Simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Noether

Fisica · Relatività ristretta Articolo 14 settembre 2026

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Indice

Grandezze che non cambiano

Energia, quantità di moto e momento angolare di un sistema isolato restano costanti nel tempo, anche mentre le parti del sistema si urtano, si attraggono, si scambiano velocità. Nella meccanica di Newton queste conservazioni sono teoremi che si dimostrano a partire dai principi della dinamica, in particolare dal principio di azione e reazione. In relatività quella strada si chiude: le interazioni non sono istantanee, e l’azione e la reazione non sono simultanee per tutti gli osservatori. Resta un’altra strada, che lega ogni legge di conservazione a una simmetria. La indicò nel 1918 Emmy Noether, e questo articolo la percorre in meccanica classica, con la formulazione lagrangiana dell’articolo precedente.

Definizione (costante del moto)

Una funzione $G(q, \dot q, t)$ è una costante del moto di un sistema con lagrangiana $L$ se, lungo ogni soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange, $\dfrac{d}{dt}\,G\big(q(t), \dot q(t), t\big) = 0$ .

Di costanti del moto un sistema ne ha molte. La soluzione generale delle $s$ equazioni di Eulero-Lagrange dipende da $2s$ costanti arbitrarie, e ricavandole dalle leggi del moto si ottengono funzioni delle coordinate e delle velocità che restano costanti. Poche però hanno un significato fisico generale. Quelle che interessano sono additive: per un sistema formato da due parti che non interagiscono, il valore totale è la somma dei valori delle parti. Quando le due parti interagiscono, quello che una perde l’altra lo guadagna, e lo scambio racconta l’interazione.

L’energia e l’omogeneità del tempo

Il tempo è omogeneo: un esperimento fatto oggi dà gli stessi risultati di uno identico fatto domani. Per un sistema isolato questo si traduce nel fatto che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo.

Teorema (conservazione dell'energia)

Se la lagrangiana $L(q, \dot q)$ non dipende esplicitamente da $t$ , la grandezza

E = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L

è una costante del moto. Se $L$ dipende da $t$ , lungo le soluzioni vale $\dfrac{dE}{dt} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}$ .

Dimostrazione.

Lungo un moto $q(t)$ la derivata totale della lagrangiana è

\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\dot q_i + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\ddot q_i + \frac{\partial L}{\partial t}.

Se il moto è una soluzione, le equazioni di Eulero-Lagrange permettono di sostituire $\partial L/\partial q_i$ con $\tfrac{d}{dt}\,\partial L/\partial \dot q_i$ :

\frac{dL}{dt} = \sum_i \left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\dot q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\ddot q_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{dt}\sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t},

dove si è riconosciuta la derivata di un prodotto. Portando tutto a sinistra, $\dfrac{d}{dt}\Big(\sum_i \dot q_i\,\partial L/\partial\dot q_i - L\Big) = -\partial L/\partial t$ , che è la seconda affermazione. Se $L$ non dipende esplicitamente da $t$ , il secondo membro è nullo.

Fine della dimostrazione.

Per riconoscere in $E$ l’energia serve un risultato sulle funzioni omogenee.

Lemma (teorema di Eulero sulle funzioni omogenee)

Sia $f(x_1, \dots, x_n)$ differenziabile e omogenea di grado $k$ , cioè $f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k f(x_1, \dots, x_n)$ per ogni $\lambda > 0$ . Allora

\sum_i x_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i} = k\,f .

Dimostrazione.

Si fissa $x = (x_1, \dots, x_n)$ e si derivano rispetto a $\lambda$ i due membri di $f(\lambda x) = \lambda^k f(x)$ . A sinistra, per la regola della catena, $\sum_i x_i\,\partial f/\partial x_i$ calcolata in $\lambda x$ ; a destra $k\lambda^{k-1} f(x)$ . Per $\lambda = 1$ si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

Proposizione (energia cinetica più energia potenziale)

Se $L = T - U$ , con $U = U(q)$ e l’energia cinetica $T$ omogenea di secondo grado nelle velocità, allora $E = T + U$ .

Dimostrazione.

$U$ non dipende dalle velocità, quindi $\partial L/\partial \dot q_i = \partial T/\partial \dot q_i$ . Per il lemma con $k = 2$ , applicato a $T$ come funzione delle velocità, $\sum_i \dot q_i\,\partial T/\partial \dot q_i = 2T$ . Quindi $E = 2T - (T - U) = T + U$ .

Fine della dimostrazione.

L’energia cinetica è omogenea di secondo grado in tutti i casi della meccanica in cui le coordinate generalizzate non dipendono dal tempo: in cartesiane è $\sum_a \tfrac{m_a}{2}\,v_a^2$ , in polari $\tfrac m2(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2)$ , e cambiare coordinate la trasforma in una forma quadratica nelle nuove velocità. La conservazione dell’energia meccanica discende dall’omogeneità del tempo, senza nessuna ipotesi sulle forze oltre al fatto che $U$ non dipende dal tempo.

Coordinate cicliche

Proposizione (coordinate cicliche)

Se la lagrangiana non dipende da una coordinata $q_k$ , pur dipendendo dalla velocità $\dot q_k$ , il momento coniugato $p_k = \partial L/\partial \dot q_k$ è una costante del moto.

Dimostrazione.

L’equazione di Eulero-Lagrange per $q_k$ è $\tfrac{d}{dt}\,\partial L/\partial \dot q_k = \partial L/\partial q_k = 0$ .

Fine della dimostrazione.

Una coordinata che non compare nella lagrangiana si chiama ciclica. Per una particella libera in coordinate cartesiane, $L = \tfrac m2 v^2$ non dipende da $x$ , $y$ , $z$ , e si conservano le tre componenti della quantità di moto $m\mathbf v$ . Per una particella in un piano soggetta a una forza centrale, in coordinate polari $L = \tfrac m2(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - U(r)$ non dipende da $\varphi$ , e si conserva il momento angolare $mr^2\dot\varphi$ .

Dire che $L$ non dipende da $q_k$ significa che si può spostare il sistema lungo $q_k$ senza cambiare la lagrangiana. Per $x$ è una traslazione, possibile perché lo spazio è omogeneo; per $\varphi$ una rotazione, possibile perché lo spazio è isotropo. Ma avere una coordinata ciclica dipende da come si scelgono le coordinate. Il teorema di Noether stacca il legame tra simmetria e conservazione dalla scelta delle coordinate.

Il teorema di Noether

Si considera una famiglia di trasformazioni del tempo e delle coordinate che dipende da un parametro $\varepsilon$ e si riduce all’identità per $\varepsilon = 0$ . Al primo ordine in $\varepsilon$ si scrive

t' = t + \varepsilon\,\tau(q, t), \qquad q_i' = q_i + \varepsilon\,\xi_i(q, t),

dove le funzioni $\tau$ e $\xi_i$ , i generatori della trasformazione, hanno derivate continue. Un moto $q(t)$ viene trasformato in un moto $q'(t')$ . Lungo il moto $\tau$ e $\xi_i$ diventano funzioni del tempo, e si indicano con $\dot\tau$ e $\dot\xi_i$ le loro derivate totali.

Per il moto trasformato la velocità è

\dot q_i' = \frac{dq_i'}{dt'} = \frac{\dot q_i + \varepsilon\,\dot\xi_i}{1 + \varepsilon\,\dot\tau} = \dot q_i + \varepsilon\,\big(\dot\xi_i - \dot q_i\,\dot\tau\big) + O(\varepsilon^2),

e l’elemento di tempo è $dt' = (1 + \varepsilon\,\dot\tau)\,dt$ . Il contributo all’azione del tratto $dt$ , cioè $L(q', \dot q', t')\,dt'$ , al primo ordine diventa $L\,dt + \varepsilon\,\delta L\,dt$ , con

\delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\xi_i + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\big(\dot\xi_i - \dot q_i\,\dot\tau\big) + \frac{\partial L}{\partial t}\,\tau + L\,\dot\tau .

Nell’articolo sul principio di minima azione si è visto che aggiungere alla lagrangiana la derivata totale di una funzione delle coordinate e del tempo non cambia le equazioni del moto. Questo suggerisce la definizione.

Definizione (simmetria)

La trasformazione di generatori $\tau$ e $\xi_i$ è una simmetria del sistema di lagrangiana $L$ se esiste una funzione $F(q, t)$ tale che

\delta L = \frac{d}{dt}\,F(q, t)

per ogni moto, cioè come identità in $q$ , $\dot q$ e $t$ .

In parole: al primo ordine la trasformazione cambia la lagrangiana, tempo compreso, al più per la derivata totale di una funzione, e quindi non cambia le equazioni del moto.

Teorema (di Noether)

Se la trasformazione di generatori $\tau$ e $\xi_i$ è una simmetria, con funzione $F$ , allora

Q = \sum_i p_i\,\big(\xi_i - \dot q_i\,\tau\big) + L\,\tau - F, \qquad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i},

è una costante del moto.

Dimostrazione.

Si calcola la derivata di $Q$ lungo una soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange. Per la regola del prodotto,

\frac{dQ}{dt} = \sum_i \dot p_i\,\big(\xi_i - \dot q_i\,\tau\big) + \sum_i p_i\,\big(\dot\xi_i - \ddot q_i\,\tau - \dot q_i\,\dot\tau\big) + \frac{dL}{dt}\,\tau + L\,\dot\tau - \frac{dF}{dt}.

Lungo una soluzione $\dot p_i = \partial L/\partial q_i$ , e la derivata totale della lagrangiana è $\dfrac{dL}{dt} = \sum_i \dfrac{\partial L}{\partial q_i}\,\dot q_i + \sum_i p_i\,\ddot q_i + \dfrac{\partial L}{\partial t}$ . Sostituendo si ottiene

\begin{aligned} \frac{dQ}{dt} = {} & \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\xi_i - \tau\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\dot q_i + \sum_i p_i\,\dot\xi_i - \tau\sum_i p_i\,\ddot q_i - \sum_i p_i\,\dot q_i\,\dot\tau \\ & + \tau\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\dot q_i + \tau\sum_i p_i\,\ddot q_i + \tau\,\frac{\partial L}{\partial t} + L\,\dot\tau - \frac{dF}{dt}. \end{aligned}

I termini con $\tau\sum_i (\partial L/\partial q_i)\,\dot q_i$ e quelli con $\tau\sum_i p_i\,\ddot q_i$ compaiono una volta con il segno meno e una con il segno più, e si cancellano. Resta

\frac{dQ}{dt} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\xi_i + \sum_i p_i\,\big(\dot\xi_i - \dot q_i\,\dot\tau\big) + \frac{\partial L}{\partial t}\,\tau + L\,\dot\tau - \frac{dF}{dt} = \delta L - \frac{dF}{dt},

che è nullo perché la trasformazione è una simmetria.

Fine della dimostrazione.

Il teorema ha versioni più generali, che qui non si dimostrano: con generatori che dipendono anche dalle velocità, e per i campi, dove le costanti del moto diventano correnti che soddisfano un’equazione di continuità. È in quelle forme che si usa nella teoria quantistica dei campi e in relatività generale.

Le quattro simmetrie di Galileo

Lo spazio e il tempo della meccanica classica hanno quattro famiglie di simmetrie continue: traslazioni nel tempo, traslazioni nello spazio, rotazioni e trasformazioni di Galileo. Per un sistema isolato di $N$ particelle, con lagrangiana

L = \sum_{a=1}^N \frac{m_a}{2}\,v_a^2 - U,

dove l’energia potenziale $U$ dipende solo dalle distanze $|\mathbf r_a - \mathbf r_b|$ tra le particelle, il teorema di Noether dà una grandezza conservata per ciascuna. Le coordinate sono le componenti delle posizioni $\mathbf r_a$ , e i momenti coniugati sono le quantità di moto $\mathbf p_a = m_a\mathbf v_a$ .

Corollario (grandezze conservate di un sistema isolato)

Traslazione nel tempo, $\tau = 1$ , $\boldsymbol\xi_a = 0$ : si conserva l’energia $E = \sum_a \tfrac{m_a}{2}\,v_a^2 + U$ .
Traslazione lungo il versore $\mathbf n$ , $\tau = 0$ , $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n$ : si conserva $\mathbf n\cdot\mathbf P$ , con $\mathbf P = \sum_a \mathbf p_a$ la quantità di moto totale.
Rotazione attorno all’asse $\mathbf n$ , $\tau = 0$ , $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n\times\mathbf r_a$ : si conserva $\mathbf n\cdot\mathbf J$ , con $\mathbf J = \sum_a \mathbf r_a\times\mathbf p_a$ il momento angolare totale.
Trasformazione di Galileo con velocità lungo $\mathbf n$ , $\tau = 0$ , $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n\,t$ : si conserva $\mathbf n\cdot\big(\mathbf P\,t - M\,\mathbf r_{\text{CM}}\big)$ , con $M = \sum_a m_a$ e $\mathbf r_{\text{CM}} = \sum_a m_a\mathbf r_a/M$ .

Dimostrazione.

Per ogni caso si calcola $\delta L$ , si trova $F$ e si scrive $Q$ .

Con $\tau = 1$ e $\boldsymbol\xi_a = 0$ , $\dot\tau = 0$ e $\delta L = \partial L/\partial t = 0$ , perché $L$ non dipende da $t$ : $F = 0$ . Allora $Q = -\sum_a \mathbf p_a\cdot\mathbf v_a + L = -E$ , e per la proposizione sull’energia, con $T$ omogenea di secondo grado, $E = T + U$ .
Con $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n$ costante, $\dot{\boldsymbol\xi}_a = 0$ e $\delta L = \sum_a (\partial L/\partial\mathbf r_a)\cdot\mathbf n$ , che è la derivata di $L$ quando tutte le posizioni si spostano insieme lungo $\mathbf n$ . Le distanze tra le particelle non cambiano, quindi nemmeno $U$ e $L$ : $\delta L = 0$ e $F = 0$ . Allora $Q = \sum_a \mathbf p_a\cdot\mathbf n = \mathbf n\cdot\mathbf P$ .
Con $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n\times\mathbf r_a$ si ha $\dot{\boldsymbol\xi}_a = \mathbf n\times\mathbf v_a$ , e

\delta L = \sum_a \frac{\partial L}{\partial\mathbf r_a}\cdot(\mathbf n\times\mathbf r_a) + \sum_a m_a\mathbf v_a\cdot(\mathbf n\times\mathbf v_a).

Il secondo termine è nullo, perché $\mathbf n\times\mathbf v_a$ è perpendicolare a $\mathbf v_a$ . Il primo è la derivata di $-U$ quando tutte le posizioni ruotano insieme di un angolo piccolo attorno a $\mathbf n$ , perché una rotazione di angolo $\varepsilon$ sposta $\mathbf r_a$ di $\varepsilon\,\mathbf n\times\mathbf r_a$ al primo ordine; una rotazione non cambia le distanze, quindi è nullo anch’esso. Con $F = 0$ , $Q = \sum_a \mathbf p_a\cdot(\mathbf n\times\mathbf r_a) = \mathbf n\cdot\sum_a \mathbf r_a\times\mathbf p_a$ , per la proprietà ciclica del prodotto misto.

Con $\boldsymbol\xi_a = \mathbf n\,t$ si ha $\dot{\boldsymbol\xi}_a = \mathbf n$ , e

\delta L = t\sum_a \frac{\partial L}{\partial\mathbf r_a}\cdot\mathbf n + \sum_a m_a\mathbf v_a\cdot\mathbf n .

La prima somma è nulla come nel caso 2. La seconda è la derivata totale di $F = \sum_a m_a\,\mathbf r_a\cdot\mathbf n = M\,\mathbf r_{\text{CM}}\cdot\mathbf n$ , che dipende solo dalle posizioni. Quindi la trasformazione è una simmetria, e $Q = \sum_a \mathbf p_a\cdot\mathbf n\,t - F = \mathbf n\cdot\big(\mathbf P\,t - M\,\mathbf r_{\text{CM}}\big)$ .

Fine della dimostrazione.

La quarta grandezza è la meno citata, e il suo significato si vede mettendola insieme alla seconda. $\mathbf P\,t - M\,\mathbf r_{\text{CM}}$ è costante e vale $-M\,\mathbf r_{\text{CM}}(0)$ all’istante $t = 0$ ; poiché anche $\mathbf P$ è costante,

\mathbf r_{\text{CM}}(t) = \mathbf r_{\text{CM}}(0) + \frac{\mathbf P}{M}\,t :

il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

Riassumendo: dall’omogeneità del tempo viene la conservazione dell’energia, dall’omogeneità dello spazio quella della quantità di moto, dall’isotropia dello spazio quella del momento angolare, dal principio di relatività di Galileo il moto uniforme del centro di massa. Nelle dimostrazioni non si è mai usato il principio di azione e reazione, né l’idea di forza: solo la lagrangiana e le sue simmetrie. È questa la ragione per cui il teorema serve in relatività, dove le forze istantanee non esistono ma le simmetrie dello spaziotempo sì. Cambiando le simmetrie, dal gruppo di Galileo a quello di Lorentz, cambieranno le espressioni dell’energia e della quantità di moto, e il teorema dirà quali sono.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una particella di massa $m$ si muove in un piano con energia potenziale centrale $U(r)$ . Calcola $E = \sum_i \dot q_i\,\partial L/\partial\dot q_i - L$ in coordinate polari e verifica che è l’energia meccanica.

La lagrangiana è $L = \tfrac m2(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - U(r)$ , con $\partial L/\partial\dot r = m\dot r$ e $\partial L/\partial\dot\varphi = mr^2\dot\varphi$ . Quindi

E = \dot r\,m\dot r + \dot\varphi\,mr^2\dot\varphi - L = m\dot r^2 + mr^2\dot\varphi^2 - \frac m2\left(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2\right) + U(r) = \frac m2\left(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2\right) + U(r).

Commento: $E$ è l’energia cinetica più l’energia potenziale, come previsto dalla proposizione, perché l’energia cinetica in coordinate polari è ancora omogenea di secondo grado nelle velocità $\dot r$ e $\dot\varphi$ . Il coefficiente $r^2$ dipende dalla coordinata $r$ , ma l’omogeneità riguarda solo le velocità.

Esercizio 2. Un oscillatore ha lagrangiana $L = \tfrac m2\dot x^2 - \tfrac12 k(t)\,x^2$ , con la costante elastica che cambia nel tempo. L’energia $E = \tfrac m2\dot x^2 + \tfrac12 k(t)\,x^2$ si conserva?

No. Per il teorema sulla conservazione dell’energia, lungo il moto

\frac{dE}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac12\,\dot k(t)\,x^2 .

Se la costante elastica cresce, l’energia aumenta, e aumenta di più quando l’oscillatore è lontano dalla posizione di equilibrio.

Commento: la lagrangiana dipende esplicitamente dal tempo, il sistema non è isolato e l’omogeneità del tempo è rotta: chi cambia $k$ compie lavoro sull’oscillatore. Aumentando $k$ quando $x^2$ è grande e diminuendolo quando è piccolo si pompa energia a ogni ciclo, lo stesso principio con cui ci si dà la spinta su un’altalena piegando le gambe al momento giusto.

Esercizio 3. Una particella di massa $m$ si muove nel campo gravitazionale uniforme vicino al suolo, con $L = \tfrac m2 v^2 - mgz$ . Quali tra energia, componenti della quantità di moto e componenti del momento angolare si conservano?

La lagrangiana non dipende da $t$ : l’energia $\tfrac m2 v^2 + mgz$ si conserva. Non dipende da $x$ e da $y$ : le traslazioni orizzontali sono simmetrie, e si conservano $p_x$ e $p_y$ . Dipende da $z$ : $p_z$ non si conserva, e infatti $\dot p_z = -mg$ .

Per le rotazioni, $\mathbf v\cdot(\mathbf n\times\mathbf v) = 0$ sempre, e la variazione del termine potenziale è $-mg\,(\mathbf n\times\mathbf r)_z$ . Per $\mathbf n$ lungo $z$ , $\mathbf n\times\mathbf r = (-y, x, 0)$ ha componente $z$ nulla: la rotazione attorno all’asse verticale è una simmetria e si conserva $J_z = x p_y - y p_x$ . Per $\mathbf n$ lungo $x$ , $\mathbf n\times\mathbf r = (0, -z, y)$ e la variazione è $-mgy$ , in generale non nulla; lo stesso per $\mathbf n$ lungo $y$ . $J_x$ e $J_y$ non si conservano.

Commento: il campo uniforme sceglie una direzione privilegiata, la verticale, e rompe una parte delle simmetrie dello spazio. Si conservano esattamente le grandezze associate alle simmetrie che restano: traslazioni orizzontali e rotazioni attorno alla verticale. Per il momento angolare conta anche l’origine: $J_z$ si conserva rispetto a qualunque punto, perché ogni asse verticale è equivalente.

Esercizio 4. Due particelle su una retta, di masse $m_1 = 1{,}0$ kg e $m_2 = 3{,}0$ kg, interagiscono con una molla che dipende solo dalla loro distanza. All’istante $t = 0$ sono in $x_1 = 0$ e $x_2 = 2{,}0$ m, con velocità $v_1 = 4{,}0$ m/s e $v_2 = 0$ . Calcola la grandezza conservata associata alle trasformazioni di Galileo e scrivi il moto del centro di massa.

$P = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 4{,}0$ kg·m/s, $M = 4{,}0$ kg, $x_{\text{CM}}(0) = (1{,}0 \cdot 0 + 3{,}0 \cdot 2{,}0)/4{,}0 = 1{,}5$ m. La grandezza conservata è

Q = P\,t - M\,x_{\text{CM}} = -M\,x_{\text{CM}}(0) = -6{,}0\ \text{kg·m},

e quindi $x_{\text{CM}}(t) = (P\,t - Q)/M = 1{,}5\ \text{m} + (1{,}0\ \text{m/s})\,t$ .

Commento: le due particelle oscillano l’una rispetto all’altra in un modo che dipende dalla costante della molla, ma il centro di massa avanza a $1{,}0$ m/s qualunque cosa succeda tra loro. È la conseguenza della simmetria rispetto alle trasformazioni di Galileo: nel sistema che si muove con il centro di massa la fisica del sistema è la stessa.

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