione del moto uniforme con quella dei moti $x_\varepsilon(t) = D\,t/T + \varepsilon\sin(\pi t/T)$.

I moti $x_\varepsilon$ hanno gli stessi estremi per ogni $\varepsilon$. La velocità è $\dot x_\varepsilon = D/T + \varepsilon\,(\pi/T)\cos(\pi t/T)$, e l’azione è

$$S(\varepsilon) = \frac m2 \int_0^T \left( \frac{D^2}{T^2} + \frac{2D\varepsilon\pi}{T^2}\cos\frac{\pi t}{T} + \frac{\varepsilon^2\pi^2}{T^2}\cos^2\frac{\pi t}{T} \right) dt .$$

L’integrale del coseno su mezzo periodo è nullo, e quello del coseno al quadrato vale $T/2$:

$$S(\varepsilon) = \frac{mD^2}{2T} + \frac{m\pi^2}{4T}\,\varepsilon^2 .$$

La derivata rispetto a $\varepsilon$ è nulla in $\varepsilon = 0$, e l’azione del moto uniforme è la più piccola della famiglia.

Commento: la derivata prima si annulla perché il termine lineare in $\varepsilon$ ha integrale nullo, e questo è il principio di minima azione in miniatura. Il termine in $\varepsilon^2$ è positivo perché la massa è positiva: per questa lagrangiana il punto stazionario è davvero un minimo. Con valori numerici, per esempio $m = 2{,}0$ kg, $D = 3{,}0$ m, $T = 1{,}5$ s ed $\varepsilon = 0{,}50$ m, si ha $S(0) = 6{,}00$ J·s e $S(0{,}50) \approx 6{,}82$ J·s.