Sovrapposizione, Thévenin e Norton

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

La linearità al lavoro

L’articolo sui metodi di analisi ha dimostrato che in una rete di resistori e generatori la soluzione esiste, è unica, e ogni tensione e ogni corrente è una combinazione lineare dei valori dei generatori. Da questa proprietà vengono i due strumenti più usati per ragionare sui circuiti lineari: la sovrapposizione degli effetti e il generatore equivalente, nelle due forme di Thévenin e di Norton.

I teoremi valgono per le reti lineari: resistori, generatori indipendenti e anche generatori pilotati con legge lineare, purché la rete abbia una soluzione unica. Con i generatori pilotati la dimostrazione di unicità dell’articolo precedente non si applica, perché un generatore pilotato può erogare potenza anche con i generatori indipendenti spenti; l’unicità va verificata caso per caso, e nelle reti di interesse pratico vale.

La sovrapposizione degli effetti

Teorema (sovrapposizione degli effetti)

In una rete lineare che ha una soluzione unica per qualsiasi valore dei generatori indipendenti, ogni tensione e ogni corrente è la somma dei valori che assume quando agisce un solo generatore indipendente alla volta, con gli altri spenti: i generatori di tensione sostituiti da cortocircuiti, quelli di corrente da circuiti aperti. I generatori pilotati restano al loro posto.

Dimostrazione.

Le equazioni della rete formano un sistema lineare $M\mathbf x = \mathbf s$ , in cui $\mathbf x$ raccoglie tensioni e correnti, la matrice $M$ dipende solo dai componenti e dal grafo, compresi i generatori pilotati, e il vettore $\mathbf s$ contiene i valori dei generatori indipendenti. Una soluzione unica per ogni $\mathbf s$ vuol dire che $M$ è invertibile, e $\mathbf x = M^{-1}\mathbf s$ . Scrivendo $\mathbf s = \sum_k s_k\,\mathbf e_k$ , dove $\mathbf e_k$ ha un solo elemento non nullo, quello del generatore $k$ , si ottiene $\mathbf x = \sum_k M^{-1}(s_k\,\mathbf e_k)$ , e ogni termine è la soluzione della rete con il solo generatore $k$ acceso: un generatore di tensione con valore zero è un cortocircuito, uno di corrente con valore zero un circuito aperto.

Fine della dimostrazione.

La sovrapposizione degli effetti. La tensione $v$ della rete in alto è la somma della tensione $v'$ che si ha con il solo generatore di tensione, a sinistra, dove il generatore di corrente è sostituito da un circuito aperto, e della tensione $v''$ con il solo generatore di corrente, a destra, dove il generatore di tensione è sostituito da un cortocircuito.

Il teorema non vale per le potenze. Se in un resistore la corrente è $i' + i''$ , la potenza è $R\,(i' + i'')^2 = Ri'^2 + Ri''^2 + 2Ri'i''$ , e il termine misto manca nella somma delle potenze dei due casi. Inoltre risolvere tante reti semplici, una per generatore, non sempre costa meno che risolvere la rete intera. Il valore del teorema sta soprattutto nelle sue conseguenze. In elettronica si separano così la polarizzazione in continua di un circuito e il piccolo segnale che gli si sovrappone, e in regime sinusoidale i contributi di generatori a frequenze diverse.

I teoremi di Thévenin e di Norton

Una rete lineare collegata al resto del mondo attraverso due morsetti $A$ e $B$ può essere complicata quanto si vuole: vista dai morsetti si comporta sempre come uno dei due generatori reali dell’articolo sui generatori.

Teorema (di Thévenin)

Una rete lineare con due morsetti $A$ e $B$ , che collegata a un qualsiasi generatore ideale di corrente ha soluzione unica, è equivalente, vista dai morsetti, a un generatore ideale di tensione $E_0$ in serie a un resistore $R_{eq}$ . $E_0$ è la tensione tra $A$ e $B$ a morsetti aperti, $R_{eq}$ la resistenza vista dai morsetti con i generatori indipendenti della rete spenti.

Dimostrazione.

Si collega ai morsetti un bipolo esterno qualsiasi, e sia $i$ la corrente che esce da $A$ verso il bipolo. Per il teorema di sostituzione il bipolo si può rimpiazzare con un generatore ideale di corrente $i$ senza cambiare nulla dentro la rete. Per la sovrapposizione la tensione $v_{AB}$ è la somma di due contributi. Il primo si ha con i soli generatori interni e il generatore esterno spento, cioè con i morsetti aperti, ed è $E_0$ . Il secondo si ha con i generatori interni spenti e il solo generatore esterno, che preleva la corrente $i$ da $A$ e la restituisce in $B$ : la rete spenta è lineare e senza generatori indipendenti, quindi la sua tensione è proporzionale a $i$ , e si scrive $-R_{eq}\,i$ . In totale $v_{AB} = E_0 - R_{eq}\,i$ , che è la caratteristica di un generatore di tensione $E_0$ con in serie $R_{eq}$ .

Fine della dimostrazione.

Teorema (di Norton)

Una rete lineare con due morsetti $A$ e $B$ , che collegata a un qualsiasi generatore ideale di tensione ha soluzione unica, è equivalente a un generatore ideale di corrente $A_{cc}$ in parallelo a un conduttore $G_{eq}$ . $A_{cc}$ è la corrente che esce da $A$ quando i morsetti sono in cortocircuito, $G_{eq}$ la conduttanza vista dai morsetti con i generatori indipendenti spenti.

Dimostrazione.

È la dimostrazione precedente con tensioni e correnti scambiate. Si sostituisce il bipolo esterno con un generatore ideale di tensione $v_{AB}$ , e per la sovrapposizione la corrente uscente da $A$ è la somma della corrente con i soli generatori interni e il generatore esterno spento, cioè con i morsetti in cortocircuito, che è $A_{cc}$ , e della corrente con i soli generatori esterni, proporzionale a $v_{AB}$ , che si scrive $-G_{eq}\,v_{AB}$ : $i = A_{cc} - G_{eq}\,v_{AB}$ .

Fine della dimostrazione.

Una rete lineare collegata a un carico $R_L$ e i suoi due equivalenti. Nell’animazione, al posto della rete compaiono l’equivalente di Thévenin, un generatore $E_0$ in serie a $R_{eq}$ , e quello di Norton, un generatore $A_{cc}$ in parallelo a $G_{eq}$ : il carico non si accorge del cambio.

Quando esistono tutti e due, i due equivalenti sono equivalenti tra loro, e per l’articolo sui generatori

E_0 = R_{eq}\,A_{cc}, \qquad G_{eq} = \frac1{R_{eq}} .

La relazione dà un modo di misurare la resistenza equivalente senza spegnere niente, $R_{eq} = E_0/A_{cc}$ , dal rapporto tra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito. Ci sono due casi limite: un generatore ideale di tensione con qualcosa in parallelo ha $R_{eq} = 0$ e non ha un equivalente di Norton; un generatore ideale di corrente con qualcosa in serie ha $R_{eq}$ infinita e non ha un equivalente di Thévenin. E, come per i generatori reali, l’equivalenza vale solo agli effetti esterni: la potenza dissipata dentro la rete non è quella dissipata in $R_{eq}$ .

Il generatore di prova

Se la rete contiene solo resistori, $R_{eq}$ si calcola con serie, parallelo e stella-triangolo. Con i generatori pilotati no: spenti i generatori indipendenti, quelli pilotati restano, e la rete non si riduce a una combinazione di resistori. Si usa allora un generatore di prova: si applica ai morsetti una tensione $v_t$ , si calcola la corrente $i_t$ che entra in $A$ , e $R_{eq} = v_t/i_t$ . Oppure si impone una corrente e si calcola la tensione. Con i generatori pilotati la resistenza equivalente può risultare molto più piccola o molto più grande di tutti i resistori della rete, e perfino negativa, perché i generatori pilotati possono erogare potenza. È il meccanismo con cui la retroazione cambia le resistenze d’ingresso e d’uscita degli amplificatori, e gli esercizi ne mostrano un esempio.

Il massimo trasferimento di potenza

Corollario (massimo trasferimento di potenza per una rete lineare)

Una rete lineare con equivalente di Thévenin $E_0$ , $R_{eq} > 0$ , trasferisce a un carico resistivo $R_L$ la potenza massima quando $R_L = R_{eq}$ , e la potenza massima vale $E_0^2/(4R_{eq})$ .

Dimostrazione.

Il carico vede solo l’equivalente di Thévenin, cioè un generatore reale di tensione con forza elettromotrice $E_0$ e resistenza interna $R_{eq}$ , e per il teorema del massimo trasferimento di potenza dell’articolo sui generatori la potenza è massima per $R_L = R_{eq}$ e vale $E_0^2/(4R_{eq})$ .

Fine della dimostrazione.

La figura dell’articolo sui generatori, riletta con Thévenin: la retta blu è la caratteristica di qualsiasi rete lineare vista da due morsetti, con $e = E_0$ ed $r = R_{eq}$ , e l’intercetta sull’asse delle correnti è la corrente di cortocircuito $A_{cc}$ . Il carico riceve la potenza massima quando il punto di lavoro è a metà della retta.

Il rendimento, invece, non si trasferisce. A carico adattato metà della potenza è dissipata in $R_{eq}$ , ma $R_{eq}$ è un resistore fittizio, e la potenza realmente dissipata dentro la rete può essere diversa. Per le sorgenti non lineari, come la cella fotovoltaica, il punto di massima potenza si cerca sulla caratteristica, come nell’articolo sui generatori.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un generatore $E = 12$ V con in serie $R_1 = 4\ \Omega$ porta a un nodo $X$ , da cui un resistore $R_2 = 12\ \Omega$ va a massa; nel nodo $X$ entra anche la corrente di un generatore $A = 2$ A. Calcola la tensione di $X$ con la sovrapposizione, e verifica che per la potenza in $R_2$ la sovrapposizione non vale.

Con il solo generatore di tensione, per il partitore, $v' = 12\cdot12/16 = 9$ V. Con il solo generatore di corrente, con $E$ in cortocircuito, $R_1$ ed $R_2$ sono in parallelo, $3\ \Omega$ , e $v'' = 2\cdot3 = 6$ V. Quindi $v = 15$ V, come dà anche la formula di Millman, $(12/4 + 2)/(1/4 + 1/12) = 15$ V. La potenza in $R_2$ è $15^2/12 = 18{,}75$ W, mentre la somma delle potenze dei due casi è $9^2/12 + 6^2/12 = 9{,}75$ W.

Commento: la differenza, $9$ W, è il termine misto $2v'v''/R_2$ . Le potenze si calcolano sempre alla fine, dalla tensione o dalla corrente totali.

Esercizio 2. Per la rete dell’esercizio 1, vista dal nodo $X$ e dalla massa, calcola gli equivalenti di Thévenin e di Norton. Quale carico riceve la potenza massima, e quanta?

$E_0$ è la tensione a vuoto, $15$ V. Con i generatori spenti la resistenza vista è il parallelo di $R_1$ ed $R_2$ , $R_{eq} = 3\ \Omega$ . In cortocircuito passano $12/4 = 3$ A da $R_1$ e $2$ A dal generatore di corrente, $A_{cc} = 5$ A, e infatti $15/3 = 5$ . Il carico adattato è $3\ \Omega$ , con $15^2/12 = 18{,}75$ W.

Commento: si sono calcolati tre numeri e se ne potevano calcolare due, perché $E_0 = R_{eq}A_{cc}$ : il terzo serve da controllo. Collegato un carico da $3\ \Omega$ , la potenza dissipata nella rete vera non è $18{,}75$ W come in $R_{eq}$ : con $v = 7{,}5$ V, $R_1$ dissipa $(12 - 7{,}5)^2/4 \approx 5{,}06$ W e $R_2$ $7{,}5^2/12 \approx 4{,}69$ W.

Esercizio 3. Nel ponte dell’articolo sui bipoli equivalenti, con $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 20\ \Omega$ , $R_3 = 20\ \Omega$ , $R_4 = 10\ \Omega$ e $R_5 = 10\ \Omega$ , tra $A$ e $B$ è collegato un generatore ideale da $14$ V. Calcola la corrente in $R_5$ con Thévenin.

Si toglie $R_5$ e si calcola l’equivalente visto dai nodi $C$ e $D$ . A vuoto i due partitori danno $V_C = 14\cdot20/30 \approx 9{,}33$ V e $V_D = 14\cdot10/30 \approx 4{,}67$ V, quindi $E_0 = V_C - V_D \approx 4{,}67$ V. Con il generatore spento $A$ e $B$ coincidono, e da $C$ e $D$ si vedono in serie i paralleli $R_1\|R_2$ ed $R_3\|R_4$ , $6{,}67 + 6{,}67 \approx 13{,}33\ \Omega$ . La corrente in $R_5$ è $4{,}67/(13{,}33 + 10) = 0{,}2$ A, da $C$ verso $D$ .

Commento: è lo stesso ponte risolto con la trasformazione stella-triangolo, e con $14$ V le tensioni trovate allora, $V_C = 4v/7 = 8$ V e $V_D = 6$ V, danno $(8 - 6)/10 = 0{,}2$ A. Thévenin conviene quando interessa un solo lato: lo si stacca, si riduce il resto, e lo si riattacca.

Esercizio 4. In un nodo $O$ entra la corrente di un generatore $I = 1$ mA; dal nodo verso massa ci sono un resistore $R = 10$ kΩ e un generatore pilotato che assorbe la corrente $g\,v_O$ , con $g = 1$ mS. Calcola l’equivalente di Thévenin visto da $O$ e dalla massa.

A vuoto la legge delle correnti dà $I = v_O/R + g\,v_O$ , e $E_0 = 1\ \text{mA}/(0{,}1 + 1)\ \text{mS} \approx 0{,}909$ V. Per $R_{eq}$ si spegne $I$ e si applica una tensione di prova $v_t$ : la corrente entrante è $i_t = v_t/R + g\,v_t$ , quindi $R_{eq} = 1/(1{,}1\ \text{mS}) \approx 909\ \Omega$ . In cortocircuito $v_O = 0$ , il generatore pilotato non porta corrente e $A_{cc} = 1$ mA, in accordo con $E_0/R_{eq}$ .

Commento: la resistenza equivalente è undici volte più piccola del resistore. Il generatore pilotato assorbe una corrente proporzionale alla tensione, e dai morsetti si comporta come una conduttanza $g$ in parallelo a $R$ : è la forma più semplice di retroazione, quella che nei regolatori di tensione abbassa la resistenza d’uscita. Spegnere per errore anche il generatore pilotato darebbe $10$ kΩ.

Esercizio 5. Una rete sconosciuta, alimentata da una batteria che non si può scollegare, dà ai suoi morsetti $8$ V con un carico da $4\ \Omega$ e $10$ V con un carico da $10\ \Omega$ . Trova l’equivalente di Thévenin senza cortocircuitarla.

Le correnti sono $2$ A e $1$ A. Dalla caratteristica $v = E_0 - R_{eq}\,i$ : $8 = E_0 - 2R_{eq}$ e $10 = E_0 - R_{eq}$ . Sottraendo, $R_{eq} = 2\ \Omega$ , ed $E_0 = 12$ V.

Commento: due punti bastano a determinare una retta, e la caratteristica di una rete lineare è una retta. È il metodo giusto per le sorgenti che non tollerano il cortocircuito, come le batterie, e anche per quelle che non tollerano il vuoto, come alcune sorgenti di corrente. Se i due carichi danno risultati incoerenti con un terzo, la rete non è lineare nell’intervallo misurato.

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