Fotodiodo e cella fotovoltaica

La luce assorbita

Un fotone di lunghezza d’onda $\lambda$ porta l’energia $E = hc/\lambda$, cioè $1240$ eV diviso la lunghezza d’onda in nanometri. In un semiconduttore può cedere quell’energia a un elettrone di valenza e portarlo in banda di conduzione, creando una coppia elettrone-lacuna, purché ne abbia abbastanza: $hc/\lambda > E_g$. Per il silicio, con $E_g = 1{,}12$ eV, vuol dire $\lambda < 1{,}11$ μm: tutto il visibile e il vicino infrarosso. L’energia del fotone che supera il gap non va persa per la coppia, che la cede al reticolo come calore in meno di un picosecondo, scendendo sul fondo delle bande.

Quanto penetra la luce dipende dalla probabilità che un fotone sia assorbito lungo il cammino.

Per il silicio la lunghezza di assorbimento cambia di sei ordini di grandezza nell’intervallo di lunghezze d’onda che interessa. La luce blu si ferma nel primo mezzo micrometro, quella rossa in qualche micrometro, l’infrarosso a $1000$ nm attraversa più di un decimo di millimetro. Vicino al gap l’assorbimento del silicio sale lentamente, perché il salto tra le due bande richiede un cambio di quantità di moto, e il fotone deve essere assorbito insieme a una vibrazione del reticolo; nei semiconduttori a gap diretto, come l’arseniuro di gallio, l’assorbimento sale di colpo appena l’energia supera il gap, e bastano pochi micrometri per assorbire quasi tutta la luce.

Il fotodiodo

Le coppie create dalla luce, lasciate a sé stesse, diffondono a caso e prima o poi si ricombinano, senza dare corrente. Per raccoglierle serve un campo elettrico che separi l’elettrone dalla lacuna. In un pezzo di semiconduttore omogeneo il campo si ottiene applicando una tensione ai capi: è il fotoconduttore, un resistore la cui conducibilità cresce con la luce. Le fotoresistenze al solfuro di cadmio usate nei crepuscolari funzionano così. Il loro difetto è che la corrente al buio, dovuta ai portatori che ci sono comunque, è grande.

La zona svuotata di una giunzione pn ha già un campo, e pochissimi portatori propri. Una giunzione usata per rivelare la luce, di solito polarizzata in inversa, è un fotodiodo. Una coppia creata nella zona svuotata viene separata subito: l’elettrone va verso la zona $n$, la lacuna verso la zona $p$. Una coppia creata nelle zone neutre a meno di una lunghezza di diffusione dal bordo ha buone probabilità di arrivare alla zona svuotata diffondendo, e allora è raccolta anche lei; più lontano, si ricombina.

Ne segue che la corrente fotogenerata è la carica elementare per il numero di coppie raccolte al secondo. Se si trascurano le coppie raccolte dalle zone neutre, per un fotodiodo di area $A$ con la zona svuotata tra le profondità $x_1$ e $x_2$ la fotocorrente è

$$I_{ph} = qA\,\big[\Phi(x_1) - \Phi(x_2)\big] = qA\,\Phi(0)\left(e^{-x_1/L_A} - e^{-x_2/L_A}\right) ,$$

perché la differenza tra i flussi all’ingresso e all’uscita della zona svuotata è il numero di fotoni assorbiti lì dentro. La fotocorrente scorre dalla zona $n$ alla zona $p$, nel verso della corrente inversa, e si somma alla caratteristica del diodo:

$$I = I_s\left(e^{V/V_T} - 1\right) - I_{ph} ,$$

con la convenzione del diodo, $V$ e $I$ positivi dall’anodo al catodo. La luce sposta in basso la caratteristica.

L’efficienza di un fotorivelatore si misura con la responsività, il rapporto tra la fotocorrente e la potenza luminosa incidente. Una potenza $P$ di lunghezza d’onda $\lambda$ porta $P\lambda/hc$ fotoni al secondo; se una frazione $\eta$, l’efficienza quantica, dà una carica raccolta,

$$\mathcal R = \frac{I_{ph}}{P} = \eta\,\frac{q\lambda}{hc} = \eta\,\frac{\lambda}{1240\ \text{nm}}\ \text{A/W} .$$

Un fotodiodo perfetto a $850$ nm darebbe $0{,}69$ A/W; i fotodiodi al silicio arrivano a $0{,}5$-$0{,}6$ A/W nel vicino infrarosso. Le perdite principali sono la luce riflessa dalla superficie, circa un terzo per il silicio nudo e molto meno con un rivestimento antiriflesso, la luce assorbita troppo vicino alla superficie, dove i difetti fanno ricombinare le coppie, e quella che attraversa il dispositivo senza fermarsi.

Polarizzazione e velocità

Un fotodiodo funziona anche senza tensione applicata, ma polarizzarlo in inversa ha tre vantaggi. La zona svuotata si allarga e raccoglie più fotoni. Il campo cresce, e le coppie vengono separate più in fretta. La capacità di giunzione, $\varepsilon_{Si}A/x_d$, diminuisce, e con lei la costante di tempo che forma con le resistenze del circuito. In più la corrente del diodo, che al buio in inversa è solo quella piccolissima di saturazione e di generazione, non si confonde con il segnale.

La fotocorrente è proporzionale alla potenza luminosa su molti ordini di grandezza, e per leggerla si converte in una tensione. Un resistore in serie basta per segnali grandi e lenti, ma la tensione che ci cade sopra riduce la polarizzazione del diodo; il modo usuale è un amplificatore a transimpedenza, che tiene il fotodiodo a tensione costante e dà in uscita una tensione proporzionale alla corrente, e che si vedrà con gli amplificatori operazionali.

Per raccogliere l’infrarosso, che nel silicio penetra per decine di micrometri, una zona svuotata di mezzo micrometro è troppo sottile, e drogare poco le zone per allargarla aumenterebbe la loro resistenza. La soluzione è il fotodiodo p-i-n: tra una zona $p^+$ e una $n^+$ molto drogate si mette uno strato intrinseco, largo $W_i$ da qualche decina a qualche centinaio di micrometri. Lo strato intrinseco non ha carica fissa, e per l’equazione di Poisson il campo al suo interno è costante; le zone svuotate nelle regioni drogate sono sottilissime, e quasi tutta la tensione cade sullo strato intrinseco, con un campo $(\Phi_{bi} + V_R)/W_i$. La capacità è quella di un condensatore piano di spessore $W_i$, e non dipende quasi dalla tensione.

A quel punto la velocità del fotodiodo è limitata dal tempo che i portatori impiegano ad attraversare lo strato intrinseco, e per ridurlo serve una tensione più alta, fino a portare i portatori alla velocità di saturazione. I fotodiodi delle comunicazioni in fibra ottica rispondono in decine di picosecondi; quelli per le lunghezze d’onda delle fibre, $1{,}3$ e $1{,}55$ μm, sono di germanio o di arseniuro di indio e gallio, perché il silicio lì è trasparente. Con tensioni inverse vicine alla rottura, infine, i portatori raccolti si moltiplicano per valanga, come nell’articolo sulla giunzione polarizzata: è il fotodiodo a valanga, che dà un guadagno interno e rivela segnali debolissimi.

La cella fotovoltaica

Senza circuito esterno, le cariche separate dalla luce si accumulano: le lacune nella zona $p$, gli elettroni nella zona $n$. Nasce una tensione positiva dal lato $p$, cioè una polarizzazione diretta, che abbassa la barriera e fa crescere la corrente di diffusione della giunzione, opposta alla fotocorrente. La tensione sale finché le due correnti non si compensano. Collegando un carico, la giunzione lavora nel quarto quadrante della caratteristica ed eroga potenza: è una cella fotovoltaica. La tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito sono state ricavate nell’articolo sui generatori,

$$V_{oc} = V_T\ln\left(1 + \frac{I_{ph}}{I_s}\right) , \qquad I_{sc} = I_{ph} ,$$

con la convenzione dei generatori, in cui la corrente erogata $I = I_{ph} - I_s(e^{V/V_T} - 1)$ è positiva. Resta da trovare dove la potenza è massima.

La seconda forma si risolve per iterazione in due o tre passi. Il rapporto tra la potenza massima e il prodotto $V_{oc}I_{sc}$ si chiama fattore di riempimento: dice quanto la caratteristica è «quadrata», e nelle celle al silicio buone supera l’$80\%$.

La tensione a vuoto cresce solo con il logaritmo della luce: dimezzare l’illuminazione la abbassa di $V_T\ln2 = 18$ mV, mentre la fotocorrente si dimezza. E scende con la temperatura come la tensione di un diodo a corrente costante, di circa $2$ mV/K per cella: per questo i pannelli rendono di più d’inverno che nelle giornate calde d’estate, a parità di luce.

Quanta luce una cella può convertire lo fissano le due perdite viste all’inizio: i fotoni sotto il gap non creano coppie, quelli sopra ne creano una sola e buttano il resto in calore. Un gap basso raccoglie più fotoni ma dà tensioni basse, uno alto il contrario. William Shockley e Hans-Joachim Queisser calcolarono nel 1961 il limite per una cella a una sola giunzione illuminata dal Sole: circa un terzo, con il massimo per gap attorno a $1{,}3$ eV. Per il silicio, contando anche la ricombinazione intrinseca del materiale, il limite è circa il $29\%$, e le celle migliori di laboratorio superano il $26\%$. Si va oltre sovrapponendo giunzioni di semiconduttori diversi, ciascuna per una parte dello spettro, come nelle celle dei satelliti.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Qual è la lunghezza d’onda massima che possono rivelare il silicio, l’arseniuro di gallio e il germanio, con gap di $1{,}12$, $1{,}42$ e $0{,}66$ eV?

$\lambda_{max} = 1240\ \text{nm}/(E_g/\text{eV})$: $1107$ nm per il silicio, $873$ nm per l’arseniuro di gallio, $1880$ nm per il germanio.

Commento: le fibre ottiche hanno le perdite minime a $1{,}55$ μm, dove il silicio è trasparente. Per questo i ricevitori delle telecomunicazioni usano germanio o arseniuro di indio e gallio, che con un gap di circa $0{,}75$ eV arriva a $1{,}65$ μm.

Esercizio 2. Un fotodiodo al silicio di $1\ \text{mm}^2$ ha una zona $p^+$ spessa $0{,}3$ μm sulla faccia illuminata e la zona svuotata tra $0{,}3$ e $3{,}3$ μm di profondità. Calcola la fotocorrente e la responsività con $1$ μW di luce rossa a $650$ nm, dove $L_A = 3{,}6$ μm, trascurando riflessione e raccolta dalle zone neutre.

I fotoni al secondo sono $P\lambda/hc = 10^{-6}\cdot650\times10^{-9}/(6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}) = 3{,}27\times10^{12}$. La frazione assorbita nella zona svuotata è $e^{-0{,}3/3{,}6} - e^{-3{,}3/3{,}6} = 0{,}920 - 0{,}398 = 0{,}52$. La fotocorrente è $1{,}602\times10^{-19}\cdot3{,}27\times10^{12}\cdot0{,}52 = 0{,}27$ μA, e la responsività $0{,}27$ A/W.

Commento: il limite ideale a $650$ nm è $0{,}52$ A/W, e il fotodiodo ne raccoglie metà, soprattutto perché la zona svuotata è sottile rispetto alla lunghezza di assorbimento. La raccolta per diffusione dalle zone neutre, qui trascurata, recupera una parte della differenza; la riflessione, anch’essa trascurata, ne perde una parte.

Esercizio 3. Un fotodiodo p-i-n di $1\ \text{mm}^2$ ha uno strato intrinseco di $100$ μm ed è polarizzato con $10$ V. Stima il campo, la capacità e il tempo che gli elettroni e le lacune impiegano ad attraversare lo strato.

Il campo è circa $10\ \text{V}/0{,}01\ \text{cm} = 1$ kV/cm, trascurando $\Phi_{bi}$. La capacità è $\varepsilon_{Si}A/W_i = 1{,}04\times10^{-12}\cdot10^{-2}/10^{-2} = 1{,}0$ pF. Con le mobilità dell’articolo su deriva e diffusione, la velocità degli elettroni è $1400\cdot1000 = 1{,}4\times10^{6}$ cm/s e quella delle lacune $4{,}7\times10^{5}$ cm/s: attraversano i $100$ μm in $7$ e $21$ ns.

Commento: con un resistore di $50$ Ω la costante di tempo è $50$ ps, e la velocità è limitata dal transito delle lacune. Con $100$ V il campo diventa $10$ kV/cm, le velocità si avvicinano alla saturazione, circa $10^{7}$ cm/s, e il transito scende a un paio di nanosecondi: per i fotodiodi veloci si usano strati intrinseci più sottili.

Esercizio 4. Per la cella della figura, con $I_{ph} = 9$ A e $V_{oc} = 0{,}64$ V, calcola il punto di massima potenza e il fattore di riempimento.

La corrente di saturazione è $I_s = I_{ph}/(e^{V_{oc}/V_T} - 1) = 9/e^{24{,}76} = 1{,}6\times10^{-10}$ A. Iterando $V_m = V_{oc} - V_T\ln(1 + V_m/V_T)$ da $V_m = 0{,}56$ V si ottiene $V_m = 0{,}559$ V già al primo passo. La corrente è $I_m = 9 - 1{,}6\times10^{-10}\,e^{0{,}559/0{,}02585} = 8{,}60$ A, la potenza $4{,}81$ W, e il fattore di riempimento $4{,}81/(0{,}64\cdot9) = 0{,}835$.

Commento: il modello ideale dà un fattore di riempimento dell’$83\%$; nelle celle vere la resistenza dei contatti e delle strisce metalliche lo abbassa di qualche punto. Il punto di massima potenza sta $80$ mV sotto la tensione a vuoto, circa tre tensioni termiche.

Esercizio 5. Di quanto scende la tensione a vuoto della stessa cella con un decimo della luce? E se la cella si scalda da $25$ a $60$ °C?

Con $I_{ph} = 0{,}9$ A, $V_{oc} = V_T\ln(0{,}9/1{,}6\times10^{-10}) = 0{,}58$ V: $60$ mV in meno, contro una fotocorrente dieci volte più piccola. Scaldandosi di $35$ K la tensione a vuoto scende di circa $35\cdot2{,}1$ mV, a circa $0{,}57$ V.

Commento: la potenza di una cella dipende quasi linearmente dalla luce e poco dalla tensione. Il calo di temperatura, circa l’$11\%$ della tensione a vuoto per $35$ K, pesa invece sulla potenza in proporzione, ed è il motivo per cui i costruttori danno il coefficiente di temperatura dei pannelli, di solito attorno a $-0{,}4\%$ per kelvin.