Deriva e diffusione

Fisica · Fisica dei semiconduttori Elettronica · Dispositivi elettronici Articolo 16 settembre 2026

Percorso: Fondamenti di elettronica · 4 di 20

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Indice

Due modi di muovere le cariche

Una corrente è un moto ordinato di cariche, e in un semiconduttore lo producono due cause. Un campo elettrico spinge le lacune nel suo verso e gli elettroni nel verso opposto: è la deriva. Una differenza di concentrazione fa passare portatori dalle zone dove sono tanti a quelle dove sono pochi, senza che nessuna forza li spinga: è la diffusione. In un metallo la densità degli elettroni è la stessa ovunque e conta solo la deriva. In un semiconduttore le concentrazioni cambiano di molti ordini di grandezza in pochi micrometri, e la diffusione conta quanto la deriva: il diodo e il transistore bipolare funzionano grazie a lei.

Tutte e due le correnti poggiano su un moto che c’è sempre, anche quando non passa corrente, l’agitazione termica. Nell’articolo precedente si è visto che gli elettroni di conduzione hanno in media l’energia cinetica $\tfrac32 kT$ , e nel silicio a $300$ K corrono a circa $2{,}3\times10^{5}$ m/s in direzioni casuali. Su tanti portatori questo moto non trasporta niente, perché ogni direzione è percorsa quanto quella opposta.

Gli urti

In un cristallo perfetto e con gli atomi fermi un elettrone di conduzione non incontrerebbe ostacoli: l’effetto del potenziale periodico del reticolo è già tutto nella massa efficace. A deviare i portatori sono gli scostamenti dalla periodicità, cioè le vibrazioni termiche degli atomi e le impurezze, soprattutto gli ioni dei droganti. Sono interazioni continue, ma si descrivono bene come urti istantanei dopo i quali la direzione del moto è casuale. Si suppone che un portatore abbia in ogni momento la stessa probabilità di urtare, $dt/\tau$ in un intervallo $dt$ , qualunque cosa gli sia successo prima.

Proposizione (mobilità nel modello a urti)

Portatori di carica $q$ e massa efficace $m^*$ si muovono in un campo elettrico costante $\mathcal E$ diretto lungo $x$ . Ognuno urta con probabilità $dt/\tau$ in ogni intervallo $dt$ , indipendente dalla sua storia, e subito dopo un urto ha una velocità casuale di media nulla. A regime, cioè molto tempo dopo l’accensione del campo, la velocità media dei portatori lungo $x$ è

\langle v\rangle = \frac{q\tau}{m^*}\,\mathcal E ,

e la mobilità è $\mu = |q|\,\tau/m^*$ .

Dimostrazione.

Si osservano tutti i portatori in un istante qualsiasi $t$ , e per ciascuno si chiama $s$ il tempo trascorso dal suo ultimo urto. Subito dopo quell’urto la sua velocità lungo $x$ era $v_0$ ; da allora la forza $q\mathcal E$ l’ha accelerato con $a = q\mathcal E/m^*$ , e ora la velocità è $v_0 + as$ . Mediando su tutti i portatori, $\langle v\rangle = \langle v_0\rangle + a\langle s\rangle = a\langle s\rangle$ , perché le velocità dopo gli urti hanno media nulla.

Resta da calcolare $\langle s\rangle$ . L’ultimo urto è avvenuto più di $s$ prima di $t$ se tra $t - s$ e $t$ non ci sono stati urti. Dividendo l’intervallo in $N$ parti uguali, in ciascuna la probabilità di non urtare è $1 - s/(N\tau)$ , e le parti sono indipendenti:

P(\text{nessun urto tra } t - s \text{ e } t) = \lim_{N\to\infty}\left(1 - \frac{s}{N\tau}\right)^{N} = e^{-s/\tau} .

La probabilità che sia $s$ minore di un valore dato è quindi $1 - e^{-s/\tau}$ , la sua derivata $e^{-s/\tau}/\tau$ è la densità di probabilità di $s$ , e integrando per parti

\langle s\rangle = \int_0^\infty s\,\frac{e^{-s/\tau}}{\tau}\,ds = \Big[-s\,e^{-s/\tau}\Big]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-s/\tau}\,ds = \tau .

Allora $\langle v\rangle = a\tau = q\tau\mathcal E/m^*$ .

Fine della dimostrazione.

Il risultato smentisce un conto più sbrigativo. Tra due urti, distanti in media $\tau$ , la velocità cresce da zero ad $a\tau$ , e la media sembrerebbe $a\tau/2$ . Ma gli intervalli non sono tutti lunghi $\tau$ : in quelli lunghi la velocità sale più in alto e ci resta più a lungo, e un istante scelto a caso cade più facilmente in uno di loro. La media nel tempo di un dente di sega con intervalli $\Delta t$ casuali è $a\langle\Delta t^2\rangle/(2\langle\Delta t\rangle)$ , e per la distribuzione esponenziale $\langle\Delta t^2\rangle = 2\tau^2$ : di nuovo $a\tau$ .

La parte della velocità di un portatore dovuta al campo, in un tratto lungo $14\,\tau$ con gli istanti degli urti estratti a caso. Tra un urto e l’altro la velocità cresce con pendenza $a = q\mathcal E/m^*$ , a ogni urto torna a zero. La media nel tempo, la retta tratteggiata, è $a\tau$ : gli intervalli lunghi pesano più di quelli brevi.

Il modello dà la stessa mobilità del modello di Drude, che descrive gli urti come una forza d’attrito proporzionale alla velocità: l’attrito è l’effetto medio degli urti. Nel silicio poco drogato la mobilità degli elettroni è circa $1400\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ . Con $\mu = 0{,}14\ \text{m}^2/(\text{V·s})$ e la massa efficace per il moto, $m^* = 0{,}26\,m_0 = 2{,}37\times10^{-31}$ kg, il tempo medio tra gli urti è

\tau = \frac{\mu\,m^*}{q} = 2{,}1\times10^{-13}\ \text{s} ,

e alla velocità termica un elettrone percorre tra due urti circa $50$ nm, novanta volte il lato della cella del cristallo.

La corrente di deriva

In un campo $\mathcal E$ gli elettroni vanno contro il campo con velocità media $\mu_n\mathcal E$ , le lacune nel verso del campo con velocità $\mu_p\mathcal E$ . Cariche opposte in versi opposti danno correnti nello stesso verso, e la densità di corrente di deriva è

J = q\,(n\mu_n + p\mu_p)\,\mathcal E .

È la legge di Ohm in forma locale, con la conducibilità $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$ e la resistività $\rho = 1/\sigma$ . In un materiale drogato i maggioritari superano i minoritari di molti ordini di grandezza e portano quasi tutta la corrente di deriva: $\rho \approx 1/(qN_D\mu_n)$ nel tipo $n$ , $\rho \approx 1/(qN_A\mu_p)$ nel tipo $p$ . Per il silicio intrinseco, con $n = p = n_i$ , $\rho = 3{,}3\times10^{5}$ Ω·cm.

Le lacune sono meno mobili degli elettroni: nel silicio poco drogato $\mu_p \approx 470\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ , un terzo di $\mu_n$ . Le mobilità dipendono da quanti urti subiscono i portatori, e quindi dal drogaggio e dalla temperatura. Fino a circa $10^{15}\ \text{cm}^{-3}$ prevalgono gli urti con le vibrazioni del reticolo; oltre, gli ioni dei droganti diventano l’ostacolo principale, e con $10^{18}\ \text{cm}^{-3}$ le mobilità sono scese a un quinto e a un terzo. A drogaggio basso, scaldando il cristallo le vibrazioni crescono e la mobilità cala, all’incirca come $T^{-2{,}5}$ per gli elettroni e $T^{-2{,}2}$ per le lacune.

La mobilità degli elettroni e delle lacune nel silicio a $300$ K in funzione del drogaggio, con il modello empirico di Masetti, Severi e Solmi (1983), ricavato da misure su silicio drogato con fosforo e con boro.

Il drogaggio cambia la resistività molto più di quanto cambi la mobilità: tra $10^{14}$ e $10^{18}\ \text{cm}^{-3}$ i portatori aumentano di diecimila volte e la mobilità diminuisce di cinque, e la resistività del tipo $n$ passa da $45$ a $0{,}022$ Ω·cm. Per questo i wafer di silicio si vendono indicando la resistività: è la grandezza che si misura facilmente, e da essa si risale al drogaggio.

La resistività del silicio drogato a $300$ K, calcolata con $\rho = 1/(qN\mu)$ e le mobilità della figura precedente. Il tipo $p$ ha una resistività sempre più alta del tipo $n$ con lo stesso drogaggio, perché le lacune sono meno mobili.

La mobilità del rame, $\sigma/(nq)$ , è circa $44\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ , trenta volte meno di quella degli elettroni nel silicio. Il rame conduce meglio perché ha molti più portatori: circa $8{,}5\times10^{22}$ elettroni liberi per centimetro cubo, contro $10^{14}$ - $10^{19}$ del silicio drogato.

La proporzionalità tra velocità e campo vale finché la velocità di deriva è piccola rispetto a quella termica, e il campo cambia poco l’energia dei portatori. Con $\mathcal E = 100$ V/cm gli elettroni del silicio derivano a $1{,}4\times10^{5}$ cm/s, circa centosessanta volte meno della velocità termica. Sopra qualche kilovolt al centimetro, invece, la velocità cresce meno che in proporzione al campo e tende a un valore di saturazione di circa $10^{7}$ cm/s: il campo dà ai portatori abbastanza energia da farli urtare più spesso. Negli articoli seguenti la mobilità si considera costante, se non è detto altrimenti.

La corrente di diffusione

La diffusione non ha bisogno di forze. Se da una parte ci sono più portatori che dall’altra, e ciascuno si muove a caso, attraverso una superficie ne passano di più da dove sono tanti verso dove sono pochi che nel verso opposto. È lo stesso fenomeno che mescola una goccia d’inchiostro nell’acqua.

Particelle che si muovono a caso, a scatti di uguale lunghezza e in direzioni casuali, partendo tutte dalla parte sinistra della scatola. Nessuna forza le spinge a destra, eppure la nube si allarga e attraverso la linea centrale ne passano più da sinistra che da destra.

Il fenomeno ha una legge semplice, che si può dimostrare su un modello di moto casuale.

Proposizione (legge di Fick per un moto casuale)

Particelle indipendenti fanno a intervalli regolari $\Delta t$ uno spostamento casuale $s$ lungo $x$ , con una distribuzione simmetrica, la stessa in ogni punto, di varianza $\langle s^2\rangle$ . Se la densità $n(x)$ varia linearmente sulle lunghezze dei passi, il flusso di particelle attraverso il punto $x$ , cioè il numero netto di particelle che lo attraversano verso destra per unità di tempo, è

F = -D\,\frac{dn}{dx} , \qquad D = \frac{\langle s^2\rangle}{2\,\Delta t} .

Dimostrazione.

Sia $p(s)$ la densità di probabilità dei passi, con $p(-s) = p(s)$ , e $P(u)$ la probabilità che un passo sia più lungo di $u$ verso destra; per la simmetria è anche la probabilità che sia più lungo di $u$ verso sinistra. In un passo attraversano $x$ verso destra le particelle che stanno in $x - u$ , con $u > 0$ , e fanno un passo più lungo di $u$ verso destra; verso sinistra quelle che stanno in $x + u$ e fanno un passo più lungo di $u$ verso sinistra. Il numero netto è

\int_0^\infty \big[n(x - u) - n(x + u)\big]\,P(u)\,du = -2\,\frac{dn}{dx}\int_0^\infty u\,P(u)\,du ,

perché con $n$ lineare $n(x - u) - n(x + u) = -2u\,dn/dx$ . Scambiando l’ordine delle integrazioni,

\begin{aligned} \int_0^\infty u\,P(u)\,du &= \int_0^\infty u\int_u^\infty p(s)\,ds\,du = \int_0^\infty p(s)\int_0^s u\,du\,ds \\ &= \int_0^\infty \frac{s^2}{2}\,p(s)\,ds = \frac{\langle s^2\rangle}{4} , \end{aligned}

dove l’ultimo passaggio usa la simmetria: l’integrale da $0$ a $\infty$ di $s^2p(s)$ è metà di quello su tutta la retta. In un passo il flusso netto è $-\tfrac12\langle s^2\rangle\,dn/dx$ , e dividendo per $\Delta t$ si ottiene la tesi.

Fine della dimostrazione.

La costante $D$ è il coefficiente di diffusione, in $\text{cm}^2/\text{s}$ . Per i portatori di un semiconduttore i passi sono i voli tra un urto e l’altro. Un volo che dura $t$ sposta il portatore di $v_xt$ lungo $x$ , e poiché la durata e la velocità sono indipendenti $\langle s^2\rangle = \langle v_x^2\rangle\langle t^2\rangle$ . Per l’equipartizione $\langle v_x^2\rangle$ è un terzo di $\langle v^2\rangle = 3kT/m^*$ , cioè $kT/m^*$ ; per la distribuzione esponenziale $\langle t^2\rangle = 2\tau^2$ ; e in media c’è un volo ogni $\tau$ . Trattando i voli come passi regolari si ottiene la stima

D = \frac{2\,(kT/m^*)\,\tau^2}{2\tau} = \frac{kT\,\tau}{m^*} .

Il conto non è rigoroso, perché i voli non durano tutti $\tau$ , ma il risultato è giusto, e lo conferma la relazione di Einstein più avanti.

Moltiplicando i flussi per la carica si ottengono le densità di corrente di diffusione. Per le lacune la carica è $+q$ e per gli elettroni $-q$ :

J_p = -qD_p\,\frac{dp}{dx} , \qquad J_n = qD_n\,\frac{dn}{dx} .

Con lo stesso profilo di concentrazione le due correnti hanno versi opposti.

Lacune ed elettroni con la stessa concentrazione, decrescente verso destra. In tutti e due i casi le particelle diffondono verso destra; la corrente delle lacune va verso destra, quella degli elettroni verso sinistra.

Nella deriva conta quanti portatori ci sono, nella diffusione quanto rapidamente la loro concentrazione cambia. Per questo i minoritari, che per deriva portano una corrente trascurabile, per diffusione possono portarne molta: bastano variazioni forti su distanze brevi.

Le equazioni delle correnti

In generale ci sono insieme un campo elettrico e delle variazioni di concentrazione, e le correnti si sommano. In una dimensione

J_n = qn\mu_n\mathcal E + qD_n\,\frac{dn}{dx} , \qquad J_p = qp\mu_p\mathcal E - qD_p\,\frac{dp}{dx} ,

e la densità di corrente totale è $J = J_n + J_p$ . Queste due equazioni, con l’equazione di Poisson per il campo e con il bilancio tra generazione e ricombinazione, descrivono tutti i dispositivi a semiconduttore degli articoli seguenti.

La relazione di Einstein

La mobilità e il coefficiente di diffusione vengono dagli stessi urti, e non sono indipendenti. Il legame lo trovarono nel 1905, studiando il moto browniano, Albert Einstein e indipendentemente William Sutherland; per i semiconduttori si dimostra con l’equilibrio.

Proposizione (relazione di Einstein)

In un semiconduttore non degenere a temperatura $T$

\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q} .

Dimostrazione.

Si considera un semiconduttore di tipo $n$ con un drogaggio che varia lungo $x$ , all’equilibrio termico e a temperatura uniforme. All’equilibrio non ci sono flussi netti né di elettroni né di lacune: un flusso stazionario di elettroni compensato da uno di lacune porterebbe coppie da una zona all’altra, e in una delle due le ricombinazioni dovrebbero superare le generazioni, cosa impossibile all’equilibrio. Quindi $J_n = 0$ .

Per l’articolo precedente il livello di Fermi è uniforme e $n = n_i\,e^{(E_F - E_i)/kT}$ . I bordi delle bande, e con loro $E_i$ , seguono il potenziale elettrico con pendenza $dE_i/dx = q\mathcal E$ , come si è visto nell’articolo sulle bande. Allora

\frac{dn}{dx} = -\frac{n}{kT}\,\frac{dE_i}{dx} = -\frac{q\mathcal E}{kT}\,n ,

e sostituendo nell’equazione della corrente degli elettroni

J_n = qn\mu_n\mathcal E + qD_n\left(-\frac{q\mathcal E}{kT}\,n\right) = qn\mathcal E\left(\mu_n - \frac{q}{kT}\,D_n\right) = 0 .

Dove il drogaggio varia, $n$ varia e il campo non è nullo; quindi $\mu_n = qD_n/kT$ . La mobilità e il coefficiente di diffusione dipendono dal materiale, dal drogaggio e dalla temperatura, ma, finché il campo è debole, non dal campo né dalle variazioni di concentrazione, e la relazione vale in ogni situazione. Per le lacune, con $p = n_i\,e^{(E_i - E_F)/kT}$ , $dp/dx = +(q\mathcal E/kT)\,p$ e $J_p = qp\mathcal E\,(\mu_p - qD_p/kT) = 0$ .

Fine della dimostrazione.

La grandezza $V_T = kT/q$ si chiama tensione termica, e a $300$ K vale $25{,}85$ mV. Con le mobilità del silicio poco drogato, $D_n = 36\ \text{cm}^2/\text{s}$ e $D_p = 12\ \text{cm}^2/\text{s}$ . Il modello a urti dà $D/\mu = (kT\tau/m^*)/(q\tau/m^*) = kT/q$ , in accordo con la proposizione.

Un silicio di tipo $n$ con il drogaggio che scende da $10^{17}$ a $10^{15}\ \text{cm}^{-3}$ , all’equilibrio. Il livello di Fermi è orizzontale, e dove i donori sono meno la banda di conduzione se ne allontana: sale di $kT\ln100 = 0{,}12$ eV. La pendenza delle bande è un campo elettrico verso destra. Gli elettroni diffondono verso destra e il campo li riporta a sinistra, con una corrente uguale e opposta.

La dimostrazione dice anche quanto vale il campo che nasce in un materiale drogato in modo non uniforme. Da $dn/dx = -(q\mathcal E/kT)\,n$ ,

\mathcal E = -V_T\,\frac{1}{n}\,\frac{dn}{dx} ,

e integrando, con $\mathcal E = -dV/dx$ , la differenza di potenziale tra due punti dove le densità degli elettroni sono $n_1$ e $n_2$ è

V_2 - V_1 = V_T\,\ln\frac{n_2}{n_1} .

Il potenziale è più alto dove gli elettroni sono di più. Nella giunzione pn questa differenza di potenziale diventa la tensione di built-in, e gli articoli sulla giunzione spiegano perché un voltmetro non la vede.

I numeri del silicio

Gli articoli sui dispositivi usano di continuo gli stessi valori, qui raccolti per il silicio a $300$ K.

Densità degli atomi: $5{,}0\times10^{22}\ \text{cm}^{-3}$ ; permittività: $\varepsilon_{Si} = 11{,}7\,\varepsilon_0 = 1{,}04\times10^{-12}$ F/cm.
Gap: $E_g = 1{,}12$ eV; energia termica: $kT = 25{,}85$ meV; tensione termica: $V_T = 25{,}85$ mV.
Densità efficaci degli stati: $N_c = 2{,}8\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$ , $N_v = 3{,}1\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$ .
Densità intrinseca: $n_i = 1{,}0\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}$ , quindi $n_i^2 = 1{,}0\times10^{20}\ \text{cm}^{-6}$ .
Mobilità a drogaggio basso: $\mu_n \approx 1400$ e $\mu_p \approx 470\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ ; coefficienti di diffusione: $D_n \approx 36$ e $D_p \approx 12\ \text{cm}^2/\text{s}$ .
Velocità termica degli elettroni: $2{,}3\times10^{7}$ cm/s; velocità di saturazione: circa $10^{7}$ cm/s.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un wafer di silicio di tipo $p$ ha resistività $10$ Ω·cm. Quanto boro contiene?

Da $\rho = 1/(qN_A\mu_p)$ si ricava $N_A = 1/(q\rho\mu_p)$ , ma $\mu_p$ dipende da $N_A$ . Si procede per tentativi. Con $\mu_p = 470\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ , $N_A = 1/(1{,}602\times10^{-19}\cdot10\cdot470) = 1{,}33\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$ . A questo drogaggio il modello di Masetti dà $\mu_p = 459$ , e il nuovo conto dà $N_A = 1{,}36\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$ ; un altro giro non cambia più le prime tre cifre.

Commento: a questi drogaggi la mobilità è ancora quasi quella del cristallo puro, e il primo tentativo sbaglia solo del $2\%$ . Oltre $10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ i giri necessari aumentano, e conviene leggere il drogaggio direttamente sulla curva della resistività.

Esercizio 2. In un circuito integrato un resistore è una striscia di silicio di tipo $n$ con $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ , lunga $200$ μm, larga $20$ μm e spessa $2$ μm. Quanto vale la sua resistenza?

Con $\mu_n = 1180\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ , $\rho = 1/(1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{16}\cdot1180) = 0{,}53$ Ω·cm. La resistenza è

R = \frac{\rho L}{wt} = \frac{0{,}53\ \Omega\cdot\text{cm}\cdot0{,}02\ \text{cm}}{20\times10^{-4}\ \text{cm}\cdot2\times10^{-4}\ \text{cm}} = 26\ \text{k}\Omega .

Commento: nei circuiti integrati lo spessore è fissato dal processo di fabbricazione, e conviene la resistenza di strato $R_\square = \rho/t$ , qui $2{,}6$ kΩ. La resistenza è $R_\square$ per il numero di quadrati, $L/w = 10$ , in cui si può dividere la striscia: chi disegna il circuito sceglie solo la forma.

Esercizio 3. Tra le estremità di una zona di silicio di tipo $n$ lunga $10$ μm, con $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ , c’è una tensione di $1$ V. Quanto vale la velocità di deriva degli elettroni? In quanto tempo attraversano la zona?

Il campo è $\mathcal E = 1\ \text{V}/10^{-3}\ \text{cm} = 1000$ V/cm, e la velocità $v = \mu_n\mathcal E = 1180\cdot1000 = 1{,}2\times10^{6}$ cm/s, cioè $12$ km/s. Il tempo di attraversamento è $10^{-3}\ \text{cm}/1{,}2\times10^{6}\ \text{cm/s} = 8{,}5\times10^{-10}$ s.

Commento: meno di un nanosecondo per dieci micrometri. La velocità di deriva è venti volte più piccola di quella termica, e il modello a urti vale ancora; con dieci volte il campo si arriverebbe vicini alla saturazione, e la velocità crescerebbe meno di dieci volte.

Esercizio 4. In una zona di tipo $n$ con $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ la concentrazione delle lacune scende linearmente da $10^{14}\ \text{cm}^{-3}$ a zero in $10$ μm. Quanto vale la densità di corrente di diffusione delle lacune?

A questo drogaggio $\mu_p = 425\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ e $D_p = V_T\mu_p = 0{,}02585\cdot425 = 11\ \text{cm}^2/\text{s}$ . La pendenza è $dp/dx = -10^{14}/10^{-3} = -10^{17}\ \text{cm}^{-4}$ , e

J_p = -qD_p\,\frac{dp}{dx} = 1{,}602\times10^{-19}\cdot11\cdot10^{17} = 0{,}18\ \text{A/cm}^2 .

Commento: su un millimetro quadrato sono $1{,}8$ mA, portati da lacune cento volte meno numerose degli elettroni. Per portare la stessa corrente per deriva, $10^{14}$ lacune per centimetro cubo avrebbero bisogno di un campo di $26$ V/cm, che sugli elettroni maggioritari farebbe passare una corrente quasi trecento volte più grande. Nel diodo polarizzato in diretta la corrente è proprio di questo tipo.

Esercizio 5. Un silicio di tipo $n$ ha un drogaggio che decresce esponenzialmente, $N_D(x) = N_0\,e^{-x/L}$ con $L = 1$ μm. Quanto vale il campo elettrico all’equilibrio?

Con $n \approx N_D$ , $\frac{1}{n}\frac{dn}{dx} = -\frac1L$ , e $\mathcal E = V_T/L = 0{,}02585\ \text{V}/10^{-4}\ \text{cm} = 258$ V/cm, uniforme e diretto verso il drogaggio più basso.

Commento: un campo che non richiede nessuna tensione esterna. Nei transistori bipolari una base con drogaggio graduato crea un campo di questo tipo, che accelera i portatori minoritari verso il collettore e rende il dispositivo più veloce.

Esercizio 6. Due zone di silicio di tipo $n$ , una con $10^{17}$ e l’altra con $10^{15}$ donori per centimetro cubo, sono unite in un solo cristallo. Qual è la differenza di potenziale tra le due all’equilibrio?

$V_2 - V_1 = V_T\ln(10^{17}/10^{15}) = 0{,}02585\cdot\ln100 = 0{,}119$ V, con il potenziale più alto nella zona più drogata.

Commento: se si collegano i due estremi a un voltmetro, però, lo strumento segna zero, altrimenti un pezzo di silicio all’equilibrio farebbe circolare corrente in un circuito esterno. Il motivo, i salti di potenziale ai contatti tra il metallo e il semiconduttore, è l’argomento degli articoli sulla giunzione pn.

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